高中数学必修2圆与方程复习

第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
?
?< br>y?b
?
?r
2
，圆心
?
a,b
?
，半径为r；
22
点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关 系：
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
>
r
2
，点在圆外
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
，点在圆上
当
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
<
r
2
，点在圆内
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D?E
当
D?E
2
2
22
?4F?0< br>时，方程表示圆，此时圆心为
?
?
?
?
D
2
,?
1
E
?
，半径为
r?
?
2
2
?
D
2
?E
2
?4F

2
2
?4F?0
时，表示一个点；
当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形。

（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a< br>?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
C
?
a,b
?
到
l
的距离为
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，则有
d?r?l与C相离
；< br>d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交



（ 2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半
径，求解k，得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，
y< br>0
)，则过此点的切线方程为
2
(x
0
-a)(x-a)+( y
0
-b)(y-b)= r

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的 和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
2
设圆
C1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y ?b
1
?
2
?r
2
，
C
2
:?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
2
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d
）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
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第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆C的圆心坐标为(2，－3)，且圆C经过点M(5，－7)，则圆C的半径为( )．
A．
5

2

2
B．5 C．25
2

2
D．
10

2．过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( )．
A．(x－3)＋(y＋1)＝4
C．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4






B．(x＋3)＋(y－1)＝4
D．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )．
A．(x－3)
2
＋(y＋4)
2
＝16 B．(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝16
2222
C．(x－3)＋(y＋4)＝9 D．(x＋3)＋(y－4)＝19
4．若直线x＋y＋m＝0与圆x
2
＋y
2
＝m相切，则m为( )．
A．0或2 B．2 C．
2
D．无解
5．圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝20在x轴上截得的弦长是( )．
A．8
2

2
B．6
2
C．6
2

2
D．4
3

6．两个圆C
1
：x＋y＋2x＋2y－2＝0与C
2
：x＋y－4x－2 y＋1＝0的位置关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆x＋y－2x－5＝0与圆x＋y＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB 的垂直平分线的方程是
( )．
A．x＋y－1＝0 B．2x－y＋1＝0
C．x－2y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
8． 圆x
2
＋y
2
－2x＝0和圆x
2
＋y
2
＋4y＝0的公切线有且仅有( )．
A．4条 B．3条 C．2条
9．在空间直角坐标系中，已知点M(a，b，c)，有下列叙述：
点M关于x轴对称点的坐标是M
1
(a，－b，c)；
点M关于yoz平面对称的点的坐标是M
2
(a，－b，－c)；
点M关于y轴对称的点的坐标是M
3
(a，－b，c)；
点M关于原点对称的点的坐标是M
4
(－a，－b，－c)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(2，－1，6)的距离是( )．
A．2
43
B．2
21
C．9 D．
86

D．1条
2222
二、填空题
11．圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的 最小值为 ．
12．圆心在直线y＝x上且与x轴相切于点(1，0)的圆的方程为 ．
13．以点C(－2，3)为圆心且与y轴相切的圆的方程是 ．
14．两圆x＋y＝1和(x＋4)＋(y－a)＝25相切，试确定常数a的值 ．
15．圆心为C(3，－5)，并且与直线x－7y＋2＝0相切的圆的方程为 ．
16．设圆x
2
＋y
2
－4x－5＝0的弦AB的中点为P(3 ，1)，则直线AB的方程是 ．


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2222

三、解答题
17．求圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程．






18．求过原点，在x轴，y轴上截距分别为a，b的圆的方程(ab≠0)．








19．求经过
A
( 4，2)，
B
(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．







20．求经过点(8，3)，并且和直线x＝6与x＝10都相切的圆的方程．














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第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B圆心C与点 M的距离即为圆的半径，
(2－5)
2
＋(－3＋7)
2
＝5．
2．C解析一：由圆心在直线x＋y－2＝0上可以得到A，C满足条件，再把A点坐标
(1，－1)代入圆方程．A不满足条件．∴选C．
解析二：设圆心C的坐标为(a，b)， 半径为r，因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，∴b＝2－a．由|CA|＝
|CB|，得(a－1)
2
＋(b＋1)
2
＝(a＋1)
2
＋(b－1)
2
，解得a＝1，b＝1．因此圆的方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4．
3．B解析：∵与x轴相切，∴r＝4．又圆心(－3，4)，∴圆方程为(x＋3)
2
＋(y－4)
2
＝16．
4．B解析：∵x＋y＋m＝0与x
2
＋y
2
＝m相切，∴(0，0)到直线距离等于
m
．∴
2
m
2
＝
m
，∴m＝2．
5．A解析：令y＝0，∴(x－1)＝16．∴ x－1＝±4，∴x
1
＝5，x
2
＝－3．∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B解析：由两个圆的方程C
1
：(x＋1)
2
＋(y＋1)2
＝4，C
2
：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4可求得圆心距d＝
13
∈
(0，4)，r
1
＝r
2＝2，且r
1
－r
2
＜d＜r
1
＋r
2
故两圆相交，选B．
7．A解析：对已知圆的方程x＋y－2x－ 5＝0，x＋y＋2x－4y－4＝0，经配方，得(x－1)＋y＝6，
(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝9．圆心分别为 C
1(1，0)，C
2
(－1，2)．直线C
1
C
2
的方程 为x＋y－1＝0．
8．C解析：将两圆方程分别配方得(x－1)＋y＝1和x＋(y＋2)＝4， 两圆圆心分别为O
1
(1，0)，O
2
(0，
－2)，r
1
＝1，r
2
＝2，|O
1
O
2
|＝
12
＋2
2
＝
5
，又1＝r
2
－r
1< br>＜
5
＜r
1
＋r
2
＝3，故两圆相交，所以有两条< br>公切线，应选C．
9．C解：①②③错，④对．选C．
10．D解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．解析：圆心到 直线的距离d＝
3＋4＋8
5
2222
222222
＝3，∴动点Q 到直线距离的最小值为d－r＝3－1＝2．
12．(x－1)
2
＋(y－1)2
＝1．解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为

1．
故所求圆的方程为：(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1．
13．(x＋2)
2
＋(y－3)
2
＝4．解析：因为圆心为(－2，3)， 且圆与y轴相切，所以圆的半径为2．故所求圆
的方程为(x＋2)＋(y－3)＝4．
14 ．0或±2
5
．解析：当两圆相外切时，由|O
1
O
2
|＝ r
1
＋r
2
知
4
2
＋a
2
＝6， 即a＝±2
5
．
当两圆相内切时，由|O
1
O
2
|＝r
1
－r
2
(r
1
＞r
2
)知
4
2
＋a
2
＝4，即a＝0．∴a的值为0或±2
5
．
15．(x－3)
2
＋(y＋5)
2
＝32．解析：圆 的半径即为圆心到直线x－7y＋2＝0的距离；
16．x＋y－4＝0．解析：圆x
2＋y
2
－4x－5＝0的圆心为C(2，0)，P(3，1)为弦AB的中点，所以直线A B
与直线CP垂直，即k
AB
·k
CP
＝－1，解得k
AB
＝－1，又直线AB过P(3，1)，则直线方程为x＋y－4＝0．
三、解答题
22
17．x＋y＝36．解析：设直线与圆交于A，B两点，则∠AOB＝120°，设 < br>所求圆方程为：x
2
＋y
2
＝r
2
，则圆心到直线距 离为
以r＝6，所求圆方程为x＋y＝36．


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22
22
y
4
2
-2< br>-4
r
2
?
15
5
，所
A
-5
O
r
B
5
x
第17 题

18．x＋y－ax－by＝0． 解析：∵圆过原点，∴设圆方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＝0．∵圆过 (a，0)和(0，b)，
∴a
2
＋Da＝0，b
2
＋bE＝0．
又∵a≠0，b≠0，∴D＝－a，E＝－b．故所求圆方程为x
2
＋y
2< br>－ax－by＝0．
19．x
2
＋y
2
－2x－12＝0．
解析：设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0．
∵A，B两点在圆上，代入方程整理得：
D－3E－F＝10 ①
4D＋2E＋F＝－20 ②
设纵截距为b
1
，b
2
， 横截距为a
1
，a
2
．在圆的方程中，
令x＝0得y
2< br>＋Ey＋F＝0，∴b
1
＋b
2
＝－E；
2
令y＝0得x＋Dx＋F＝0，∴a
1
＋a
2
＝－D．
由已知有－D－E＝2．③①②③联立方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．
所以圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r．
根据题意：r＝
10? 6
2
222
22
22
＝2，圆心的横坐标a＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(x－8)
2
＋(y－b)
2
＝4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)＋(3－b)＝4，
解得b＝5或b＝1，
所求圆的方程为(x－8)＋(y－5)＝4或(x－8)＋(y－1)＝4．

2222
22
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