高中数学必修2第一章空间几何体知识点习题

一、知识回顾
（一）空间几何体的结构
1. 多面体与旋转体：多面体 棱 顶点. 旋转体 轴.
2. 棱柱：直棱柱 斜棱柱 正棱柱
棱柱的性质：①两底面是对应边平行的全等多边形；②侧面、对角面都是平行四边形；
③侧棱平 行且相等；④平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
3. 棱锥：棱锥的底面或底 顶点 侧棱 正棱柱 斜高
（1）棱锥的性质：①侧面、对角面都是三角形；②平行于底面的截面与底面相似，其相 似
比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
（2）正棱锥的性质：①正棱锥各侧棱都相等，各 侧面都是全等的等腰三角形。②正棱锥的
高，斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形，正棱锥的 高，侧棱，侧棱在底
面内的射影也组成一个直角三角形。③正棱锥的侧棱与底面所成的角都相等。④正棱
锥的侧面与底面所成的二面角都相等。
4. 圆柱与圆锥：圆柱的轴 圆柱的底面 圆柱的侧面 圆柱侧面的母线
5. 棱台与圆台：统称为台体
（1）棱台的性质：两底面 所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧
面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.
（2）圆台的性质：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长
线交 于一点；母线长都相等.
6. 球：球体 球的半径 球的直径. 球心
7. 简单组合体：由简单几何体（如柱、锥、台、球等）组合而成的几何体叫简单组合体.
（二）空间几何体的三视图和直观图
1.中心投影 平行投影 正投影
2.三视图的画法：长对正、高平齐、宽相等。
3.直观图：斜二测画法，直观图中斜坐标系
x'o'y'
，两轴夹角为
45?
；平行于x轴长度不变，
平行于y 轴长度减半。
（三）空间几何体的表面积和体积
1.柱体、锥体、台体表面积求法：利用展开图
2.柱体、锥体、台体表面积体积公式，球体的表面积体积公式：

几何体 表面积相关公式 体积公式

棱柱
S
全
?S
侧?2S
底
，
其中S
侧
?l
侧棱长
c
直 截面周长

S
全
?S
侧
?S
底

S
全
?S
侧
?S
上底
?S
下底

V?S
底
h
高

棱锥
1
V?S
底
h
高

3
1
V?(S'?S'S?S)h

3
棱台
圆柱
S
全
?2
?
r
2
?2
?
rh
（
r
：底面半径，
h
：高）
V?
?
r
2
h

1
2
V?
?
rh

3
1
V??
(r'
2
?r'r?r
2
)h

3
圆锥
S
全
?
?
r
2
?
?
rl

（
r
：底面半径，
l
：母线长）
圆台
S
全
?
?
(r'
2
?r
2
?r'l?rl)

（
r
：下底半径，
r’
：上底半径，
l
：母< br>线长）
球体
S
球面
?4
?
R
2

4
V
球
?
?
R
3

3

二、例题精讲
例1．给出如下四个命题：①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角 形，且所有
侧面都有一个共同的公共点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一< br>点.其中正确的命题个数有
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


例2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积
是 ( )
A.9π B.10π C.11π D.12π
例3.

一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中E、F分别是PB、AD的
中点）.
（Ⅰ）求证：EF⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥B—AEF的体积。

例4.

如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，
B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的


照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18
m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子
在坡面上，小华站在平地上， 影子也在平地上，两人的影长分别为
2m和1m，求塔高AB


例5. 圆锥底面半径为１cm，高为
2
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱
长．


例6．已知圆台的上下底面半径分别是2，5，且侧面面积等于两底面面积 之和，求该圆台的
母线长.

一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积
是

例7.如图，正四棱锥
P?ABCD
底面的四个顶点
A,B,C, D
在球
O
的同一个大圆
上，点
P
在球面上，如果
V
P?ABCD
?
16
，则球
O
的表面积是
3
A.
4
?
B.
8
?
C.
12
?
D.
16
?

例8.半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内 ，若正方体棱长为
6
，
求球的表面积和体积．


例9.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的表面积是多少？


例10．已知圆台两底面半径分别为a,b(a>b),求圆台和截得它的圆锥的体积比。

例11.正三棱锥的高为1，底面边长为
26
，内有一个球与它的四个面都相切，求：
（1） 棱锥的表面积；
（2） 内切球的表面积与体积。


【高考名题】
1. . 一空间几何体的三视图如图所示,
则该几何体的体积为 ( ).
A.
2
?
?23

B.
4
?
?23


2
2
正(主)视图
2
侧(左)视图
俯视图

2

2



23
C.
2
?
?

3
D.
4
?
?
23

3
2.一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积
（单位：c
m
）为（ ）
A. 48+12
2
B. 48+24
2

C. 36+12
2
D. 36+24
2

3.正六棱锥P- ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为（ ）
（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：2
4. 在区间[-1，1]上随机取一个数x，
cos
A.
2
?
x
2
的值介于0到
1
之间的概率为 （ ）
2
1212
B. C. D.
323
?
1
。则该集合体
2
5. 如右图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
的
（ ）
俯视图可以是

6.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体
的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“
?
”的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下
7.如图，在半径为 3的球面上有
A,B,C
三点，
?ABC?90,BA?BC
，
?
球心
O
到平面
ABC
的距离是
32
，则
B、C
两点的球面距离是
2
A.
?
4
?
B.
?
C. D.
2
?

3
3
8.直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA
1
=2,∠BAC=120°,求此球 的表
面积。


9.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1 cm，
那么该棱柱的表面积为 cm
2
.