高中数学必修二--常见题型归类

题型归类 人教版数学必修（二）
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高中数学必修2 题型归类
山石


必修二第一章 空间几何体

1.1空间几何体的结构、表面积、体积
题型1 柱体

1.在长方体
ABCD?A'B'C'D'
中,
(1)若全面积为202
，所有棱长的和是24则该长方体的对角线长_______；
cm
，
cm
(2)
AB?1,AD?2,AA'?3
,则从长方体的一条对角线的一个端点 出发，沿表面
运动到另一个端点，其最短路程是_______。
D


2.在圆柱
OO
1
中,
OB?1
,
CB?2
,它的表面积是____。


A
.
.
O
1
C
O
B
3．等体积的球和正方体,它们的表面积的 大小关系是
S
球
__
S
正方体



4.下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面


题型2 锥体

1.下列结论正确的是______
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥

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题型归类 人教版数学必修（二）
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何
体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

2.正三棱锥
S?ABC< br>,
SA?SB,SC?SB,SC?SB,
SA?SB?SC?1
,
则（1）
V
S?ABC
?
_______；
(2)
S
到底面
ABC
的距离为_________。


A
C
s
B
S
3.正四棱锥
S ?ABCD
,
SA?4
,且
?ASB?15
?
,
从
A
出发，沿棱锥侧面运动到点
A
，其最短路
程是_________。
D


A
B

?
4.圆锥
SO
,底面半径为2，轴截面为一个角是的三角形，求：
S
C
120
（1）表面积为________；
（2）体积________；
O
（3）内切球的半径为_______；
（4）A,B 为底面圆上任意两点，则
?SAB
的面积的最大值为______。



题型3 台体

A
C
1. 正三棱台
ABC?A
1
B
1
C
1
,
A1
B
1
?4
,
AB?1
,
AA
1?2
,
B
求它的表面积及体积。
A
1
C
1


B
1

A
1
O
D
2.圆台
OO
1
，上底面半径为1，下底面 半径为2，母线
BC

为2，则表面积为______,体积为_____,从B沿侧面到D
2
的最短距离为____。
2
C

B

3.
关于如图所示几何体的正确说法为________．
①这是一个六面体
②这是一个四棱台③这是一个四棱柱
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱

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题型4 球体

题型4.1 长方体与球
结论：1.正方体的棱长为a,则正方体的外接球的半径
径
3a
；正方体的内切球的半
2
a
2a
，与正方体；所有棱 相切的球的半径。
2
2

1.正方体全面积是24,求：
s
（1）它的外接球的体积为__________；
（2）它的内切球的表面积为_________；
（3）与它所有棱相切的球的大圆周长为________。
A

B

2.正方体AC
1
中，与正方体AC
1
所有棱相切的球被 平面C
1
A
1
B所截的
截面面积为
?
，求正方体AC
1
外接球的表面积。
D
C
1
1


A
1
B
1


D

C

A
B

3. 正方体AC
1
的棱长为1，以B为球心，表面积为8
?
的球面与 正方体AC
1
的面的
截痕为弧，求弧长。




题型4.2 三棱锥与球

求三棱锥外接球半径的方法：1.（ 特殊方法）三棱 锥的四个顶点恰是长方体
中的顶点，则求长方体外接球的半径；2.（一般方法）已知三棱锥S-ABC ，先找到
ABC的外接圆的圆心D，过D作平面ABC的垂线，交SA的中垂面与O，点O即为外
接球的球心。
求三棱锥内切球的半径的方法：体积法，所求半径为三棱锥的体积除以三棱锥
所有面的面积和。
C
结论：正四面体的棱长为
a
，则正方体的外接球的半径
3a
；正方体的内切球
2

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的半径
a
2a
；与正方体所有棱相切的球的半径。
2
2
1.正四面体棱长均为
a
，则它的内切球的半径是______ ,它的外接球的半径是______,
与它所有棱相切的球半径是_______。


2.球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB =PC=
2
，
则这个球的表面积 。

3.一四面体的一组对棱为6，其余棱为5，求它的外接球的体积。
4.三棱锥P- ABC，平面PAB⊥平面ABC，AB=2，PA=
3
，PB=1 AB=2，BC=2
3
，
AB⊥BC。求三棱锥P-ABC的外接球的体积


5.球O的球面上有四个点S.A.B.C，S、O在平面ABC的同侧，其中∠ B=120°，AB=BC=2，
平面SAC⊥平面ABC, 棱锥S-ABC的体积的最大值为
3
，则球O的表面积是
A.
18
?
， B.
16
?
C.
25
?
D.
20
?
（ ）


S


O
E


A

D
O
B

C

题型4.3 圆柱与球

1.一个直径为
32
厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升
高
9
厘米则此球的半径为 （ ）厘米．
A．
16
B．
14
C．
12
D．
10




题型4.4 圆锥与球
求圆锥外接球，内切球半径的方法。圆锥外接球，内切球的半径分别 是圆锥轴

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截面的外接圆、内切圆的半径。

1.圆锥的底面面积是
9
?，它的外接球半径为5,则圆锥的体积是_______。

题型4.5 圆台与球
求圆台外接球，内切球半径的方法。圆台有外接球，不一定有内切球。圆台外
接球半径就是圆台 轴截面的外接圆的半径。若圆台有内切球，则内切球的半径就是
圆台轴截面的内切圆的半径，也是圆台高 的一半。

1.圆台的上下底面面积分别是
9
?
、
16< br>?
，它的外接球半径为5,则圆台的表面积是
_______。
2.圆台的上 底面面积分别是
4
?
、，圆台的母线为2，轴截面图形的一角为
60
，则
它的外接球表面积是_______。

?
1.2空间几何体的直观图和三视图

题型1 投影、直观图

1.下列说法正确的是 （ ）
A.矩形的中心投影 一定是矩形 B.两条相交直线 的平行投影不可能平行
C.梯形的中心投影一定是梯形 D.平行四边形的中心投影一定是梯形


2.下列说法正确的有 。
（1）菱形的直观图可能是菱形；
（2）矩形的直观图可能是矩形
（3）正方形的直观图不可能是正方形
（4）四边形各角的大小在直观图中可能都不会发生改变。


3．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△AOB的面积是 ( )
A．6 B．32 C．62 D．12

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题型归类 人教版数学必修（二）
4.已知A、B为正方体的两个顶点，C为棱的中点，则三角形ABC在正方体各个面的
正投影___

B


（1） （2） （3） （4）

A C


5（1）正方形的平行投影可能为________________
（2）★正方体的平行投影可能为________________



题型2 三视图

题型2。1 三视图的特点

1.以下说法正确的是 （ ）
A.任何物体的三视图与物体的摆放位置有关;
B.任何物体的三视图与于物体的摆放位置无关;
C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关;
D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形.

题型2.2 已知几何体，确定三视图

1. 甲所示，在正方体ABCD—A
1
B1
C
1
D
1
中，E、F分别是AA
1
、C1
D
1
的中点，G是正方形
BCC
1
B
1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的
____________ .




甲 乙
2.下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是 （ ）







3．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是

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（ ）




4.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 （ ）






A.①② B.①③ C.①④ D.②④
5.画出下列几何体的三视图

俯


侧



正

6.在正方体中，如图
（1） 正方体及其内切球的正视图是________
（2） 正方体及其外接球的正视图是________
（3） ★正方体及其所有棱相切球的正视图是________


正面





A B C D E


题型2.3 已知三视图，确定几何体

2
1.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体
3
的表面积是 （ ）
A. 9π B. 10πC. 11π D. 12π
2


2

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题型归类 人教版数学必修（二）


2.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，
最大的是 （ ）
A．8 B．
62
C．10 D．
82




3.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。






4.一个几何体的三视图如图所示，
则该几何体的表面积为__________．





5. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为






A B C D （ ）






必修二第二章 点、直线、平面的位置关系


2.1空间点、直线、平面的位置关系

题型归类 人教版数学必修（二）
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题型1 点、直线、平面的位置关系

1．已知α、β为平面，
A
、
B
、
M
、
N
为点，
a
为直线，下列推理 错误的是 ( )
A．
A
∈
a
，
A
∈β，< br>B
∈
a
，
B
∈β?
a
?β
B．< br>M
∈α，
M
∈β，
N
∈α，
N
∈β?α∩β ＝
MN

C．
A
∈α，
A
∈β?α∩β＝
A

D．
A
、
B
、
M
∈α，
A
、
B
、
M
∈β，且
A
、
B
、
M
不共线 ?α、β重合

2. 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 ( )
A．一定平行B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面


3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线
a
，
b
，c
满足
a
∥
b
，
b
⊥
c
，则
a
⊥
c
；
④若直线
l
1
，
l< br>2
是异面直线，则与
l
1
，
l
2
都相交的两 条直线是异面直线．
其中假命题的个数是 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4

5．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个


6．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线
( )
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直

7. 三个不重 合的平面，能把空间分成
n
部分，则
n
的所有可能值为__________ ____．



题型2 三点共线、四点共面

1 ．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，对角线A
1
C与平面BDC
1
交于点O，AC、
BD交于 点M，E为AB的中点，F为AA
1
的中点．有如下结论：
(1)C
1
、O、M三点共线；
(2)E、C、D
1
、F四点共面；
(3)CE、D
1
F、DA三线共点．

以上结论中正确结论的序号为________．

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题型归类 人教版数学必修（二）


题型3 截面图形的形状

1.已知M、N、P分别为正方体棱的中点，判断下列各条件截面的形状：
（1）过D、B、
C
?
的截面为 ；


D

C

（2）过D、B、P的截面为 ;
P
·




A

B

（3）过M、N、
C
?
的截面为 ；
D
C

（4）★过M、N、P的截面为 。
N

M


A

·
B




题型4 异面直线

1．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点，则表示直线
GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．



2．如图所示，点P，Q，R，S分别
在正方体的四条棱上，并且是所
在棱的中点，则直线PQ与RS
是异面直线的图是 ( )








2.2直线、平面平行的判定及其性质


题型1 有关直线与平面平行的命题

1．a、b、c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出下列命
题：

题型归类 人教版数学必修（二）
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①a∥γ
?
α∥c
?
a∥γ
?
???
?
?a∥b； ②
?
?α∥β；③
?
?a∥α.
???
b∥γ
?
β∥c
?
α∥γ
?
其中正确命题的个数是 ( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2．下面给出四个结论，其中正确结论的个数是 ( )
①若a∥α，b∥α，则a∥b；[来源:学
②若a∥α，b?α，则a∥b；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若a∥b，b∥α，则a∥α.
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个

3.已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个两两不重合的平面，给出下
列结论：
①若m∥β，n∥β，且m?α，n?α，则α∥β；
②若α∩β＝n，m∥n，则m∥α且m∥β；
③若α∥γ，β∥γ，则α∥β；
④若α∥β，且γ∩α＝m，γ∩β＝n，则m∥n.
其中正确的是 ( )
A．①③ B．①④ C．②④ D．③④


4.判断命题的真假(对打“√”，错打“×”)：
(1)平行于同一直线的两直线平行．( )[来源:Z
(2)平行于同一直线的两平面平行．( )
(3)平行于同一平面的两直线平行．( )
(4)平行于同一平面的两平面平行．( )
(5)过平面外一点作该平面的平行平面只有一个。( )
(6)过平面外一点作该平面的平行直线只有一条。( )
(7)过平面外一条直线作该平面的平行平面一定有一个. ( )
(8)两个平面不相交就一定平行。( )

5.设m，n表示不同直线，α，β表示不同平面，则下列命题中正确的是 ( )
A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，则α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，则n∥β D.若α∥β，m∥α，n∥m，nβ，则n∥β


题型2 直线与平面平行的判定

1.若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A?α，则( )
A．α∥平面ABC B．△ABC中至少有一条边平行于α[来
C．△ABC中至少有两条边平行于α D．△ABC中只可能有一条边与α相交

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题型归类 人教版数学必修（二）


2.如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )．[来源






3．经过两条异面直线a、b之外的一点P，可作________个平面与a、b都平行．


4.如图所示，已知四棱锥PABCD底面ABCD为平行四边形，
E，F分别为AB，PD的中点．求证：AF∥平面PCE.



5．如图所示，已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，面对角线AB
1
、BC
1
上分别有两点
E、F ，且B
1
E＝C
1
F．求证：EF∥平面ABCD．






6.如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC ＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N
分别为A′B和B′C′的中点． 证明：MN∥平面A′ACC′.







7.四棱锥
S?ABCD
的底面为平行四 边形,
M
N
P
分别是
AC
、
SD
、
SA
的中点.
S
(1)证明：
MN
平面
SAB
；
(2)证明：平面
PMG
平面
SDC
；
N
(3) ★设
Q
为
MC
中点，在
SA
上找一点
R
，
·
使
QR
平面
SDC
；
(4) ★在
SD
上找一点
H
，使
MH
平面
SBC
；

C
D
·
M
P
·
G
·
A
B

题型归类 人教版数学必修（二）
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题型3 平面与平面平行的判定

1.如图所示，在正三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
中，E，F，G是
侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG.求证：平面
EFG∥平面ABC . [来源:学科网ZXXK]



2.如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，S是
B
1
D
1

的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点。
求证：平面EFG平面
BDD
1
B
1



题型4直线与平面平行的性质


1三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
，D是AB上一点，AD=
t
DB,
C
1
B
1
且C
1
A∥平面CB
1D，则
t
=_____________.
A
1



C
B

D

A
2.如图所示，
P
为平行四边形
ABCD
所在平面外一点，
M
、
N
分别为
AB
、
PC
的中点，
平面
PAD
∩ 平面
PBC
＝
l
．求证：
BC
∥
l
；






3.
ABCD
是平 行四边形，点
P
是平面
ABCD
外一点，
M
是
PC
的中点，在
DM
上取一点
G
，
过
G
和AP
作平面交平面
BDM
于
GH
，求证：
AP
∥
GH
．

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题型归类 人教版数学必修（二）


题型5平面与平面平行的性质

1.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的
直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与
α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则
BD的长为
24
A．16 B．24或 C．14 D．20 ( )
5



2.3直线、平面垂直的判定及其性质

题型1 有关直线与平面垂直的命题

1.设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥β
C．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

2.设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是 ( )
A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α
B．若m?α，n?β，m∥n，则α∥β
C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

3.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 ( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m



题型2 线线垂直判定

1.已知矩形
ABCD
，< br>AB
＝1，
BC
＝2.将△
ABD
沿矩形的对角线
B D
所在的直线进行翻
折，在翻折过程中 ( )
A．存在某个位置，使得直线
AC
与直线
BD
垂直
B．存在某个位置，使得直线
AB
与直线
CD
垂直
C．存在某个位置，使得直线
AD
与直线
BC
垂直
D．对 任意位置，三对直线“
AC
与
BD
”，“
AB
与
C D
”，“
AD
与
BC
”均不垂直


2.设P为ΔABC所在平面外一点，O为P在ΔABC内的射影，

题型归类 人教版数学必修（二）
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①若P到ΔABC的三个顶点距离相等，则O是ΔABC的________；
②若P到ΔABC的三边距离相等，（O在ΔABC内部）则O是ΔABC的_________；
③若PA⊥BC且PB⊥AC，则O是ΔABC的_______.

S

3.已知：在三棱锥
S?ABC
中，点
S
在平面
ABC< br>的射影为
O
，
SA?BC
，
SC?AB
,
证明：(1)
AO?BC
;
(2)
O
为
?ABC
的垂心;
C
(3)
SB?AC


A
2.求证：正三棱柱三个侧面的三条两两异面的 对角线中，只要有一对互相垂直，另
两对也互相垂直。




B
C
1
A
1
B
1
C
题型3 线面垂直判定

A
B

1.如图，正 方体
AC
1
的棱长为1，过点
A
作平面
A
1
BD
的垂线，垂足为点
H
.则以下命
题中：
①点
H
是△
A
1
BD
的垂心；
②
AH
垂直平面
CB
1
D
1
；
③
AH
的延长线经过点
C
1
；
④直线
AH
和
BB
1
所成角为45°；
其中正确的命题的序号是____________．

2.已知：矩形
ABCD?
平面
ABE
，
(1)证明：
AD?
平面
ABE

(2)若
AE?BE
，证明：
EB?
平面
ADE

(3)若平面
ADE?
平面
DEB
，
证明：①
EB?
平面
ADE
②
AE?
平面
CBE



D
C


A
E
B
3.如图，直二面角D—AB—E中，四 边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE
上的点，且BF⊥平面ACE.求证AE⊥平 面BCE；

- 16 -
题型归类 人教版数学必修（二）




4.如图，在四棱锥
P< br>—
ABCD
中，底面
ABCD
是正方形，
侧棱
PD
⊥底面
ABCD
，
PD
=
DC
，
E
是
PC
的中点，作EF
⊥PB交PB于点F.
(1)证明PA平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD；


5.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝2，
CE＝EF＝1.
(1)求证：AF∥平面BDE；
(2)求证：CF⊥平面BDE.



题型4 面面垂直判定

1．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么( )
A．平面ABD⊥平面ADC B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面BCD⊥平面ADC D．平面ABC⊥平面BCD


2 .如图，平行四边形
ABCD
中，
AB
⊥
BD
，沿
BD
将△
ABD
折起，使平面
ABD
⊥平面
BCD
，
连接
AC
，则在四面体
ABCD
的四个面中，互相垂直的平面的对 数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4






3.四棱锥
S-ABCD
的底面是正方形，
SA
⊥平面
ABCD
,E为AB中点,,
SA
＝
BA

求证：平面
SCE
⊥平面
SCD
。

4.如图，在△< br>ABC
中，∠
ABC
＝90°，点
P
为△
ABC所在平面外一点，
PA
＝
PB
＝
PC

题型归类 人教版数学必修（二）
- 17 -
求证：平面
PAC
⊥平面
ABC
.




5.已知：底面为正方形且侧棱相等的四棱锥
S?ABCD
，被平面截得的 四棱台
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1，
AB?2A
1
B
1
?4
，
AA
1< br>?3
，
（1）证明平面
DD
1
B
1
B?< br>平面
ABCD
；
（2）证明平面
DBC
1
?
平面
AA
1
C
1
C
；
（3）★证明平面
ADD
1
A
1
?
平面
B
1
C
1
CB


D
A
D
B
C
C

A
E
，
AF?CA
1
于
F
. 6.已知：在直棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，< br>AC?CB
，
AE?A
1
B
于
B
证明：（1）
BC?
平面
ACA
C
1

1
;
（2）
BA
1
?AF
;
（3）平面
CBA
1
?
平面
AEF
.






A
1

F
E
C
A
B
1

B
2.4异面直线所成的角、直线与平面所成角、二面角

题型1 异面直线所成的角

方法：在几何体中多以“平行平移”的方法实现角的转化

1.正方体A C
1
中，E、F分别是面A
1
B
1
C
1
D
1
和AA
1
DD
1
的中心，则EF和CD所成的角是( )
A．60° B．45° C．30° D．90°


2.空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成
的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，则EF与AB
所成角的大小_____________．



3.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中

- 18 -
题型归类 人教版数学必修（二）
有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．



4.四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是
A．AC⊥SB B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 ( )
P
,
M
,
N
分别为
DD
1
,
B
1
C
1
,
C
1
C
的中点，5. 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
Q

是
AC
,
DB
的交点。
(1)则异面直线
A
1
B
与
MN
所成的角 ；
(2)则异面直线
PQ
与
MN
所成的角 ；
(3)求异面直线
PQ
与
BN
所成角的余弦值。
(4)★则异面直线
PM
与
NQ
所成角的余弦值 。




?
D

C

B


A



D

C

A
B

6.四棱锥
S?ABCD
,
ABCD
,
AB?2CD?2
,
?DAB?90
,
SA?
平面ABCD
,
AD?1
,
SA?1
.
S
（1）求异面直线
CB
与
SD
所成的角.
（2）则异面直线
DC
与
SB
所成的角余弦值 ；
（3）★则异面直线
AD
与
SC
所成角的余弦值 .
C

B
A



A
MAD
A?BCDBC
7.正四面体中，、N是、的中点
(1)则异面直线
AB
与
CD
所成的角 .
(2)求异面直线
AM
与
CD
所成角的余弦值.
(3) ★则异面直线
AM
与
BN
所成角的余弦值 .
D


B

8.正三棱台
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AB?2A
1
B
1
? 22
,
AA
1
?1

(1)则异面直线
AB
与
B
1
C
1
所成的角 .
A
1
B
1
D
C
C
1
A
B
C

题型归类 人教版数学必修（二）
- 19 -
(2) 则异面直线
AA
1
与
BC
所成的角 .
（3）求 异面直线
AA
1
与
BC
1
所成角的余弦值。
（4 ）★则异面直线
AC
1
与
A
1
B
所成角的余弦值 .



题型2 线面角

方法：（1）能用投影法找直线的射影得到线面角；（2）求高正弦法。

1.在正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，BB
1
与平面ACD
1
所成角的余弦值为 ( )
2326
A. B. C. D.
3333< br>2.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确
的是 ( )
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角


3.在平面四边形A BCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使
得平面ABD ⊥平面BCD，
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．



4.在三棱锥
S?ABC
中，
SA?
平面
ABC
，
D
为
AC
的中点。
AB?BC
，
SA?AB?BC ?1

（1）则
SC
与平面
ABC
所成角的正切值 ；
（2）求
SC
与平面
SAB
所成角的余弦值；
S
（3）则
AB
与平面
SAC
所成角的大小为 ；
（4）则
SB
与平面
SAC
所成角的余弦值 ；
（5）求
SA
与平面
SBC
所成角的大小；
（6）★则
AC
与平面
SBC
所成角的正弦值 ；
D
（7）则
DS
与平面
SAB
所成角的正弦值 ；
A
（8）★求
SC
与平面
SDB
所成角的正弦值；
(9) ★则
DB
与平面
SBC
所成角的正弦值 ；
B
（10）★则
SD
与平面
SCB
所成角的余弦值 .

C

- 20 -
题型归类 人教版数学必修（二）
题型3 求二面角的方法

方法有：（1）定义法；（2 ）三垂线法；（3）垂面法；（4）射影法；（5）构
d
造虚拟的二面角的平面角利用
sin
?
?
求解。（6）和差角法。（7）利用向量角与二
l
面角的 平面角相等求解。（8）灵活选取基底，应用法向量求解 （9）法向量法
（10）利用三面角定理法，（11）利用异面直线上两点间的距离公式，求解。

2015陕西省高考理科数学18题：
，
????C?1
，
?D?2
，
2

?< br>是
?D
的中点，
?
是
?C
与
??
的 交点．将
????
沿
??
折起到
??
1
??
的位置，
在直角梯形
??CD
中，
?D?C
，
???D?
?



?
?
?
证明：
CD?< br>平面
?
1
?C
；
?
??
?
若平面
?
1
???
平面
?CD?
，求平面
?
1< br>?C
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值．


A（A）
1


G
E
O
?
?
?
证明：略。
B
（II）
图一
思路：所求二面角的平面角转化为两个二面角的平面角的和。
解法一：（如图一）
取
?
1
C
的中点G，连OG、BG，因OC= A
1
O，有OG⊥A
1
C，由题知
C
A
1
O
BO?
CO

又
A
1O
?
CO?O
，有
BO?
平面
AOC
，故BG ⊥A
1
C，所以
?BGO
是二面角
1
?CD?
，又 A
1
O⊥BE，平
O?AC
1
?B
的平面角，设其为
?
，因平面
?
1
???
平面
面
?
1???
平面
?CD??BE
，A
1
O
?平面A
1
BE
，故A
1
O⊥平面
?CD?
，有A
1
O
BO?
1
236
，得BC=A
1
O=A
1C=1，OG=，BG=，得
sin
?
?
。
2
223< br>由
?
?
?
CD?
平面
?
1
?C，又
CD?
平面
?
1
DC
，故平面
?
1
CD?
平面
AOC
。设
1
⊥CO，因A
1
O=OC=BO=
?
?
?
二面角
B?AC
1
?D
的平面角为，
?
2
?
?
。
os
?
??
得
c
6
，所以平面
?
1
?C
3

题型归类 人教版数学必修（二）
- 21 -
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值为
6
。
3

思路：构造虚拟的二面角的平面角
设平面
?
、
?
的平面角为
?
（如图二、三），
?
?
?
?l< br>,
A?
?
,点A到平面
?
的距离为
d
，在平 面
?
内过点A作直线
l
的垂线，垂足为B，则
sin
??
d
。
AB
A


?
d

?


A
B
?

d

l


B

?

图三
l


图二

解法二：（如图四）
因平面?
1
???
平面
?CD?
，又A
1
O⊥BE， 平面
?
1
???
平面
?CD??BE
，
A
1
O
?平面A
1
BE
，故A
1
O⊥平面
? CD?
，有A
1
O⊥CO，因A
1
O=OC=BO=
可得B C=A
1
O=A
1
C=1又
S
?A
1
BC
2

2
A
1
（

A）
，
E
O
13
?
B
S
?BCD
?DC? CB?sin
，设点D到平面A
1
BC的距离为
d
，
图四
24
6
因为
V
D?A
1
BC
?V
A
1
?BCD
，得
d?
，设二面角
B?A
1
C?D
的平面角为
?
，由
?
?
?
3
d3
?
可得A
1
C⊥CD，则
sin
?
?
又二 面角
B?A
为钝角，得
?D
1
C
CD3
1
?
?A
1
B?CB?sin
，
23
C
cos< br>?
??
6
6
，所以平面
?
1
?C
与 平面
?
1
CD
夹角的余弦值为。
3
3
A
1
（

A）
G
E
O
图五

思路：构造虚拟的二面角的平面角
解法三：（如图五）
因平面
?
1
???
平面
?CD?
，又A
1
O⊥BE， < br>平面
?
1
???
平面
?CD??BE
，A
1
O
?平面A
1
BE
，
2
，
B
2
3
可得BC=A
1
O=A
1
C=1，取
?1
C
的中点G，连BG，可得BG=且BG⊥A
1
C
2
故A
1
O⊥平面
?CD?
，有A
1
O⊥CO，因A
1
O=OC=BO=
C

- 22 -
题型归类 人教版数学必修（二）
13
?
12
S?DC?CB?sin
，，设 点D到平面A
1
BC
AC?CD?
?BCD
1
24
22
1
的距离为
d
，因为
V
D?A
1
BC
?V
A
1
?BCD
，得
d?
，设二面角
B ?A
1
C?D
的平面角
2
d3
6
?
为?
，则
sin
?
?
又二面角
B?A
1
C?D
为钝角，
cos
?
??
，所以
GB3
3又
S
?A
1
DC
?
平面
?
1
?C
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值为
6
。
3
A
1
（

A）
G
E
O

思路：利用向量角与二面角的平面角相等求解。
解法四：（如图六）
因 平面
?
1
???
平面
?CD?
，又A
1
O ⊥BE，
平面
?
1
???
平面
?CD??BE
， A
1
O
?平面A
1
BE
，
故A
1
O⊥平面
?CD?
，有A
1
O⊥CO，
B
2
图六
因A
1
O=OC=BO=，可得BC=A1
O=A
1
C=1，取
?
1
C
的中点G， < br>2
3
连BG，可得BG⊥A
1
C，BG=，由
?
?< br>?
可得
CD?
A
1
C。设二面角
B?A
1
C?D
的
2
平面角为
?
，故
?
?CD,G B
因
A
1
O?CO
，
A
1
O?CD
，
CD?CO
，
C
CD?2
，
CO?
2
，
2
A
1
O?
2
2
，
GB?
1 11
CO?A
1
O?CD

222
cos
?
?
CD?GB
CD?GB
??
6
6
，，所以平面
?
1
?C
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值为。
3
3

思路：利用三面角定理，求二面角的大小。

定理：
（如图七）设自点A有三条射线, ∠BAC=
?
,∠BAD=
?
,∠CAD=
?
,0＜
?
B
＜
?
, 0＜
?
＜
?
,0＜
?
＜
?
,平面CAD与 平面BAD所成的角为
?
.则
G
cos
?
?cos
?
cos
?
cos
?
=
sin
?
sin
?

解法五：（如图八）
设二面 角
B?A
1
C?D
的平面角为
?
由题和（I）知∠BCD=
135
,
??
?
F
C
A
cos1 35
?
?cos60
?
cos90
?
6
=
?A
1
CD
=
90
,
?A
1
CB
=
60
，得
cos
?
=
?
??
3
sin60sin90
E
图七
D

题型归类 人教版数学必修（二）
- 23 -
所以平面
?
1
?C
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值为
6

3
A
1
（

A）
E
O
图八




思路：利用异面直线上两点间的距离公式，求二面角的大小。
B C
几何公式法： 设有两条异面直线a、b，a、b的公垂线AB长为d。在a上找另
一点C，b上找另一点D，AC=m ，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。则
，注意正负号的使用，当二面角C- AB-D为θ时取
+，为π-θ时取-。

解法六：（如图九）
取
?
1
C
的中点G，连BG，由题可得BG⊥A
1
C，CD⊥A1
C，BG=
1
3
，CG= ，CD=
2
，
2
2
BD?5

设异面直线BG、C D所成的角为
?
，则二面角
B?A
1
C?D
的平面角为?
?
?

CG?BD
2
?BG
2
?C D
2
?2BG?CD?cos
?

6
6
，故平面< br>?
1
?C
与平面
?
1
CD
的余弦值为－。
cos
?
?
3
3
6
所以平面
?
1
?C
与平面
?
1
CD
夹角的余弦值为
3
A
1
（

A）
G
E
O

B
图九
1.已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，
n所成的角为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°

2.从空间一点P向二面角α－l－β的两个平面作垂线PE，PF，E，F 为垂足，若∠
EPF＝60°，则二面角的平面角的大小为 ( )
A．60° B．120° C．60°或120° D．不确定

3.如图，已知正方体ABCD ?A
1
B
1
C
1
D
1
，则二面角C
1
?BD ?C的正切值为________．



4.已知：正四面体
S?ABC
，求二面角
A?SC?B
的余弦值。


C

- 24 -
题型归类 人教版数学必修（二）

5.已知：
SA?
平面
ABCD
，
SABG
是正方形，四边形
ABCD
为平行四边形，
?ADC? 60
?
，
AB?2AD?2
，
E
为
DC
的 中点，
(1) 则二面角
D?SA?E
的大小 .
(2) 求二面角
S?DE?A
的正切值.
(3) ★则平面
SDE
与平面
SABG
所成角的正切值 ..
(4) 则二面角
E?SD?A
的正切值 ..
(5)证明平面
SAE?
平面
SEB
.
(6)求二面角
S?EB?A
的大小.
(7)求二面角
E?SB?G
的正切值.
(8) ★ 求二面角
D?SE?B
的余弦值.
(9) ★则平面
SDA
与平面
SEB
所成角的正切值 .
D
(10) ★★ 则二面角
D?SB?E
的余弦值 .


2.5点到平面的距离、几何体的体积
S
G
A
E
C
B


题型1 点到面的距离

方法：1.能正确作出点面距离.2利用等积法转化 3. 利用平行转化或比例转化
B



A

B

A



C

?

?


1.已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，并且PA＝6，AB＝3，AD＝4，则点
P到BD的距离是 ( )
6 29
A. B．6 29 C．3 5 D．2 13
5

2.如图K2?3?1，平行四边形的一个顶点
A
在平面α内，其余顶点在α的同侧，已
知其中有两个顶点到α的距离分别为1和2 ，那么剩下的一个 顶点到平面α的
距离可能是：①1；②2；③3；④4.以上结论正确的为__________(写出 所有正确
结论的序号)．




题型2：求几何体的体积

方法：1.直接法。2. 割补法。3.等积法转化（利用等高或等底面积）。4等比

题型归类 人教版数学必修（二）
- 25 -
例积法转化（等比例转化面积或等比例转化高）。








1.如图，正 方形
ABCD
的边长为
2
，
PA?
平面
ABCD< br>，
DE
∥
PA

PA?2DE?2
，
F
是
PC
的中点.
（1）求证：
EF
∥平面
ABCD
；
（2）求证：平面PEC
?
平面PAC；
（3）求三棱锥
P?ACE
的体积
V
P?ACE
.







2.四棱锥
S?ABCD< br>,
AB
∥
CD
,
BD?AC
,
AD?BC< br>，
AB?2
,
DC?42

O
为
BD
与
AC
的交点，
SO?平面ABCD
,
SB?3
,则四棱 锥
S?ABCD
的
体积____________表面积__________


S


A B


D

3.底面为直角三角形的斜三棱柱ABC－A
1
B
1
C< br>1
中， 侧面ABA
1
B
1
为菱形，平面
ABB1
A
1
⊥平面ABC，A
1
A与平面ABC的线面角为60?， AB=BC=A
1
A=4，
（Ⅰ）若M为A
1
B
1
的中点，求证：CM⊥AB
（Ⅱ）若
A
1
E?






A
c
11
A
1
A
，
C
1
F?CC
1
求三棱锥E－FBC
1
的体积.
B1
42
M
A1
E
B
F
C
C1

- 26 -
题型归类 人教版数学必修（二）



4.在Rt△A BC中，∠C=90°，∠A=30°AB=6，D，E分别为AC，AB的三等分点，点F
为线段C D上的一点，将△ADE沿DE折起到△A
1
DE的位置，使二面角A
1
DE —BEDC
大小为60°，
A
A
1
(1)求证：A
1
C⊥BE；
（2）若M、N分别为AB、AE上的点，AM=
AN=
1
AB，
2
D

D
E

C

B
C






5.四棱柱ABCD - A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
且AD＝2BC.过A
1< br>，C，D三点的平面记为α，BB
1
与α的交点为Q.
(1)证明：Q为BB
1
的中点；
(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比。







1
AE，求三棱锥C-MNE的体积。
3
N
M
E
B
2.6探究问题

题型1 探究平行问题

已知平面
?
外一点A和一条直线
l
，直线
l
与平面
?
交点D在直线
l
上找一点M ，
使得AM∥平面
?
。
方法1.过点A作平面
?
，使得平 面
?
∥平面
?
，平面
?
交直线
l
于点M。
方法2.在直线
l
上选一点B，连接AB交平面
?
与点C，作CD∥ AM交直线
l
于点M

l


B
C
M
?
A A M
B
l

?

?

D
?

C

题型归类 人教版数学必修（二）
- 27 -







1
1.如图，在四棱锥
P
?
ABCD
中，
CD
∥
AB
，
DC
＝
AB
，试在线段
PB
上找一点
M
，使
CM
2
∥平面
PAD
，并说明理由．（两种方法）





2.如图，在三棱柱
ABC
?
A
1
B
1
C1
中，
D
是
BC
的中点．
(1)若
E
为
A
1
C
1
的中点，求证：
DE
∥平面
ABB
1
A
1
；
(2)若
E
为
A
1
C
1
上一点，且
A
1
B
∥平面
B1
DE
，求
A
1
E
的值．
EC
1




题型2 探究垂直问题

已知点A和两条直线
l
、
m
，在直线
l
上找一点B，使得AB⊥
l
。
方法：过点A作平面
?
，使得平面
?
⊥
l
，
l

m

平面
?
交直线
m
于点B
?

C B

A

D

1.如图(1)，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
D
，
E
分别为
AC
，
AB
的中点,点
F
为线段
CD
上的一点,将△
ADE
沿
DE
折起到△
A1
DE
的位置,使
A
1
F
⊥
CD
，如 图(2).
(1) 求证：
A
1
F
⊥
BE
；
(2) 线段
A
1
B
上是否存在点
Q
，使
A
1
C
⊥平面
DEQ
？说明理由．

- 28 -
题型归类 人教版数学必修（二）



2.如图，四棱锥
P
?ABCD
中，底面
ABCD
是∠
DAB
＝60°的菱形，
侧面
PAD
为正三角形，其所在平面垂直于底面
ABCD
.
(1)求证：
AD
⊥
PB
；
(2)若
E
为
BC
边的中点，能否在棱
PC
上找到一点
F
，使平面
DEF
⊥平面
ABCD
？并证明你的结论．





3.如图，三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，侧棱垂直底面，
∠ACB=90°，AC=BC=
1
AA
1
，D是靠近A的棱AA
1
的三等分
3点。在棱
CC
1
上找到一点
F
，使平面
DBF
⊥平面
BCD
？并证
明你的结论．





4.在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，SA⊥平面ABC，
（1）在SC上找到一点
M
，使AM⊥SB并证明你的结论．
（2）在SB上找到一点
N
，使AN⊥SC并证明你的结论．





S
A
C
B
第三章 空间几何体

3.1直线方程

题型1 直线的倾斜角和斜率

1.设直线的方程是2x+by－1=0倾斜角为
?
.（1）若
?
?
?


?
6
2
?
，则b的取值范围_____；
3

题型归类 人教版数学必修（二）
- 29 -
2.如果直线
l
沿
x
轴负方向平移
3
个单位再沿
y
轴正方向平移
1
个单位后，又回到原
来的位置，那么直线
l
的斜率是____


3.直线< br>l
：y=ax+2和A(1，4)、B（3，1）两点，当直线
l
与线段AB相 交时，求实数
a的取值范围是__________________.


4.设点
A
?
?2，3
?
、B
?
3，2
?
，若直线
ax?y?2?0
与线段ＡＢ有交点，则
a
的取值范围是
5
??
4
?
?
45
?
A.
?
?
?
?
?
，??
?
B.
?
?，
?

?
??，
2
???
3
?
?
32
?
4
?
D.
?
4
??
5
?
（ ） C.
?
?
5
，
??，??，??
??
?
23< br>?
??
32
??
????



题型2 直线方程

1.过点（3，1），且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是________________ ____.


C(2,2)
，2.等腰直角
?ABC
的 斜边
AB
所在的直线方程是
x?y?2?0
，，则
BC
所< br>在的直线方程是________。


3.已知
ab?0,bc?0
，则直线
ax?by?c
通过（ ）
A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限
C 第一、三、四象限 D 第二、三、四象限
4.方程
x?y?1
所表示的图形的面积为_________．


5.直线
l
过点M（2，1）且分别与x、y正半轴交于A、B两点，O为原点.
(1)当
?
AOB面积最小时，求直线
l
的方程；
(2)当
?
AOB面积为10，直线
l
有几条；
(3)当|MA|·|MB|取最小值时，求直线
l
的方程.

- 30 -
题型归类 人教版数学必修（二）



题型3 直线系方程

1.若直线
y? x
与
y?k(x?1)
有一个公共点，则
k
的取值范围是_____ ______。


2.若曲线
y?1?x
2
与直线y?x?b
始终有交点，则
b
的取值范围是________；


题型4 两直线相交、平行、重合、垂直

1.已知三条直线
x?y?0，x?y?1?0，mx?y?3?0
不能构成三角形，则
m
的取
值范围 （ ）
A.
?
1，?1
?
B.
?
1，?1，?7
?
C.
?
1，?1，7
?
D.
?
1，?1，?
?



2.经 过直线
l
1
:2x?3y?5?0,l
2
:3x?2y?3?0的交点且垂直于直线
2x?y?3?0

的直线方程____________。


3.如果点
?
5，a
?
在两条平行直线
6x?8y?1?0
和
3x?4y?5?0
之间，则整数
a

的值为
A. 5 B. -5 C. 4 D. -4 （ ）


4.已知两条直线
l
1
:(m?3)x ?2y?5?3m,l
2
:4x?(5?m)y?16
，求分别满足下
列条件时
m
的值：
（1）
l
1
与
l2
相交；（2）
l
1
与
l
2
平行；（3）l
1
与
l
2
重合； （4）
l
1
与
l
2
垂直.


?
?
1
?
7
?





题型5 点点距离、点线距离、

题型归类 人教版数学必修（二）
- 31 -
1．过点
A
?
1,2
?
且与点
B
?
3,?2
?
C
?
?9,1 2
?
距离相等的直线方程是__________。


2． 在坐标平面内，与点
A(1,2)
距离为
1
，且与点
B(3,1)< br>距离为
2
的直线共有 （ ）
A．
1
条 B．
2
条 C．
3
条 D．
4
条


3.直线

l
1
:kx?y?2?0,k?R
,直线
l
2
:mx?2m?y?2?0,m?R
,且
l1
∥
l
2
，设直线
l
1
，
l
2
距离为
d
，则
d
最大时
l
2
的直线方 程是__________。


4.过点
A
?
1, 2
?
且与原点距离最大的直线方程是__________。

5.两条平行线
3x?4y?12?0
和
6x?8y?6?0
间的距离是 ．



题型6 关于点对称、关于线对称

1.直 线
2x?3y?6?0
关于点
?
1,?1
?
对称的直线方程 是 （ ）
A.
3x?2y?2?0
B.
2x?3y?7?0
C.
3x?2y?12?0
D.
2x?3y?8?0



2.光线从点
A
?3，4
?
出发射到
x
轴上点
B
，被
x
轴反射到
y
轴上，又被
y
轴发射后
到点
C
?1，6
?
，则光线
AB
所在的直线方程是_____________。


3.已知直线
l
1
:y?2x?3,
若
l
3
与
l
1
关于
x
轴对称，则
l
3
的方程为_________；
若
l
4
与
l
1
关于
y?x
+3对称，则
l
4
的方程为________ ___；


4.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
x?y?2?0< br>与x-7y-4=0,原点在等腰三
角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 （ ）
A．3 B．2


5.已知点
A
?
5，2
?
,在直线
y?x?3
上和
x
轴上分别有 点M,N,则三角形AMN周长最
C．
?
1

3
D．
?
1

2

- 32 -
题型归类 人教版数学必修（二）
小值为

6.已知
A
?
1,3
?
、B
?
5,?2
?
，Ｐ为
x
轴上的点，如果
AP?BP
的绝对值最大，则Ｐ点的坐标为
A.
?
3.4,0
?
B.
?
13,0
?
C.
?
5,0
?
D.
?
?13,0
?
（ ）


7 ．将一张坐标纸折叠一次，使点
(0,2)
与点
(4,0)
重合，且点
(7,3)
与点
(m,n)
重合，
则
m?n
的值是___ ________________．


8.△ABC中，点A的坐标为（5，1 ）,AC边上的高所在直线的方程为
x?2y?1?0
，
∠C的平分线所在直线的方 程为
x?y?2?0
，求点C的坐标及BC边所在直线的
方程．





3.2圆的方程


题型1 轨迹方程

1.在平面直角坐标系中，若定点
A
?
1
则点
P
的
，2
?
与动点
P
?
x，y
?
满 足
OP?OA?4
，
轨迹方程是___________。

2. 方程
x
2
?y
2
?2(m?3)x?2(1?4m
2
)y?16m
4
?9?0
表示一个圆.
(1)求实数的
m
的取值范围. (2) 求圆心的轨迹方程.




题型2 圆的定义

1.动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为
2222
A．x＋y＝32 B．x＋y＝16 ( )
2222
C．(x－1)＋y＝16 D．x＋(y－1)＝16

王新敞

题型归类 人教版数学必修（二）
- 33 -

2.由动点
P
向圆
x
2
?y
2
?1
引两条切线
PA,PB
，切点分别为
A,B,?APB?60
0
，
则动点
P
的轨迹方程为 ．



3.过点P(1,-2)的直线与圆
x
2?y
2
?4x?2y?4?0
相交于A、B两点，则弦AB
中点M的轨迹方程是 .


4. 设
A
为圆
C
：(
x
＋1)＋
y
＝4上的动 点，
PA
是圆
C
的切线，且|
PA
|＝1，则点
P
的
轨迹方程是________．


题型3 圆的方程

1.方程
x?1?1?(y?1)
表示的曲线是 （ ）
A． 一个圆 B． 两个半圆 C． 两个圆 D． 半圆


2.求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在
y??x
上且过两点（2，0），（0，-4）；
（2）圆心 在直线
2x?y?0
上，且与直线
x?y?1?0
切于点（2，-1）. < br>（3）经过圆
x
2
?y
2
?2x?0
与圆
x
2
?y
2
?4y?0
的交点，且圆心在直线
x?y?0上。
（4）圆心在
y??x
上且过点（0，0），被
y
轴截得 的弦长为2。


3.已知圆
C
和
y
轴相切， 圆心在直线
x?3y?0
上，且被直线
y?x
截得的弦长为
2
22
27
,求圆
C
的方程．






4.已知圆C与圆
x?y?2x?0
相外切，且与直 线
x?3y?0
相切于点
Q
(3,?3)
，求圆 C的方程。
22

- 34 -
题型归类 人教版数学必修（二）







题型4 点与圆位置关系、直线与圆位置关系

1.若过点（1，2）总可以作两条直线和圆
x
2
?y
2
?kx?2y?k
2
?15?0
相切， 求
实数
k
的取值范围 。


2.已知圆C：x
2
＋(y－1)
2
＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0 .则直线l与圆的位置关系



题型5 直线与圆相交
22
1.若
P(2,?1)
为圆
(x?1)?y?25
的弦AB
的中点，则直线
AB
的方程是
A．
x?y?3?0
B．
2x?y?3?0

C．
x?y?1?0
D．
2x?y?5?0

（ ）


3.若圆
(x?3)?(y?5)?r
上有且只有两个点到直线4x－3y=2的距离等于1，
则半径r范围是 （ ）
A．（4,6） B．
[4,6)
C．
(4,6]
D．[4,6]


3 .若直线
x?y?2
被圆
(x?a)
2
?y
2
?4
所截得的弦长为
22
,则实数
a
的值为
A．
?1
或
3
B．
1
或
3
C．
?2
或
6
D．
0
或
4

（ ）


222
4.已知过点A（0，1），且方向向量为
a?(1,k)
的直线
l< br>与?
C:(x?2)
2
?(y?3)
2
?1
，
相交于M、N两点.
（1）求实数
k
的取值范围；
?
?????????
（2）求证：
AM?AN?定值
；
?????????
（3）若O为坐标原点，且
OM?ON?12,求k的值
.

题型归类 人教版数学必修（二）
- 35 -









题型6 直线与圆相切

1.已知圆
x
2
?y
2
?25< br>则过点B（-5，2）的切线方程 ．
王新敞


2.将直线
2x?y?
?
?0
，沿
x
轴向左平移
1
个单位，所得直线与圆
x
2
? y
2
?2x?4y?0
相切，则实数
?
的值为 （ ）

A．
?3或7
B．
?2或8
C．
0或10
D．
1或11



3.与圆
x
2
?(y?2)
2
?1
相切，且在两坐标轴上 截距相等的直线共有________条.


4.已知圆的方程
x
2
?y
2
?r
2
，求经过圆上一点
M(x
0,y
0
)
的切线方程 ．


5. 光线从点
A
?
?3，4
?
出发射到
x
轴上，被
x
轴反射与圆
x
2
?y
2
?2x?2y ?1?0
的相
切，则反射后的切线方程为_____________。

6.★在竖直直角坐标平面上有一半径为1的皮球a，
B
球心为A（-3，3），由A处沿直线AC运动, C
Z
D
为球心，触地面（X轴）反弹到B处，B为球心，
Y
A
恰与另一半径为1球心为D（5，3）的皮球b相
C
。 切，且BD⊥BC,则皮球a沿AC、CB运动到B的路程是
O


题型7 圆中的最值

1．已知
P
是直线
3 x?4y?8?0
上的动点，
PA,PB
是圆
x?y?2x?2y?1?0< br>的
切线
A,B
是切点，
C
是圆心，那么四边形
PAC B
面积的最小值是____________．

22
X

- 36 -
题型归类 人教版数学必修（二）

22
2.过
M(1,2)
的直线
l
将圆(x-2)+y=9分成两 段弧，当其中的劣弧最短时，直线
l
的
方程是（ ）
A．
x?1
B．
y?1

C
x?y?1?0

D．
x?2y?3?0



2 2
3.过点M（3，0）作直线
l
与圆x+ y=16交于A、B两点，则△AOB的面积最大值
是____.

4.已知对于 圆
x
2
?(y?1)
2
?1
上任意一点P（
x,y
），不等式
x?y?m?0
恒成立，
则实数
m
的取值范围_ ______________


5．圆
x?y?2x?2y?1?0< br>上的点到直线
x?y?2
的距离最大值是（ ）
A
2
B．
1?2
C．
1?


6．P、Q分别为圆x
2
?y
2
?2x?2y?1?0
,
圆
?x?3
?
?
?
y?3
?
?6
上的点
22
22
2
D．
1?22

2
则P、Q最大距离为_______________


7.如果实数
x ,y
满足方程
?
x?3
?
?
?
y?3
?< br>?6
，求：
22
y
的最大值与最小值；
x
（2）
x?y的
最大值与最小值；
（1）
（3）

题型8 圆系方程

22
1 .过直线
y?2
与圆
(x?1)?y?4
的交点,且过原点的圆
C< br>的方程____________.


?
x?2
?
2
?y
2
的最大值与最小值.
2.若圆
x?y?4
与圆
x?y?2ay?6?0(a?0)
的公共弦长为
23
，则
a=______.


2222
3. 已知圆
C
1
：x?y?2x?2y?8?0与圆C
2
：x?y?2x ?10y?24?0
相交
2222

题型归类 人教版数学必修（二）
- 37 -
于A,B两点.
(1)求公共弦AB所在直线的方程；
(2)求圆心在直线
y??x
上，且经过A,B两点的圆的方程.






题型9 圆与圆位置关系

222222
1.已知圆C
1
：x＋y－2mx＋m＝4，圆C
2
：x＋y＋2x－2my＝8－m(m>3)，则两圆的
位置关系是 ( )
A．相交 B．内切 C．外切 D．相离


2.若圆
x
2
?y
2
?4
与圆
x
2
?y
2
?2ay?6?0(a?0)
的公共弦长为
23
，则a=___.


3.已知圆
C:(x?3)
2?(y?4)
2
?4
.
（Ⅰ）若直线
l
1
过 点
A(?1,0)
，且与圆
C
相切，求直线
l
1
的 方程；
（Ⅱ）若圆
D
的半径为4，圆心
D
在直线
l
2
：
2x?y?2?0
上，且与圆
C
内切，求
圆
D
的方程．





3.3空间直角坐标系


题型1 对称问题、距离问题

1．点（2，3，4）关于 yoz平面的对称点为
------------------
。
点（2，3，4）关于关于z轴的对称点
------------------
。


2.设点
P
?
a,b,c
?
关于原点 的对称点是
P
?
,则PP
?
?
( )

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题型归类 人教版数学必修（二）
A.
a
2
?b
2
?c
2
B .
2a
2
?b
2
?c
2
C.
a?b?c
D .
2a?b?c



3.在空间直角坐标系中，光线从点A(5,1,0)出发射到平面XOZ点
B
，反射到平面< br>YOZ点C，反射经过点D(10,8,12)则光线从A运动到D的路程是_____________ 。






O



X