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高中数学必修二立体几何知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 10:53
tags:高中数学必修二

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第一章 立体几何初步
'
特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
为斜高,l为母线)
S
直棱柱侧面积
?ch

S
正 棱锥侧面积
?
S
正棱台侧面积
?
1
ch'

2
1
(c
1
?c
2
)h'

2

S
圆柱侧
?2
?
rh
S
圆 柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆 台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R
2

S< br>圆锥侧面积
?
?
rl
S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?


S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

柱体、锥体、台体的体积公式

??
V

?Sh

1
V

?Sh
3

1
V

?(S
'
?S
'
S?S)h

3
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h

1
V
圆锥
?
?
r
2
h

3
11
V
圆台
?(S
'
?S
'
S?S)h ?
?
(r
2
?rR?R
2
)h

33(4)球体的表面积和体积公式:
V

=
4
?
R
3

3
; S
球面
=
4
?
R
2

第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的
2 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
A
B∈L =>
l?
?


α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
A B
·

α
·

C
符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
β
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.
P
α

·

L


1


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点O一般取 在两直线中
的一条上;
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。



2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α













2


2
.
2
.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示: a α
b β => a∥α
a∥b


2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。

符号表示:
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。


2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
< br>1、直线与平面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该 直线
平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:

a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质




3


2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一 条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直
线L叫做平面α的垂线,平面α叫做 直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面 垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。


2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。


2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。


2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。


4

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