高中数学必修2全册单元练习题及解析

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习题课 空间几何体

【课时目标】 熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体
积与表面积计算．


1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．
2．空间几何体的表面积和体积公式．
名称
表面积
几何体
柱体
S
表面积
＝S
侧
＋2S
底

(棱柱和圆柱)
锥体
S
表面积
＝S
侧
＋S
底

(棱锥和圆锥)
台体 S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
(棱台和圆台)
下

球 S＝________

体积
V＝________
V＝________
V＝_________
____________
4
V＝
πR
3

3

一、选择题
1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是( )
1
A．S B．πS C．2πS D．4πS
π
2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
12
A． B． C．1 D．2
23

1
3．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体 积为，则该几何体
2
的俯视图可以是( )


1

4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为( )


A．280 B．292 C．360 D．372
5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( )
a
3
a
3
a
3
a
3
A． B． C． D．
34612
32π
6．已 知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则
3
这个三棱柱的体 积是( )
A．963 B．163 C．243 D．483

二、填空题
7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

8 ．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm
3
．

9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底 面
半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．

2

三、解答题
10．如下的三个 图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视
图和侧视图在下面画出(单位：c m)．
(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；





















11．如图所示，为了制作一个圆柱 形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6
米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和 下底面(不安装上底面)．


(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？ 并求出该最大值(结果精确到0．01平
方米)；
(2)若要制作一个如图放置的、底面半径 为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视
图(作图时，不需考虑骨架等因素)．

3

能力提升
12．设某几何体的三视图 如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m
3
．











13．如图所示，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝
6，BC＝CC
1
＝ 2，P是 BC
1
上一动点，则CP＋PA
1
的最小值是___________．



1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视 图和体积、表面
积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．
其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是
充分发挥 空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．
2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体 几何问题转化为平面几何问题，多用于研究
线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．

习题课 空间几何体 答案

知识梳理
1．2πrl πrl
1
2．Sh Sh
3
作业设计
π(r＋r′)l
1
(S＋S
下
＋S
上
S
下
)h 4πR
2

3
上
1．B [设圆柱底面半径为r，则S＝4r
2
，
S
侧
＝2πr·2r＝4πr
2
＝πS．]

4

2．C [由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三 棱柱的底面
1
直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V＝
×1×2
2
×2＝1．]
3．C [当俯视图为A中正方形时，几何体为边 长为1的正方体，体积为1；当俯视图
1
π
为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1 的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，
24
1
几何体为三棱柱，且底面为直角边 长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图
2
1
π
为D中扇形时， 几何体为圆柱的，且体积为．]
44
4．C [由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何
体．
∵下面长 方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积
为8×6×2 ＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积
为232＋15 2－2×6×2＝360．]
5．C [连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为
a1 2
2
aa
3
锥的高为，则八面体的体积为V＝2×
×(a)·
＝．]
23226
432π
6．D [由
πR
3
＝，得R＝2．
33
∴正三棱柱的高h＝4．
设其底面边长为a，
13
则
·a＝2，∴a＝43．
32
3
∴V＝(43)
2
·4＝483．]
4
10
7．
3
解析 该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥， 下面是底面边长为1、高为2的正
四棱柱的组合体，其体积为
110
V＝1×1×2＋×2
2
×1＝
．
33
8．144
1
解析 此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V< br>正四棱台
＝
(8
2
＋4
2
＋8
2
× 4
2
)×3
3
＝112，V
正四棱柱
＝4×4×2＝32， 故V＝112＋32＝144．
9．4
4
解析 设球的半径为r cm，则πr
2
×8＋
πr
3
×3
3
＝πr
2
×6r．解得r＝4．
10．解 (1)如图所示．
2
a的正四棱锥组成，正四棱
2

5

(2)所求多面体体积V＝V
长方体
－V
正三棱锥

1
1
284
×2×2
?
×2＝ (cm
3
)．
＝4×4×6－
×
?
?
3
?
2
3

9.6－8×2r
11．解 由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为
＝1．2－2r， ∴塑料片面积
8
S＝πr
2
＋2πr(1．2－2r)＝πr
2＋2．4πr－4πr
2
＝－3πr
2
＋2．4πr＝－3π(r
2
－0．8r)＝－3π(r－0．4)
2
＋0．48π．
∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．
(2)若灯笼底面半径为 0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图
如图．
12．4

解析 由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长
11
为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝
××3×4×2＝4 m
3
．
32
13．5 2
解析
将△BCC
1
沿BC
1
线折到面A
1
C
1
B上，如图．
角形，
∴CD＝1，C
1
D＝1，A
1
D＝A
1
C
1
＋C
1
D＝7．
∴A
1
C＝








A
1
D
2
＋CD
2
＝49＋1＝5 2．

连接A
1
C即为CP＋PA
1
的最小值，过点C作CD⊥ C
1
D于D点，△BCC
1
为等腰直角三

6

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习题课 直线、平面平行与垂直

【课时目标】 1．能熟练应用直线、平面平行与垂直的判定及性质进行有关的证明．2．进
一步体会化归思想在证明中 的应用．

a、b、c表示直线，α、β、γ表示平面．
位置关系 判定定理(符号语言)
直线与平面平行 a∥b且________?a∥α
a∥α，b∥α，且________________
平面与平面平行
?α∥β
l⊥a，l⊥b，且________________
直线与平面垂直
?l⊥α
a⊥α，
平面与平面垂直

?α⊥β


性质定理(符号语言)
a∥α，________________?a∥b
α∥β，________________?a∥b
a⊥α，b⊥α?________
α⊥β，α∩β＝a，____________
?b⊥β

一、选择题
1．不同直线M、n和不同平面α、β．给出下列命题：
α∥β
?
m∥n
?
??
?
?M∥β； ②
?
?n∥β； ①
??
m?α
?
m∥β
?
m?α
?
α⊥β
?
??
??
?M⊥β． ③?M，n异面； ④
??
n?β
?
m∥α
?
其中假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．下列命题中 ：(1)平行于同一直线的两个平面平行；(2)平行于同一平面的两个平面平
行；(3)垂直于同一直 线的两直线平行；(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确命题的
个数有( )
A．4 B．1 C．2 D．3
3．若a、b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为( )
①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α．
A．1 B．2 C．3 D．0
4．过平面外一 点P：①存在无数条直线与平面α平行；②存在无数条直线与平面α垂
直；③有且只有一条直线与平面α 平行；④有且只有一条直线与平面α垂直，其中真命题的
个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点P在侧面BCC
1< br>B
1
及其边界上运动，并
且总是保持AP⊥BD
1
，则动点P 的轨迹是( )





7

A．线段B
1
C
B．线段BC
1

C．BB
1
的中点与CC
1
的中点连成的线段
D．BC的中点与B
1
C
1
的中点连成的线段
6．已知三 条相交于一点的线段PA、PB、PC两两垂直，点P在平面ABC外，PH⊥面
ABC于H，则垂足H 是△ABC的( )
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心

二、填空题
7．三棱锥D－ABC的三个侧面分别与底面全等，且AB ＝AC＝3，BC＝2，则二面角
A－BC－D的大小为________．
8．如果一条直 线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，
在一个正方体中，由两个顶点确定 的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个
数是________．
9．如图所 示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，P为BD
1
的中点，则△PAC在该正方体
各个面上的射影可能是______ __．(填序号)


三、解答题
10．如图所示，△ABC为正三角形 ，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M
是EA的中点，求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA．











8

11．如图，棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的侧面BCC
1
B
1
是菱形， B
1
C⊥A
1
B．
(1)证明：平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
；
A
1
D
(2)设D是A
1
C
1
上的点且A
1
B∥平面B
1
CD，求的值．
DC
1














能力提升
12．四棱锥P—ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：
(1 )根据图中的信息，在四棱锥P—ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填
写在空格处(每 空只要求填一种)：
①一对互相垂直的异面直线________；
②一对互相垂直的平面________；
③一对互相垂直的直线和平面________；
(2)四棱锥P—ABCD的表面积为________．


13．如图 ，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，
EF⊥FB， ∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．
(1)求证：FH∥平面EDB；
(2)求证：AC⊥平面EDB；
(3)求四面体B－DEF的体积．


9

转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为
< br>即利用线线平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明面面平行(垂直)；反过来，又利用
面面 平行(垂直)，证明线面平行(垂直)或证明线线平行(垂直)，甚至平行与垂直之间的转
化．这样，来 来往往，就如同运用“四渡赤水”的战略战术，达到了出奇制胜的目的．


习题课 直线、平面平行与垂直 答案

知识梳理
a?α，b?α a?β，α∩β＝b a?β，b?β，a∩b＝P α∩γ＝a，β∩γ＝b a?α，b?α，
a∩b＝P a∥b a?β b⊥a，b?α
作业设计
1．D [命题①正确，面面平行的性质；命题②不正确 ，也可能n?β；命题③不正确，
如果m、n有一条是α、β的交线，则m、n共面；命题④不正确，m 与β的关系不确定．]
2．C [(2)和(4)对．]
3．A [①正确．]
4．B [①④正确．]
5．A [
连接AC，AB
1
，B
1
C，
∵BD⊥AC，AC⊥DD
1
，
BD∩DD
1
＝D，
∴AC⊥面BDD
1
，∴AC⊥BD
1
，
同理可证BD
1
⊥B
1
C，
∴BD
1
⊥面AB
1
C．
∴P∈B
1
C时，始终AP⊥BD
1
，选A．]
6．C [

10

如图所示，由已知可得PA⊥面PBC，PA⊥BC，又PH⊥BC，
∴BC⊥面APH，BC⊥AH．
同理证得CH⊥AB，∴H为垂心．]
7．90°
解析
由题意画出图形，数据如图，取BC的中点E，
可求 得AE＝DE＝2，由此得AE
2
＋DE
2
＝AD
2
．
故∠AED＝90°．
8．36

连接AE、DE，易知∠AED为二面角A—BC—D的平面角．
解析 正方体的一条棱长对 应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交
线面对”；正方体的一条面对角线对应着1 个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个
“正交线面对”，共有36个．
9．①④
10．证明 (1)如图所示，
取EC的中点F，连接DF，∵EC⊥平面ABC，
∴EC⊥BC，又由已知得DF∥BC，∴DF⊥EC．
在Rt△EFD和Rt△DBA中，
1
∵EF＝EC＝BD，
2
FD＝BC＝AB，
∴Rt△EFD≌Rt△DBA，
故ED＝DA．

1
(2)取CA的中点N，连接MN、BN，则MN綊EC，
2
∴MN∥BD，∴N在平面BDM内，
∵EC⊥平面ABC，∴EC⊥BN．又CA⊥BN，
∴BN⊥平面ECA，BN?平面MNBD，
∴平面MNBD⊥平面ECA．

11

即平面BDM⊥平面ECA．
11
(3)∵BD綊EC，MN綊EC，
22
∴BD綊MN，
∴MNBD为平行四边形，
∴DM∥BN，∵BN⊥平面ECA，
∴DM⊥平面ECA，又DM?平面DEA，
∴平面DEA⊥平面ECA．
11．(1)证明 因为侧面BCC
1
B
1
是菱形，所以B
1
C⊥BC
1
．
又B
1
C⊥A
1
B，且 A
1
B∩BC
1
＝B，

所以B
1
C⊥ 平面A
1
BC
1
．又B
1
C?平面AB
1
C，所以平面AB
1
C⊥平面A
1
BC
1
．
(2)解 设BC
1
交B
1
C于点E，连接DE，则DE是平面A< br>1
BC
1
与平面B
1
CD的交线．
因为A
1
B∥平面B
1
CD，所以A
1
B∥DE．
又E是BC
1
的中点，所以D为A
1
C
1
的中点，
A
1
D
即＝1．
DC
1
12．(1)①PA⊥BC(或PA⊥CD或AB⊥PD) ②平面PAB⊥平 面ABCD(或平面PAD⊥平
面ABCD或平面PAB⊥平面PAD或平面PCD⊥平面PAD或平面 PBC⊥平面PAB) ③PA⊥
平面ABCD(或AB⊥平面PAD或CD⊥平面PAD或AD⊥平面 PAB或BC⊥平面PAB)
(2)2a
2
＋2a
2

解析 (2)依题意：正方形的面积是a
2
，
1
S
△PAB
＝S
△
PAD
＝a
2
．
2
2
又PB＝PD＝2a，∴S
△
PBC
＝S
△
PCD
＝
a
2
．
2
所以四棱锥P—ABCD的表面积是S＝2a
2
＋2a
2
．
13．

(1)证明 如图，设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，由于H
为BC的中点，
1
故GH綊
AB．
2
1
又EF綊
AB，∴EF綊 GH．∴四边形EFHG为平行四边形．∴EG∥FH．而EG?平面
2
EDB，FH?平面E DB，
∴FH∥平面EDB．
(2)证明 由四边形ABCD为正方形，得AB⊥BC．

12

又EF∥AB，∴EF⊥BC．
而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC．
∴EF⊥FH．∴AB⊥FH．
又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC．
∴FH⊥平面ABCD．∴FH⊥AC．
又FH∥EG，∴AC⊥EG．又AC⊥BD，EG∩BD＝G，
∴AC⊥平面EDB．
(3)解 ∵EF⊥FB，∠BFC＝90°∴BF⊥平面CDEF．
∴BF为四面体B－DEF的高．
又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝2．
111
V
B－DEF
＝××1×2×2＝
．
323



13

【
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】


习题课 直线的位置关系与距离公式

【课时目标】 熟练掌握直线的位置关系(平行、垂直)及距离公式，能灵活应用它们解
决有关的综合问题．

1．

?1?两点P
1
?x
1
，y
1< br>?，P
2
?x
2
，y
2
?的距离
12
?
|PP|＝ .
?
三个距?2?点P?x，y?到直线l：Ax ＋By＋C＝0
离公式
?
的距离d＝ .
?
?3?平行线l：Ax＋By＋C＝0与l：Ax＋
?
By＋C＝0间的距离d＝ .
00
112
2



2．三种常见的对称问题
(1)点关于点的对称
点P(x
0< br>，y
0
)关于点M(a，b)的对称点为P′________________．
(2)点关于直线的对称
若两点P
1
(x
1
，y
1
)与P
2
(x
2
，y
2
)关于直线l：Ax＋B y＋C＝0对称，则由方程组
x＋xy＋y
?
?
A·
12
＋ B·
12
＋C＝0，
22
可得点P
1
关于l对称的点P2
的坐标(x
2
，y
2
)(其中A≠0，
?
?
?

x
1
≠x
2
)．
(3)线关于点、线的对称
线是点构成的集合，直线的方程是直线上任一点P(x，y)的坐 标x，y满足的表达式，故
求直线关于点、线的对称，可转化为求该直线上任一点关于点、线的对称．


一、选择题
1．点(3,9)关于直线x＋3y－10＝0的对称点为( )
A．(－13,1) B．(－2，－6)
C．(－1，－3) D．(17，－9)
2．和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A．3x＋4y－5＝0 B．3x＋4y＋5＝0
C．－3x＋4y－5＝0 D．－3x＋4y＋5＝0
3．在直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是( )
A．(5，－3) B．(9,0)
C．(－3,5) D．(－5,3)
4．过点(1,3)且与原点的距离为1的直线共有( )
A．3条 B．2条 C．1条 D．0条
5．若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为( )
A．5 B．－5 C．4 D．－4
6．已知实数x，y满足5x＋12y＝60，则x
2
＋y
2
－2x－4y＋ 5的最小值是( )

14

3189
A． B． C．13 D．不存在
1313

二、填空题
7．点A(4,5)关于直线l的对称点为B(－2,7)，则l的方程为___ _____________．
8．如图所示，已知△ABC的顶点是A(－1，－1)，B(3,1 )，C(1,6)，直线l平行于AB，
1
且分别交AC、BC于E、F，△CEF的面积是△ CAB面积的，则直线l的方程为________．
4

9．设点A(－3,5) 和B(2,15)，在直线l：3x－4y＋4＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|为最小，
则这个 最小值为________．

三、解答题
10．一条直线被直线l
1< br>：4x＋y＋6＝0和l
2
：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐
标 原点，求这条直线的方程．










11．已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程．
(1)l′与l平行且过点(－1,3)；
(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；
(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线．











能力提升
12 ．直线2x－y－4＝0上有一点P，求它与两定点A(4，－1)，B(3,4)的距离之差的最大
值 ．








15

13．已知M(1,0)、N( －1,0)，点P为直线2x－y－1＝0上的动点，求|PM|
2
＋|PN|
2的最小
值及取最小值时点P的坐标．












1．在平面解析几何中， 用代数知识解决几何问题时应首先挖掘出几何图形的几何条件，
把它们进一步转化为代数方程之间的关系 求解．
2．关于对称问题，要充分利用“垂直平分”这个基本条件，“垂直”是指两个对称点
的连线与已知直线垂直，“平分”是指：两对称点连成线段的中点在已知直线上，可通过这
两个条件列方 程组求解．
3．涉及直线斜率问题时，应从斜率存在与不存在两方面考虑，防止漏掉情况．


习题课 直线的位置关系与距离公式 答案

知识梳理
|A x
0
＋By
0
＋C|
1．(1)?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
(2)
A
2
＋B
2
|C
2
－C
1
|
(3)
2

A＋B
2
y
1
－y
2
B
2．(1)(2a－x
0,
2b－y
0
) (2)＝
x
1
－x
2
A
作业设计
1．C [设对称点为(x
0
，y
0
)，
y－9
?
?x－3
＝3，
则由
?
x＋3y＋9
?
?
2＋3·
2
－10＝0，
0
0
00

?
?
x
0
＝－1，
得
?
]
y＝－3.
?
0
?

5
－，0
?
，由对称直线的特征知，所求直线斜
2．B [直线3x －4y＋5＝0与x轴交点为
?
?
3
?
3
率为k＝－．
4
5
3
x＋
?
，即3x＋4y＋5＝0．] ∴y＝－
?
4
?
3
?

16

3．A [当PQ与已知直线垂直时，垂足Q即为所求．]
4．B [当直线斜率不存在时，直线方程为x＝1，原点到直线距离为1，满足题意．当
直线斜率存在时，设直 线方程为y－3＝k(x－1)即kx－y＋3－k＝0．由已知
得
4
k＝
，满足题意．故共存在2条直线．]
3
31
5．C [把x＝5代入6x－8y＋1＝0得y＝
，
8
31
把x＝5代入3x－4y＋5＝0得y＝5，∴
8
又∵b为整数，∴b＝4．]
6．A [x
2
＋y
2< br>－2x－4y＋5＝?x－1?
2
＋?y－2?
2
，
它表示点(x，y)与(1,2)之间的距离，
两点距离的最小值即为点(1,2)到直线5x＋12y＝60的距离，
|1×5＋2×12－60|
31
∴d＝＝．]
1313
7．3x－y＋3＝0
8．x－2y＋5＝0
1
解析 由已知，直线AB的斜率k＝
，
2
1
∵EF∥AB，∴直线EF的斜率为k＝．
2
1
∵△CEF的面积是△CAB面积的，
4
∴E是CA的中点，
5
51
0，
?
，直线EF的方程是y－＝
x，即x－2y＋ 5＝0．
∴点E的坐标
?
?
2
?
22
9．513
解析 设点A关于直线l的对称点A′的坐标为(a，b)，则由AA′⊥l且AA′被l平分， b－5
3
?
?
a＋3
×
4
＝－1，
得
?
a－3b＋5
?
3×
－4×＋4＝0.
?
22< br>∴(|PA|＋|PB|)
min
＝|A′B|＝
且B在直线l
2上，
|3－k|
2
＝1，解
k
＋1


解之得a＝3，b＝－3．∴点A′的坐标为(3，－3)，
?3－2?
2
＋?－3－15?
2
＝513．
10．解 设所求直线与直线l
1
交于A(x
0
，y
0
)，它关于原点 的对称点为B(－x
0
，－y
0
)，
?
?
4x0
＋y
0
＋6＝0，
由
?

?
?
－3x
0
＋5y
0
－6＝0，


17

?
解得
?
6
y ＝
?
23
，
0
36
x
0
＝－
，< br>23
6
23
1
∴所求直线方程为y＝
x＝－x，
366
－
23
即x＋6y＝0．
3
11．解 (1)直线l：3x＋4y－12＝0，k
l
＝－
，
4
3
又∵l′∥l，∴k
l
′
＝k
l
＝－
．
4
3
∴直线l′：y＝－
(x＋1)＋3，即3x＋4y－9＝0．
4
4
(2)∵l′⊥l，∴k
l
′
＝
．
3
4
设l′与x轴截距为b，则l′与y轴截距为－
b，
3
1
?
4
?
－
b
＝4，
由题意可知，S＝
|b|·
2
?
3
?
∴b＝±6．
44
∴直线l′：y＝
(x＋6)或y＝(x－6)．
33
(3)∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，
∴l′与l关于原点对称．
任取点(x
0
，y
0
)在l上，则在l′上对称点为(x，y)．
x＝－x
0
，y＝－y
0
，则－3x－4y－12＝0．
∴l′为3x＋4y＋12＝0．
12．解 找A关于l的对称点A′，A′B与直线l的交 点即为所求的P点．设A′(a，
b＋1
?
?
a－4
×2＝－1b)，则
?
4＋ab－1
?
?
2×
2
－
2
－4＝0



．
?
?
a＝0解得
?
，所以|A′B|＝?4－1?
2
＋?3－0?
2
＝32．
?
b＝1
?
13．解 ∵P为直线2x－y－1＝0上的点，
∴可设P的坐标为(m,2m－1)，由两点的距离公式得
|PM|
2
＋| PN|
2
＝(m－1)
2
＋(2m－1)
2
＋(m＋1)< br>2
＋(2m－1)
2
＝10m
2
－8m＋4．(m∈R)
2
1212
m－
?
2
＋
≥
， 令f(m) ＝10m
2
－8m＋4＝10
?
5
??
55
21< br>2
，－
?
． ∴当m＝时，|PM|
2
＋|PN|
2
取最小值，此时P
?
5
??
5
5



18

19

【
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】

习题课 圆与方程

【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟 练应用圆的方程解决有关问题．2．熟
练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．


①圆的标准方程： ，
?
?
其中 为圆心，r为半径.
1．圆的方程
?
②圆的一般方程：
?
?
其中? >0?.
相交?d?
?
径)
?
相离? ；
?
?
相切? .


2．直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离，r表示圆半


3．圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距，R、r表示两圆半径且
?
?
外 切?d＝R＋r；
R≥r)
?
相交?R－r内切?d＝R－r ；
?
?
内含?d
外离?d>R＋r；


一、选择题
1．圆x
2
＋y
2
＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( )
A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，5
C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，5
2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝2
B．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2
C．(x＋1)
2
＋(y＋1)
2
＝8
D．(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝8
3．直线x－3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x
2
＋y
2
－4x＋1＝0 的位
置关系是( )
A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
4．若圆x
2
＋ y
2
－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x
2
＋y
2
－18x＋45＝0相切，则直线l的方程
是( )
A．4x－3y－6＝0

20

B．4x－3y－66＝0
C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0
D．4x－3y－15＝0
6．方程4－x
2
＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( )
53
?
3
，
B．
?
，＋∞
?
A．
?
?
124
??< br>4
?
553
－∞，
?
D．
?
，
?
C．
?
12
???
124
?

二、填空题
7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)
2
＋y
2
＝4截得的线段长为2 3的直线方程为____________．
22
8．一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆(x－2)＋(y－3)＝1上的最短路程为
________．
9．集合A＝{ (x，y)|x
2
＋y
2
＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝r
2
}，其中r>0，若A∩B
中有且仅 有一个元素，则r的值是________．
三、解答题
10．有一圆C与直线l：4x－ 3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标
准方程．










1 1．已知圆C：x
2
＋y
2
－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1) x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程．









能力提升
12．已知曲线 C：(x－1)
2
＋y
2
＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A 观察点B，要使视
线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(3，＋∞)
D．(－∞，－33)∪(33，＋∞)
13．已知P是直线3 x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝ 0的两条
切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值．

21

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方 程从代数角度研
究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题 时
收到意想不到的效果．
圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它 的许多几何性质在
解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆 的平
面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：
(1)圆的切线的性质：圆心 到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切
线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外 一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的
三个顶点等等．
(2)直线与圆相交的弦的有关 性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦
的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距 、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，
满足勾股定理．
(3)与直径有关的几何性质： 直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所
对的圆周角是直角．



习题课 圆与方程 答案

知识梳理
1．(1)(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(a，b) (2)x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0 D
2
＋E
2
－4F
2．d>r d＝r
作业设计
1．D
2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝2，∴选B．]
3．C [直线旋转后为y＝3x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．]
3
9
y ＋b
?
2
＝a
2
＋
b
2
．
4．D [圆的标准方程为(x－a)
2
＋
?
?
2
?
4
3
1b
a，－b
?
．∴a<0，b>0．∴y＝－x－
不过第四象限．] 圆心为
?
2
??
aa

22

5．C [设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．]
6．A [
在同一平面直角坐标系中分别画出y＝
3－0

4－x
2
( 就是x
2
＋y
2
＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3
的图象．如 图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k
PA
PB
．
|－2k＋3|
3
k
PB
＝
＝，对于k(x－2)－y＋3 ＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即
2－?－2?
4
k
2
＋1
＝2，解得k
PA
＝
5
．
12
53
?< br>所以k的取值范围为
?
?
12
，
4
?
．]
7．x＝0或15x＋8y－32＝0
解析 设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直 线方程为x＝0时，弦长为23符合题
|k－0＋4|
意；当直线方程为kx－y＋4＝0时， d＝＝
2
k
＋1
线方程为15x＋8y－32＝0．
8．4
解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的
距离的最小值问题，其最小值为
9．3或7
?2＋1?
2
＋?3＋1?
2
－1＝4．
15
2
2
－?3?
2
＝1，解得k＝－，因此直
8
解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系．
∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴两圆x
2
＋y
2
＝4与(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝r< br>2
相切，
O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r
1
＝2， r
2
＝r，
故2＋r＝5，或r－2＝5，∴r＝3或7．
10．解 设 所求圆的圆心为O，则OA⊥l，又设直线OA与圆的另一交点为P．所以直
33
线OA的斜率 为－．故直线OA的方程为y－6＝－
(x－3)，即3x＋4y－33＝0．又因为k
AB< br>44
2－6
1
＝＝－2，从而由平面几何知识可知k
PB
＝< br>，则直线PB的方程为x－2y－1＝0．
2
5－3
??
?
3x＋4y－33＝0，
?
x＝7，
解方程组
?
得
?

??
?
x－2y－1＝0，
?
y＝3.
9
5，
?
， 即点P的坐标为(7,3)．因为圆心为AP的中点
?
?
2< br>?
5
半径为OA＝，
2
9
25
y－
?
2
＝． 故所求圆的标准方程为( x－5)
2
＋
?
?
2
?
4
11．(1)证 明 把直线l的方程改写成(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，


23

??
?
x＋y－4＝0
?
x＝3
由方程组
?
，解得
?
，
2x＋y－7＝0y＝1
??
??
所以直线l总过定点(3,1)．
圆C的方程可写成(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝25，所以圆C的圆心为 (1,2)，半径为5．
定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为?3－1?
2
＋ ?1－2?
2
＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点
(3,1)的直线总与圆相 交，即不论m取什么实数，直线l与圆C总相交．
(2)解 设直线与圆交于A、B两点．当直线l过 定点M(3,1)且垂直于过点M的圆C的
半径时，l被截得的弦长|AB|最短．
因为|AB|＝2
＝2
|BC|
2
－|CM|
2

1
25－[?3－1?
2
＋?1－2?
2
]＝220＝45 ，此时k
AB
＝－
＝2，所以直线AB的方程
k
CM

为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0．
故直线l被圆C截得的弦长最小值为45，此时直线l的方程为2x－y－5＝0．
12．B
解析 视线即切线，切线与直线x＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，
3圆的切线方程为y＝±
(x＋1)．当x＝2时，y＝±3，所以a∈(－∞，－3)∪(3，＋∞ )，
3
故选B．
13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4 y＋8＝0向左上方或向
11
右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积S
Rt △PAC
＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S
22
当点
四边形 PACB
也越来越大；
|3×1＋4×1＋8|
＝＝3，
22
3< br>＋4
从而|PA|＝|PC|
2
－|AC|
2
＝22． 1
∴(S
四边形PACB
)
min
＝2××|PA|×|AC| ＝22．
2
方法二 利用等价转化的思想，设点P坐标为(x，y)，则
|PC| ＝
|PA|＝
|PA|＝
?x－1?
2
＋?y－1?
2，由勾股定理及|AC|＝1，得
|PC|
2
－|AC|
2
＝ ?x－1?
2
＋?y－1?
2
－1，从而S
|AC|＝
四边 形PACB
＝2S
△PAC
＝2·
|PA|·
1
2
P从左上、右下两个方向向中间运动时，S
四边形PACB
变小，显然，
当点P到达一 个最特殊的位置，即CP垂直直线时，S
四边形PACB
应有唯一的最小值，此时|PC|?x－1?
2
＋?y－1?
2
－1，从而欲求S
四边形PACB
的最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|
2
＝(x－1)
2＋(y－1)
2
的最小值，即定点C(1,1)与直线上动点P(x，y)距离的平方的最 小值，它
|3×1＋4×1＋8|
也就是点C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离的平 方，这个最小值d
2
＝(
)
2
＝9，
22
3＋4
∴(S
四边形PACB
)
min
＝



9－1＝22．

24