高中数学必修二_两条直线的位置关系

. .
高中数学必修二
第二节:两条直线的位置关系


1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线< br>l
1
，
l
2
，若其斜率分别为
k
1
，
k
2
，则有
l
1
∥
l
2
?k
1
＝
k
2
.
②当直线
l
1
，
l
2
不重合且斜率都不存在时，
l
1
∥
l2
.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线
l
1
，
l
2
的斜率存在，设为
k
1
，
k
2
，则有
l
1
⊥
l
2
?
k
1
·< br>k
2
＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，
l
1
⊥
l
2
.
2．两条直线的交点的求法 直线
l
1
：
A
1
x
＋
B
1< br>y
＋
C
1
＝0，
l
2
：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝0，则< br>l
1
与
l
2
的交点坐标就是方程组
?
A1
x
＋
B
1
y
＋
C
1
＝0，
?
?
?
?
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C
2
＝0

的解．
3．三种距离公式
. . .

. .
|
P
1
P
2
|＝
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)两点之间的距离

x
2
－< br>x
1
d
＝
2
＋
y
2
－
y< br>1
2

点
P
0
(
x
0
，< br>y
0
)到直线
l
：
Ax
＋
By
＋< br>C
＝0的距离

|
Ax
0
＋
By
0
＋
C
|
A
＋
B
22

平行线Ax
＋
By
＋
C
1
＝0与
Ax
＋By
＋
C
2
＝0间距
离


d
＝
|
C
1
－
C
2
|

A
2
＋
B
2


1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线
l
1
和
l
2
斜率都存在时，一定有
k
1
＝
k
2
?
l
1
∥
l
2
.( )
(2)如果两条直线
l
1
与
l
2
垂直，则它们的斜率之积一 定等于－1.( )
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( ) |
kx
0
＋
b
|
(4)点
P
(
x
0
，
y
0
)到直线
y
＝
kx
＋
b
的距离为.( )
2
1＋
k
(5)两平行直线2< br>x
－
y
＋1＝0,4
x
－2
y
＋1＝0间的 距离是0.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．若直 线
ax
＋2
y
－1＝0与直线2
x
－3
y
－1＝0垂直，则
a
的值为( )
. . .

. .
A．－3
4
B．－
3
D．3 C．2
a
2
解析：选D 直线
ax
＋2
y
－1＝0的斜率
k
1
＝－，直线2
x
－3
y
－1＝0的斜率
k
2
＝，因
23
a
2
为两直线垂直，所以－×＝－1，即
a
＝3.
23
3．(教材习题改编)已知点(
a,
2)(
a
>0)到直线
l
：
x
－
y
＋3＝0的距 离为1，则
a
的值为
( )
A.2
C.2－1
B．2－2
D.2＋1
|
a
－2＋3|
解析：选C 由题意知＝1，∴|
a
＋1| ＝2，又
a
>0，∴
a
＝2－1.
2
4．若直线2
x
－
y
＝－10，
y
＝
x
＋1，
y＝
ax
－2交于一点，则
a
的值为________．
??
2
x
－
y
＝－10，
解析：由
?
?
y
＝
x
＋1
?

?
?
x
＝－9，
得
?
?
y
＝－8.
?


即直线2
x
－
y
＝－10与
y
＝
x
＋1 相交于点(－9，－8)．
又因为直线2
x
－
y
＝－10，
y
＝
x
＋1，
y
＝
ax
－2交于一点，
2
所以－8＝－9
a
－2，解得
a
＝.
3
2
答案：
3
5．已知直线3
x
＋4
y
－3＝0与直线6
x
＋
my
＋14＝0平行，则它们之间的距离是_ _______．
6
m
14
解析：∵＝≠，∴
m
＝8，直 线6
x
＋
my
＋14＝0可化为3
x
＋4
y
＋7＝0，两平行线之
34－3
|－3－7|
间的距离
d
＝＝2.
22
3＋4
答案：2
. . .

. .


考点一 两条直线的位置关系


[考什么·怎么考]
两条不同直线的位置关系有平行、相交垂直是其中一种特殊情况两种情况 ，要求
基础送分型考点——自主练透

能根据直线方程判断两条直线的位置关系，利用 两条直线平行、垂直求其中一条直线的方
程或参数的取值围，多以选择题、填空题的形式命题，难度较易 ，属于基础题.
1．已知过点
A
(－2，
m
)和点
B(
m,
4)的直线为
l
1
，直线2
x
＋
y
－1＝0为
l
2
，直线
x
＋
ny
＋1 ＝0为
l
3
.若
l
1
∥
l
2
，< br>l
2
⊥
l
3
，则实数
m
＋
n
的值为( )
A．－10
C．0
B．－2
D．8
4－
m
解析：选A ∵
l
1
∥
l
2
，∴＝－2(
m
≠－2)，解得
m
＝－8(经检验，
l< br>1
与
l
2
不重合)，
m
＋2
∵
l< br>2
⊥
l
3
，∴2×1＋1×
n
＝0，解得
n
＝－2，∴
m
＋
n
＝－10.
2．已知经过点
A
(－2,0)和点
B
(1,3
a
)的直线
l
1与经过点
P
(0，－1)和点
Q
(
a
，－2
a
)
的直线
l
2
互相垂直，则实数
a
的值为____ ____．
3
a
－0
解析：
l
1
的斜率
k
1
＝＝
a
.
1－－2
. . .

. .
－2
a
－－11－2
a
当
a
≠0时，
l< br>2
的斜率
k
2
＝＝.
a
－0
a
1 －2
a
因为
l
1
⊥
l
2
，所以
k
1
k
2
＝－1，即
a
·
a
＝－1，解得< br>a
＝1.
当
a
＝0时，
P
(0，－1)，
Q
(0,0)，这时直线
l
2
为
y
轴，
A
(－2，0)，
B
(1,0)，直线
l
1
为
x
轴， 显然
l
1
⊥
l
2
.
综上可知，实数
a
的值为1或0.
答案：1或0
3．已知两直线
l
1
：
mx
＋8
y
＋
n
＝0和< br>l
2
：2
x
＋
my
－1＝0，试确定
m，
n
的值，使
(1)
l
1
与
l
2< br>相交于点
P
(
m
，－1)；
(2)
l
1
∥
l
2
；
(3)
l
1
⊥
l
2
，且
l
1
在
y
轴上的截距为－1.
?
?
m
－8＋
n
＝0，
解： (1)由题意得
?
?
?
2
m
－
m
－1＝0 ，
?
?
m
＝1，
解得
?
?
n
＝7 .
?
2




即
m
＝1，n
＝7时，
l
1
与
l
2
相交于点
P< br>(
m
，－1)．
?
?
m
－16＝0，
(2 )∵
l
1
∥
l
2
，∴
?
?
－m
－2
n
≠0，
?
?
?
m
＝4， 解得
?
?
n
≠－2
?
2




?
?
m
＝－4，
或
?
?n
≠2.
?

即
m
＝4，
n
≠－2或
m
＝－4，
n
≠2时，
l
1
∥
l
2
.
(3)当且仅当2
m
＋8
m
＝0，
即
m
＝0时，
l
1
⊥
l
2
.
又－＝－1，∴
n
＝8.
8
. . .
n

. .
即
m
＝0，
n
＝8时，
l
1
⊥
l
2
，且
l
1
在
y
轴上的截距为－1.

[怎样快解·准解]
1．解题要“前思后想”
解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”

2．方法要“因题而定”
(1)已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法
①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；
②两直线垂直?两直线的斜率之积等于－1.
(2)由一般式确定两直线位置关系的方法

2
l
1
：
A
1
x
＋
B
1
y
＋
C
1
＝0(
A
2
1
＋
B
1
≠0)
直线方程

2
l
2：
A
2
x
＋
B
2
y
＋
C2
＝0(
A
2
2
＋
B
2
≠0)
l
1
与
l
2
垂直的充要
条件

A
1
A
2
＋
B
1
B
2
＝0
. . .

. .
l
1
与
l
2
平行的充分
条件

A
1
B
1
C
1
＝≠(
A
2
B
2
C
2
≠0)
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
≠(
A
2
B
2
≠0)
A
2
B
2
A
1
B
1
C< br>1
＝＝(
A
2
B
2
C
2
≠0) < br>A
2
B
2
C
2
A
1
B
1< br>C
1
A
2
B
2
C
2
l
1< br>与
l
2
相交的充分
条件

l
1
与
l
2
重合的充分
条件

[注意] 在判断两直线位置关系时，比例式与，的关系容易记住，在解答选
择、填空题时，建议多用比 例式来解答．
考点二 距离问题


距离问题包括两点间的距离、点 到直线的距离以及两条平行线间的距离，多以选择题
或填空题的形式考查，难度偏小，属于基础题.
[典题领悟]

1．若
P
，
Q
分别为直线3x
＋4
y
－12＝0与6
x
＋8
y
＋5＝0上 任意一点，则|
PQ
|的最小值
为( )
9
A.
5
29

10
18
B.
5
29
D.
5
重点保分型考点——师生共研

C.
34－12
解析：选C 因为＝≠，所以两直线平行，
685
将直线3
x
＋4
y
－12＝0化为6
x
＋8
y－24＝0，
由题意可知|
PQ
|的最小值为这两条平行直线间的距离， |－24－5|
6＋8
22
即＝
2929
，所以|
PQ
|的最小值为.
1010
. . .

. .
2．已知
A
(4，－3)，
B
(2，－1)和直线
l
：4
x
＋3
y
－2＝0，若在坐标平面存在一点
P
，使|
PA
|＝|
PB
|，且点
P
到直线
l的距离为2，则
P
点坐标为________．
解析：设点
P
的坐标为(
a
，
b
)．
∵
A
(4，－3)，
B
(2，－1)，
∴线段
AB
的中点
M
的坐标为(3，－2)．
－3＋1
＝－1，
4－2
而
AB
的斜率
k
AB
＝
∴线段
AB
的垂直平分线方程为
y
＋2＝
x
－3，
即
x
－
y
－5＝0.
∵点
P
(
a
，
b
)在直线
x
－
y
－5＝ 0上，
∴
a
－
b
－5＝0.①
又点
P
(
a
，
b
)到直线
l
：4
x
＋3
y
－2＝0的距离为2，
|4
a
＋3
b
－2|
4 ＋3
22
∴＝2，即4
a
＋3
b
－2＝±10，②
?
?
a
＝1，
由①②联立解得
?
?
b
＝ －4
?

27
a
＝，
?
?
7
或< br>?
8
b
＝－
?
?
7
.


8
??
27
∴所求点
P
的坐标为(1，－4)或
?
，－
?
.
7
??
7
8
??
27
答案：(1，－4)或
?
，－
?

7
??
7

[解题师说]
距离问题的常见题型及解题策略
(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角
形的形 状等．
. . .

. .
(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线
的距离 求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先 将直线方程中
x
，
y
的对应项系数转化成相等的形式，
再利用距离公 式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．

[冲关演练]

1．若点
P
是曲线
y
＝
x
－ln
x上任意一点，则点
P
到直线
y
＝
x
－2的最小距离为( )
2

2
2
A. B．1
C.2
2
D．2
解析：选C 因为点
P
是曲线
y
＝
x
－ln
x
上任意 一点，所以当点
P
处的切线和直线
y
＝
x
－2平行时，点< br>P
到直线
y
＝
x
－2的距离最小．因为直线
y
＝
x
－2的斜率等于1，曲线
y
11
2
＝
x－ln
x
的导数
y
′＝2
x
－，令
y
′＝1，可得
x
＝1或
x
＝－(舍去)，所以在曲线
y
＝
x
2
x
2
－ln
x
上与直线
y
＝
x
－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，所以点
P
到直线
y
＝
x
－2
的最小距离为2，故选C.
2．若动点
A，
B
分别在直线
l
1
：
x
＋
y
－7＝0和
l
2
：
x
＋
y
－5＝0上移动，则< br>AB
的中点
M
到原点的距离的最小值为( )
A．32
C．33
B．22
D．42
解析：选A 依题意知
A B
的中点
M
的集合为与直线
l
1
：
x
＋< br>y
－7＝0和
l
2
：
x
＋
y
－5＝ 0
距离都相等的直线，则
M
到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点
M
所在直线
的方程为
l
：
x
＋
y
＋m
＝0，根据平行线间的距离公式得
|
m
＋7|
2
＝< br>|
m
＋5|
2
?|
m
＋7|＝|
m
＋5|
|－6|
?
m
＝－6，即
l
：
x
＋
y
－6＝0.根据点到直线的距离公式，得
M
到原点的距离的最小值为
2
＝32.
. . .

. .
考点三 对称问题

题点多变型考点——追根溯源

对称问题 主要包括中心对称和轴对称两类问题，中心对称就是点(线)关于点的对称，
轴对称就是点(线)关于线 的对称，此类问题多以选择题或填空题的形式考查，难度适中．
常见的命题角度有：
(1)点关于点的对称；
(3)线关于点的对称；

[题点全练]
角度(一) 点关于点的对称
1．过点
P
(0,1 )作直线
l
使它被直线
l
1
：2
x
＋
y< br>－8＝0和
l
2
：
x
－3
y
＋10＝0截得 的线段
被点
P
平分，则直线
l
的方程为_____________ ___．
解析：设
l
1
与
l
的交点为
A
(
a,
8－2
a
)，
则由题意知，点
A
关于点< br>P
的对称点
B
(－
a,
2
a
－6)在
l
2
上，把
B
点坐标代入
l
2
的方程
得 －
a
－3(2
a
－6)＋10＝0，
解得
a
＝4，即点
A
(4,0)在直线
l
上， < br>所以由两点式得直线
l
的方程为
x
＋4
y
－4＝0.
答案：
x
＋4
y
－4＝0
[题型技法] 若点
M
(
x
1
，
y
1
)及
N
(
x
，
y
)关于
P
(
a
，
b
)对称 ，则由中点坐标公式得
?
x
＝2
a
－
x
1
，
?
?
?
?
y
＝2
b
－
y
1
，
(2)点关于线的对称；
(4)线关于线的对称．

进而求解．

角度(二) 点关于线的对称
2.在等腰直角三角形
ABC
中，|
AB
|＝|
AC
|＝4，点
P
是边
AB
上异于
A
，
B
的一点．光线从点
P
出 发，经
BC
，
CA
反射后又回到点
P
(如图)．若光线QR
经过△
ABC
的重心，则
AP
的长度为( )
. . .

. .
A．2
8
C.
3
B．1
4
D.
3
解析：选D 以
AB
所在直线为
x
轴，
AC
所在直线为
y
轴建立
如图所示的坐标系，由题意可 知
B
(4,0)，
C
(0,4)，
A
(0，0)，则
直线
BC
的方程为
x
＋
y
－4＝0，设
P
(
t,
0)(0<
t
<4)，由对称知识可
得点
P
关于
BC
所在直线的对称点
P
1
的坐标为(4,4－
t< br>)，点
P
关于
y
轴的对称点
P
2
的坐标为( －
t,
0)，根据反射定律可知
P
1
P
2
所在直< br>4－
t
线就是光线
RQ
所在直线．由
P
1
，
P
2
两点坐标可得
P
1
P
2
所在直线的方 程为
y
＝·(
x
＋
t
)，
4＋
t
44－
t
?
4
??
44
??
44
?
设△
ABC
的重心为
G
，易知
G
?
，
?
.因为重心
G
?
，
?
在光线
RQ
上，所以 有＝
?
＋
t
?
，
34＋
t
?
3< br>??
33
??
33
?
444
2
即3
t
－4
t
＝0.所以
t
＝0或
t
＝，因为0<t
<4，所以
t
＝，即|
AP
|＝，故选D.
333
[题型技法] 若两点
P
1
(
x
1
，
y
1
)与
P
2
(
x
2
，
y
2
)关于直线
l
：
Ax
＋
By
＋C
＝0对称，由方程
?
x
＋
x
?
＋
B
?
y
＋
y
?
＋
C
＝0，
A
?
?
??
?
?
2
?
??
2
?< br>组
?
y
－
y
?
A
?
－
?< br>＝－1，
?
?
x
－
x
·
?
?
B
?
1212
21
21

可得到点
P
1
关于
l
对称的点
P
2
的坐标(
x
2
，
y
2
)(其
中
B
≠0，
x
1
≠
x
2
)．

角度(三) 线关于点的对称
3．已知直 线
l
：2
x
－3
y
＋1＝0，点
A
(－1 ，－2)，则直线
l
关于点
A
对称的直线
m
的
方程 为________________．
解析：在直线
l
上取两点
B
(1,1)，
C
(10,7)，
B
，
C
两点关于点
A
的对称点为
B
′(－3，
y
＋11
x
＋12< br>－5)，
C
′(－12，－11)，所以直线
m
的方程为＝，即2x
－3
y
－9＝0.
－5＋11－3＋12
答案：2
x
－3
y
－9＝0
[题型技法] 线关于点的对称的求解方法
(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求 出它们关于已知点对称的两点坐标，再
由两点式求出直线方程；
. . .

. .
(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程．

角度(四) 线关于线的对称
4．直线2
x
－
y
＋3＝0 关于直线
x
－
y
＋2＝0对称的直线方程是________．
?
?
2
x
－
y
＋3＝0，
解析：法一：联立
?
?
?
x
－
y
＋2＝0，

?
?
x
＝－1，
得
?
?
?
y
＝1.


在直线2
x
－
y
＋3＝0上取一点(0,3)，
设其关于直线
x
－
y
＋2＝0的对称点为(
a
，
b
)，
ab
＋3
?
?
2
－
2
＋ 2＝0，
则
?
b
－3
?
?
a
－0
＝－1，

解得
?
?
a
＝1，
?
?
?
b
＝2.


故所求直线方程经过点(－1,1)，(1,2)，
y
－1
x
＋1
所以该直线方程为＝，即
x
－2
y
＋3＝0.
2－11＋ 1
法二：设所求直线上任意一点
P
(
x
，
y
)，
则
P
关于
x
－
y
＋2＝0的对称点为
P< br>′(
x
0
，
y
0
)，
x
＋
x
0
y
＋
y
0
?
?
－＋2＝0，
22
由
?
?
?
x
－
x
0
＝－< br>y
－
y
0
，

?
?
x
0< br>＝
y
－2，
得
?
?
y
0
＝
x
＋2，
?


由点
P
′(
x
0
，
y
0
)在直线2
x
－
y
＋3＝0上，
∴2(
y
－2)－(
x
＋2)＋3＝0，
即
x
－2
y
＋3＝0.
答案：
x
－2
y
＋3＝0
[题型技法] 线关于线的对称的求解方法
(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜
. . .

. .
式求解．
(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的 对称
点，最后由两点式求解．

[题“根”探求]

1．“线关 于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求
出其对称点的坐标即可，可统 称为“中心对称”．
2．“线关于线的对称”其实质就是“点关于线的对称”，只要在直线上取两个点 ，求
出其对称点的坐标即可，可统称为“轴对称”．
3．解决对称问题的2个关键点
(1)已知点与对称点的连线与对称轴垂直；
(2)以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．
[冲关演练]
1．(2 018·五校联考)已知直线
y
＝2
x
是△
ABC
中∠C
的平分线所在的直线，若点
A
，
B
的坐标分别是(－4,2) ，(3,1)，则点
C
的坐标为( )
A．(－2,4)
C．(2,4)
B．(－2，－4)
D．(2，－4)
解析：选C 设
A
(－4,2)关于直线
y
＝2
x
的对称点为(
x
，
y
)，则
y
－2
?
?< br>x
＋4
×2＝－1，
?
y
＋2－4＋
x
?< br>?
2
＝2×
2
，

解得
?
?
x
＝4，
?
?
?
y
＝－2，

－2－1
∴
BC
所在直线方程为
y
－1＝(
x
－3)，4－3
?
?
3
x
＋
y
－10＝0，
即 3
x
＋
y
－10＝0.联立
?
?
?
y＝2
x
，

?
?
x
＝2，
解得
?
?
?
y
＝4，

则
C
(2,4)．
2．已知入射光线经过点
M
(－3,4)，被直线
l
：
x< br>－
y
＋3＝0反射，反射光线经过点
N
(2,6)，
则反射光 线所在直线的方程为________．
. . .

. .
解析：设点
M
(－3,4)关于直线
l
：
x
－y
＋3＝0的对称点为
M
′(
a
，
b
)，则反 射光线所
在直线过点
M
′，
b
－4
?
?
a
－－3
·1＝－1，
所以
?
－3＋
ab
＋4?
?
2
－
2
＋3＝0，
又反射光线经过点
N< br>(2,6)，

解得
a
＝1，
b
＝0.即
M
′(1,0)．
y
－0
x
－1
所以所求直线的方程为＝，
6－02－1
即6
x
－
y
－6＝0.
答案：6
x
－
y
－6＝0
3．设
A
，< br>B
是
x
轴上的两点，点
P
的横坐标为3，且|
PA< br>|＝|
PB
|，若直线
PA
的方程为
x
－
y
＋1＝0，则直线
PB
的方程是________．
解析：由|
P A
|＝|
PB
|知点
P
在
AB
的垂直平分线上．由 点
P
的横坐标为3，且
PA
的方程
为
x
－
y
＋1＝0，得
P
(3，4)．直线
PA
，
PB
关 于直线
x
＝3对称，直线
PA
上的点(0,1)关于
y
－4
x
－3
直线
x
＝3的对称点(6,1)在直线
PB
上，所以直线
PB
的方程为＝，即
x
＋
y
－7＝0.
1－46－3
答案：
x
＋
y
－7＝0

(一)普通高中适用作业
. . .

. .
A级——基础小题练熟练快
1．过点(1,0)且与直线
x
－2
y
－2＝0垂直的直线方程是( )
A．
x
－2
y
－1＝0
C．2
x
＋
y
－2＝0
B．
x
－2
y
＋1＝0
D．
x
＋2
y
－1＝0
1
解析：选C 因为直线
x
－2
y
－2＝0的斜率为，
2
所以所求直线的斜率
k
＝－2.
所以所求直线的方程为
y
－0＝－2(
x
－1)，
即2
x
＋
y
－2＝0.
2．(2018·顺义区检测)若 直线
y
＝－2
x
＋3
k
＋14与直线
x
－ 4
y
＝－3
k
－2的交点位于
第四象限，则实数
k
的取值围是( )
A．(－6，－2)
C．(－∞，－6)
B．(－5，－3)
D．(－2，＋∞)
?
?
y
＝－2x
＋3
k
＋14，
解析：选A 解方程组
?
?
x
－4
y
＝－3
k
－2，
?

?
?
x
＝
k
＋6，
得
?
?
y
＝k
＋2，
?


因为直线
y
＝－2
x
＋3
k
＋14与直线
x
－4
y
＝－3
k< br>－2的交点位于第四象限，所以
k
＋6
＞0且
k
＋2＜0，所 以－6＜
k
＜－2.
3π
3．已知直线
l
的倾斜角为，直 线
l
1
经过点
A
(3,2)和
B
(
a，－1)，且直线
l
与
l
1
平
4
行，则实数< br>a
的值为( )
A．0
C．6
B．1
D．0或6
3π
解析：选C 由直线
l
的倾斜角为得
l
的斜率为－1，
4
因为直线l
与
l
1
平行，所以
l
1
的斜率为－1. < br>又直线
l
1
经过点
A
(3,2)和
B
(a
，－1)，
. . .

. .
33
所以
l
1
的斜率为，故＝－1，解得
a
＝6.
3－
a
3－
a
4．若点
P
在直线3
x＋
y
－5＝0上，且
P
到直线
x
－
y
－1＝0的距离为2，则点
P
的坐
标为( )
A．(1,2)
C．(1,2)或(2，－1)
B．(2,1)
D．(2,1)或(－1,2)
|
x
－5＋3
x
－1|
1＋
2
解析：选C 设
P
(
x,
5－3
x
)，则
d
＝
－1
2
＝2，化简得|4
x
－6|＝2，即4
x
－6＝±2 ，解得
x
＝1或
x
＝2，故
P
(1，2)或(2，－1)．
5．(2018·一中检测)若直线
l
1
：
y
＝
k
(
x
－4)与直线
l
2
关于点(2,1)对称，则直线l
2
过
定点( )
A．(0,4)
C．(－2,4)
B．(0,2)
D．(4，－2)
解析：选B 由题知直线
l< br>1
过定点(4,0)，则由条件可知，直线
l
2
所过定点关于(2,1 )
对称的点为(4,0)，故可知直线
l
2
所过定点为(0,2)，故选B.
6．已知点
P
(－2,0)和直线
l
：(1＋3
λ
)
x
＋(1＋2
λ
)
y
－(2＋5
λ
)＝ 0(
λ
∈R)，则点
P
到直线
l
的距离
d
的最大值为( )
A．23
C.14
B.10
D．215
解析：选B 由(1＋3
λ
)
x
＋(1＋2
λ
)< br>y
－(2＋5
λ
)＝0，得(
x
＋
y
－2)＋
λ
(3
x
＋2
y
－5)＝0，此方程是过直线< br>x
＋
y
－2＝0和3
x
＋2
y
－5＝0?
?
x
＋
y
－2＝0，
交点的直线系方程．解方程组< br>?
?
?
3
x
＋2
y
－5＝0，
< br>可知两直线的交点为
Q
(1,1)，故直线
l
恒过定点
Q(1,1)，如图所示，可知
d
＝|
PH
|≤|
PQ
| ＝10，即
d
的最大值
为10.
7．直线
x
－2
y
＋1＝0关于直线
x
＝1对称的直线方程是____________．
解析：由题意得直线
x
－2
y
＋1＝0与直线
x
＝1的交点 坐标为(1,1)．又直线
x
－2
y
＋1
. . .

. .
y
－0
＝0上的点(－1,0)关于直线
x
＝1的对称点为(3,0 )，所以由直线方程的两点式，得＝
1－0
x
－3
1－3
，即
x
＋2
y
－3＝0.
答案：
x
＋2
y
－3＝0
8．与直线
l
1
：3
x
＋2
y
－6＝0和直线
l
2
：6
x
＋4
y
－3＝0等距离的直线方程是________．
3解析：
l
2
：6
x
＋4
y
－3＝0化为3x
＋2
y
－＝0，所以
l
1
与
l
2< br>平行，设与
l
1
，
l
2
等距离的
2
15
?
3
?
直线
l
的方程为3
x
＋2y
＋
c
＝0，则|
c
＋6|＝
?
c
＋
?
，解得
c
＝－，所以
l
的方程为12
x
4
?
2
?
＋8
y
－15＝0.
答案：12
x
＋8
y
－15＝0
9．已知点
A< br>(－3，－4)，
B
(6,3)到直线
l
：
ax
＋< br>y
＋1＝0的距离相等，则实数
a
的值为
________．
|－3
a
－4＋1||6
a
＋3＋1|17
解析：由题意及点到直 线的距离公式得＝，解得
a
＝－或－.
39
a
2
＋1a
2
＋1
17
答案：－或－
39
10．(2018· 湘中名校联考)已知
l
1
，
l
2
是分别经过
A(1,1)，
B
(0，－1)两点的两条平行
直线，当
l
1，
l
2
间的距离最大时，则直线
l
1
的方程是____ ____________．
解析：当直线
AB
与
l
1
，
l
2
垂直时，
l
1
，
l
2
间的距 离最大．因为
A
(1,1)，
B
(0，－1)，所
以
kAB
＝
－1－111
＝2，所以两平行直线的斜率为
k
＝－，所 以直线
l
1
的方程是
y
－1＝－(
x
0－122< br>－1)，即
x
＋2
y
－3＝0.
答案：
x
＋2
y
－3＝0

B级——中档题目练通抓牢

1．已知
A
(1,2)，
B
(3,1)两点到直线
l
的距离分别是2，5－2，则满足条件的直线
. . .

. .
l
共有( )
A．1条
C．3条
B．2条
D．4条
解析：选C 当
A
，
B
两点位于直线
l
的同一侧时，一定存在这样的直线
l
，且有两条．又
|
AB
|＝3－ 1
2
＋1－2
2
＝5，而点
A
到直线
l
与 点
B
到直线
l
的距离之和为2＋5
－2＝5，所以当
A，
B
两点位于直线
l
的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.
2．若动点
P
1
(
x1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2< br>，
y
2
)分别在直线
l
1
：
x
－< br>y
－5＝0，
l
2
：
x
－
y
－15 ＝0上移动，
则
P
1
P
2
的中点
P
到原点 的距离的最小值是( )
52

2
152

2
A. B．52
C. D．152
解析：选B 由题意得
P
1
P
2
的中点
P
的轨迹方程是
x
－y
－10＝0，则原点到直线
x
－
y
|－10|
－10 ＝0的距离为
d
＝＝52，即
P
到原点距离的最小值为52.
2< br>3．已知
A
，
B
两点分别在两条互相垂直的直线2
x
－
y
＝0和
x
＋
ay
＝0上，且
AB
线段 的
中点为
P
?
0，
A．11
C．9
?
?
10
?
a
?
?
，则线段
AB
的长为( )
B．10
D．8
x
－2
y
?
?
2
＝0，
解析：选B 依题 意，
a
＝2，
P
(0,5)，设
A
(
x,
2
x
)，
B
(－2
y
，
y
)，故
?
2
x
＋
y
?
?
2
＝5，
解得< br>?
?
x
＝4，
?
?
?
y
＝2，

所以
A
(4,8)，
B
(－4,2)，故|
AB
|＝4＋4
2
＋8－2
2
＝10.
4．(2018 ·东部十校联考)经过两条直线2
x
＋3
y
＋1＝0和
x
－ 3
y
＋4＝0的交点，并且
垂直于直线3
x
＋4
y
－7＝0的直线方程为________________．
. . .

. .
?
?
2
x
＋3
y
＋1＝0，
5
x
＝－，
?
?
3
解析：法一：由方程组
?
?
?
x
－3
y
＋4＝0，

解得
?
?
?
y
＝
7
9
，


即交点为
?
?
?
－
57
3
，< br>9
?
?
?
，
∵所求直线与直线3
x
＋4
y
－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率为
k
＝
4
3
.
由点斜式得所求 直线方程为
y
－
74
?
5
?
9
＝
3
?
?
x
＋
3
?
?
，
即4
x
－3
y
＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线 方程为4
x
－3
y
＋
m
＝0，
由方程组
?
?
?
2
x
＋3
y
＋1＝0，
?
?
x
－3
y
＋4＝0，


可解得交点为
?
?
57
?
－
3
，
9
?
?
?
，
代入4
x
－3
y
＋
m
＝0，得< br>m
＝9，
故所求直线方程为4
x
－3
y
＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为
(2
x
＋3
y
＋1) ＋
λ
(
x
－3
y
＋4)＝0，
即(2＋
λ
)
x
＋(3－3
λ
)
y
＋1＋4
λ＝0， ①
又因为所求直线与直线3
x
＋4
y
－7＝0垂直，
所以3(2＋
λ
)＋4(3－3
λ
)＝0，
所以
λ
＝2，代入①式得所求直线方程为4
x
－3
y
＋9＝0.
答案：4
x
－3
y
＋9＝0
. . .

. .
5．(2018·豫北重点中学联考)已知直线
l
在两坐标轴上的截距相等，且点A
(1,3)到直
线
l
的距离为2，则直线
l
的方程为 ________________．
解析：当直线过原点时，设直线方程为
y
＝< br>kx
，由点
A
(1,3)到直线
l
的距离为2，得
|
k
－3|
1＋
k
2
＝2，解得
k
＝－7或
k
＝1，此时直线
l
的方程为
y
＝－7
x
或
y
＝
x
；
当直线不过原点时，设直线方程为
x
＋
y
＝
a
，由点
A
(1,3)到直线
l
的 距离为2，得
＝2，解得
a
＝2或
a
＝6，此时直线
l的方程为
x
＋
y
－2＝0或
x
＋
y
－ 6＝0.
综上所述，直线
l
的方程为
y
＝－7
x
或
y
＝
x
或
x
＋
y
－2＝0或
x
＋
y
－6＝0.
答案：
y
＝－7
x
或< br>y
＝
x
或
x
＋
y
－2＝0或
x＋
y
－6＝0
|4－
a
|
2
6．已知两条直 线
l
1
：
ax
－
by
＋4＝0和
l
2
：(
a
－1)
x
＋
y
＋
b
＝ 0，求满足下列条件的
a
，
b
的值．
(1)
l
1
⊥
l
2
，且
l
1
过点(－3，－1)；
(2)
l
1
∥
l
2
，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)由已知可得
l
2
的斜率存在，
∴
k
2
＝1－
a
.若
k
2
＝0，则1－
a
＝0，
a
＝1.
∵
l
1
⊥
l
2
，直线
l
1
的斜率
k
1
必不存在，∴
b
＝0.
4
又∵
l
1
过点(－3，－1)，∴－3
a
＋4＝ 0，即
a
＝(矛盾)，
3
∴此种情况不存在，∴
k
2≠0，即
k
1
，
k
2
都存在．
∵
k
2
＝1－
a
，
k
1
＝，
l
1⊥
l
2
，∴
k
1
k
2
＝－1，
a
b
即(1－
a
)＝－1.①
a
b
又∵
l
1
过点(－3，－1)，
∴－3
a
＋
b
＋4＝0.②
由①②联立，解得
a
＝2，
b
＝2.
. . .

. .
(2)∵
l
2
的斜率存在，
l
1
∥
l2
，
∴直线
l
1
的斜率存在，
k
1
＝
k
2
，即＝1－
a
.③
a
b
又∵坐标 原点到这两条直线的距离相等，且
l
1
∥
l
2
，
4
∴
l
1
，
l
2
在
y
轴上的截距 互为相反数，即＝
b
.④
b
?
?
a
＝2，
联立③④，解得
?
?
b
＝－2
?

2
?
?
a
＝，
3
或
?
?
?
b
＝2.


2
∴
a
＝2，
b
＝－2或a
＝，
b
＝2.
3
7．已知△
ABC
的顶点
A
(5,1)，
AB
边上的中线
CM
所在直线方程为2x
－
y
－5＝0，
AC
边
上的高
BH
所在直线方程为
x
－2
y
－5＝0，求直线
BC
的方程．
解：依题意知：
k
AC
＝－2，
A
(5,1)，
∴
l
AC
的方程为2
x
＋
y
－11＝0，
?
2
x
＋
y
－11＝0，
?
联立
?
?
?
2
x
－
y
－5＝0，

得
C
(4,3)．
设
B
(
x
0
，
y
0
)，则
AB
的中点
M
?
?
x
0
＋5
，
y
0
＋1
?
，
?< br>2
??
2
代入2
x
－
y
－5＝0，得2x
0
－
y
0
－1＝0，
?
2
x0
－
y
0
－1＝0，
?
联立
?
??
x
0
－2
y
0
－5＝0，

6
得
B
(－1，－3)，∴
k
BC
＝，
5
6
∴直线
BC
的方程为
y
－3＝(
x
－ 4)，即6
x
－5
y
－9＝0.
5

C级——重难题目自主选做

. . .

. .
1．已知
P
(
x
0
，
y
0
)是直 线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0外一点，则方 程
Ax
＋
By
＋
C
＋(
Ax
0
＋
By
0
＋
C
)
＝0表示( )
A．过点
P
且与
l
垂直的直线
B．过点
P
且与
l
平行的直线
C．不过点
P
且与
l
垂直的直线
D．不过点
P
且与
l
平行的直线
解析：选D 因为
P
(
x
0
，
y
0
)是直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0外一点，
设
Ax< br>0
＋
By
0
＋
C
＝
k
，
k
≠0.
若方程
Ax
＋
By
＋
C
＋(Ax
0
＋
By
0
＋
C
)＝0，
则
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0.
因为直线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝ 0和直线
l
斜率相等，
但在
y
轴上的截距不相等，
故直 线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0和直线
l
平行．
因为
Ax
0
＋
By
0
＋C
＝
k
，而
k
≠0，
所以
Ax
0< br>＋
By
0
＋
C
＋
k
≠0，
所以直 线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0不过点
P
.
2．设两条直线的方程分别为
x
＋
y
＋
a
＝0，
x
＋
y
＋
b
＝0，已知
a
，
b
是方程
x
＋
x
＋
c
＝0
1< br>的两个实根，且0≤
c
≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
8
21
，
22
2

2
2
A. B.2，
1
C.2，
2
2
D.
21
，
44
解析：选A 由题意
a
，
b
是方程
x
＋
x
＋
c
＝0的两个实根，所以
ab
＝
c
，
a
＋
b
＝－1.
|
a
－
b
|< br>?
|
a
－
b
|
?
22
又直线
x
＋
y
＋
a
＝0与
x
＋
y
＋< br>b
＝0的距离
d
＝，所以
d
＝
??
＝
?
2
?
2
a
＋
b
2
2
－4ab
. . .

. .
＝
－1
2
2
－4
c
111111111
＝ －2
c
，而0≤
c
≤，所以－2×≤－2
c
≤－2×0，得 ≤－2
c
≤，
282822422
12
所以≤
d
≤ ，故选A.
22
(二)重点高中适用作业

A级——保分题目巧做快做

1．命题
p
：“
a
＝－2”是命题
q
： “直线
ax
＋3
y
－1＝0与直线6
x
＋4
y－3＝0垂直”
成立的( )
A．充要条件
C．必要不充分条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线
ax
＋3
y
－1＝0与直线6
x
＋4
y
－3＝0垂直的充要条件是6
a
＋12＝0，
即
a< br>＝－2，故选A.
2．若直线
l
1
：
x
＋
ay
＋6＝0与
l
2
：(
a
－2)
x
＋3
y
＋2
a
＝0平行，则
l
1
与
l
2
之间的距离为
( )
42

3
82

3
A. B．42
C. D．22
1
a
6
＝≠，解得
a
＝－1，
a
－232
a
解析：选C ∵
l
1
∥
l< br>2
，∴
2
∴
l
1
与
l
2
的 方程分别为
l
1
：
x
－
y
＋6＝0，
l< br>2
：
x
－
y
＋＝0，
3
∴
l1
与
l
2
的距离
d
＝
?
6－
2
?
?
3
?
??
82
2
＝
3.
3．如果平面直角坐标系的两点
A
(
a
－1，
a< br>＋1)，
B
(
a
，
a
)关于直线
l
对称，那么直线
l
的方程为( )
. . .

. .
A．
x
－
y
＋1＝0
C．
x
－
y
－1＝0
B．
x
＋
y
＋1＝0
D．
x
＋
y
－1＝0
解析：选A 因为直线
AB
的斜率为
a
＋1－
a
＝－1，所以直线
l
的斜率为1，设直 线
l
a
－1－
a
?
2
a
－1
，< br>2
a
＋1
?
，所以
2
a
＋1
＝2
a
－1
＋
b
，解得
b
的方程为
y< br>＝
x
＋
b
，由题意知直线
l
过点
?
2
?
22
?
2
?
＝1，所以直线
l
的方程 为
y
＝
x
＋1，即
x
－
y
＋1＝0. < br>4．已知定点
A
(1,0)，点
B
在直线
x
－
y
＝0上运动，当线段
AB
最短时，点
B
的坐标是( )
?
11
?
A.
?
，
?

?
22
?
C.
?
3
??
3
，
?

2
??
2
B.
?
2
??
2
，
?

2
??
2
5
??
5
，
?

2
??
2
D.
?
解析：选A 因为定点
A(1,0)，点
B
在直线
x
－
y
＝0上运动，所以当线 段
AB
最短时，
直线
AB
和直线
x
－
y< br>＝0垂直，设直线
AB
的方程为
x
＋
y
＋
m
＝0，将
A
点代入，解得
m
＝－1，
11
所以直线
AB
的方程为
x
＋
y
－1＝0，它与
x
－
y
＝0联立解得
x
＝，
y
＝，所以点
B
的 坐标
22
?
11
?
是
?
，
?
.
?
22
?
5．已知点
P
(－2,0)和直线
l：(1＋3
λ
)
x
＋(1＋2
λ
)
y
－(2＋5
λ
)＝0(
λ
∈R)，则点
P
到直线
l
的距离
d
的最大值为( )
A．23
C.14
B.10
D．215
解析：选B 由(1＋3
λ
)
x
＋(1＋2
λ
)
y
－(2＋5
λ
)＝0，得(
x
＋
y
－
2)＋
λ
(3
x
＋2
y< br>－5)＝0，此方程是过直线
x
＋
y
－2＝0和3
x
＋2
y
－5＝0
?
?
x
＋
y
－2＝0，< br>交点的直线系方程．解方程组
?
?
?
3
x
＋2
y
－5＝0，

可知两直线的交点为
Q
(1,1)，故直线
l
恒过定点
Q
(1,1)，如图所示，可知
d
＝|
PH< br>|≤|
PQ
|＝10，即
d
的最大值
为10.
6． 若
m
>0，
n
>0，点(－
m
，
n
)关于 直线
x
＋
y
－1＝0的对称点在直线
x
－
y
＋2＝0上，那
. . .

. .
14
么＋的最小值等于________．
mn
解析：设点(－
m
，
n
)关于直线
x
＋
y
－1＝0的对称点为(a
，
b
)，则
b
－
n
?
?
a
＋
m
＝1，
?
a
－
mb
＋
n?
?
2
＋
2
－1＝0，

?
?
a
＝1－
n
，
解得
?
?
b
＝1＋
m
.
?


则(－
m
，
n
)关 于直线
x
＋
y
－1＝0的对称点为(1－
n
，1＋
m
)，则1－
n
－(1＋
m
)＋2＝0，
1419
?
14
?
1
?
n
4
m
?
1
即
m
＋
n
＝2.于是＋＝(
m
＋
n
)< br>?
＋
?
＝×
?
5＋＋
?
≥×(5＋2×2) ＝，当且仅当
m
＝
mn
22
?
mn
?
2< br>?
mn
?
2
24
，
n
＝时等号成立．
33
9
答案：
2
7．以点
A
(4,1)，
B
(1,5)，
C
(－3,2)，
D
(0，－2)为顶点的四边形
ABCD
的面积为________．
5－142－－2
解析：因为
k
AB
＝＝－，
k
DC
＝
1－43－3－0
－2 －132－53
＝，
k
BC
＝＝.
0－44－3－14
4
＝－.
3
k
AD
＝
则
k
AB
＝
k
DC
，
k
AD
＝
k
BC
，所以四边形
ABCD
为平行四边形．
又
k
AD
·
k
AB
＝－1，即
AD
⊥
AB< br>，
故四边形
ABCD
为矩形．
故
S
＝|
AB
|·|
AD
|＝
1－4
答案：25
8.如图，已知
A
(－2,0)，
B< br>(2,0)，
C
(0,2)，
E
(－1,0)，
F
( 1,0)，
一束光线从
F
点出发射到
BC
上的
D
点 ，经
BC
反射后，再经
AC
反射，
落到线段
AE
上 (不含端点)，则直线
FD
的斜率的取值围为________．

. . .
2
＋5－1
2
×0－4
2
＋－2－1
2＝25.

. .
解析：从特殊位置考虑．如图所示，
∵点
A
(－2,0)关于直线
BC
：
x
＋
y
＝2的对称点为
A
1
(2, 4)，
∴
kA
1
F
＝4.又点
E
(－1,0)关 于直线
AC
：
y
＝
x
＋2的对称点为
E
1
(－
2，1)，点
E
1
(－2,1)关于直线
BC
：
x
＋
y
＝2的对称点为
E
2
(1,4)，此时直线
E
2
F
的斜率不存在，∴
k
FD
>kA
1
F
，即
k
FD
∈(4，＋∞)．
答案：(4，＋∞)
9．正方形的中心为点
C
(－1,0)，一条边所在的 直线方程是
x
＋3
y
－5＝0，求其他三边
所在直线的方程．
解：点
C
到直线
x
＋3
y
－5＝0的距离
|－1－5|
1＋9
310
.
5
d
＝＝
设与
x
＋3
y
－5＝0平行的一边所在直线的方程是
x
＋3
y
＋
m
＝0(
m
≠－5)， 则点
C
到直线
x
＋3
y
＋
m
＝0的距 离
|－1＋
m
|
1＋9
310
，
5
d
＝＝
解得
m
＝－5(舍去)或
m
＝7，
所以与
x
＋3
y
－5＝0平行的边所在直线的方程是
x
＋3
y
＋7＝0.
设与
x
＋3
y
－5＝0垂直的边所在直线的方程是
3
x
－
y
＋
n
＝0，
则点
C< br>到直线3
x
－
y
＋
n
＝0的距离
|－3＋
n
|
9＋1
310
，解得
n
＝－3或
n< br>＝9，
5
d
＝＝
所以与
x
＋3
y
－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3
x
－
y
－3＝0和3
x
－
y
＋9＝0.
. . .

. .
10．已知点
P
(2，－1)．
(1)求过点
P
且与原点的距离为2的直线
l
的方程；
( 2)求过点
P
且与原点的距离最大的直线
l
的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过点
P
且与原点的距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说< br>明理由．
解：(1)过点
P
的直线
l
与原点的距离为2，而 点
P
的坐标为(2，－1)，显然，过
P
(2，
－1)且垂直于x
轴的直线满足条件，此时
l
的斜率不存在，其方程为
x
＝2.
若斜率存在，设
l
的方程为
y
＋1＝
k
(
x
－2)，
即
kx
－
y
－2
k
－1＝0.
|－2
k
－1|3
由已知得＝2，解得
k
＝.
2
4
k
＋1
此时
l
的方程为3
x
－4
y
－10＝0.
综上可得直线
l
的方程为
x
＝2或3< br>x
－4
y
－10＝0.
(2)作图可得过点
P
与原 点
O
的距离最大的直线是过点
P
且与
PO
垂直的直线，如图 ．
由
l
⊥
OP
，得
k
l
·
k< br>OP
＝－1，
1
因为
k
OP
＝－，
2
1
所以
k
l
＝－
k
OP
＝2.

由直线方程的点斜式得
y
＋1＝2(
x
－2)，
即2
x
－
y
－5＝0.
|－5|
所以直线2x
－
y
－5＝0是过点
P
且与原点
O
的距离最 大的直线，最大距离为＝5.
5
(3)由(2)可知，过点
P
不存在到原点 的距离超过5的直线，因此不存在过点
P
且到原
. . .

. .
点的距离为6的直线．

B级——拔高题目稳做准做

1．已知
P
(
x
0
，
y
0
)是直线
l：
Ax
＋
By
＋
C
＝0外一点，则方程
Ax< br>＋
By
＋
C
＋(
Ax
0
＋
By0
＋
C
)
＝0表示( )
A．过点
P
且与
l
垂直的直线
B．过点
P
且与
l
平行的直线
C．不过点
P
且与
l
垂直的直线
D．不过点
P
且与
l
平行的直线
解析：选D 因为
P
(
x
0
，
y
0
)是直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0外一点，
设
Ax< br>0
＋
By
0
＋
C
＝
k
，
k
≠0.
若方程
Ax
＋
By
＋
C
＋(Ax
0
＋
By
0
＋
C
)＝0，
则
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0.
因为直线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝ 0和直线
l
斜率相等，
但在
y
轴上的截距不相等，
故直 线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0和直线
l
平行．
因为
Ax
0
＋
By
0
＋C
＝
k
，而
k
≠0，
所以
Ax
0< br>＋
By
0
＋
C
＋
k
≠0，
所以直 线
Ax
＋
By
＋
C
＋
k
＝0不过点
P
.
2．设
a
，
b
，
c
分别是△ABC
中角
A
，
B
，
C
所对的边，则直线si n
A
·
x
＋
ay
－
c
＝0与
b x
－sin
B
·
y
＋sin
C
＝0的位置关系是( )
A．平行
C．垂直
B．重合
D．相交但不垂直
. . .

. .
sin
A
解析：选C 由题意可得直线sin
A
·
x< br>＋
ay
－
c
＝0的斜率
k
1
＝－，
bx
－sin
B
·
y
a
＋sin
C
＝0的斜率
k
2
＝
b
sin
B
，故
k
1
k
2
＝－
sin
A
a
·
b
sin
B
＝－1，则直线sin A
·
x
＋
ay
－
c
＝0与直线
bx< br>－sin
B
·
y
＋sin
C
＝0垂直，故选C.
3．设两条直线的方程分别为
x
＋
y
＋
a
＝0，< br>x
＋
y
＋
b
＝0，已知
a
，
b是方程
x
＋
x
＋
c
＝0
1
的两个实根 ，且0≤
c
≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
8
21
，
22
2

2
2
A. B.2，
1
C.2，
2
2
D.
21
，
44
解析：选A 由题意
a
，
b
是方程
x
＋
x
＋
c
＝0的两个实根，所以
ab
＝
c
，
a
＋
b
＝－1.
|
a
－
b
|< br>?
|
a
－
b
|
?
22
又直线
x
＋
y
＋
a
＝0与
x
＋
y
＋< br>b
＝0的距离
d
＝，所以
d
＝
??
＝
?
2
?
2
＝
－1
2
2
a
＋b
2
2
－4
ab
－4
c
111111111< br>＝－2
c
，而0≤
c
≤，所以－2×≤－2
c
≤－2 ×0，得≤－2
c
≤，
282822422
12
所以≤
d< br>≤，故选A.
22

4．(2018·豫北重点中学联考)已知直线
l
在两坐标轴上的截距相等，且点
A
(1,3)到直
线
l
的 距离为2，则直线
l
的方程为________________．
解析：当直线过 原点时，设直线方程为
y
＝
kx
，由点
A
(1,3)到直线
l
的距离为2，得
|
k
－3|
1＋
k
2< br>＝2，解得
k
＝－7或
k
＝1，此时直线
l
的方程为
y
＝－7
x
或
y
＝
x
；
当直线 不过原点时，设直线方程为
x
＋
y
＝
a
，由点
A< br>(1,3)到直线
l
的距离为2，得
＝2，解得
a
＝2或a
＝6，此时直线
l
的方程为
x
＋
y
－2＝0 或
x
＋
y
－6＝0.
综上所述，直线
l
的方程为
y
＝－7
x
或
y
＝
x
或
x
＋
y
－2＝0或
x
＋
y
－6＝0.
答案：y
＝－7
x
或
y
＝
x
或
x
＋
y
－2＝0或
x
＋
y
－6＝0
|4－
a
|
2
5．已知两条直线
l
1
：
ax
－by
＋4＝0和
l
2
：(
a
－1)
x
＋
y
＋
b
＝0，求满足下列条件的
a
，
. . .

. .
b
的值．
(1)
l
1
⊥
l
2
， 且
l
1
过点(－3，－1)；
(2)
l
1
∥l
2
，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)由已知可得
l
2
的斜率存在，
∴
k
2
＝1－
a
.若
k
2
＝0，则1－
a
＝0，
a
＝1.
∵
l
1
⊥
l
2
，直线
l
1
的斜率
k
1
必不存在，∴
b
＝0.
又∵
l
过点(－3，－1)，∴－3
a
＋4＝0，即
a＝
4
1
3
(矛盾)，
∴此种情况不存在，∴
k
2
≠0，即
k
1
，
k
2
都存在．
∵< br>k
a
2
＝1－
a
，
k
1
＝
b
，
l
1
⊥
l
2
，∴
k
1
k
2
＝－1，
即
a
b
(1－
a
)＝－1.①
又∵
l
1
过点(－3，－1)，
∴－3
a
＋
b
＋4＝0.②
由①②联立，解得
a
＝2，
b
＝2.
(2)∵
l
2
的斜率存在，
l
1
∥
l
2
，
∴直线
l
a
1
的斜率存在，
k
1
＝
k2
，即
b
＝1－
a
.③
又∵坐标原点到这两条直线的 距离相等，且
l
1
∥
l
2
，
∴
ll4
1
，
2
在
y
轴上的截距互为相反数，即
b< br>＝
b
.④
?
联立③④，解得
?
?
?
a
＝2，
或
?
?
a
＝
3
，
?< br>
?
b
＝－2

2
?
?
b
＝2.

∴
a
＝2，< br>b
＝－2或
a
＝
2
3
，
b
＝2.
. . .

. .
6．一条光线经过点
P
(2,3)射在直线
l
：
x
＋
y
＋1＝0上，反射后经过点
Q
(1,1)，求：
(1)入射光线所在直线的方程；
(2)这条光线从
P
到
Q
所经路线的长度．
解：(1)设 点
Q
′(
x
′，
y
′)为
Q
关于直线l
的对称点，
QQ
′交
l
于
M
点，∵
k
l
＝－1，
∴
k
QQ
′
＝1，
∴QQ
′所在直线的方程为
y
－1＝1×(
x
－1)，即
x
－
y
＝0.
?
由
?
?
?
x< br>＋
y
＋1＝0，
?
x
＝－
1
2
，< br>?
解得
?
x
－
y
＝0，

?
?
?
y
＝－
1
2
，


?
1＋
x
′
＝－
1
∴交点
M
?< br>?
11
?
－
2
，－
2
?
?
?
22
，
?
，∴
?
?
?
1＋
y< br>′
2
＝－
1
2
，


解得
?
?
?
x
′＝－2，
?
?
y
′＝－2，< br>
∴
Q
′(－2，－2)．
设入射光线与
l
交于点
N
，
则
P
，
N
，
Q
′三点共线，
又
P
(2,3)，
Q
′(－2，－2)，
故入射光线所在直线的方程为
y
－－2－－2
3－－2
＝
x
2－－2
，
即5
x
－4
y
＋2＝0.
(2)|
PN
|＋|
NQ
|＝|
PN
|＋|
NQ
′|＝|
PQ< br>′|
＝[2－－2]
2
＋[3－－2]
2
＝41，
即这条光线从
P
到
Q
所经路线的长度为41.
. . .

. .

. . .