高中数学必修二培优精品讲义

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第01讲--- 三视图和直观图

P实战演练 S归纳总结
① 认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体结构；
教学目标
② 能画出简单的空间图形的三视图，能识别三视图说表示的立体模型；
③ 能通过三视图求出空间几何体的体积和表面积。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建


（一）几何体的结构特征及分类
名称 定义
一个多边形的点沿相同
图形 特征
1）侧棱平行且相等；
2）底面平行且全等；
3）不相邻侧棱截面是

一个面是多边形，其余
平行四边形。
棱锥被平行于底面的平
面所截，截面与底面相
似，面积比等于高平方

平行于底面的平面截去
棱锥的多面体。
之比。
1）两个面相互平行的
多边形；
2）其余各面是梯形，且

相邻梯形的腰线共点。
1）三棱台、四棱台等；
2）正棱台和非正棱
台。
分类
1）直棱柱和斜棱柱；
2）正棱柱和非正棱
柱；
3）三棱柱、四棱柱等。
1）三棱锥、四棱锥等；
2）正棱锥和非正棱
锥；
棱
柱
方向移动相等距离形成
的多面体。
棱
锥
棱
台



各面有一个公共点的三
角形的多面体。


1

以矩形的一边所在的直
线为 旋转轴，其余三边
1）两个底面是平行且
全等的圆；
2）轴截面是全等的矩
形。

无
圆
柱
旋转形成的几何体。
圆
锥
其 其余各边旋转而成的曲
圆
台
面 面几何体。


（二）简单组合体
组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何 体截去或挖去一部分而成
的几何体；
常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面 体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组
合.



球
截面；
3）平面截球面，截面是
一个圆。

以直角三角形的一直角
边为轴，其余各边旋转
而成的曲面所形成的几
何体。

直 等腰直角梯形垂直于底
边 的腰所在的直线为轴，
轴截面都是全等的等腰
梯形。
无
轴截面都是全等的等腰
三角形。
无


到定点的距离等于或小
于定长的点集合。
1）大圆：截面过球心；
小圆：截面不过球心；
2）球心与不过球心的
无

2

①多面体与多面体的组合体：
由两个或两个以上的多 面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与
一个三棱柱的组合体；如 图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三
棱台的组合体．

②多面体与旋转体的组合体
由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多 面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与
一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四 棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥
组合而成的．

③旋转体与旋转体的组合体
由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体 与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体
和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个 圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一
个圆柱和一个圆锥组合而成的．





3

（三）三视图
三视图的概念：把一个空间几何体 投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很
难把握几何体的全貌，因此我们需 要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通
常，我们总是选择三种投影．
（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；
（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；
（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．
三视图的画法规则：画三视图时， 以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，
正、俯、侧三个视图之间必须互相 对齐，不能错位．
正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映 物体的宽度和高度，由此，
每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则 ：
（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；
（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；
（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．
（四）斜二测画法
在立体几何中，空 间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，
首先要学会水平放置 的平面图形的直观图画法．
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O ．画直观图时，把它们画成对应的x＇
轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或 135°），它们确定的平面表示水平面．
（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在 直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使
它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线 段和原坐标轴的位置关系相同．
（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不 变，平行于y轴的线段，长度变
为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图 形的直观图．
线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．


4

典例分析

考点一:简单几何体的结构特征
例1、判断下列说法是否正确．
（1）棱柱的各个侧面都是平行四边形；
（2）一个n（n≥3）棱柱共有2n个顶点；
（3）棱柱的两个底面是全等的多边形；
（4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．


例2、有下面五个命题：
（1）侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；
（2）侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
（3）底面是正方形的棱锥是正四棱锥；
（4）正四面体就是正四棱锥；
（5）顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥．
其中正确命题的个数是（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

例3、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说 明
理由；如果不正确，举出反例．


例4、判断下图所示的几何体是不是台体？为什么？




5

考点二:几何体中的基本计算
例1、一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4πcm和25πcm．求
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长．



考点三:简单几何体的组合体
例1、（1）一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是（ ）
22

A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
（2）如右图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．




考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
例1 、长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D（中，AB=3，BC =4，A
1
A=5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C．来
1
如图 ）
获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值．






6

例2、根据下图所给的平面图形，画出立体图形．

考点五：空间几何体的三视图
例1、如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．



例2、将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则 该
几何体的侧（左）视图为（ ）
A．




B． C． D．
例3、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A．





B． C．8 D．4

7

例4、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．

考点六：空间几何体的直观图
例1、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A＇B＇C＇的面积为（ ）
A．


例2、如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图 形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原
图形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形












B． C． D．5π
3
2
3
2
6
2
6
2
a
B．
a
C．
a
D．
a

48816


8

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、下列命题中正确的是（ ）
A．正方形的直观图是正方形
B．平行四边形的直观图是平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

2、若一个圆锥侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥底面的面积为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π

3、如图所示为一个简单几何体的三视图，则其对应的直观图是（ ）






4、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为 ( )
A．上面为棱台，下面为棱柱 B．上面为圆台，下面为棱柱
C．上面为圆台，下面为圆柱 D．上面为棱台，下面为圆柱








9

5、三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（ ）

A．2

B．4 C． D．16

6、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（ ）
A．10cm B．20cm C．30cm







7、一水平 放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，如
图则原平 面图形的面积为（ ）
A．2 B．3 C．8 D．









33 3
D．40cm
3


10

? 课后反击
1、以下四个命题中，正确的有（ ）
① 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
② 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；
③ 在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④ 一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥．
A．① ② ④ B．② ③ C．④ D．② ④

2、下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（ ）
A．棱台的侧面一定不会是平行四边形
B．棱锥的侧面只能是三角形
C．由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥
D．棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥

3、有一个几何体是由几个相同的正方体拼合而成（如图），则这个几何体含有的正方体的个数是（ ）

A．7

4、扇形的半径为3，中心角为120°，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（ ）
A．π B．

5、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是（ ）
A．2 B．
C． D．3

C． D．
B．6 C．5 D．4


11

6、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）
A． B．1
C． D．2



战术指导

1、棱柱概念的理解
对于 棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四边
形，且每 相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，底
面是正多 边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；
2、正棱锥概念的理解
顶点在底面的射影 是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都
相等；
3、三角形的直观图的面积与原平面图形的面积比是多少？

对于一边上的高为h的三角形，其直观图的高
h22
??h
。
224
∶4
。 故三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比是
2
本节所蕴含的数学方法主要是将要解决的问题化归为概念的理解上，将空间几何体问题转化为平面几
何问 题，立体几何离不开画图，借助几何体的直观图和三视图渗透数形结合的数学思想方法。




12

直击高考

1、【2015全国卷Ⅰ 】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中
的正视图和俯视 图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（ ）
A．1 B．2







2、【2014全国卷Ⅰ】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一 个几何体的三视图，则这个几
何体是（ ）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱










3、【2013全国卷Ⅰ】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．8+8π C．16+16π D．8+16π
C．4 D．8




13

4、【2013广东】某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是（ ）
A．4
C．
B．
D．6







5、【2016全国卷Ⅰ】如图，某 几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直
的半径．若该几何体的体积是，则它的表面 积是（ ）
A．17π B．18π C．20π D．28π









S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一:简单几何体的结构特征
考点二:几何体中的基本计算
考点三:简单几何体的组合体
考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题
考点五：空间几何体的三视图
考点六：空间几何体的直观图


14

名师点拨
1、棱锥的侧面三角形有一个公共顶点；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的
底面；用平行于底面的平面丢截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台.正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都相等；
2、对于棱柱，有 两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四
边形，且每相邻两个 四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，
底面是正多边形的直 棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；
3、以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体 才是圆锥；圆台可以是直角梯形以垂直
于底边的一腰所在直线为轴旋转而得；用平行于底面的平面去截圆 锥才可得到一个圆锥和一个圆台。
学霸经验

? 本节课我学到了



? 我需要努力的地方是

















15

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第02讲--- 柱体、椎体、台体、球的表面积和体积

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
①能够熟练运用柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式计算一些组合体的表
教学目标 面积和体积；
②用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题。
授课日期及时段

T
（Textbook- Based）
——同步课堂

体系搭建


（一）柱体、锥体、台体的表面积
A、多面体的表面积
1、多面体的表面积求法：求平面展开图的面积
注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图.
2、直棱柱的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S?cl
（其中
c
为底面周长，
l
为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
（3）推论：
①正棱柱的侧面积：
S ?cl
（其中
c
为底面周长，
l
为侧棱长）.
②长方体的 表面积：
S?2(ab?bc?ca)
.（其中
a,b,c
分别为长方体的长 宽高）
③正方体的表面积：
S?6a
2
（
a
为正方体的棱长）.


16

3、斜棱柱侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：作出直截面（如图）；
注：这种处理方法蕴含着割补思想.
②公式：S?cl
（其中
c
为直截面周长，
l
为侧棱长）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
4、正棱锥的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S?ch
?
（其中
c
为底面周长，
h
?
为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋底面积.
5、正棱台的侧面积与全面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S?(c?c
?
)h
?
（其中
c
、c
?
为底面周长，
h
?
为斜高）；
（2）表面积：侧面积＋两底面积.
6、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：





B、旋转体的表面积
1、圆柱的侧面积与全面积
（1）侧面积：
①求法：侧面展开（如图）；
r

2
?
r
1
2
1
2
正棱台侧面积公式：
S?
1
(c?c
?
)h
?

2
c
?
?c

h
?
?l

c
?
?0

正棱柱侧面积公式：
S?cl

正棱锥侧面积公式：
S?
1
ch
?

2
l



17

②公式：
S?2
?
rl
（
r
为两底半径，
l
为母线长）；
（2）表面积：
S?2
?
r(r?l)
.
2、圆锥的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S?
?
rl
；
（2）表面积：
S??
r(r?l)
（
r
为两底半径，
l
为母线长）. < br>事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为
2
?
r
，半径为圆锥母线
l
，故面积为
1
?2
?
r?l?
?
rl< br>.
2
l

2
?
r

l

r

3、圆台的侧面积与表面积
（1）侧面积
①求法：侧面展开（如图）；
②公式：
S?
?
(r?R)l
；
r
x
x

2
?
r


2
?
R



l

R
事 实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为
2
?
r
、
2
?
R
，半径分别为
x
、
x?l
，故圆台侧面积为
11
S??2
?
R?(x?l)??2
?
r?x?
?(R?r)x?
?
Rl
22
，∵
x
?
r
l
?(R?r)x?rl
R?r
，∴
S?
?
(r?R)l
.
（2）表面积：
?
r
2
?
?
R
2
?
?
(r?R)l
.（
r
、
R
分别为 上、下底面半径，
l
为母线长）
4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：


R?r

r?0

圆台侧面积公式：
S?
?
(r?R)l



圆柱侧面积公式：
S?2
?
rl?cl

圆锥侧面积公式：
S?
?
Rl?
1
cl

2
（二）柱体、锥体、台体的体积
A、棱柱、棱锥、棱台的体积
1、棱柱 体积公式：
V?Sh
（
h
为高，
S
为底面面积）；
1
2、棱锥体积公式：
V?Sh
（
h
为高，
S
为 底面面积）；
3


18

1
3、棱台体积公式：< br>V
棱台
?(S
1
?S
1
S
2
?S< br>2
)h
（
h
为高，
S
1
、
S2
分别为两底面面积）.
3
事实上：设小棱锥高为
x
，则大棱 锥高为
x?h
.于是
V?
1
S(x?h)?
1
Sx ?
1
Sh?
1
(S
3
2
3
1
3< br>2
3
2
?S
1
)x
.
x
∵
S
1
S
1
xx
????(S
2
?S
1< br>)x?S
1
h
，
x?hh
S
2
S
2
?S
1
S
1


S
2
h


∴
V?
1
Sh?1
(
3
2
3
111
S
2
?S
1
)(S
2
?S
1
)x?S
2
h?(S
2
?S
1
)S
1
h?(S
1
?S
1
S
2
?S
2
)h
.
333
4、棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：




圆柱侧面积公式：
V?Sh
圆台侧面积公式：
V
棱台< br>?
1
(S
1
?S
1
S
2
?S
2
)h

3
S
1
?S
2
?S

S
1
?0

S
2
?S


圆锥侧面积公式：
V?
1
Sh

3
B、圆柱、圆锥、圆台的体积
1、圆柱的体积：
V?
?
r
2
h
（
h
为高，
r
为底面半径）.
1
2、圆锥的体积：
V?
?
R
2
h
（
h为高，
R
为底面半径）.
3
1
3、圆台的体积：
V?
?
(r
2
?rR?R
2
)h
（
r
、
R
分别为上、下底半径，
h
为高）.
3
x
h


r


事实上：设小圆锥高为
x
，则大圆锥高为
x?h
（如图）.
于是
V?
1
?
R(x?h)?
1
?
rh?
1
?
(R?r)(R?r)x?
1
?
Rh
.
222
l

R
3333
∵
xrxr111
????(R?r)x?rh
，∴
V?
?
(R?r)rh?
?
R
2
h?
?
(r
2
?rR?R
2
)h< br>.
x?hRhR?r333
4、圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：




（三）球的体积与表面积
4
1、球的体积：
V?
?
R
3
.
3
圆柱体积公式：
V?
?
r
2
h

圆锥体积公式：
V?
1
?
R
2
h
3
圆台体积公式：
V?
1
?
(r
2
?rR?R
2
)h

3
R?r

r?0

2、球的表面积：
S?4
?
R
2
.


19

3、球面距离：在球面上，两点之 间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长
度。我们把这个弧长叫做两点的 球面距离．
（四）祖暅原理：幂势既同，则积不容异
这就是说，夹在两个平行平面间的 两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截
面的面积总相等，那么这两个几何 体的体积相等．应用祖暅原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥
体的体积相等．
典例分析

考点一：几何体的表面积和侧面积
例1、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是( )

A．28＋65 B．30＋65 C．56＋125 D．60＋125

例2、已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积最大的是( )

A．3 B．25 C．6 D．8





20

考点二：几何体的体积
例1、若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm.
3

例2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.

考点三：球的组合体及球的性质
例1、已知H是球O的直径AB上一 点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积
为π，则球O的表面积为 ________．




例2、已知两个圆锥有公共底面，且 两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这
3
个球面面积的，则这两个 圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
16




560580
B. C．200 D．240
33


21

考点四：空间几何体体积求法例析
A、公式法
例1、四棱锥
P?ABCD
的顶点
P
在底面中 的射影恰好是
A
，其三视图如图，则四棱锥
P?ABCD
的体积
为 .




主视图
a

a

侧视图
a

俯视图
B、分割法
例1、如图，在多面体
ABCDEF
中，已知面
ABCD
是边长为3的正方形 ，
EFAB
，
EF?
的距离为2，则该多面体的体积为 .
3
，
EF
与
AC
面
2

C、补形法
例1、已知
PA
、
PB
、
PC
两两互相垂直，且
△PAB
、
△PAC
、
△PBC
的面积 分别为
1.5cm
2
，2
cm
2
，6
cm
2
，
则过
P
、
A
、
B
、
C
四点的外接球的体积为
cm
2
.

D、特殊化法
A
1


B
1
D
1

例1、 如图，直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1< br>体积为
V
，点
P
、
Q
分别在侧
棱
AA
1
、
DD
1
上，
AP?D
1
Q
，则四棱锥
B?APQD
的体积为 .



P
A

B

D

Q



22

E、等体积转化（变换角度）
例1、如图，在长 方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，如果分别过
BC
、
A
1
D
1
的2个平行平面 将长方体分成体积相等
的3部分，那么




A
C
1
N
?
.
ND
1
D
1

A
1
N

B
1
H
C
1


M

D

G


C


B

P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( )
A.3 B．3 C．4 D．5

2、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )


A．200＋9π B．200＋18π C．140＋9π D．140＋18π

3、已知直三棱柱 ABC－A
1
B
1
C
1
的6个顶点都在球O的球面上．若A B＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA
1
＝12，则球O
的半径为( )
31713
A. B．210 C. D．310
22




23

4、正三棱锥底面三角形的边长为3，侧棱长为2，则其体积为( )
1139
A. B. C. D.
4244

5、将长为a， 宽为b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周，所得柱体的体积为V
1
，以b为轴旋转一周，所 得柱
体的体积为V
2
，则有( )
A．V
1
>V
2
B．V
1
2
C．V
1
＝V
2



6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
D．V
1
与V
2
的大小关系不确定


7、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．


8 、如图，在三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC中，D，E，F分 别是AB，AC，AA
1
的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V
1
，
三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC的体积为V
2，则V
1
∶V
2
＝________．











24

9、已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为6，侧棱长为5，求四棱锥P－ABCD的体积和侧面积．



10、在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两 垂直且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积．




? 课后反击
1、将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了( )
A．6a B．12a


2、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点，则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为( )
A.2 B.3 C.



3、正四棱柱的体对角线长为6，侧面对角线长为33，则它的侧面积是________．



4、平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为( )
A.6π B．43π C．46π




5、正过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离是球半 径R的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的
表面积是( )
A．100π B．300π C.

22
C．18a D．24a
22
623
D.
23
D．63π
100π400
D.π
33

25

6、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是( )

A．32 B．16＋162 C．48


7、一圆锥的底面半径为4，用平行于底面的截面截去底面半径为 1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体
积的( )
A.


8、体积为8的一个正方体，其全面积与球O的表面积相等，则球O的体积等于________．
9、 如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，截下一个棱锥C－A′DD′，求棱锥C－ A′DD′的体积
与剩余部分的体积之比．
63111
B. C. D.
6416464
D．16＋322


10、如图所示，在边长为5＋22的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、 N、
K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．




26

战术指导

1．一种数学思想
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平 面图形，“化曲为直”来解决，
因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．
2．两种位置：球的组合体的内切与外接
如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正 方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体
的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直 径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解
题．
3．三种方法——求空间几何体体积的常用方法
(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．
(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换 空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积
比等．
(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．

直击高考

该几何体的体积是

，则它的表面积是（ ）
1、【2016?全国Ⅰ卷?理】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互 垂直的半径．若

A．17π B．18π C．20π






D．28π


27

2、【2015?全国Ⅰ卷?理】圆柱被一个平面截去一部 分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视
图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的 表面积为16+20π，则r=（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

3、【2015?全国Ⅰ卷?理】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著 ，书中有如下问题：”今有委米
依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋 内墙角处堆放米（如图，米堆为一
个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米 堆的体积和堆放的米各为多少？“已
知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的 米约有（ ）

A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
4、【2013?全国Ⅰ卷?理】如图 ，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容
器口，再向容器注水，当球 面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）

A．


B． C．

D．


28

S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：几何体的表面积和侧面积
考点二：几何体的体积
考点三：球的组合体及球的性质
考点四：空间几何体体积求法例析
A、公式法
B、分割法
C、补形法
D、特殊化法
E、等体积转化（变换角度）
名师点拨

几个重要结论的补充及应用
结论1：锥体平行截面性质
锥体平行截面与锥体底面相 似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥
对应线段（对应高、对应斜 高、对应对角线、对应底边长）比的平方.
结论2：若圆锥母线长为
l
，底面半径为
r
，侧面展开图扇形圆心角为
?
，则
?
?
2
?
r
.
l
R?r
.
l
结论3：若圆台母线长 为
l
，上、下底面半径分别为
r
、
R
，侧面展开图扇环圆心 角为
?
，则
?
?2
?
?
证明：设小圆锥母线长为< br>x
，则有
x
?
?2
?
r?
?
?2
?
r
.∵
x
xrxrrl
????x?
x? lRlR?rR?r
，
∴
?
?
2
?
r
?
2
?
r(R?r)
?2
?
?
R?r
.
xrll


29

学霸经验

? 本节课我学到了




? 我需要努力的地方是











30

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第04讲--- 空间点、直线、平面之间的位置关系

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
①理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；
②掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；
教学目标
③会判断异面直线、掌握异面直线的求法；
④会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建
（一）平面
平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平 面是从现实生活中常见
的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．
平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量．
平面的表示方法
(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角
画成45，横边画成邻边的2倍长，如右图．
(2)两个相交平面：


?
画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮 住，应把被遮住部分的
线段画成虚线或不画（如下图）
?

B
?< br>?
A
B
?
A
B
B
?
?
?< br>A

?
A



31

运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间图形的基本元素是点、直线、平面 从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看
成是点的集合，因此还可借用集合中的 符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示：
图形语言 符号语言 文字语言（读法）
点
A
在直线
a
上
A

a
A?a

A?a

A?
?

A


A
?

A
a
点
A
不在直线
a
上
点
A
在平面
?
内
?
A?
?

点
A
不在平面
?
内
A
b
a




a

a?b?A

a?
?

直线
a
、
b
交于
A
点
?
?
a
a
直线
a
在平面
?
内
a?
?
??

a?
?
?A

直线
a
与平面
?
无公共点
?
A
直线
a
与平面
?
交于点
A

?
?
?
?l

平面
?
、
?
相交于直线
l

（二）平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内
推理模式：
A?
?
?
如图示：或者：∵
A?
?
,B?
?
，∴
AB?
?

?
?AB??
．
B?
?
?
公理1的作用：①判定直线是否在平面内；
②判定点是否在平面内；
③检验面是否是平面．



?
A
B

32

公理2 ：如果两个平面有一个公 共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公
共点的直线
推理模 式：
A?
?
?
?
?A?l?
?
?
?
如图示：
A?
?
?
或者：∵
A?
?
,A?
?
，∴
?
?
?
?l,A?l

公理2的作用：①判断两个平面是否相交及交线位置；
②判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．
公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A,B,C
不共线
?
?
推理模式：
A,B,C?
?
?
?
?
与
?
重合
A,B,C?
?
?
?
或者：∵
A,B,C< br>不共线，∴存在唯一的平面
?
，使得
A,B,C?
?
.
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件， 是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、
辅助面的依据．
(2)“ 有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因
此， 在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
（三）空间两直线的位置关系
位置关系
相交直线
平行直线
异面直线
（四）平行直线
共面情况
在同一平面内
在同一平面内
不同在任何一个平面内
公共点个数
有且只有一个公共点
没有公共点
没有公共点


33

公理4：平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行
推理模式：
ab,bc?ac
．
(1)它是判断空间两条直线平行的依据；
(2)它说明平行关系具有传递性
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等．
（五）异面直线
定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线；
(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线
(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法．
异面直线的画法：画异 面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观
性．
b


?a
?
b
a
b
a
?
?
异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是 异面直线
l?
?
?
A?
?
?
?
推理模式：
?
?
直线
AB
与直线
l
是异面直线
B?
?
?
B?L
?
?
（六）异面直线所成的角 < br>定义：已知
a
，
b
是两条异面直线，经过空间任意一点
O作直线
a
?
a,b
?
b
，我们把直线
a
?
和
b
?
所成的
锐角（或直角）叫做异面直线
a
，
b
所成的角．
(1)异面直线所成的角与
O
点的位置无关．
(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作
a?b
．
(3)异面直线所成角的范围是
?
0,

?
?
?
?
2
?
?
．


34

求异面直线所成角的步骤：
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则 它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补
角才是所求异面直线所成的角．
（七）直线、平面的位置关系
空间直线与平面的位置关系有以下三种：
(1)直线 在平面内：如果一条直线
a
与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作
a
?α.
(2)直线与平面相交：直线
a
与平面α只有一个公共点
A
，叫做直线与平面相交，记作
a
∩α＝
A
，公共点
A
叫做直线
a
与平面α的交点．
(3)直线与平面平行：如果一条直线< br>a
与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作
a
∥α.
两个平面的位置关系有且只有一下两种：
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
空间四边形：顺次连接不共面的四点
A< br>、
B
、
C
、
D
所构成的图形，叫做空间四边形．这四 个点中的各个点叫
做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的 顶点的线段叫做空
间四边形的对角线．
典例分析

考点一：平面及其性质
例1、对下图的几何图形，下列表示错误的是( )



A．l∈α B．P?l C．l?α D．P∈α




35

例2、判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ）
（3）平面ABCD的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ）


例3、下列说法正确的个数（）
①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm、宽 30cm的平面；③通常300页的书要比10页的书
厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比1 0个平面重合在一起厚．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

例4、如右图，已知
E, F,G,H
分别为空间四边形
ABCD
各边
AB,AD,BC,CD
上的点，且
EF
求证：
B,D,P
共线．





例5、下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若
A?l,B?l且
A?
?
,B?
?
，则必有
l?
?
； ②四边
形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线； ④梯形
是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4


考点二：直线及其位置关系
例1、若a、b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )
A．相交 B．异面 C．平行




D．异面或相交
B
G
E
F
D
H
C
P
A
GH?P
，


36

例2、在长方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是BD和CD 的中点，长方体的各棱中与EF平行的有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

例3、空间四边形ABCD中，给出下列说法：
①直线AB与CD异面；②对角线AC与BD相交；
③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形．
其中正确说法的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


例4、a、b、c是空间中三条直线，下面给出几种说法：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；
③若a、b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．
上述说法中正确的是________(仅填序号)．


AEAH1例5、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，若＝＝，
ABAD2
CFCG1
＝＝，则四边形EFGH形状为________．
CBCD3



例6、如右图，已知不共面的直线
a,b ,c
相交于
O
点，
M
、
P
是直线
a
上两点，
N
、
Q
分别是直线
b
、
c
上一 点．求证：
MN
和
PQ
是异面直线．







37

例7、正四面体
A?BC D
的棱长为
a
，
E
、
F
分别为棱
AD、
BC
的中点，求异面直线
AF
和
CE
所成角
的余弦值．



例8、如右图，等腰直角三角形
ABC
中，
?A?90,BC?2,DA?AC,DA?AB
,若
DA?1
，且E
为
DA
的中点．求异面直线
BE
与
CD
所成 角的余弦值．






B
F
C
E
A
D
P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）
A．两两相交的三条直线 B．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交
C．三个点 D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点 E．两条直线



2、分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面





38


B．相交 C．平行 D．异面或相交

3、从空间一点
P
分别 向
?BAC
的两边
AB,AC
作垂线
PE,PF
，垂足分别 为
E,F
，则
?EPF
与
?BAC
的
关系为（ ）
A．互补 B．相等 C．互补或相等 D．以上都不对

4、下面6个命题：
①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相 等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该
四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知 直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线
两两平行，无三线共面，它们共可确定6个 平面．其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3

5、在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，与
AD
1
成
60
的面对角线共有 （ ）
A．4条 B．6条 C．8条 D．10条

6、正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，P、Q、R分别是AB、A D、B
1
C
1
的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形
是( )．
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

1
7、已知线段AB、CD分别在两条异面直线上，M、N分别是线段 AB、CD的中点，则MN____________(AC＋
2
BD)(填“＞”，“＜”或 “＝”)．


8、正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是AB和AA
1
的中点．求证：
(1)E、C、D
1
、F四点共面；
(2)CE、D
1
F、DA三线共点．




39

1
9、如图，平面ABE F⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD，BE
2
1
∥FA，G、H分别为FA、FD的中点．
2

(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？


10、如图所示，正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C与截面DBC
1
交于O 点，AC，BD交于M点，求证：C
1
，O，M三点
共线．


? 课后反击
1、若直线
a
、
b
与直线
l
相交且所成的角相等，则
a
、
b
的位置关系是( )
A．异面

2、正方体
ABCDA
1
B
1
C
1D
1
中，既与
AB
共面也与
CC
1
共面的棱的 条数为( )．
A．3 B．4 C．5 D．6


3、设
A
、
B
、
C
、
D
是空间四个不同的点，在下列命 题中，不正确的是 ( )
．
A．若
AC
与
BD
共面， 则
AD
与
BC
共面
B．若
AC
与
BD< br>是异面直线，则
AD
与
BC
是异面直线
C．若
AB
＝
AC
，
DB
＝
DC
，则
AD
＝
BC

D．若
AB
＝
AC
，
DB
＝
DC
，则
AD
⊥
BC


B．平行 C．相交 D．三种关系都有可能

40

4、如图，四棱锥
SAB CD
的底面为正方形，
SD
⊥底面
ABCD
，则下列结论中不正确的 是( )．

A．
AC
⊥
SB

B．
AB
∥平面
SCD

C．
SA
与平面
SBD
所成的角等于
SC
与平面
SBD
所成的角
D．
AB
与
SC
所成的角等于
DC
与
SA
所成的角

5、l
1
，l
2
，l
3
是空 间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．
A．l
1
⊥l
2
，l
2
⊥l
3
?l
1
∥l
3

B．l
1
⊥l
2
，l
2
∥l
3
?l
1
⊥l
3

C．l
1
∥l
2
∥l
3
?l
1
，l
2
，l
3
共面
D．l< br>1
，l
2
，l
3
共点?l
1
，l
2
，l
3
共面
6、下列命题正确的个数为( )．
①经过三点确定一个平面；
②梯形可以确定一个平面；
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
A．0 B．1 C．2 D．3
7、如图，点
P
、
Q
、
R
、
S
分别在正方体的四条棱上，且是 所在棱的中点，则直线
PQ
与
RS
是异面直线的一
个图是_____ ___．



41

8、如图，在长方体
AB CD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
C
1
∩
D
1
B
1＝
O
，
E
、
F
分别是
B
1
O
和
C
1
O
的中点，则在长方体各棱中与
EF
平行的 有________条．


9、如右图，正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，求
AC
与A
1
D
所成角的大小




< br>10、如图，空间四边形
ABCD
中，
E
、
F
分别是
AD
、
AB
的中点，
G
、
H
分别在
BC
、
CD
上，且
BG
∶
GC
＝
DH< br>∶
HC
＝1∶2.

(1)求证：
E
、
F
、
G
、
H
四点共面；
(2)设
FG
与< br>HE
交于点
P
，求证：
P
、
A
、
C
三点共线．

F
A
E
B
A
1
D
1
B
1
C
1
D
C










42

战术指导

异面直线的判定方法：
(1)判定定理：平面外一点
A
与平面内一点
B
的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．
(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

直击高考

1、【2014?广东】若空间中四条两两不同的直线l
1< br>，l
2
，l
3
，l
4
，满足l
1
⊥ l
2
，l
2
∥l
3
，l
3
⊥l
4
，则下列结论
一定正确的是（ ）
A．l
1
⊥l
4
B．l
1
∥l
4
C．l
1
与l
4
既不垂直也不平行 D．l
1
与l
4
的位置关系不确定


2、【2013?安徽】在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

3、【2013?江西】如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个 面所
在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（ ）

A．8 B．9



C．10 D．11


43

4、【2009?江西】如图，在 四面体
ABCD
中，截面
PQMN
是正方形，
则在下列命题中，错误的为（ ）
．．
A
N
P
D
M
A
.
AC?BD

B
.
AC
∥截面
PQMN

C
.
AC?BD

D
. 异面直线
PM
与
BD
所成的角为
45




5、【2007?福建】如图，在正方体ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
中，E、F、G、H分别为AA
1
、AB、< br>BB
1
、B
1
C
1
的中点，则异面直线EF与GH所 成的角等于（ ）
A.45°


B.60° C.90° D.120°
B
Q
C
6、【2008?福建 】如图，在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，AB=BC=2,AA
1
=1,则BC
1
与平面BB
1< br>D
1
D所成角的余弦值为
（ ）
A.
6

3

A
B.
26

5
C.
15

5
D.
10

5
A
1
D
B
D
1
B
1
C
C
1
S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：平面及其性质
考点二：直线及其位置关系
名师点拨



44

三大公理的作用：
公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．
公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．
公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．
学霸经验

? 本节课我学到了

? 我需要努力的地方是







45

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第05讲--- 直线、平面平行的判定及其性质

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
① 掌握直线与平面平行的判定定理；
教学目标 ② 掌握两平面平行的判定定理；
③ 能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建


知识点1直线和平面平行的判定定理
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
a?< br>?
?
?
b?
?
?
?a
?
符号语言：
ab
?
?
知识点2直线和平面平行的性质定理
a

b

??
如果一条直线和一个平面平 行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号语言：
a
?
?
?
a?
?
?
?ab

??
?b
?
?
知识点3平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
a?
?
?
?
符号语言：
b?
?
?

?
ab?P
?
?
?

?
a
?
?
?
b
?
?
?


46

知识点4平面和平面平行的性质定理
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；
?

?
?
?
?a
?

符号语言：
a?
?
?
知识点5 相关推论
（1）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
?

?
?
?
??
?a
?
?ab

符号语言：
??
?b
?
?
(2) 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。
?

?
?
符号语言：
?
?a?
?

a?
?
?

(3) 平行于同一个平面的两个平面平行。

?

?
?
?
?
?

?
符号语 言：
?

?
?

知识点6、平行关系的综合转化

空间中的平行关系有线线平行、线面平行、面面平行．这三种关系不是孤立的，而是互相联系的．它们之间的转化关系如下：

证明平行关系的综合问题需灵活运用三种平行关系的定义、判定定理、性质定理．




47

有关线面、面面平行的判定与性质，可按下面的口诀去记忆：
空间之中两直线，平行相交和异面．
线线平行同方向，等角定理进空间．
判断线和面平行，面中找条平行线；
已知线和面平行，过线作面找交线．
要证面和面平行，面中找出两交线．
线面平行若成立，面面平行不用看．
已知面与面平行，线面平行是必然．
若与三面都相交，则得两条平行线．
典例分析

考点一：线面平行的证明
类型一：构造中位线
例1、已知AB，BC， CD是不在同一平面内的三条线段，E，F，G分别是AB，BC，CD的中点，求证：AC
平面EFG ， BD平面EFG．




构造中位线证明线面平行步骤：
1. 证明：BD
1
∥平面ACE．先找到BD
1
和平面ACE。
2. 直线BD
1
在平面ACE一边（上方），那就在平面ACE另一边（下方）找到 一个点。此时平面下方只有一
个点D.
3. 用D和直线BD
1
去连接。即连接D D
1
和DB，分别与平面三角形ACE的边相交。D D
1
与平面ACE相交
E（已知），DB与平面ACE相交于Q。注意：E，Q两交点必为DD< br>1
、DB的中点。E为中点，已给出，Q
为中点，需要去证明。
注意：即连接D D
1
和DB，分别与平面三角形ACE的边相交。在这步有时会遇到连接D D
1和DB，分别
与平面三角形ACE的内部经过，或者外部经过，此时就不能用中位线证平行。



48

4. 证明E，Q两交点必为D D
1
，DB的中点后，EQ即为△DBD
1
中位线。从而得出线面平行。
5. 以上只是解题思路，书写时：连接BD交AC于Q，然后直接证明。
温馨提示：同种类型还有课堂狙击2013?新课标Ⅱ，直击高考2015高考山东，文18。
构造中位线证明线使用前提：
①直线BD
1
在平面ACE一边（上方），那 就在平面ACE另一边（下方）能找到一个点，有些题目中找不到
点。如类型二中例1.
②连接D D
1
和DB，分别与平面三角形ACE的边相交。若遇到连接D D
1
和DB，分别与平面三角形ACE的内
部经过，或者外部经过，此时就不能用中位线证线面 平行。
例2、（2015?云南模拟）如图，正方体ABCD﹣A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，E为DD
1
的中点．
证明：BD
1
∥平面ACE．




类型二：作平行线构造平行四边形
构造平行四边形证明线面平行步骤：
1. 找到直线
AF
和平面
BCE

2. 在平面
BCE
内过顶点点做一条直线平行
AF
。注意是在平面三角形
BCE
内部做一条平行 线，所以只
能过B做平行线（过C，E作平行线三角形
BCE
就在外面了。）作BQ平 行AF与CE交于点Q，Q点必为
CE中点（绝大多数题目都是中点类型五除外）。
3. 再 去证明BQ平行
AF
。证明BQ平行
AF
往往是通过BA平行且等于FQ,证 明四边形ABFQ为平行四边形，
从而得出结论。
4. 以上只是做辅助线思路，我们在解题时，书写中直接写：取Q为CE中点，连接BQ,FQ然后证明。
温馨提示：同种类型的还有直击高考中：2016高考新课标Ⅲ文数，2016高考天津文数等。
注意: 构造中位线,构造平行四边形能解决高考绝大大部分平行证明问题，但不是所有，遇到题目要灵活。





49

AF?
例1、如图，已知
AB
⊥平面
ACD
，且
F
是
CD
的中点．
DE
∥
AB
，
AD?AC?DE?2AB
=1，
求 证：
AF
∥平面
BCE
；




类型三：利用投影，构造平行四边形
例1、如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所 在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，
求证：MN∥平面BCE




类型四：利用面面平行证线面平行
例1、正方体
A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中
O
为正方形
ABCD
的中心，
M
为
BB
1
的 中点，求证：
D
1
O
平面
A
1
BC
1;
C
D
M
P
B
A
N
Q
E< br>F
3

E
B
A
C
F

D









50

类型五：利用线段对应成比例 < br>例1、如图，平面
PAC?
平面
ABC
，点
E
、F
、
O
分别为线段
PA
、
PB
、
AC
的中点，点
G
是线段
CO
的中点，
AB?BC?AC?4< br>，
PA?PC?22
． 证明
FG
∥平面
EBO
．

考点二、面面平行的证明
例1、已知正方体ABC D—A
1
B
1
C
1
D
1
，求证：平面AB
1
D
1
∥平面BDC
1
．






例
2
、已知直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的所有棱长都相等，且
D,E,F
分别为
BC,BB< br>1
,AA
1
的中点
.
求证：平面
B
1
FC
平面
EAD
.

F
A
1
B
1
C
1


A
E
C




D
B



51

P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击 < br>1、如图所示，正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1的底面边长是
2
，侧棱长是
3
，
D
是
AC的中点。

求证：
B
1
C
平面
A
1
BD



D
A
1
C
1

B
1
C

A
B
2、（2013?新课标Ⅱ）如图， 直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，D，E分别是AB，B B
1
的中点
证明：BC
1
∥平面A
1
CD








3、如右图所 示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E， F分
别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E—ABC的体积V．






52

4、（2015?泉州校级模拟）如图，在三棱柱ABC﹣ A
1
B
1
C
1
中，BB
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，A
1
B
1
=A< br>1
C
1
，点D、F
分别是棱BC、CC
1
上的中点， 点E是CC
1
上的动点
证明：A
1
F∥平面ADE；




5、已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，O是底ABCD对角线的交点．求证： C
1
O∥面AB
1
D
1
；






6、直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱
AA
1
?3
，M、N分别为
A
1
B
1
、
A
1
D
1
的中点，E、F分别是
B
1
C
1
、
C
1
D
1
的中点．
求证：平面AMN∥平面EFDB；



7、如图所示，正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
E、F
分别是
AB、BC
的中点，
G
为
DD1
上一点，且
D
1
G:GD?1:2
，
AC






BD?O
，求证：平面
AGO
平面
D
1
EF
．


53

8、（附加题）如图，在正方体< br>ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
为线段
AD
1
上的中点，
Q
为线段
PC
1
上的中点。
求证：
CQ平面BDP
。
D
1
C
1

A
1





A
P
Q
B
1
D
C
B
9、（附加题）如图，在组合体中，
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是一个长方体，
P?ABCD
是一个四棱锥．
AB?2
，
BC?3
，点
P?平面CC
1
D
1< br>D
且
PD?PC?2
．若
AA
1
?a
，当< br>a
为何值时，
PC平面AB
1
D
．







? 课后反击
A
1
D
1
B
1
C
1
A
D
B
C
P
1、（2015?庆阳模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，BB
1
⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB
1
的中点，四边形B
1
BCC
1
是正方形．求证：A
1B∥平面AC
1
D；







54

2、（2015?衡水四模）三棱锥P﹣ABC，底面AB C为边长为的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，
D为AP上一点，AD=2DP， O为底面三角形中心．求证DO∥面PBC；


3、（2015?枣庄一模）如图 ，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，BC=AD，
PA=PD，Q为AD的中点．已知点M为线段PC的中点，证明：PA∥平面BMQ．


4、如右图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，
BP=BC=2，E，F分别是PB，PC的中点．
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）求三棱锥E—ABC的体积V．











55

5、如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为底面ABCD的 中心，P是DD
1
的中点，设Q是CC
1
上的点，
问：当点Q在什么 位置时，平面D
1
BQ∥平面PAO?










6、在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，设M、N、E、F分别是棱A
1< br>B
1
、A
1
D
1
、C
1
D
1
、B
1
C
1
的中点，如图所示．
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
(2)求证：平面AMN∥平面EFBD.






战术指导

一、由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：
（1）在平面内寻找直线的平行线；
（2）证明这两条直线平行；
（3）由判定定理得出结论．
二、证明面面平行，就是证两次线面平行。







56

直击高考

1、【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥
V???C
中，平面
V???
平面
??C
，
?V??
为等边三角形，
? C??C
且
?C??C?2
，
?
，
?
分别为
??
，
V?
的中点．
求证：
V?
平面
??C
；


2、【2 016高考新课标Ⅲ文数】如图，四棱锥
P?ABC
中，
PA?
平面
ABCD
，
ADBC
，
AB?AD?AC?3
，
PA?BC ?4
，
M
为线段
AD
上一点，
AM?2MD
，N
为
PC
的中点．
证明
MN









3、【2014高考北京文第17题 】（本小题满分14分）如图，在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直于底面，
平面
PAB
；
AB?BC
，< br>AA
1
?AC?2
，
E
、
F
分别为
A
1
C
1
、
BC
的中点.
求证：
C
1
F
平面
ABE
；





A
B
F
C
A
1
E
B
1
C
1

57

4、【2015高考山东，文18 】如图，三棱台
DEF?ABC
中，
AB?2DE，G，H
分别为
A C，BC
的中点.
求证：
BD
平面
FGH
；



5、【2016高考天津文数】(本小题满分13分)如图，四边形ABCD是平 行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，
AB=2，BC=EF=1，AE=
6
，DE=3，∠BAD=60?，G为BC的中点.
求证：
FG
平面BED；



S
(Summary-Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：线面平行的证明
考点二：线面平行的证明

名师点拨

? 本节课我学到了



58

? 我需要努力的地方是













59

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第05讲：直线、平面垂直的判定及其性质

T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
① 理解空间中三种垂直关系的定义；
教学目标 ② 掌握空间中三种垂直关系判定及性质；
③ 用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题．
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建

要点一、直线和平面垂直的定义与判定
1.直线和平面垂直的定义
如 果直线
l
和平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
?
互相垂直，记作
l?
?
.直线
l
叫平面
?
的垂线；平面
?
叫直线
l
的垂面；垂线和平面的 交点叫垂足.
2.直线和平面垂直的判定定理
文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
符号语言 ：
m?
?
,n?
?
,mIn?B
?
?
?l ?
?

l?m,l?n
?
特征：线线垂直
?
线面垂直
要点诠释：
①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．
②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．


60

要点二、平面与平面垂直的定义与判定
1.平面与平面垂直定义
定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.
表示方法： 平面
?
与
?
垂直，
?
?
?
记作.
画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：

2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
符号语言：
l??
,l?
?
?
?
?
?

图形语言：
要点三、直线与平面垂直的性质
1.基本性质

文字语言：一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?l?m

图形语言：
2.性质定理
文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.
符号语言：
l?
?
,m?
?
?lm

图形语言：

3．直线与平面垂直的其他性质
（1）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
（2）若
l?
?
于
A
，
AP?l
，则
AP?
?< br>．


61

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面．
要点诠释：
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系的枢纽，通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相< br>互转化．
要点四、平面与平面垂直的性质
1．性质定理
文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
符号语言：
?
?
?
,
?



要点五、垂直证明方法总结
1、直线和平面垂直的证明
证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。
2、直线和直线垂直的证明
类型一：证明异面直线垂直的基本思路
①证明一条线垂直另一条线所在的面，即通过证明线垂直来证明。
②平行与垂直的传递性质
类型二：共面直线垂直的证明基本思路
①勾股定理逆定理
②等腰三角形三线合一
3、平面和平面垂直的证明
证明面面垂直的基本思路：证明面内一条直线垂直另一个面。即转化为线面垂直来证明。
注意 ：证明面面垂直一般都是转化为线面垂直来证明。难点是找准面的垂线。找垂线的基本思路是：
在一个面 内垂直于面面交线的线即是另一个面的垂线。如果题目内没有出现，则需要自己做出交线的垂线，
再证明 。

?
?m,l?
?
,l?m?l?
?



62

典例分析

考点一：直线、平面垂直的判定定理与性质定理
例1、设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β

例2、已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出
m⊥β的是（ ）
A．α⊥β，且m?α B．m∥n，且n⊥β

考点二：线面垂直的证明
例1、如图所示，直棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面
ABCD
是直角梯形，
?BAD??ADC?90?
，
C．α⊥β，且m∥α D．m⊥n，且n∥β
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
AB? 2AD?2CD?2
．求证：
AC?
平面
BB
1
C
1
C



考点三：线线垂直的方法
类型一：等腰三角形三线合一证明共面直线垂直
例1、在如右图，在空间四边形
AB CD
中，
AB?AD,BC?CD
,
求证：
AC?BD







63

E
B
D
C
A

例2、如图所示，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，△PAD是等腰三角形，M、N分 别是AB、PC的中点.
求证：MN⊥平面PCD.





类型二：勾股定理逆定理证明共面直线垂直
例3、如右图，在正方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P
为
DD
1
的中点，
O
为
ABCD
的中心，
求证：
B
1
O?
平面
PAC



D
C
O
B
A
1
P
D
1
B
1
C
1

类型三：平行与垂直的传递性质证明共面直线垂直
例4、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，
M，N分别是AB，PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.
类型四:通过线面垂直证明异面直线垂直
A
例5、如图所示，已知四棱锥P—ABC D，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°,E,F分别是
BC,PC的中点. 证明:AE⊥PD。








64

考点四：面面垂直的证明
例1、 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是边长为< br>2
的正方形，侧面
PAD?底面ABCD
，
且
PA?PD?
2
AD
，若
E
、
F
分别为
PC
、
BD
的中点.
2
P
E
求证：平面
PDC?
平面
PAD
.





A
D
F
C
B
例2、【20 15高考新课标1，文18】如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，
BE?平面ABCD< br>，
证明：平面
AEC?
平面
BED
；





P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击 < br>1、三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则 以下结论中：
①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC；
③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a．
其中正确的个数是（ ）
A．1

B．2 C．3 D．4



65

2、已知m、
l
是直线，
?
、
?
是平面，给出下列命题：
①若
l
垂直于
?
内两条相交直线，则
l?
?
；
②若
l< br>平行于
?
，则
l
平行于
?
内的所有直线；
③若
m?
?
，
l?
?
，且
l?m
，则?
?
?
；
④若
l?
?
，且
l??
，则
?
?
?
；
⑤若
m?
?
，
l?
?
，且
?

?
，则
lm
。
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60 °,PA=AB=BC,E是PC
的中点.证明：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.



4、如图所示，直三棱柱ABC —A
1
B
1
C
1
中，B
1
C
1< br>=A
1
C
1
，AC
1
⊥A
1
B，M 、N分别是A
1
B
1
、AB的中点.
（1）求证：C
1
M⊥平面A
1
ABB
1
；
（2）求证：A
1
B⊥AM



5、已知三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC.
(1)求证：AB⊥BC；
(2)若AB＝BC，过点A作AF⊥PB于点F，连接CF，求证：平面PBD⊥平面AFC.









66

6、如图所示，在四棱锥P—AB CD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角
形，其所在平面垂直 于底面ABCD，若G为AD边的中点。
（1）求证：BG⊥平面PAD；
（2）求证：AD⊥PB；
（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论







7、（附加题）如图1， 在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，
将△A DE沿DE折起到△A
1
DE的位置，使A
1
F⊥CD，如图2。

(I)求证：DE∥平面A
1
CB；
(II)求证：A
1
F⊥BE；
(III)线段A
1
B上 是否存在点Q，使A
1
C⊥平面DEQ？说明理由。






67

8、（附加题）如图1，在直角梯形
ABCD中，
ADBC,?BAD?
?
2
,AB?BC?
1
AD ?a
，
2
E
是
AD
的中点，
O
是
OC
与
BE
的交点，将
?ABE
沿
BE
折起到图 2中
?A
1
BE
的位置，得到四棱
锥
A
1
?BCDE
.
(I)证明：
CD?
平面
AOC
；
1
(II)当 平面
A
1
BE?
平面
BCDE
时，四棱锥
A
1
?BCDE
的体积为
362
，求
a
的值.




? 课后反击
1、
l
1
，
l
2
，
l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．
l
1
⊥
l
2
，
l
2⊥
l
3
?
l
1
∥
l
3
B．
l
1
⊥
l
2
，
l
2
∥< br>l
3
?
l
1
⊥
l
3

C．
l
1
∥
l
2
∥
l
3
?
l
1
，
l
2
，
l
3
共面
D．l
1
，
l
2
，
l
3
共点
?< br>l
1
，
l
2
，
l
3
共面
2、设有直线m、n与平面
?
、
?
，则下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥n，m
?
?
，n
?
?
，则
?
∥
?

B．若m⊥
?
，m⊥n，n
?
?
，则
?
∥
?

C．若m∥n，n⊥
?
，m
?
?
，则
?
⊥
?

D．若m⊥n，n⊥< br>?
，m
?
?
，则
?
⊥
?








68

3、如图，直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.






4、如图所示，在四棱锥P－ABC D中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC
的中点，PA＝AD. 求证：EF⊥平面PCD.





5、如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E 为SA的中点．求
证：平面EBD⊥平面ABCD．





6、已知四棱锥
P?ABCD
如图5-1所示，其三视图如图5-2所示， 其中正视图和侧视图都是直角三角形，
俯视图是矩形.
（Ⅰ）求此四棱锥的体积；
(Ⅱ)若E是PD的中点，求证：
AE?
平面PCD






69

7、如下图，在四棱锥P—ABC D中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，
AB =2DC=
45
．
（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P—ABCD的体积．


直击高考

1、【2012?新课标】如图，三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1< br>中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA
1
，D是棱
AA1
的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC
1
⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC
1
分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．




2、【2015高考北京，文18】（本小题满分14分）如图，在三棱锥
V???C
中，平面
V???
平面
??C
，
?V??为等边三角形，
?C??C
且
?C??C?2
，
?
，< br>?
分别为
??
，
V?
的中点．
（I）求证：
V?
平面
??C
；
（II）求证：平面
??C?
平面
V??
；
（III）求三棱锥
V???C
的体积．





70

3、【2016高考北京文数】如图，在四棱锥
P ?ABCD
中，
PC?
平面
ABCD
，
AB∥DC,DC? AC

（I）求证：
DC?平面PAC
；
（II）求证：
平面PAB?平面PAC
；

（III）设点E为A B的中点，在棱PB上是否存在点F，使得
??
平面
C?F
?说明理由.







4、【2014高考江苏 文数】如图，在三棱锥
P?ABC
中，
D
，E，F分别为棱
PC,A C,AB
的中点.已知
PA?AC
,
PA?6,BC?8,DF?5.

P
求证: (1)直线
PA
平面
DEF
；
(2)平面
BDE?
平面
ABC
.










A
F
B
（第16题）
E
C
D
S
(Summary- Embedded)
——归纳总结



71

重点回顾

考点一：直线、平面垂直的判定定理与性质定理
考点二：线面垂直的证明
考点三：线线垂直的方法
考点四：面面垂直的证明
名师点拨

垂直证明方法总结
1、直线和平面垂直的证明
证明线面垂直的基本思路：证明线垂直面内的两条相交直线。
2、直线和直线垂直的证明
类型一：证明异面直线垂直的基本思路
①证明一条线垂直另一条线所在的面，即通过证明线垂直来证明。
②平行与垂直的传递性质
类型二：共面直线垂直的证明基本思路
①勾股定理逆定理
②等腰三角形三线合一
3、平面和平面垂直的证明
证明面面垂直的基本思路：证明面内一条直线垂直另一个面。即转化为线面垂直来证明。
注意 ：证明面面垂直一般都是转化为线面垂直来证明。难点是找准面的垂线。找垂线的基本思路是：
在一个面 内垂直于面面交线的线即是另一个面的垂线。如果题目内没有出现，则需要自己做出交线的垂线，
再证明 。
? 本节课我学到了
? 我需要努力的地方是




72

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第07讲--- 点、直线、平面之间位置关系的综合
T同步课堂 P实战演练 S归纳总结
①理解平面的基本性质及确定平面的条件。
教学目标 ②掌握空间直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质。
③掌握空间直线与平面，平面与平面垂直的判定及性质。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建

要点一：平面基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那 么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是
判定直线是否在平面内的依据．
公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．
公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：
是判 定两个平面交线位置的依据．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．
要点二：空间的平行与垂直关系
（1）空间中的平行关系
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
如果一条直线和一个平面平 行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交
线平行．



73

如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
（2）空间中的垂直关系
如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
解决空 间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基
本思想方法 ——转化与联系，如图所示．

要点三、直线与平面所成的角
1．直线与平面所成角的定义

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一
点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这 个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影
所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
要点诠释：
(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.
(2)直线与平面垂直时射影是点.
(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.
2．直线与平面所成的角
?
的范围：
不垂直时，0°＜
?
＜90°
垂直时，
?
=90°
直线和平面平行或直线在平面内，
?
=0°。．

直线和平面相交
直线和平面所成角的范围是0°≤
?
≤90°．
3．求斜线与平面所成角的一般步骤：
(1)确定斜线与平面的交点即斜足；
(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．


74

要点四、二面角
1.二面角定义
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线 出发的两个半平面所组成
的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
表示方法：棱为
AB
、面分别为
?
、
?
的二面角记 作二面角
?
?AB?
?
.有时为了方便，也可在
?
、
?
内(棱以外的半平面部分)分别取点
P、Q
，将这个二面角记作二面角
P ?AB?Q
.如果棱记作
l
，那么这个
二面角记作二面角
?
?l?
?
或
P?l?Q
.


2.二面角的平面角
(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为< br>垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的
角叫做二面角的平面角. < br>(2)二面角的平面角
?
的范围：0°≤
?
≤180°．当两个半平面 重合时，
?
=0°；当两个半平面相交时，0°＜
?
＜180°；当两个半平 面合成一个
平面时，
?
=180°．
二面角的大小可以用它的平面角来度量 ，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角
是直角的二面角叫做直二面角.
(3) 二面角与平面角的对比

角 二面角
图形


从半面内一点出发的两条射线（半直线）所从空间内二直线出发的两个半平面所组
成的图形 < br>由半平面、线（棱）、半平面构成，表示
为二面角
?
?a?
?

定义
组成的图形
由射线、点（顶点）、射线构成，
表示法
表示为∠AOB


75

(4) 二面角的平面角的确定方法
方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．
如右图，在 二面角
?
?a?
?
的棱a上任取一点O，在平面
?
内过点O 作OA⊥a，在平面
?
内过点O
作BO⊥a，则∠AOB为二面角
?
?a?
?
的平面角．


方法2：（垂面法）过棱上一点 作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线
所成的角，即为二面角的平面角．
如下图（左），已知二面角
?
?l?
?
，
过棱上一点O作一平面
?
，使
l?
?
，且
??
?O A
，
??
?OB
。
∴
OA?
?
，
OB?
?
，且
l
⊥OA，
l
⊥OB，
∴∠AOB为二面角
?
?l?
?
的平面角．

方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线 面垂直
可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证 ，三求．
如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．
过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．
∵AE⊥平面BCD，BC
?
平面BCD，∴AE⊥BC．
又EF⊥BC，AE∩EF=E，
∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF
由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角。





76

典例分析

考点一：线面平行垂直平行垂直定义和性质
例1、【2015高考广东，文6】若直线
l
1
和
l
2
是异面直线，
l
1
在平面< br>?
内，
l
2
在平面
?
内，
l
是平面
?
与平
面
?
的交线，则下列命题正确的是（ ）
A．
l
至少与
l
1
，
l
2
中的一条相交 B．
l
与
l
1
，
l
2
都相交
C ．
l
至多与
l
1
，
l
2
中的一条相交 D．
l
与
l
1
，
l
2
都不相交
例2、【2016届河南省郑州一中高三考前冲刺五】已知
?
,
?
是两个不同 的平面，m ，n是两条不同的直线
给出下列命题：
①若
m?
?
, m?
?
,
则
?
?
?
；②若
m?
?
,n?
?
,m∥
?
,n∥
?
，则
?
∥
?
；③如果
m?
?
,n?
?
,m,n
是异面直线，那么n与α相交；④若
?
?
?
?m,n∥m，且n?
?
,n?
?
,
则n∥α且
n∥
?
.
其中的真命题是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④

考点二：点线面夹角之间的夹角
类型一：线线夹角
情形A.当夹角可能为90?时，可用投影法来判定异面直线是否垂直。找 出
A
1
M
在
DN
所在平面
CDC
1
D
1
的
投影
D
1
M
。
D
1M
与和
DN
垂直，则异面直线
A
1
M
与
DN
垂直，否则不垂直。
例1、如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
M
、
N
分别是
CD
、
CC
1
的中点,则异面直线
A
1< br>M
与
DN
所成
角的大小是_________.
D
1
A
1
D
A
B
1
N
C
B
C
1




M


77

情形B.求异面直线所成角的思路：（一作二证三算）
a利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移，是它们相共面。
b找出相交直线所构成的三角形
c求出三边长度。通过三边长度的特殊关系来得出夹角。 < br>例2、在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC
1
的中点，则异面直线A
1
D和MN所成的角为（ ）
A．30°




B．45° C．90° D． 60°
D
1
A1
D
A
B
M
B
1
C
1
NC
例3、已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF< br>?
AB，则EF与CD所成的角
为（ ）．
A．
90?


B．
45?


C．
60?


D．
30?



类型二:线面夹角
解题思路：求直线与平面所成角的思路——类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
a直接法（利用线面角定义，做出线面角，然后转化为线线角的计算）；
b或者先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin
?
.
例 4、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，BB
1
与平面ACD
1
所成角的余弦值为（ ）
A．









78

236
2
B． C． D．
333
3

例5、如图，四棱锥P- ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD＝2AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．



类型三：二面角
a定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面 内作垂直于棱的射线得到
平面角，然后再转化为解三角形的问题。（常用）
b垂面法：已知二 面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平
面角，然后再转化 为解三角形的问题。
例6、已知Rt△ABC，斜边BC
?
?
，点
A?
?
，AO⊥
?
，O为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，
求二面角A-BC-O的大小。

考点三：体积的计算和换底面法的运用
解题方法总结：求体积的常规方法有直接法（公式法）、等积法(换底法)、分割
法、补形法等。
A直接法主要锥体的公式要乘以三分之一；
B等积法主要用在三棱锥中，四棱锥是不能换底的。
C对于不规则的几何体常用分割法或补形法，变成规则几何体再计算。
题型一 体积的直接计算
例1、如图，平面
ABED
与平面
ACFD
垂直， 点
O
在线段
AD
上，
ABEDFC
为多面体，
OA ?1
，
OD?2
，
△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线
BC∥EF
；
（Ⅱ）求棱锥
F?OBED
的体积.






79

题型二 用切割法（或整体减部分法）计算体积
例2、 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下
面画出

D'
G
F
B'
4
C'
6
22
2
E
D
A
B
C
4
正视图
侧 视图

按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
题型三 用换底法计算三棱锥的体积
例3、如图4所示，四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为正方形 ，
PD?
平面
ABCD
，
PD?AB?2
，
E，
F
，
G
分别为
PC
、
PD
、
BC
的中点．求三棱锥
P?EFG
的体积．


题型四 用换底法计算点到面的距离
例4、如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
A BCD
是平行四边形，
?BCD?60
?
，
AB?2AD
，
PD?
平面
ABCD
，点
M
为
PC
的中 点.
（1）求证:
PA
平面
BMD
；
（2）求证：
AD?PB
；
（3）若
AB?PD?2
，求 点
A
到平面
BMD
的距离.




A
P
M
D
C
B
图4

80

考点四：综合运用
例1、【2015?全国Ⅰ卷?文18】如图四边形ABCD为菱形，G为 AC与BD交点，
BE?平面ABCD
，
（I）证明：平面
AEC?
平面
BED
；
（II）若
?ABC?120
，
AE?EC,
三棱锥
E?ACD
的体积为






例2、如下图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD ＝CD＝2AB＝2，M为PC
的中点．
(1)求证：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，
确定点N的位置；若不存在，请说明理由．



6
，求该三棱锥的侧面积.
3
P
(Practice- Oriented)
——实战演练

实战演练









81

? 课堂狙击
1、（培 优题）直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AC=AB=A A
1
，且异面直线AC
1
与A
1
B所成的角为60°，
则∠ CAB等于 ．


2、（2015?淄博模拟）在如 图所示的几何体中，四边形ABED是矩形，四边形ADGC是梯形，AD⊥平面
DEFG，EF∥DG ，∠EDG=120°．AB=AC=FE=1，DG=2．
（Ⅰ）求证：AE∥平面BFGC；
（Ⅱ）求证：FG⊥平面ADF．


3、正三棱柱
ABC?A< br>1
B
1
C
1
中，
BC?2
，
AA< br>1
?6
，Ｄ、Ｅ分别是
AA
1
、
B
1
C
1
的中点，
（Ⅰ）求证：面
AA
1
E
⊥面BCD；
（Ⅱ）求直线
A
1
B
1
与平面BCD所成的角．
D
A
1
B
1
E
C
1









82

A
B
F
C

4、如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1中，平面
A
1
BC?
侧面
A
1
ABB
1
，且
AA
1
?AB?2
.
(1) 求证：
AB?BC
；
(2) 若
AC?22
，求锐二面角
A?A
1
C?B
的大小。



? 课后反击
1、正方体ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别为棱C
1
D
1
、C
1
C的中点，有以下四个结论：
①直线MN与AC所成角是60°；②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB
1
是异面直线；④直线AM与DD
1
是异面直线．
其中正确的结论为 （注：把你认为正确的结论的序号都填上）．
A
B
C
A
1

B
1

C
1



2、如图，多面体
EF?ABCD中，
ABCD
是以点
H
为中心的正方形，
EFAB,EH?平 面ABCD
，BC
?2
，EF
?EH?1
。
（1）证明：平面
ADF?平面ABCD
；
F
E
（2）求多面体
EF?ABCD
的体积。







A
D
H
B
C


83

3、如图，四棱锥P﹣ABCD中 ，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三
角形．
（Ⅰ）证明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．

4、（ 2015?宜宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，AA
1
⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA
1
=AB=6，< br>D为AC的中点．
（1）求证：直线AB
1
∥平面BC
1
D；
（2）求证：平面BC
1
D⊥平面ACC
1
A；
（3）求三棱锥C﹣BC
1
D的体积．


5、如图，在 四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
是
?DAB?60
且 边长为
a
的菱形，侧面
PAD
是等边三
角形，且平面
PAD
垂直于底面
ABCD
．
（1）若
G
为
AD
的中点，求证：
BG?
平面
PAD
；
（2）求证：
AD?PB
；
（3）求二面角
A?BC?P
的大小．










84

0

直击高考

1、（2010?全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA
1
，则异面直线BA
1
与AC
1
所成的角等于（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°
2、【2011?天 津】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；
（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；
（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．




3.【2015高考广东，文18】（本小题满分14分） 如图
3
，三角形
?DC
所在的平面与长方形
??CD
所在的
平面垂直，
?D??C?4
，
???6
，
?C?3
．
（1）证明：
?C
平面
?D?
；（2）证明：
?C?? D
；（3）求点
C
到平面
?D?
的距离．







85

4、【2016高考北京文数】如 图，在四棱锥
P?ABCD
中，
PC?
平面
ABCD
，AB∥DC,DC?AC

（I）求证：
DC?平面PAC
；
（II）求证：
平面PAB?平面PAC
；

（III）设点E为A B的中点，在棱PB上是否存在点F，使得
??
平面
C?F
?说明理由.


S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：线面平行垂直平行垂直定义和性质
考点二：点线面夹角之间的夹角
考点三：体积的计算和换底面法的运用
考点四：综合运用
名师点拨

1.点线面夹角之间的夹角
类型一：线线夹角
① 夹角为90?时，可用投影法来判定异面直线是否垂直。
② 求异面直线所成角的思路：（一作二证三算）
a.利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移，是它们相共面。


86

b.找出相交直线所构成的三角形
c.求出三边长度。通过三边长度的特殊关系来得出夹角。
类型二:线面夹角
解题思路：求直线与平面所成角的思路——类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
a.直接法（利用线面角定义，做出线面角，然后转化为线线角的计算）；
b.或者先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin
?
.
类型三：二面角
a.定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线 得到平面角，然后再转化为解
三角形的问题。（常用）
b.垂面法：：已知二面角内一点到两 个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的
平面角，然后再转化为解三角形的问题。
2.求体积的常规方法有直接法（公式法）、等积法(换底法)、分割法、补形法等。
A.直接法主要锥体的公式要乘以三分之一；
B.等积法主要用在三棱锥中，四棱锥是不能换底的。
C.对于不规则的几何体常用分割法或补形法，变成规则几何体再计算。

? 本节课我学到了


? 我需要努力的地方是






87

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型 T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第08讲--- 直线的倾斜角与斜率

P实战演练 S归纳总结
① 了解直线倾斜角的概念，掌握直线倾斜角的范围；
教学目标
② 理解直线斜率的概念，理解各倾斜角是
90
时的直线没有斜率；
③ 已知直线的倾斜角(或斜率)，会求直线的斜率(或倾斜角)；
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建

知识点一、直线的倾斜角
平面直角坐标系中，对于一条与
x
轴相 交的直线，如果把
x
轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重
合时所转的最小正角记为
?
，则
?
叫做直线的倾斜角.
规定：当直线和
x
轴平行或重合时，直线倾斜角为
0
，所以，倾斜角的范围是
0?
?
? 180
．
要点诠释：
1.要清楚定义中含有的三个条件
①直线向上方向；②
x
轴正向；③小于
180
的角.
2. 当直线
l
与
x
轴相交时，直线
l
向上的方向与
x< br>轴的正方向之间所成的最小正角
?
就是直
l
线的
倾斜角。如下图所示
y




?
O
(1)
y
y
y
?
x
O
(2)
x
?
O
(3)
x
O
(4)
x


88

知识点二、直线的斜率
1．定义：
倾斜角不是
90
的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率 ，常用
k
表示，即
k?tan
?
．
要点诠释：
(1)当直线
l
与x轴平行或重合时，
?
=0°，k=tan0°=0；
(2)直线
l
与x轴垂直时，
?
=90°，k不存在.
由 此可知，一条直线
l
的倾斜角
?
一定存在，但是斜率k不一定存在.
2．直线的倾斜角
?
与斜率
k
之间的关系
（1）当
?
?0
时，
k?tan0?0
； （2）当
0?
?
?90
时，
k?0
，
k
随着
?的增大而增大；
（3）当
?
?90
时，
k
不存在； （4）当
90?
?
?180
时，
k?0
，
k
随着
?
的增大而增大；。
知识点三、斜率公式
已知点
P
1
P
2
与
x
轴不垂直，过两点
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，且
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)的直线的
斜率公式
k?
y
2
?y
1
.
x
2
?x
1
要点诠释：
1.对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1) 当x
1
=x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角
?
=90°，直线与x轴垂直； < br>(2)当y
1
=y
2
时，斜率k=0，直线的倾斜角
?
=0°，直线与x轴平行或重合；
2.斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由
P
1
、
P
2
点的坐标求
k
的值；
(2)已知
k
及
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
中的三个量可求第四个量；
(3)已知
k
及P
1
、
P
2
的横坐标(或纵坐标)可求
|PP
12
|
；
(4)证明三点共线.




89

知识点四、两直线平行的条件
设两条不重合的直线
l
1
,l
2
的斜率分别为
k
1
,k
2
.若
l
1< br>l
2
，则
l
1
与
l
2
的倾斜角?
1
与
?
2
相等.由
?
1
?
?
2
，
可得
tan
?
1
?tan
?
2
，即
k
1
?k
2
.
因此，若
l1
l
2
，则
k
1
?k
2
. 反之，若
k
1
?k
2
，则
l
1
l
2
.
要点诠释：
1.公式
l
1
l
2
?k
1
?k
2
成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为
k
1，k
2
；②
l
1
与l
2
不重合；
2 .当两条直线的斜率都不存在且不重合时，
l
1
与l
2
的倾斜角都是
90?
，则
l
1
l
2
.
要点五、两直线垂直的条件
设两条直线
l
1
,l
2
的斜率分别为
k
1
,k
2
.若
l
1
?l
2
，则
k
1
?k
2
??1
.
要点诠释：
1.公式
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；
2.当一条垂直直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直.
典例分析

考点一：直线的倾斜角与斜率
例1、设直线
l
与x轴的交点为 P，且倾斜角为
?
，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线
l
的倾 斜
角为
?
+45°，则（ ）
A．0°≤
?
＜90° B．0°≤
?
＜135° C．0°＜
?
≤135° D．0°＜
?
＜135°
例2、下图中各标注的直线的倾斜角是否正确？为什么？





90

考点二：过两点的直线斜率公式的应用
例1、经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；



（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，
3
）．




例2、已知A（a，2），B（5，1），C（―4，2a）三点在同一条直线上，求a的值．



例3、已知两点
A
?
m,3
?,B2,3?23
，直线
l
的斜率是



例4、已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求

考点三：两条直线平行的条件
??
3
1
，且
l
的 倾斜角是直线
AB
倾斜角的，求
m
的值
3
3
y
的最大值和最小值．
x
例1、已知
l1
经过A（―3，3），B（―8，6），
l
2
经过
M
?
?

?
21
??
9
?
,6
?< br>，
N
?
,?3
?
，求证：
l
1
l< br>2
．
?
2
?
?
2
?


91

例2、已知



考点四：两条直线垂直的条件
例1、判断下列各题中
l
1
与
l
2
是否垂直． < br>（1）
l
1
经过点A（―1，―2），B（1，2），
l
2< br>经过点M（―2，―1），N（2，1）；


（2）
l
1
的斜率为―10，
l
2
经过点A（10，2），B（20，3）；



（3）
l
1
经过点A（3，4），B（3，10），< br>l
2
经过点M（－10，40），N（10，40）．




ABCD的三个顶点的坐标分别是A（0，1），B（1，0），C（4，3），求顶点D的坐标．
P
(Practice-Oriented)
——实战演练

实战演练

? 课堂狙击
1、设直线
l
过原点，其倾斜 角为
?
，将直线
l
绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得
到直线< br>l
1
，则直线
l
1
的倾斜角为（ ）



92

A．
?
+45° B．
?
－135° C．135°－
?

D．当0 °≤
?
＜180°时，为
?
+45°，当135°≤
?
＜1 80°时，为
?
－135°
2、若直线
x?2y?5?0
与直线< br>2x?my?6?0
互相垂直，则实数
m
= ．


3、求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角
?
是锐角还是钝角。 < br>（1）
A
?
0,1
?
,B
?
3,4
?
；（2）
A
?
5,6
?
,B
?
?10, 6
?
；


（3）
P
?
5,6
?
,Q
?
3,7
?
；（4）
P
?
?3,1
?
,Q
?
?3,10
?



4 、判断下列各小题中的直线
l
1
与
l
2
是否平行．
（1）
l
1
经过点A（―1，―2），B（2，1），
l
2
经过点M（3，4），N（―1，―1）；


（2）
l
1的斜率为1，
l
2
经过点A（1，1），B（2，2）；


（3）
l
1
经过点A（0，1），B（1，0），
l
2经过点M（―1，3），N（2，0）


（4）
l
1
经过点A（―3，2），B（―3，10），
l
2
经过点M（5，―2），N（5， 5）．


5、已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．



93

6、已知直线
l
过 点
A(?2,1)
且与线段
BC
相交，设
B(?1,0),C(1, 0)
，则直线
l
的斜率
k
的取值范围
是 ．

7、已知定点A（―1，3），B（4，2），以A，B为直径的端点，作圆与x轴交于 点C，求交点C的坐标．


? 课后反击
1、过点P（－2，m），Q（m，4）的直线的斜率为1，则m的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4

2、已知直线
l
的倾斜角 为
?
，并且0°≤
?
＜120°，直线
l
的斜率k的范围是 （ ）
A．
?3?k?0
B．
k??3
C．k≥0或
k??3
D．k≥0或
k??
3、如图，若图中直线< br>l
1
,l
2
,l
3
的斜率分别为k
1
， k
2
， k
3
，则( )
A.k
1
2
3
B.k
3
1
2
C.k
3
2
1
D.k
1
3
2

3

3
4、已知过点A（―2，m）和B（m，4）的直线与直线y=―2x―1平行，则m的值为 （ ）
A．0 B．―8 C．―2 D．10
5、若直线l
1
，
l
2
的倾斜角分别为
?
1
，< br>?
2
，且
l
1
⊥
l
2
，则（ ）
A．
?
1
?
?
2
?90?
B．
?
1
?
?
2
?90?
C．
?
1
?
?
2
?180?
D．
?
1
?
?
2
?90?

a1
x?
与直线
y??x?2
互相垂直，那么a的值为（ ）
22
12
A．1 B．
?
C．
?
D．―2
33
k
7、已知三点A（2，―3），B（4，3），
C(5,)
在同一条直线上，则k=________．
2
6、直线
y??


94

8、过点A（a，4）和B（b，3）的直线与直线y=x +m垂直，则|AB|的值为________．

9、若直线
l
经过点< br>(a?2,?1)
和
(?a?2,1)
且与经过点（-2，1），斜率为
?
________．
10、已知点P(3，2)，点Q在x轴上，若直线PQ的倾斜角为 150°，则点Q的坐标为___________.

11、若过点P（1―a，1+a） 和Q（3，2a）的直线PQ的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．


12、过 点P（―1，2）的直线
l
与线段AB相交，若A（―2，―3），B（3，0），求
l
的斜率k的取值范围．



13、已知一光线从点
A
?
?1,3
?
出发，照在
x
轴上反射回去，反射光线过点< br>B
?
2,7
?
，求
x
轴上光照点的坐
标。




2
的直线垂直，则实数
a
的值为
3
S
(Summary- Embedded)
——归纳总结

重点回顾

考点一：直线的倾斜角与斜率
考点二：过两点的直线斜率公式的应用
考点三：两条直线平行的条件
考点四：两条直线垂直的条件


95

名师点拨

一、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：
(1)由
P
1
、
P
2
点的坐标求
k
的值；
(2)已知
k及
x
1
,y
1
,x
2
,y
2
中的三个量可求第四个量；
(3)已知
k
及
P
1
、
P
2
的横坐标(或纵坐标)可求
|PP
12
|
；
(4)证明三点共线.
二、直线平行与垂直的判定
1、判定两条直线是否平行，只 要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，
以及两条直线是否重合．
2、判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等
于-1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两条直线也垂直．
? 本节课我学到了



? 我需要努力的地方是










96

学科教师辅导讲义
学员编号：
学员姓名：
授课主题
授课类型
教学目标
T同步课堂
年 级：高一
辅导科目：数学
课 时 数：3
学科教师：
第09讲--- 直线的方程

P实战演练 S归纳总结
① 掌握直线方程的点斜式，斜截式、两点式、截距式；
② 能根据直线满足的几何条件，选择恰当的方程形式，求直线方程。
授课日期及时段

T
（Textbook-Based）
——同步课堂

体系搭建

知识点一：直线的点斜式方程
方程
y?y
0
?k(x ?x
0
)
由直线上一定点及其斜率决定，我们把
y?y
0
? k(x?x
0
)
叫做直线的点斜式
方程，简称点斜式.
要点诠释：
1.点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于 y
轴的直线，即斜率不存在的直线；
2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为
y?y
1
；
3.当直线 倾斜角为90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:
x?x
1< br>.
4.
k?
y?y
0
表示直线去掉一个点
P
0
(x
0
,y
0
)
；
y?y
0
?k(x?x
0
)
表示一条直线.
x?x
0
知识点二：直线的斜截式方程
如果直线
l
的斜率 为
k
，且与
y
轴的交点为
(0,b)
，根据直线的点斜式方 程可得
y?b?k(x?0)
，即


97

y?kx?b
.我们把直 线
l
与
y
轴的交点
(0,b)
的纵坐标
b
叫做直线
l
在
y
轴上的截距，方程
y?kx?b
由直
线的斜率
k
与它在
y
轴上的截距
b
确定，所以方程
y?kx?b
叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
要点诠释：
1.b为直线< br>l
在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线. 4.斜截式是点斜式的特殊情况，在方程
y?kx?b
中，
k
是直线的斜 率，
b
是直线在
y
轴上的截距.
知识点三：直线的两点式方程 < br>经过两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
(其中
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
)的直线方程为
这个方程为直线 的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
y?y
1
x?x
1称
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2)
，
y
2
?y
1
x
2
?x
1
1.当直线没有斜率(
x
1
?x
2
)或斜率为
0( y
1
?y
2
)
时，不能用两点式求出它的方程.
2.在 应用两点式求直线方程时，往往把分式形式
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
通过交 叉相乘转化
y
2
?y
1
x
2
?x
1
为整式形式
(y?y
1
)(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)(x?x
1
)
，从而得到的方程中，包 含了x
1
=x
2
或y
1
=y
2
的情况，但 此
转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由x
1
、x
2
和 y
1
、y
2
是否相等引起的讨论．要避免讨论，
可直接假设两点式的 整式形式．
知识点四：直线的截距式方程
若直线
l
与x轴的交点为A(a ，0)，与y轴的交点为B(0，b)，其中
a?0,b?0
，则过AB两点的直线方
程为
xy
??1
，这个方程称为直线的截距式方程.a叫做直线在x轴上的截距，b叫 做直线在y轴上的截距.
ab
要点诠释：
1.截距式的条件是
a?0, b?0
，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直
线.
2.求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y= 0得直线在x轴上的截距.


98