高一数学必修二知识点学习资料

高一数学必修二知识点
第一部分：立体几何
一、多面体
●1. 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为几面体。

棱柱
由一个平面多边形沿某一方
定
向平移形成的空间几何体。
义
的部分。
(1) 两个底面与平行于底面
的截面是对应边互相平行的
全等多边形；
性
(2) 侧面都是平行四边形， (3) 侧面是有一个公共顶点
质
侧棱都相等；
(3) 过棱柱不相邻的两条侧
棱的截面都是平行四边形。
●2.






二、中心投影和平行投影
●1. 投影—— 是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图
形的方法。投射线交于一点 的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。 平行
投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。
●2. 视图—— 物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投
影称为主视图或正视图，自 上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左
视图称为三视图；作图关键：按“长 对正、高平齐、宽相等”。
●3. 空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形

1
四棱柱 平行六面体 直平行六面体
底面是平
行四边形
侧棱与
底面垂直
底面
是矩形
棱长
相等
棱锥
当棱柱的一个底面收缩为一
点时，得到的几何体。
棱台
棱锥被一个平行于底面的平
面所截后，截面和底面之间
(1) 底面是多边形；
(2) 平行于底面的截面与底
面相似；
(1) 两个底面是相似多边形；
(2) 两个底面以及平行于底
面的截面是对应边互相平行
的相似多边形；
(3) 侧面都是梯形。 的三角形。

长方体

正方体

ABC的面积为S，用斜二测画法画得它的直观图三角形
A
?
B
?
C
?
的面积为
S
?
，则
S
?
?
2
S
。作图
4
关键：倾斜45?，横“等”纵 “半”。

三、平面基本性质：（三公理三推论）
名 称 内 容
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直
公理2
线。
公理3 经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。
推论2 经过两条相交直线，有且仅有一个平面。
推论3 经过两条平行线，有且仅有一个平面。

四、空间两条不重合的直线的位置关系
●1. 空间两条直线有三种位置关系：(1)相交直线； (2)平行直线； (3)异面直线。
●2. 若从有无公共点角度看，可分两类：
有且只有一个公共点——相交直线
平行直线
没有公共点
异面直线
●3. 若从是否共面的角度看, 可分为两类：
相交直线
在同一平面内
平行直线
不同在任一平面内——异面直线
●4. 异面直线
(1) 定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
(2) 性质: 两条异面直线既不相交也不平行。
(3) 判定定理——连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是

2

异面直线。
(4) 异面直线所成的角——设
a,b是两条异面直线，经过空间任一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，
我们把
a
?
与
b
?
所成的 锐角(或直角)叫做异面直线
a
与
b
所成的角(或夹角)。
(5) 异面直线所成角的范围为
0,
?
?
?
。
?
2
?
(6) 求异面直线所成的角分两步：一是找角，通过平行移动找两直 线所成的角；二是求角，
通过解三角形求角。
两条异面直线所成的角是直角,则称两条异面直 线互相垂直.所以线线垂直包括两条相交直线
互相垂直和两条异面直线互相垂直两种情况。

3

五、空间的直线与平面
●1
线
定义
如果一条直线
l
与一个
线面平行的判定定理 线面平行的性质定理
我们就
面
平面
?
没有公共点，
平
说直线
l
与平面
?
平行。记
行
作:
l

?

●2
线
面
定义
a?
?
,l?
?
?
?
?l
?

la
?
即：线线平行
?
线面平行
l
?
,l?
?
?
?
?la

?
I
?
?a
?
即：线面平行
?
线线平行
线面垂直的判定定理 线面垂直的性质定理
?a?
?
，有
l?a

垂
记作:
l?
?

直
l?a,l?b
?
?
aI
b?O
?
?l?
?

a,b?
?
?
?
即：线线垂直
?
线面垂直
a?
?
,b?
?
?ab

即：线面垂直
?
线线平行
证明线面平行，要抓住上述判定定理中的“内”“ 外”两关键字眼，“内应外合”。通过勾股
定理的逆定理计算得出垂直也是常用手段。
●3. 点到平面的距离——过
?
外一点
A
向
?
作垂线，则
A
和垂足
B
之间的距离叫做点
A
到
平面
?
的距离。
●4. 线面所成的角——平面
?
的一条斜线
l
与它在该平面内的射影所成的锐角，叫做这条直
线与这个平面所成的角.
l?
?
时称
l
与
?
所成的角为直角；
l
?
时 称
l
与
?
所成的角为
0?
角。
线面角范围为
[0,
?
]
。
2
●5. 三垂线定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条
斜线垂直。
●6. 三垂线逆定理：如果平面内一条直线和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线
的射影垂直。

六、空间的平面与平面
●1
面
面
平
行

定义 面面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相
面面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与
?
I
?
?
?

记为:
?

?

交直线分别平行于另一个平第三个平面相交，那么它们的
面，那么这两个平面平行
即：线面平行
?
面面平行
交线平行。
即：面面平行
?
线线平行

4

●2
定义
如果两个平面所成
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个
面面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，
面
那么在一个平面内垂直于它们
面 的二面角是直二面角, 平面的一条垂线，那么这两个
交线的直线垂直于另一个平
垂 我们就说这两个平面互平面互相垂直。
直 相垂直。
即：线面垂直
?
面面垂直
面。
即：面面垂直
?
线面垂直

●3. 二面角——从 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个半平面叫做二面角 的面。棱为
l
，两个半平面分别为
?
,
?
的二面角记为?
?l?
?
。
二面角范围为
[0,
?
]
。
●4. 二面角平面角的作法：一是定义，在棱上取一点，分别在二面角的两个面作与棱 垂直的
射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；二是利用线面垂直的判定和性质，在二面角的< br>一个面内取一点
P
作另一个面的垂线，自垂足
A
作二面角的棱的垂线< br>AO
，
AO
与棱交于点
O
，
则
?POA即为二面角的平面角或其补角；三是过空间一点作二面角的棱的垂面，垂面与二面角
的两个面的交线 所成的角是二面角的平面角。

七、柱、锥、台、球的表面积和体积
●1. 侧面积公式（注:
锥或正棱台的斜高）

公式
直棱柱 正棱锥 正棱台
c
表示柱、锥、台的底面周长，
c
?
表示棱台上底面周长，
h
?
表示正棱
S
直棱柱侧
?ch

S
正棱锥侧
?
1
ch
?

2
S< br>正棱台侧
?
1
(c?c
?
)h
?

2
●2. 体积公式

公式
棱柱 棱锥 棱台
V
柱体
?Sh

V
锥体
?
1
Sh

3
V
台体?
1
（hS?SS
?
?S
?
)

3
●3. 球——与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。
球面——与定点距离等于定长的点的集合。
大圆——球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。
两点的球面距离——球面上两点之间的最短距离（就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣

5

弧的长度）。
●4. 球的截面性质
(1) 用一个平面截球，所得的截面是一个圆面；
(2) 球心和截面圆心的连线
?
截面；
(3) 球心到截面距离d与球的半径R及截面
?

r
的半径r满足关系：
r?R
2
?d
2
。
●5. 球面面积公式：
S
?
R
2
球面
?4

●6. 球体积公式：
V
球
?
4
?
R
3
3





d
R
6

第二部分：直线方程
一、直线
●1．直线的方程
（1）直线
l
的倾斜角
?
的取值范围是
0?
?
?
?
；平 面内的任意一条直线都有唯一确定的倾
斜角。
（2）直线
l
的斜率
k?tan
?
(0?
?
?
?
,
且
?
?
变化情况如下：
倾斜角
?
斜率
k
变化关系
?
2
）。
?
?(0,
?
)

2
k?0

k?0

k
不存在
k
随
?
的增大而增大
k
随
?
的增大而增大
任何直线都有倾斜角，
但不一定有斜率
?
?(
?
,
?
)

2
?
?
?

2
斜率的计算公式：若斜率为
k
的直线过点
P
1
(x
1
,y
1
)
与
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
k ?
（3）直线方程的五种形式
名称 条件
直线
l
的斜率为
k
，
点斜式
且经过点
P(x
1
,y
1
)

直线
l
的斜率为
k
，
在
y
轴上的截距为
b

方程形式 不能表示的直线
y
2
?y
1
(x?x)
。
x
2
?x
1
12
特殊情况
y?y
1
?k(x?x
1
)

不能表示垂直于
x
轴
的直线
不能表示垂直于
x
轴
的直线
k?0
时，
方程为
y?y
1

斜截式
y?kx?b

k?0
时
y?b

x
1
?x
2
时，
直线
l
经过两点
两点式
P
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)

且
x
1
?x
2
，
y
1
?y
2

不能表示垂直于
x
轴
y?y
1
x?x
1

?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
和
b
轴的直线
方程为
x?x
1
；
y
1
?y
2
时，
方程为
y?y
1

直线
l
在
x
轴和
y
轴上的
截距式 截距分别为
a
和
b
（
a?0,b?0
）
一般式

x
?
y
?1

ab
不能表示垂直于x
轴
和
y
轴及过原点的直
线

Ax?By?C?0

可以表示平面内的任
（
A,B
不同时为
零）
意直线



7

●2．两条直线位置关系 < br>（1）设两条直线
l
1
:y?k
1
x?b
1
和
l
2
:y?k
2
x?b
2
，则有下列结论： < br>l
1
l
2
?k
1
?k
2
且
b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
?k
2
??1
。
（2）设两条直线
l1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0(A
1
,B
1
不全为
0)
和
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
(A
2
,B2
，不全为
0)，则有下列结论：
l
1
l
2
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0且
BC
12
?B
2
C
1
?0
或
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
且< br>AC
12
?A
2
C
1
?0
；
l< br>1
?l
2
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
。
（3）求两条直线交点的坐标：解两条直线方程所组成的二元一次方程组而得解。
（4）与直 线
Ax?By?C?0
平行的直线一般可设为
Ax?By?m?0
；
与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线一般可设为
Bx?Ay?n?0
。
（5）过两条已知直线
A
1
x?B
1
y?C
1?0,A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线 系：
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0(其中不包括直线A2
x?B
2
y?C
2
?0)

●3．中点公式：
平面内两点
P
1
,P
2
两点的 中点
P(x,y)
为
x?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
●4．两点间的距离公式：
22
平面内两点
P

12
?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y2
)
。
1
,P
2
两点间的距离为：
PP
1
(x
1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
，则
P
y?y
x
1< br>?x
2
,y?
12
。
22
●5．点到直线的距离公式：
平面内点
P
1
(x1
,y
1
)
到直线
Ax?By?C?0
的距离为：d?
|Ax
1
?By
1
?C|
。
22
A?B
设平面两条平行线
l
1
:Ax?By?C?0,l
2
:Ax?By?D?0,C?D
，
则l
1
与l
2
的距离为
d?



C?D
A?B
22
。

8

二、对称问题
●1. 点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因 此中心对称的问题
是线段中点坐标公式的应用问题。
设
P(x
0
, y
0
)
，对称中心为
A(a,b)
，则P关于A的对称点为
P
?
(2a?x
0
,2b?y
0
)
。

●2. 点关于直线成轴对称问题
由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线 ”.利用“垂直”“平分”这两个
条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下：
?
y
??
y
0
?k??1,
?
?
x
??
x
0
设点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
y?kx?b
的对称点为
P
?
(x
?
, y
?
)
，则有
?
，
?
y
?
?y
0
?k?
x
?
?x
0
?b,
?
2
?
2
可求出
x
?
,
y
?
。 特殊地，点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
x?a
的对称点为
P
?
(2a?x
0
,y
0
)< br>；点
P(x
0
,y
0
)
关于直线
y?b的对称点为
P
?
(x
0
,2b?y
0
)
。
●3. 曲线关于点、曲线关于直线成中心对称或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴< br>对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）。一般结论如下：
（1）曲线
f(x,y)?0
关于已知点
A(a,b)
的对称曲线的方程是
f(2a? x,2b?y)?0
。
（2）曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?kx?b
的对称曲线的求法： < br>设曲线
f(x,y)?0
上任意一点为
P(x
0
,y
0
)
，P点关于直线
y?kx?b
的对称点为
P
?
(x,y)
，则
?
y?y
0
?k??1
?
?
x?x
0
由（2）知，P与
P
?
的坐标满足
?
， 从中解出
x
0
、
y
0
，代入已知曲线
f(x,y) ?0
，
y?y
x?x
?
0
?k?
0
?b< br>?
2
?
2
应有
f(x
0
,y
0)?0
。利用坐标代换法就可求出曲线
f(x,y)?0
关于直线
y?k x?b
的对称曲线方程。
●4. 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
（1）点
(x,y)
关于
x
轴的对称点为
(x,?y)
；
（2）点
(x,y)
关于
y
轴的对称点为
(?x,y)
；
（3）点
(x,y)
关于原点的对称点为
(?x,?y)
；
（4）点
(x,y)
关于
x?y?0
的对称点为
(y ,x)
；
（5）点
(x,y)
关于直线
x?y?0
的对称点为
(?y,?x)
。

9

10