高中数学必修2综合测试题 人教A版

高中数学必修2综合测试题
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
卷I
（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共 2道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、下图（1）所示的圆锥的俯视图为 （ ）




?

?

图（1）
A

B

C

D

2、直线
l:3x?y?3?0
的倾斜角
?
为 （ ）
A
、
30
；
B
、
60
；
C
、
120
；
D
、
150
。
????
3、边长为
a
正四面体的表面积是 （ ）
A
、
3
4
a
；
B
、
3
3
12
3
a
；
C
、
3
4
2
a
；
D
、
3a
。
2
4、对于直线
l:3x?y?6?0
的截距，下列说法正确的是 （ ）
A
、在
y
轴上的截距是6；
B
、在
x
轴上的截距是6；
C
、在
x
轴上的截距是3；
D
、在
y
轴上的截距是
?3
。
5、已知
a
?
,b?
?
，则直线
a
与直线
b
的位置 关系是 （ ）
A
、平行；
B
、相交或异面；
C
、异面；
D
、平行或异面。
6、已知两条直线
l
1
:x?2ay?1?0,l
2
:x?4y?0
，且l
1
l
2
，则满足条件
a
的值为 （ ）
A
、
?
1
2
；
B
、
1
2
；
C
、
?2
；
D
、
2
。
7、在空间四边形
ABCD
中，若AC?BD?a
，
E,F,G,H
分别是
AB,BC,CD,DA
的中点。
且
AC
与
BD
所成的角为
60
，则四边 形
EFGH
的面积为 （ ）
?
第 1 页 共 10 页

3
8
2
a
；
B
、
A
、
3
4
2
a
；
C
、
3
2
2
a
；
D
、
3a
。
2
8、已知圆
C:x
2?y
2
?2x?6y?0
，则圆心
P
及半径
r
分别为 （ ）
A
、圆心
P
?
1,3
?
，半径
r?10
；
B
、圆心
P< br>?
1,3
?
，半径
r?10
；
10
。
C
、圆心
P
?
1,?3
?
，半径
r?10
；
D
、圆心
P< br>?
1,?3
?
，半径
r?
9、下列叙述中错误的是 （ ）
A
、若
P?
?
?
?
且
?
?< br>?
?l
，则
P?l
；
B
、三点
A,B,C
确定一个平面；
C
、若直线
a?b?A
，则直线
a
与
b
能够确定一个平面； D
、若
A?l,B?l
且
A?
?
,B?
?，则
l?
?
。
10、两条不平行的直线，其平行投影不可能是 （ ）
A
、两条平行直线；
B
、一点和一条直线；
C
、两条相交直线；
D
、两个点。
11、长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3、4、5，且它的8个 顶点都在同一个球面上，
则这个球的表面积是 （ ）
A
、
25
?
；
B
、
50
?
；
C
、
125
?
；
D
、都不对。
12、四面体
P?ABC
中，若
PA?PB ?PC
，则点
P
在平面
ABC
内的射影点
O
是?ABC
的 （ ）

A
、外心；
B
、内心；
C
、垂心；
D
、重心。






高中数学必修2综合测试题
第 2 页 共 10 页

卷II
（非选择题 共90分）
一、选择题
（本大题共2道小题， 每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
题号
答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

二、填空题
（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13、圆柱的侧面展开图是边长分别为
2a,a
的矩形，则圆柱的体积为 ；
14、命题：一条直线与已知平面相交，则面内不过该交点的直线与已知直线为异面直线。
用符号表示为 ；
15、点
M
?
2,1
?
直线
l:3x?y?2 3?0
的距离是 ；
16 、已知
a,b
为直线，
?
,
?
,
?
为平面 ，有下列三个命题：
（1）
a
?
?b
?
，则
ab
；
（2）
a?
?
,b?
?
，则
ab
；
（3）
ab,b?
?
，则
a
?
；
（4）
a?b,a?
?
，则
b
?
；
其中正确命题是 。
三、解答题
（本大题共6道小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为
16m
，深
2m

3
为
2m
，宽为
2m
的长方体无盖水池，如果池 底的造价为
120元m
，池壁的造价为
80元m
，求水池的总造价。
22

18、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥
P?ABCD< br>中，
四边形
ABCD
是平行四边形，
M,N
分别是
A B,PC
的中点，
2m

图（2）
第 3 页 共 10 页

求证：
MN?平面PAD
。





A


M B
D
C
P
N
图(3)

19、（本小题满分12分）如下 图（4），在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，
（1）画出二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角；
（2）求证：面
BB
1
DD
1
?
面
AB
1
C

D


A

C







D
1

B

C
1

A
1


B
1

20、（本小题满分12分）光线自点
M
?
2,3
?
射到点
N
?
1,0
?
后被
x
轴反射，求该光线及反射光线所在的直线方程。（请用直线的一般方程表示解题结果）
21、（本小题满分12分）已知三 角形
?ABC
的三个顶点是
A
?
4,0
?
,B?
6,7
?
,C
?
0,8
?

（1） 求
BC
边上的高所在直线的方程；
（2） 求
BC
边上的中线所在直线的方程。


22、（本小题满分14 分）如下图（5），在三棱锥
A?BCD
中，
O,E
分别是
BD,B C
的中点，
图（4）
第 4 页 共 10 页

CA?CB?CD?BD?2
,
AB?AD?2
。
（1） 求证：
AO?
平面
BCD
；
（2） 求异面直线
AB
与
CD
所成角的余弦值；
（3） 求点
E
到平面
ACD
的距离。







B
O

E

D

A
C
图（5）














第 5 页 共 10 页

高中数学必修2综合测试题
(答案卷)
一、选择题
（本大题共2道小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，
只有一项是符合题目要求的）
题号
答案
1
B
2
C
3
D
4
A
5
D
6
C
7
A
8
D
9
B
10
D
11
B
12
A
二、填空题
（本大题共4道小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13、
15、
a
3
?
1
2
或
a
3
2
?
； 14、
a?
?
?P,?b?
?
，且
P?b
，则
a
与
b
互为异面直线；
； 16、（2）。
三、解答题
（本大题共6道小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） < br>17、（本小题满分12分）如下图(2),建造一个容积为
16m
3
，深为< br>2m
，宽为
2m
的长方体无
盖水池，如果池底的造价为
120 元m
，池壁的造价为
80元m
，求水池的总造价。
解：分别设长、宽、高为
am,bm,hm
；水池
的总造价为
y
元
2m

22
?V?abh?16,h?2,b?2
，
?a?4m
—————————————3分
2m

则有
S
底
?4?2?8m
————————6分
S
壁
?2?
?
2?4
?
?2?24m
—————9分
2
2
图（2）
y?S
底
?120?S
壁
?80?120?8?80?24?2880
（元）————————————12分
18、 （本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥
P?ABCD
中，四边形
ABCD是平行四边形，
M,N
分别是
AB,PC
的中点，求证：
MN? 平面PAD
。
P
E

证明：如图，取
PD
中点为
E
，连接
AE,EN
———1分
N
C
第 6 页 共 10 页
?E,N
分别是
PD,PC
的中点
D
A M B
图(3)

?EN
1
2
DC
———————————————4分
1
2
?M
是
AB
的中点
?AM
——————7分
DC
?ENAM

?
四边形
AMNE
为平行四边形 —9分
?AEMN
———————————————11分
又
?AE?面APD

?MN?面APD

?
MN?平面PAD
。 ————————12分
19、（本小题满分12分）如下图（4），在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
D

C

（1）画出二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角；
（2）求证：面
BB
1
DD
1
?
面
AB< br>1
C

A

B

E

解： （1）如图，取
B
1
C
的中点
E
,连接
AE,EC
1
。
?AC,AB
1
,B
1
C
分别为正方形的对角线
D
1

C
1

?AC?AB
1
?B
1
C

?E
是
B
1
C
的中点
A
1

B
1

图（4）
?AE?B
1
C
——————————————2
分
又
?
在正方形
BB
1
C
1
C
中
?EC
1
?B
1
C
——————————————3分
?
?AEC
1
为二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角。 —————————————————4分
（2） 证明：
?D
1
D?面ABCD
，
AC?面ABCD

?D
1
D?AC
—————6分
又
?
在正方形
ABCD
中
?AC?BD
—————————————————8分
?D
1
D?BD?D

?AC?面DD
1
B
1
B
———————————————10分
又
?AC?面AB
1
C

?
面
BB
1
DD
1
?
面
AB1
C
——————————————12分
20、（本小题满分12分）光 线自点
M
?
2,3
?
射到点
N
?
1,0< br>?
后被
x
轴反射，求该光线及反射
光线所在的直线方程。（请用直线的 一般方程表示解题结果）
第 7 页 共 10 页

y
l
2

l
1

解：如图，设入射光线 与反射光线分别为
l
1
与
l
2
，
?M?l
1
,N?l
1

M
?
2,3
?

由直线的两点式方程可知：
l1
:
y?0
x?1
?
?3
?2
——3分
1
0
?2

?1

化简得：
l
1
:3x?y?3?0
——————4分
x
其中
k
1
?3
， 由光的反射原理可知：
?1??2


?k
2
??k
1
??3
，又
?N?l
2
—————8分
0
N
?
1,0
?

由直线的点斜式方程可知：
l
2
:y?0??3
?
x?1
?
—————————————————————————10分
化简得：
l
2
:3x?y?3?0
——————————————————————12分
21、（本小题满分12分）已知三角形?ABC
的三个顶点是
A
?
4,0
?
,B
?< br>6,7
?
,C
?
0,8
?

（1） 求
BC
边上的高所在直线的方程；
y
（2） 求
BC
边上的中线所在直线的方程。
解：（1）如图，作直线
AD?BC< br>，垂足
?
0,8
?
C

E
?
x
0
,y
0
?
D


B
?
6,7
?

为点
D
。

k
BC
?
7?8
6?0
??
1
6
—————2分
1
k
BC
?BC?AD

?k
AD
???6
4分
由直线的点斜式方程可知直线
AD
的方程
0
A
?
4,0
?

x
为：
y?0?6
?
x?4
?

化简得：
y?6x?24
——6分
（2）如图，取
BC
的中点
E
?
x
0
,y
0
?
，连接
AE
。
第 8 页 共 10 页

< br>0?6
?
x??3
0
?
?
?
15
?
2
由中点坐标公式得
?
，即点
E
?
3,
?
———————————9分
2
??
?
y?
8? 7
?
15
0
?
?22
15
y?0
?0由直线的两点式方程可知直线
AE
的方程为：
化简得：
y?
5< br>2
——————————11分
?
2
x?43?0
x?10
——————————————————————————12分
22、（本小题满分14分）如下图 （5），在三棱锥
A?BCD
中，
O,E
分别是
BD,BC
的中点，
CA?CB?CD?BD?2
,
AB?AD?2
。
（1） 求证：
AO?
平面
BCD
； （2） 求异面直线
AB
与
BC
所成角的余弦值；
（3） 求点
E
到平面
ACD
的距离。
A
（1）证明：连接
OC

?BO?DO,A?B
?AO?BD
———————————1分
D


DA
?BO?DO,BC?CD

?CO?BD
—————————————2
O

B
E

C
分
在
?AOC
中，由已知可得：
AO?1,CO?
而
AC?2,?AO?CO?AC

222
图（5）


3
，
?
??AOC?90
，即
AO?OC
———————4分
?BD?OC?O
?AO?平面BCD
——————————————————5分
（2）解：取
AC
的中点
M
，连接
A
OM,ME,OE

由
E
为
BC
的中点知
M

D

MEAB,OEDC

O

?
直线
OE
与
EM
所成的锐角就是异面直线
AB< br>与
CD
所成的角。 ——————6分
E

B C
在
?OME
中,
EM?
1
2
AB?
2
2
，
图（5）

第 9 页 共 10 页

OE?
1
2
DC?1

?
OM
是
Rt?AOC
斜边
AC
上的中线
1
?OM?AC?1
——————————————————————————8分
2
?cos?OEM?
2
4
———————————————————————————10分
（3）解：设点
E
到平面
ACD
的距离为
h
。
?V
E?ACD
?V
A?CDE
———————————————————————— ———12分
?
1
3
h?S
?
ACD
?
1
3
?AO?S
?
C DE

在
?ACD
中，
CA?CD?2,AD?2

?S
?
ACD
?
1
2
?2?
?
2
?
7
2

2?
?
?
?
2
?
?
2
??
2
而
AO?1,S
?
CDE< br>?
AO?S
?
CDE
S
?
ACD
1
2
?
3
4
?2?
2
3
2

?h??
21
7

?
点
E
到平面的距 离为
21
7
————————————————————————14分
第 10 页 共 10 页