高中数学必修二 3.3.2 两点间的距离

3.3.2 两点间的距离

课时过关
·
能力提升

基础巩固

1.已知一条平行于x轴的线段长是5个单位长度,若它的一个端点是A( 2,1),则它的另一个端点B的坐
标是(

)


A.(-3,1)或(7,1) B.(2,-3)或(2,7)
C.(-3,1)或(5,1) D.(2,-3)或(2,5)
解析:
∵
AB∥x轴,
∴
设B(a,1).又|AB|=5,
∴
a=-3或a=7.
答案:A
2.已知点M(m,-1),N(5,m),且|MN|=2

,则实数m等于(

)
A.1 B.3
C.1或3 D.-1或3
解析:由题意得

-

- -

=2

,解得m=1或m=3.
答案:C
3.已知A(1,-1),B(a,3),C(4,5),且|AB|=|BC|,则a=

.


解析:

-





-

-

,
解得a=


.
答案:



4.在平面直角坐标系中,直线y=2x+1与y=-x的交点与点(1,1)间的距离是

.


解析:


-
的交点坐标为

-






,所求两点间的距离为


-




-



-


.
答案:





5.已知过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=x+m平行,则|AB|=

.


解析:因为k
-
AB
=

-
=b-a=1,
所以|AB|=

-

-



.
答案:


6.已知点A(4,12),在x轴上的点P与点A的距离等于13,则点P的坐标为

.



1

解析:设点P的坐标为(a,0),
则

-



=13,
解得a=9或a=-1,
所以点P的坐标为(9,0)或(-1,0).
答案:(9,0)或(-1,0)
7.已知点A(3,-1),B





,C(3,4),试判断△ABC的形状.
解:由两点间的距离公式,得



|AB|=


-



- -


,



|AC|=

-

- -

=5,



|BC|=


-


-

.


因为|AB |=|BC|,且|AC|
2
=|AB|
2
+|BC|
2
= 25,
所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形.
8.已知正方形ABCD的边长 为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,试建立平面直角坐标系,求证:BF
⊥AE,|BF|=| AE|.
证明建立平面直角坐标系,如图所示,

则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0).
所以k
AE
=

,k
BF
=






-
=-2.
-
所以k
AE
k
BF
=×(-2)=-1,
即BF⊥AE.
又因为|BF|=

-

-

=2

,|AE|=




=2

,
所以|BF|=|AE|.
能力提升
1.已知点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标是(3,4),则线段AB的长为(

)
A.10 B.5 C.8 D.6
解析:设点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),
2

又中点M的坐标为(3,4),则

=3,=4,

所以a=6,b=8,即A(6,0),B(0,8),
故|AB|=

-

-

=10.
答案:A
2.已知直线l的倾斜角为30°,且经过点B(0,1),直线l交x轴于点A,则|AB|的值为(

)
A.1 B.2 C.3


D.4
解析:直线l:y-1=tan 30°·(x-0),即y=

x+1,
令y=0,x=-

,得A(-

,0),
|AB|=

-

-

-

=2,
故选B.
答案:B
★3.已知光线从点A(-3,5 )射到x轴上,经反射后经过点B(2,10),则点A到点B的距离是(

)
A.5

B.2

C.10

D.5


解析:根据光学原理,点A到点B的距离等于点A关于x轴的对称点A '到点B的距离,易求得A'(-3,-5).
所以|A'B|=





=5

.
答案:D < br>4.已知A(5,-2),B(-1,2),C(a,0),且|AB|=2|BC|,则实数a=

.


解析:
∵
|AB|=2

,|BC|=



,
∴
2

=2



,解得a=2或a=-4.
答案:2或-4
5.已知点E(1,-2),F(2,5),P (a,b),且|PE|=|PF|,则实数a,b满足的条件是

.


解析:由题意,得

-





-

-

,
整理得a+7b-12=0.
答案:a+7b-12=0
6.如果点P(x,y)满足

-

-



-

-



-

-

,那么点P的轨迹
为

.


解析:设A(1,2),B(3,4),
则有|PA|+|PB|=|AB|,
所以点P的轨迹是线段AB.
3

答案:线段
7.已知等腰三角形ABC的顶点是A(3,0),底边长|BC |是4,BC边的中点是D(5,4),则此三角形的腰长
是

.


解析:|BD|=


|BC|=2,
|AD|=

-

-

=2

.在Rt△ADB中,由勾股定理得腰长|AB|=







=2

.
答案:2


★8.已知点A(4,-3),B(2,-1),直线l:4 x+y-2=0,求一点P使|PA|=|PB|,且点P在直线l上.
解:因为点P在直线l:4x+y-2=0上,
设点P的坐标为(a,2-4a).
又A(4,-3),B(2,-1),且|PA|=|PB|,
所以|PA|
2
=|PB|
2
,
所以(a-4)
2
+(5-4a)
2
=(a-2)
2
+(3-4a)
2,
所以a=


,则2-4a=-

.
所以P



-


能使|PA|=|PB|,且点P在直线l上.


4