高中数学必修2全册单元测试题及解析

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第一章 章末检测（B）
(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．下图中的图形经过折叠不能围成棱柱的是( )
2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于( )

A．4 B．6 C．8 D．12
3．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面 、下面、左面、右面”表示，
如图所示，是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则 这个正方体的下面
是( )

A．0 B．9 C．快 D．乐
5．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是( )


A．6 B．32 C．62 D．12
6．下列几何图形中，可能不是平面图形的是( )
A．梯形 B．菱形
C．平行四边形 D．四边形
7．如图所示，在正方体ABCD —A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是B B
1
、BC的中点．则图中
阴影部分在平面ADD
1
A
1< br>上的正投影为( )

1

8．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱
的体积为( )

A．123 B．363
C．273 D．6
9．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AB∥平面CD
C．CD∥GH D．AB∥GH
10．若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分 成
两部分的体积比是( )
11
A． B．
24
39
C．1 D．
129
11．如图所示 ，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC
作截面SAC，则截面的面 积为( )


3
2
A．a B．a
2

2
11
C．a
2
D．a
2

23
12．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是( )

2

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知 A、B、C、D四点在同一个球面上，AB⊥BC，AB⊥BD，AC⊥CD，若AB＝6，
AC＝21 3，AD＝8，则B、C两点间的球面距离是________．
14．若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．
15．下列有关棱柱的说法：
①棱柱的所有的面都是平的；
②棱柱的所有的棱长都相等；
③棱柱的所有的侧面都是长方形或正方形；
④棱柱的侧面的个数与底面的边数相等；
⑤棱柱的上、下底面形状、大小相等．
其中正确的有________．(填序号)
16．如图，是一个正方体的展开图，在原正方体中，相对的面分别是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 画出如图所示的四边形OABC的直观图．(要求用斜二测画法，并写出画法)








18．(12分)已知四棱锥P－ABCD，其三视图和直观图如图，求该四棱锥的体积．

3

19．(12分) 如图，在正三棱柱ABC－A< br>1
B
1
C
1
中，AB＝3，AA
1
＝4，M 为AA
1
的中点，P
是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC
1
到M的最短路线长为29，设这条最短路线
与CC
1
的交点为N．求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．











20．(12分) 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底
边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三
角形．求：
(1)该几何体的体积V；
(2)该几何体的侧面积S．









21．(12分)如图所示，一个封 闭的圆锥型容器，当顶点在上面时，放置于锥体内的水面
11
高度为h
1
，且 水面高是锥体高的，即h
1
＝h，若将锥顶倒置，底面向上时，水面高为h
2
，
33
求h
2
的大小．


4

22．(12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来 一
个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形
使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．
试求：(1)AD应取多长？(2)容器的容积．




















1．D
2．A

第一章 空间几何体(B) 答案

[由三视图得几何体为四棱锥，如图记作S－ABCD，其中SA⊥面ABCD，SA＝2，
AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形．∠DAB＝90°，
1111∴V＝
SA×(AB＋CD)×AD＝×2××(2＋4)×2＝4，故选A．]
3232

5

3．C 4．B
5．D [△OAB为直角三角形，两直角边分别为4和6，S＝12．]
6．D [四边形可能是空间四边形，如将菱形沿一条对角线折叠成4个顶点不共面的四
边形．]
7．A
8．B [由三视图知该直三棱柱高为4，底面正三角形的高为33，所以正三角形边 长
为6，所以V＝
9．C [
3
×36×4＝363，故选B．]
4
原正方体如图，由图可得CD∥GH，C正确．]
10．D [设上，下底半径分别为r
1
，r
2
，
过高中点的圆面半径为r
0
，由题意
2
V
上
r< br>2
1
＋r
1
r
0
＋r
0
539得r
2
＝4r
1
，r
0
＝r
1
，∴< br>＝
2
＝．]
2129
V
下
r
2
＋ r
2
r
0
＋r
2
0

11．C [根据正 棱锥的性质，底面ABCD是正方形，∴AC＝2a．在等腰三角形SAC
中，SA＝SC＝a，又AC ＝2a，
1
∴∠ASC＝90°，即S
△SAC
＝
a
2
．]
2
12．A [当截面平行于正方体的一个侧面时得③；当截面过正方体的体对角线时可得④；当截面既不过体对角线又不与任一侧面平行时，可得①．但无论如何都不能截得②．故
选A．]
4
13．
π
3
解析

如图所示，由条件可知 AB⊥BD，AC⊥CD．由此可知AD为该球的直径，设AD的中
点为O，则O为球心，连接OB、O C，由AB＝6，AD＝8，AC＝213，得球的半径OB＝
OC＝OA＝OD＝4，BC＝AC2
－AB
2
＝
60π
4
C两点间的球面距离为R＝π．
1803
14．27π
?213?
2
－6
2< br>＝4，所以球心角∠BOC＝60°，所以B、
解析 若正方体的顶点都在同一球面上，则球的直径d等于正方体的体对角线的长．
3 3
∵棱长为3，∴d＝ 3·3
2
＝3 3?R＝．
2
∴S＝4πR
2
＝27π．
15．①④⑤

6

16．①与④，②与⑥，③与⑤
解析 将展开图还原为正方体，可得①与④相对，②与⑥相对，③与⑤相对．
17．解 直观图如下图所示．

(1)画轴：在直观图中画出x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2 )确定A′，B′，C′三点，在x′轴上取B′使O′B′＝4．过(2,0)，(4,0)两点作y′
轴的平行线，过(0,2)，(0，－1)两点作x′轴的平行线，得交点A′，C′．
(3)顺次 连接O′A′，A′B′，B′C′，C′O′并擦去辅助线，就得到四边形OABC
的直观图O′A′ B′C′．
18．解 由三视图知底面ABCD为矩形，
AB＝2，BC＝4．
顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，即棱锥的高为2，
1116
则体积V< br>P－ABCD
＝S
ABCD
×PE＝×2×4×2＝
．
333
19．解 (1)正三棱柱ABC－A
1
B
1
C1
的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对
角线的长为
(2)
9
2
＋4
2
＝97．

如图所示，将平面BB< br>1
C
1
C绕棱CC
1
旋转120°使其与侧面AA
1
C
1
C在同一平面上，点P
运动到点P
1
的位置，连接MP
1
，则MP
1
就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC
1
到点M的 最短
路线．
设PC＝x，则P
1
C＝x．
在Rt△MAP
1
中，
在勾股定理得(3＋x)
2
＋2
2
＝29，
求得x＝2．
∴PC＝P
1
C＝2．
NCP
1
C2
∵＝＝，
MAP
1
A5
4
∴NC＝．
5
20．解


7

由已知该几何体是一个四棱锥P－ABCD，如图所示．
由已知，AB＝8，BC＝6，高h＝4，
由俯视图知底面ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点O，连接PO，则PO＝4，即为棱
锥的高．作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，连接PM、P N，则PM⊥AB，PN⊥BC．
∴PM＝
PN＝
PO
2
＋OM< br>2
＝4
2
＋3
2
＝5，
PO
2
＋ ON
2
＝4
2
＋4
2
＝42．
11
(1)V＝Sh＝×(8×6)×4＝64．
33
(2)S
侧
＝2S
△PAB
＋2S
△PBC
＝AB·PM＋BC·PN＝8×5 ＋6×42＝40＋242．
21．解 当锥顶向上时，设圆锥底面半径为r，水的体积为：
11
2
?
2
219
2
r
·h＝
πrh． V＝
πr
2
h－
π
?
33
?
3
?
381
当锥顶向下时，设水面圆半径为r′，
1
则V＝
π·r′
2
·h
2
．
3
h
2
r
又r′＝，
h
22
1h
2
πh
3
2
r
2
r
此时V＝
π·
2
·h
2
＝
2
，
3h3h
32
πh< br>2
r19
∴
2
＝
πr
2
h，
3h81
3
∴h
2
＝
19
h，
3
3
即所求h
2
的值为
22．解
19
h．
3

(1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，
AD＝x，则OD＝72－x，由题意得
60·π
?
?
?
2πR＝
180
×72
?
R＝12
?
，∴
?
．
?
x＝36
?
?
?
72－x＝3R


即AD应取36 cm．
ππ
(2)∵2πr＝·OD＝·36，∴r＝6 cm，
33
圆台的高h＝
＝
x
2
－?R－r?
2

36
2
－?12－6?
2
＝635．
1
∴V＝
πh(R
2
＋Rr＋r
2
)
3
1
＝
π·635·(12
2
＋12×6＋6
2
)
3
＝50435π(cm
3
)．

8

9

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第二章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．给出下列语句：
①一个平面长3 m，宽2 m；
②平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；
③空间图形是由空间的点、线、面所构成的．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．a∥β，则a平行于β内的( )
A．一条确定的直线 B．任意一条直线
C．所有直线 D．无数多条直线
3．如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点， 则直
线PQ与RS是异面直线的图是( )
4．下列命题正确的是( )
A．一条直线与一个平面平行，它就和这个平面内的任意一条直线平行
B．平行于同一个平面的两条直线平行
C．平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与此平面平行
D．与两个相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个平面
5．如果OA∥O
1< br>A
1
，OB∥O
1
B
1
，那么∠AOB与∠A
1
O
1
B
1
( )
A．相等 B．互补
C．相等或互补 D．以上均不对
6．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中与AD
1
垂直的平面是( )
A．平面DD
1
C
1
C B．平面A
1
DB
1

C．平面A
1
B
1
C
1
D
1
D．平面A
1
DB
7．对于平面α和共面的直线m、n，下列命题中真命题是( )
A．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
B．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m?α，n∥α，则m∥n
D．若m、n与α所成的角相等，则m∥n
8．给出以下四个命题( )
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和 这个平面相交，那么这条
直线和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；

10

③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．设α、β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若l⊥α，α⊥β，则l?β
B．若l∥α，α∥β，则l?β
C．若l⊥α，α∥β，则l⊥β
D．若l∥α，α⊥β，则l⊥β
10．已知平 面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A?l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m
∥α，m∥β， 则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )
A．AB∥m B．AC⊥m
C．AB∥β D．AC⊥β
11．如图，ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，下面结论错误的是( )
．．
A．BD∥平面CB
1
D
1

B．AC
1
⊥BD
C．AC
1
⊥平面CB
1
D
1

D．异面直线AD与CB
1
所成的角为60°
12．如图所示，在长方体A BCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB＝B C＝2，AA
1
＝1，则BC
1
与平面
BB
1
D< br>1
D所成角的正弦值为( )


6251510
B． C． D．
3555
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设α∥β， A∈α，C∈α，B∈β，D∈β，直线AB与CD交于O，若AO＝8，BO＝9，
CD＝34，则C O＝________．
14．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、D A的中点．①若AC
＝BD，则四边形EFGH是________；②若AC⊥BD，则四边形EFG H是________．
15．在边长为a的等边三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面 角B－AD－C
1
后，BC＝a，这时二面角B－AD－C的大小为________． 2
16．如图，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是SA上一点，当点E满足条件：________时，SC∥平面EBD．
A．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分) 如图所示，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA


11

AEAH1CFCG
上的点，且满足＝＝，＝＝2．
EBHD2FBGD
(1)求证：四边形EFGH是梯形；
(2)若BD＝a，求梯形EFGH的中位线的长．












18．(12 分)某几何体的三视图如图所示，P是正方形ABCD对角线的交点，G是PB的
中点．
(1)根据三视图，画出该几何体的直观图；
(2)在直观图中，①证明：PD∥面AGC；
②证明：面PBD⊥面AGC．


19．(12分) 如图所示，在四面 体ABCD中，若棱CD＝2，其余各棱长都为1，试问：
在这个四面体中，是否存在两个面互相垂直？ 证明你的结论．











12

20．(12分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD ，侧棱PA⊥PD，底
面ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O 是AD上一点．
(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；
(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．







21．(12分) 如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直 ，EF∥AC，AB
＝2，CE＝EF＝1．
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE．












1
22．(12分) 如图 ，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是
2
AC、PC的中 点，OP⊥底面ABC．
(1)求证：OD∥平面PAB；
(2)求直线OD与平面PBC所成角的正弦值．






13

第二章 点、直线、平面之间的位置关系(B) 答案

1．B
2．D [直线a平行于过a且与α相交的平面的交线，在平面α内与交线平行的直线有
无数条．]
3．C [

易知A、B中的直线是平行的，故一定共面，D选项的四个点恰好在一 个六边形的截面
上(如图所示)．]
4．C [可以以正方体为载体作出判断．]
5．C
6．B [因为AD
1
⊥A
1
D，且AD
1
⊥A
1
B
1
．]
7．C [关键在于“共面的直线m、n”，且直线m，n没有公共点，故一定平行．]
8．B [①②④正确．]
9．C [当l⊥α，α⊥β时不一定有l?β，还有可能l∥β，故A不对，当l ∥α，α∥β时，
l?β或l∥β，故B不对，若α∥β，α内必有两条相交直线m，n与平面β内的两 条相交直线
m′，n′平行，又l⊥α，则l⊥m，l⊥n，即l⊥m′，l⊥n′，故l⊥β，因此C 正确，若l∥α，α⊥
β，则l与β相交或l∥β或l?β，故D不对．]
10．D [∵m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l．
∵AB∥l，∴AB∥m．故A一定正确．
∵AC⊥l，m∥l，∴AC⊥m．从而B一定正确．
∵A∈α，AB∥l，l?α，∴B∈α．
∴AB?β，l?β．∴AB∥β．故C也正确．
∵AC⊥l，当点C在平面α内时，AC⊥β成立，
当点C不在平面α内时，AC⊥β不成立．故D不一定成立．]
11．D [对于选项D，∵ BC∥AD，∴∠B
1
CB即为AD与CB
1
所成角，此角为45°，故D< br>错．]
12．D [如图所示，在平面A
1
B
1
C
1
D
1
内过点C
1
作B
1
D
1
的 垂线，垂足为E．连接BE．


14

< br>C
1
E⊥B
1
D
1
?
?
C
1
E⊥BB
1
?
?
?
?C
1
E⊥平面BD D
1
B
1
．
∴∠C
1
BE的正弦值就是所求值．
2×2
∵BC
1
＝2
2
＋1
2
＝5，C< br>1
E＝
＝2．
22
C
1
E210
∴sin ∠C
1
BE＝
＝＝．]
BC
1
5
5
13．16或272
解析 当AB与CD的交 点O在两平面之间时CO＝16；当AB与CD的交点O在两平
面之外时，CO＝272．
14．菱形 矩形
15．60°
1
解析 如图所示可知，∠CDB为二面 角B－AD－C的平面角，由CD＝BD＝BC＝a，
2
可知∠CDB＝60°．
16．E是SA的中点
解析 连接AC交BD于O，


则O为AC中点，
∴EO∥SC
EO?面EBD，SC?面EBD，
∴SC∥面EBD．
AEAH1
17．(1)证明 因为
＝＝，
EBHD2
1
所以EH∥BD，且EH＝
BD．
3
CFCG
因为＝＝2，
FBGD
2
所以FG∥BD，且FG＝
BD．
3
1
因而EH∥FG，且EH＝
FG，
2
故四边形EFGH是梯形．

121
(2)解 因为BD＝a， 所以EH＝a，FG＝a，所以梯形EFGH的中位线的长为(EH＋
332
1
FG) ＝a．
2

15

18．(1)解 该几何体的直观图如图所示

(2)①证明 连接AC，BD交于点O，连接OG，因为G为PB的中点，O为BD的中点，
所以OG∥PD．
又OG?面AGC，PD?面AGC，所以PD∥面AGC．

②证明 连接PO，由三视图，PO⊥面ABCD，所以AO⊥PO．
又AO⊥BO，所以AO⊥面PBD．
因为AO?面AGC，
所以面PBD⊥面AGC．
19．解 存在两个互相垂直的平面，
即平面ACD⊥平面BCD．
过A作AE⊥CD，∵AD＝AC＝1，DC＝2，
∴∠DAC＝90°，
∴AE＝
2
，连接BE，
2
2
，
2

∵BD＝BC＝1，CD＝2，BE⊥DC，BE＝
∴∠AEB是二面角A—CD—B的平面角 ．
∵AB＝1，∴AB
2
＝AE
2
＋BE
2
，
∴∠AEB＝90°，
∴平面ACD⊥平面BCD．
20．(1)解 ∵CD∥平面PBO，CD?平面ABCD，
且平面ABCD∩平面PBO＝BO，
∴BO∥CD．
又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．
则BC＝DO，而AD＝3BC，
∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．
(2)证明 ∵侧面PAD⊥底面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，AB?底面ABCD，
且AB⊥AD，
∴AB⊥平面PAD．又PD?平面PAD，

16

∴AB⊥PD．
又PA⊥PD，且AB∩PA＝A，
∴PD⊥平面PAB．
又PD?平面PCD，
∴平面PAB⊥平面PCD．
21．

证明 (1)如图设AC与BD交于点G．
因为EF∥AG，且EF＝1，
1
AG＝AC＝1，
2
所以四边形AGEF为平行四边形．
所以AF∥EG．
因为EG?平面BDE，AF?平面BDE，
所以AF∥平面BDE．
(2)连接FG，
∵EF∥CG，EF＝CG＝1，
∴四边形CEFG为平行四边形，
又∵CE＝EF＝1，∴?CEFG为菱形，
∴EG⊥CF．
在正方形ABCD中，AC⊥BD．
∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，
∴BD⊥平面CEFG．∴BD⊥CF．
又∵EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE．
22．(1)证明 如图，∵O、D分别为AC、PC的中点，
∴OD∥PA．
又PA?平面PAB，OD?平面PAB，
∴OD∥平面PAB．
(2)解 ∵AB⊥BC，OA＝OC，
∴OA＝OB＝OC．
又∵OP⊥平面ABC，
∴PA＝PB＝PC．

17

取BC的中点E，连接PE，OE，
则BC⊥平面POE，
作OF⊥PE于F，
连接DF，则OF⊥平面PBC，
∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角．
设AB＝BC＝a，
则PA＝PB＝PC＝2a，OA＝OB＝OC＝
PO＝
14
a．
2
15210
a．∴OF＝a．
230
2
a，
2
在△PBC中，∵PE⊥BC，PB＝PC，
∴PE＝
PA
又∵O、D分别为AC、PC的中点，∴OD＝＝a．
2
OF210
在Rt△ODF中，sin∠ODF＝＝．
OD30
210
∴OD与平面PBC所成角的正弦值为．
30




18

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第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．如图直线l
1
，l
2
，l
3
的倾斜角分别为α
1
，α
2
，α
3
，则有( )
A．α
1
<α
2
<α
3
B．α
1
<α
3
<α
2

C．α
3
<α
2
<α
1
D．α
2
<α
1
<α
3

2．直线x＋2y－5＝0与2x＋4y＋a＝0之间的距离为5，则a等于( )
A．0 B．－20
C．0或－20 D．0或－10
3．若直线l
1
：ax＋3y＋1＝0与l
2
：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则a的值是( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3或－2
4．下列说法正确的是( )
A．经过定点P
0
(x
0
，y
0
)的直线都可以用方程y－y
0
＝k(x－x
0
)表 示
B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
xy
C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示
ab
D．经过任意两个 不同的点P
1
(x
1
，y
1
)、P
2
(x
2
，y
2
)的直线都可以用方程(y－y
1
)(x
2
－x
1
)＝
(x－x
1
)(y
2
－y< br>1
)表示
5．点M(4，m)关于点N(n，－3)的对称点为P(6，－9)，则( )
A．m＝－3，n＝10 B．m＝3，n＝10
C．m＝－3，n＝5 D．m＝3，n＝5
6．以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A．3x－y－8＝0 B．3x＋y＋4＝0
C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y＋2＝0
7．过点M(2,1)的直线与x轴，y轴分别交于P，Q两点，且|MP|＝ |MQ|，则l的方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x＋y－5＝0 D．x＋2y－4＝0
8．直线mx－y＋2m＋1＝0经过一定点，则该点的坐标是( )
A．(－2,1) B．(2,1) C．(1，－2) D．(1,2)
9．如果AC<0且BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0
C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y＋8＝0
11．已知点P(a，b)和Q(b－1，a＋1)是关于直线l对称的两点，则直线l的方程是( )
A．x＋y＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0
12．设x＋2y＝1，x≥0，y≥0，则x
2
＋y
2
的最小值和最大值分别为( )


19

111
A．，1 B．0,1 C．0， D．，2
555


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．不论a为何实数，直线(a＋3)x＋(2a－1)y＋7＝0恒过第________象限．
14．原点O在直线l上的射影为点H(－2,1)，则直线l的方程为______________ ．
15．经过点(－5,2)且横、纵截距相等的直线方程是__________________ __．
7
16．与直线3x＋4y＋1＝0平行且在两坐标轴上截距之和为的直线l的方程为
3
______________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知直线2x＋(t－2)y＋ 3－2t＝0，分别根据下列条件，求t的值：(1)过点(1,1)；
(2)直线在y轴上的截距为－ 3．













18．(12分)直线l过点(1,4)，且在两坐标轴上的截距的积是18，求此直线的方程．














19．(12分)光线从A(－3,4)点出发，到x轴上 的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，
又被y轴反射，这时反射光线恰好过D(－1,6)点，求直线 BC的方程．












20

20．(12分) 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A( 1,2)，B(4,0)，
一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水 站P，使之到A，B两
镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？









21．(12分)已知△ABC的顶 点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y
－59＝0，∠B的平分线所在直线 方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程．














2 2．(12分)已知直线l过点P(3,1)，且被两平行直线l
1
：x＋y＋1＝0和l2
：x＋y＋6＝0
截得的线段长度为5，求直线l的方程．


















21

第三章 直线与方程(B) 答案

1．B 2．C 3．A
4．D [斜率有可能不存在，截距也有可能不存在．]
4＋6m＋?－9?
5．D [由对称关系n＝
，－3＝，可得m＝3，n＝5．]
22
6．B [所求直线过线段AB的中点(－2,2)，且斜率k＝－3，可得直线方程为3x＋y＋4
＝0．]
7．D [由题意可知M为线段PQ的中点，Q(0,2)，P(4,0)，可求得直线l的方程x＋2 y
－4＝0．]
8．A [将原直线化为点斜式方程为y－1＝m(x＋2)，可知不论m取何值直线必过定点(－
2,1)．]
AC
9．C [将原直线方程化为斜截式为y＝－x－
，由AC<0且BC<0，可知 AB>0，直线
BB
斜率为负，截距为正，故不过第三象限．]
10．D [所求直线与已知直线平行，且和点(1，－1)等距，不难求得直线为2x＋3y＋8
＝0．]
11．D [∵k
PQ
＝
a＋1－b
＝－1，∴k
l
＝1．
b－1－a
显然x－y＝0错误，故选D．]
12．A [

x
2
＋y
2
为线段AB上的点与原点的距离的平方，由数形结合知，
1
O到线段AB的距离的平方为最小值，即d
2
＝，|OB|
2＝1为最大值．]
5
13．二
解析 直线方程可变形为：(3x－y＋7)＋a(x＋2y)＝0．
??
?
3x－y＋7 ＝0
?
x＝－2
由
?
得，
?
．
x＋2y ＝0y＝1
??
??
∴直线过定点(－2,1)．因此直线必定过第二象限．
14．2x－y＋5＝0
解析 所求直线应过点(－2,1)且斜率为2，故可求直线为2x－y＋5＝0．
2
15．y＝－x或x＋y＋3＝0
5
解析 不能忽略直线过原点的情况．
16．3x＋4y－4＝0


22

mm7
解析 所求直线可设为3x＋4y＋m＝0，再由－
－＝，可得m＝－4．
343
17．解 (1)代入点(1,1)，
得2＋(t－2)＋3－2t＝0，则t＝3．
2t－3
9
(2)令x＝0，得y＝
＝－3，解得t＝．
5
t－2
xy
18．解 设直线l的方程为
＋＝1，
ab
3
ab＝18
??
?
a＝3
a＝
??
2< br>?
则
?
14
，解得
?
或
?

?
b＝6
??
?
?
a
＋
b
＝1
?
b＝12



则直线l的方程2x＋y－6＝0
或8x＋y－12＝0．
19．解

如图所示，由题设，点B在原点O 的左侧，根据物理学知识，直线BC一定过(－1,6)
关于y轴的对称点(1,6)，直线AB一定过 (1,6)关于x轴的对称点(1，－6)且k
AB
＝k
CD
，
5
∴k
AB
＝k
CD
＝
＝－．
2
－3－1
5
∴AB方程为y－4＝－
(x＋3)．
2
7
令y＝0，得x＝－，
5
7
－，0
?
． ∴B
?
?
5
?
5
CD方程为y－6＝－(x＋1)．
2
7
7
0，
?
． 令x＝0，得y＝，∴C
??
2
?
2
xy
∴BC的方程为＋＝1，
77
－
52
即5x－2y＋7＝0．
20．解
4＋6

如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，
若P′(异于P)在直线上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|．

23

因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，
则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
a＋1b＋2
?
?
2＋2×
2
－10＝0，
即
?
b－2
?
－
1
?
＝－1，
·
?
?
a－1
?
2
?
即A′(3,6)．
所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，
38
x＝
，
11

?
?
a＝3，
解得
?

?
b＝6，
?

?
?
?
6x＋y－24＝ 0，
解方程组
?
得
?
36
x＋2y－10＝0，
?
?
y＝
?
11
，



3836
?
所以P点的坐标为
?
?
11
，
11
?< br>．
3836
?
故供水站应建在点P
?
?
11
，
11
?
处．
21．解 设B(4y
1
－10，y
1
)，
由AB中点在6x＋10y－59＝0上，
4y
1
－7y
1
－1
可得：6·＋10·－59＝0，
22
y
1
＝5，
所以B(10,5)．
设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，
x′＋3y′－1
?
－4·＋10＝0
2
?
2
则有
?
y′＋1
1
·
＝－1
?
?
x′－3
4
?A′(1,7)，
∵点A′(1,7)，B(10,5)在直线BC上，
y－5x－10
∴＝，
7－51－10
故BC：2x＋9y－65＝0．
22．解 方法一 若直线l的斜 率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与直线l
1
，l
2
的交点分别为A (3，－4)，B(3，－9)．截得的线段AB的长为|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．


?
?
y＝k?x－3?＋1，
若直线l的斜率存在，则设直线l的 方程为y＝k(x－3)＋1．解方程组
?
?
?
x＋y＋1＝0
得


24

?
?
?
4k －1
?
?
y＝－
k＋1
，
3k－2
x＝
，
k＋1

所以点A的坐标为
?
?
3k－24k－1
?
，－
?
．
k＋1k＋1
??
?
?
y＝ k?x－3?＋1，
解方程组
?
得
?
?
x＋y＋6＝0
?
?
?
9k－1
y＝－
，
?
k＋1
?
x＝
3k－7
，
k＋1


?
3k－79k－1
?
，－
所以点B的坐标为
??
．
k＋1 k＋1
??
?
3k－23k－7
???
4k－1
??
9k－1
??
－
因为|AB|＝5，所以
??
2
＋
??
－
?
－
?
－
??
2
＝25． ?
k＋1k＋1
???
k＋1
??
k＋1
??
解得k＝0，即所求直线为y＝1．
综上所述，所求直线方程为x＝3或y＝1．
方法二 设直线l与直线l
1
，l
2
的交点分别为A(x
1
，y1
)，B(x
2
，y
2
)，
则x
1
＋y
1
＋1＝0，x
2
＋y
2
＋6＝0．
两式相 减，得(x
1
－x
2
)＋(y
1
－y
2
) ＝5． ①
② 因为|AB|＝5，所以(x
1
－x
2
)2
＋(y
1
－y
2
)
2
＝25．
??
?
x
1
－x
2
＝5，
?
x
1
－x
2
＝0，
由①②可得
?
或
?
所以直线 的倾斜角为0°或90°．
y－y＝0，y－y＝5.
?
12
?
? ?
12
又P(3,1)在l上，所以x＝3或y＝1．




25

【
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第四章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若过点(1,2)总可以作两 条直线与圆x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
－15＝0相切 ，则实数k的取
值范围是( )
A．k>2 B．－3C．k<－3或k>2 D．以上都不对
2．点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是( )
A．(－3,4，－10) B．(－3,2，－4)
311
，－，
?
C．
?
D．(6，－5,11)
22
??
2
3．过点P(－2,4)作圆O：(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝25的切线l，直线m：ax－3y＝0与直线l
平行，则直线l与 m间的距离为( )
812
A．4 B．2 C． D．
5 5
4．过圆x
2
＋y
2
＝4外一点M(4，－1)引圆的两条切线， 则经过两切点的直线方程是( )
A．4x－y－4＝0 B．4x＋y－4＝0
C．4x＋y＋4＝0 D．4x－y＋4＝0
5．直线l：ax－y＋b＝0，圆 M：x
2
＋y
2
－2ax＋2by＝0，则l与M在同一坐标系中的图
形可能是( )
6．若圆始终平分圆的周长，则
实数a，b应满足的关系式是( )
A．a
2
－2a－2b－3＝0
B．a
2
＋2a＋2b＋5＝0
C．a
2
＋2b
2
＋2a＋2b＋1＝0
D．3a
2
＋2b
2
＋2a＋2b＋1＝0
7．设A为圆 (x－1)
2
＋y
2
＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点 的轨迹方程是
( )
A．(x－1)
2
＋y
2
＝4 B．(x－1)
2
＋y
2
＝2
C．y
2
＝2x D．y
2
＝－2x
8．设直线2x－y－3＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋ 1)
2
＋y
2
＝25的直径分为两段，
则这两段之比为( ) < br>C
1
：(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝b
2
＋1C
2
：(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝4

26

7374
A．或 B．或
3747
7576
C．或 D．或
5767
9．若x、y满足x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0，则x
2＋y
2
的最小值是( )
A．5－5 B．5－5
C．30－105 D．无法确定
10．过圆x
2
＋y
2
－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m、
n满足的关系 式是( )
A．(m－2)
2
＋n
2
＝4 B．(m＋2)
2
＋n
2
＝4
C．(m－2)
2
＋n
2
＝8 D．(m＋2)
2
＋n
2
＝8
11．若圆x
2
＋ y
2
＝4和圆x
2
＋y
2
＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝0 B．x＋y－2＝0
C．x－y－2＝0 D．x－y＋2＝0
12．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y
2
有且只有一个公共点，则b的取值范围是( )
A．|b|＝2
B．－1C．－1D．－1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．点M(1,2，－3)关于原点的对称点是________．
14．两圆x
2
＋y
2
＋4y＝0，x
2
＋y
2
＋2(a－1) x＋2y＋a
2
＝0在交点处的切线互相垂直，那么
实数a的值为________．
15．已知P(3,0)是圆x
2
＋y
2
－8x－2y＋12＝0内 一点，则过点P的最短弦所在直线方程
是________，过点P的最长弦所在直线方程是_____ ___．
16．已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知三条直线l
1
：x－2y＝0，l
2
：y＋1＝0， l
3
：2x＋y－1＝0两两相交，先画
出图形，再求过这三个交点的圆的方程．






18．(12分)在三棱柱ABO－ A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝
OB＝OO′＝2．若C为线段O ′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．







19．(12分)已知A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1 )为△ABC的三个顶点，O、M、N分别为边
AB、BC、CA的中点，求△OMN的外接圆的方程， 并求这个圆的圆心和半径．





27

20．(12分)已知动直线l ：(m＋3)x－(m＋2)y＋m＝0与圆C：(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝9．
(1)求证：无论m为何值，直线l与圆C总相交．
(2)m为何值时，直线l被圆C所截得的弦长最小？请求出该最小值．








21．(12分)矩形ABCD的两 条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y
－6＝0，点T(－1,1)在AD 边所在直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的方程．









22．(12分)已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x－4y＋3＝0．
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．
(2)从圆C外一点P( x
1
，y
1
)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝ |PO|，
求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．










第四章 圆与方程(B) 答案

1．C [由题意知点在圆外，故1
2
＋2
2
＋k＋2× 2＋k
2
－15>0，解得k<－3或k>2．]
2．A [设点A关于点(0,1 ，－3)的对称点为A′(x，y，z)，则(0,1，－3)为线段AA′的
x＋3y－24＋z中点，即＝0，＝1，＝－3，
222
∴x＝－3，y＝4，z＝－10．∴A′(－3,4，－10)．]
3．A [根据题意，知点P在圆上，

28

∴切线l的斜率k＝－
114
＝－＝．
k
OP
1－43
2＋2
4
∴直线l的方程为y－4＝
(x＋2)．
3
即4x－3y＋20＝0．
又直线m与l平行，
∴直线m的方程为4x－3y＝0．
故直线l与m间的距离为d＝
|0－20|4
2
＋3
2
＝4．]
4．A [设两切线切点分别为(x1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，则两切线方程 为x
1
x＋y
1
y＝4，
x
2
x＋y
2
y＝4．
又M(4，－1)在两切线上，∴ 4x
1
－y
1
＝4,4x
2
－y
2
＝4．
∴两切点的坐标满足方程4x－y＝4．]
5．B [由直线的斜率a与在y轴上的截距b的符号，可判定圆心位置，又圆过原点，
所以只有B符合．]
6．B [圆C
1
与C
2
方程相减得两圆公共弦方程，当圆C
2
的圆心在公共弦上时，圆C
1
始终平分圆C
2
的周长，所以选B ．]
7．B [由题意知，圆心(1,0)到P点的距离为2，所以点P在以(1,0)为圆心，以2 为半
径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)
2
＋y
2
＝2，故 选B．]
8．A [由题意知P(0，－3)．P到圆心(－1,0)的距离为2，
∴P分直径所得两段为5－2和5＋2，即3和7．
选A．]
9．C [配方得( x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝25，圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5， 所以
10．C [由勾股定理，得(m－2)
2
＋n
2
＝8．]
11．D [l为两圆圆心连线的垂直平分线，(0,0)与(－2,2)的中点为(－1,1)，k< br>l
＝1，
∴y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0．]
12．D [
x
2
＋y
2
的
最小值为半径减去原点到圆心的距离，即5－5，故 可求x
2
＋y
2
的最小值为30－105．]
如图，由数形结合知，选D．]
13．(－1，－2,3)
14．－2

解析 两圆心与交点构成一直角三角形，由勾股定理和半径范围可知a＝－2．
15．x＋y－3＝0，x－y－3＝0
解析 点P为弦的中点，即圆心和点P的连线与弦垂直时，弦最短；过圆心即弦为直

29

径时最长．
16．(x＋2)
2
＋y
2
＝2
解析 设圆心坐标为(a ,0)(a<0)，则由圆心到直线的距离为2知
因此圆O的方程为(x＋2)
2
＋y
2
＝2．
17．解
|a|
＝2，故a＝－2，
2

l
2
平行于x轴， l
1
与l
3
互相垂直．三交点A，B，C构成直角三角形，经过A，B，C三
点的圆就是以AB为直径的圆．
??
?
x－2y＝0，
?
x＝－2，
解方程组
?
得
?

y＋1＝0y＝－1.
??
??
所以点A的坐标是(－2，－1)．

??
?
2x＋y－1＝0，
?
x＝1，
解方程 组
?
得
?

??
?
y＋1＝0
?
y＝－1.
所以点B的坐标是(1，－1)．
1
－，－1
?
，又| AB|＝线段AB的中点坐标是
?
?
2
?
1
9
x＋
?
2
＋(y＋1)
2
＝． 所求圆的标准方程是
?
?
2
?
4
18．解
?－2－1?
2
＋?－1＋1?
2
＝3．

如图所示，
Oxyz．

以三棱原点，以OA、OB、OO′所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)、B(0, 2,0)、O(0,0,0)，A′(2,0,2)、B′(0,2,2)、O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，设E点坐标为(0,2，z)，
∴| EC|＝
＝
?0－1?
2
＋?2－0?
2
＋?z－1?2

?z－1?
2
＋5．
故当z＝1时，|EC|取得最小值为5．
此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
19．解 ∵点O、M、N分别为AB、BC、CA的中点且A(3,5)，B(－1,3)，C(－3,1)，
∴O(1,4)，M(－2,2)，N(0,3)．
∵所求圆经过点O、M、N，
∴设△OMN外接圆的方程为

30

x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
把点O、M、N的坐标分别代入圆的方程得
1
＋4＋D＋4E＋F＝0
?< br>?
?
?－2?
＋2－2D＋2E＋F＝0
?
?
0＋3＋3E＋F＝0
22
22
22

，
D＝7
?
?
解得
?
E＝－15
?
?
F＝35

．
∴△OMN外接圆的方程为x
2
＋y
2
＋7x－15y＋36＝0，
715
1
－，
?
，半径r＝
130．
圆心为
?
?
22
?
2
20．(1)证明 直线l变形为m(x－y＋1)＋(3x－2y)＝0．
??
?
x－y＋1＝0，< br>?
x＝2，
令
?
解得
?

?
3x－2y＝0，
?
??
y＝3.

如图所示，故动直线l恒过定点A(2,3)．
而|AC|＝?2－3?
2
＋?3－4?
2
＝2<3(半径)．

∴点A在圆内，故无论m取何值，直线l与圆C总相交．
(2)解 由平面几何知识知，弦心距越大，弦长越小，即当AC垂直直线l时，弦长最小，
m＋34－3
5
此时k
l
·k
AC
＝－1，即·
＝－1，∴m＝－．
2
m＋23－2
最小值为23
2
－?2?
2
＝27 ．
5
故m为－时，直线l被圆C所截得的弦长最小，最小值为27．
2
21．解 (1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜
率为－3．
又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0．
??
?
x－3y－6＝0，
?
x＝ 0，
(2)由
?
得
?

??
?
3x＋y＋ 2＝0
?
y＝－2，
∴点A的坐标为(0，－2)，
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又| AM|＝?2－0?
2
＋?0＋2?
2
＝22，
∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝8．

31

22．解 (1)将圆C整理得(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝2．
①当切线在两坐标轴上的截距为零时，设切线方程为y＝kx，
|－k－2|
∴圆心 到切线的距离为＝2，即k
2
－4k－2＝0，解得k＝2±6．
k
2
＋1
∴y＝(2±6)x；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时，设切线方程为x＋y－a＝0，
|－1＋2－a|
∴圆心到切线的距离为＝2，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1． 2
∴x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上所述，所求切线方程为y＝(2±6)x或x＋y＋1 ＝0或
x＋y－3＝0．
(2)∵|PO|＝|PM|，
222
∴x2
即2x
1
－4y
1
＋3＝0，即点P在直线l：2x－4y＋ 3＝0上．
1
＋y
1
＝(x
1
＋1)
＋(y1
－2)
－2，
当|PM|取最小值时，即|OP|取得最小值，此时直线OP⊥ l，
∴直线OP的方程为：2x＋y＝0，
3
?
?
2x＋y＝0 ，
解得方程组
?
?
?
2x－4y＋3＝0
33
－，
?
． ∴P点坐标为
?
?
105
?

< br>?
x＝－
10
，
得
?
3
y＝
?5
，



32