人教A版高中数学必修2空间立体几何知识点归纳

第一章 空间几何体知识点归纳

1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体
⑴常见的多面体有：棱 柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。简单组合体的构成形式：
一种是由简单几何体拼接而成，一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成。
⑵棱柱：有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所
围成的多面体叫做棱 柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图
投影
：
中心投影 平行投影

（1）定义：几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”
2、空间几何体的直观图
（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.
3、斜二测画法的基本步骤：
①建立适当直角坐标系
xOy
（尽可能使更多的点在坐标轴上）
00
②建立斜坐标系
?xOy
，使
?xOy
=45（或135），注意它们确定 的平面表示水平平面；
''''''
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图 中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图
形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长 度变为原来的一半；
‘
‘
＝2
一般地，原图的面积是其直观图面积的< br>22
倍，即
S
原图
4、空间几何体的表面积与体积
⑴圆柱侧 面积；
S
侧面
⑶圆台侧面积：
S
侧面
⑷体积公式：
2S
直观

O
1
r
h
O
2
R
l
?2
?
?r?l
⑵圆锥侧面积：
S
侧面?
?
?r?l


?
?
(r?R)l


1
1
V
柱体
?S?h
；
V
锥体
?S?h
；
V
台体
?hS
上
?S
上< br>?S
下
?S
下
3
3
??

⑸球的表面积和体积：
4
S
球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R
3
.一般地，面积比等于相似比的 平方，体积比等于相似比的立方。
3
- 1 -

第二章 点、直线、平面之间的位置关系及其论证
1 、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
公理1的作用：判断直线是否在平面内
2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论1：过直线的直线外一点有且只有一个平面
推论2：过两条相交直线有且只有一个平面
推论3：过两条平行直线有且只有一个平面
公理2及其推论的作用：确定平面；判定多边形是否为平面图形的依据。
3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。
4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。
6、线线位置关系：平行、相交、异面。

（1）没有任何公共点的两条直线平行
（2）有一个公共点的两条直线相交
（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
7、线面位置关系：直线在平面内、平行、相交
8、面面位置关系：平行、相交。
9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点
）
⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
- 2 -

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）
a?
?
?
?

b?
?
?
?a
?


ab
?
?
证明两直线平行的主要方法是：
①三角形中位线定理：三角形中位线平行并等于底边的一半；
②平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；
③线面平行的性质：如果一条直线平行 于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线
和它们的交线平行；
?
?


a?
?
?
?ab

??
?b
?
?
④平行线的传递性：
a
a
?
b,cb?ac

⑤面面平行的性质：如果一个平面与两个平行平面相交，那么它们的交线平行；
?
?

??
?a
?
?ab

??
?b
?
?

??


⑥垂直于同一平面的两直线平行；
a?
?
?
?
?ab

b?
?
?
⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这 条直
线和它们的交线平行；（上面的③）
10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
- 3 -

a?
?
,b?
?
?
?

ab?A
?
?
??

a
?
,b
?
?
?


（2）两平面平行的性质：
性质Ⅰ：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；
?
?

??
?a
?
?ab

?

??
?b
?


性质Ⅱ：平行于同一平面的两平面平行；
??

??
?
?
?
??

??
?



性质Ⅲ：夹在两平行平面间的平行线段相等；
?
A,C?
?
?
?

?
?AC?BD

B,D?
?
?

ABCD
?
?
性质Ⅳ：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；
??



11、线面垂直：

??
?
??
?
?
?a
?
或
?
?a
?

a?
?
?
a?
?
?
- 4 -

< br>⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

l?m
l?n

?
?
?
?
?l?
?
mn?A
?
m,n?
?
?
?

⑶性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。
a?
?
?
?
?ab

b?
?
?

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行
?
?l
?
?
?
??

?
?l
?

12、面面垂直：
⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。







⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
l?
?
?
?
?
?
?
?

l?
?
?
（只需在一个平面内找到另一个平面的垂线就可证明面面垂直）
⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

- 5 -

证明两直线垂直和主要方法：
①利用勾股定理证明两相交直线垂直；
②利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直；
③利用线面垂直的定义证明（特别是证明异面直线垂直）；
④利用三垂线定理证明两直线垂直（“三垂”指的是“线面垂”“线影垂”，“线斜垂”）
P
如图：PO?
?
?OA是PA在平面
?
上的射影
?




α
A
斜
影
O
a
线
又直线a?
?
,且a?OA
即：线影垂直?线斜垂直，反之也成立。
?
?a?PA

?





?
??
?m
?
?
?
?l?
?
1.异面直线所成角：使 异面直线平移后
l?
?
相交
?
?
l?m
?
取一
形成的夹角
，通常在两异面直线中的一条上
如图：直线a与b异面，bb
?
，直线a与直线b
?
的夹角为两异




- 6 -
空间角及空间距离的计算
?
?
?
点，过该点作另一条直线平行线，
面直线 a与b所成的角，异面直线所成角取值范围是（ 0?，90?]