2017-2018学年苏教版高中数学必修2全册学案

2017-2018学年苏教版高中数学
必修2全册学案
目录
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
1.1.4 直观图画法
1.2.1 平面的基本性质
1.2.2 空间两条直线的位置关系
1.2.3 第1课时 直线与平面平行的判定
1.2.3 第2课时 直线与平面平行的性质
1.2.3 第3课时 直线与平面垂直的判定
1.2.3 第4课时 直线与平面垂直的性质
1.2.3 第5课时 线面垂直的综合应用
1.2.4 第3课时 两平面垂直的性质
1.3.1 空间几何体的表面积
1.3.2 空间几何体的体积
2.1.1 直线的斜率
2.1.2 第1课时 点斜式
2.1.2 第2课时 两点式
2.1.2 第3课时 一般式
2.1.3 第1课时 两条直线的平行
2.1.3 第2课时 两条直线的垂直
2.1.4 两条直线的交点
2.1.5 平面上两点间的距离
I

2.1.6 点到直线的距离
2.2.1 第1课时 圆的标准方程
2.2.1 第2课时 圆的一般方程
2.2.2 直线与圆的位置关系
2.2.3 圆与圆的位置关系
2.3 空间直角坐标系
2习题课 圆的方程的应用
2习题课 直线与方程
章末复习课1
章末复习课2
II

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

1.1.1 棱柱、棱锥和棱台
学习目标 1.通过观察实例，概括出棱柱、棱锥、棱台的定 义.2.掌握棱柱、棱锥、棱台的
结构特征及相关概念.3.能说出棱柱、棱锥、棱台的性质，并会画简 单的棱柱、棱锥、棱台.

知识点一 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？


梳理 棱柱的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
底面：平移起止位置的
由一个平面多边
棱柱
形沿某一方向平
移形成的空间几
何体叫做棱柱
如图可记作：棱柱
ABCDEF—A′B′C
′D′E′F′
知识点二 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
两个面，侧面：多边形
分类
底面为三角
形、四边形、
的边平移所形成的面， 五边形??

侧棱：相邻侧面的公共
边，
顶点：侧面与底面的公
共顶点
的棱柱分别
称为三棱柱、
四棱柱、五棱
柱??
1

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

梳理 棱锥的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
底面(底)：多边形面，
当棱柱的一个底
棱锥
面收缩为一点
时，得到的几何
体叫做棱锥
如图可记作：棱
锥S—ABCD
知识点三 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？

侧面：有公共顶点的
各个三角形面，
侧棱：相邻侧面的
______，
顶点：由棱柱的一个
底面收缩而成
按底面多边形
的边数分：三
棱锥、四棱
锥、??
分类


梳理 棱台的结构特征
名称 定义 图形及表示 相关概念
上底面：原棱锥
的截面，
用一个______的
平面去截棱锥，得
棱
台
到两个几何体，一
个仍然是棱锥，另
一个我们称之为
棱台
如图可记作：棱
台
ABCD—A′B′
C′D′
下底面：原棱锥
的底面，
由三棱锥、四棱
锥、五棱锥、??
分类

侧面：其余各面， 截得的棱台分别
侧棱：相邻侧面
的公共边，
顶点：侧面与上
(下)底面的公共
顶点
叫做三棱台、四
棱台、五棱
台、??

2

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
知识点四 多面体
思考 一般地，怎样定义多面体？围成多面体的各个多边形，相邻两个多边形的公共边，以
及这 些公共边的公共点分别叫什么名称？


梳理
类别
定义
多面体
由一些______________围成的几何体
图形

相关
概念
面：围成多面体的各个________，
棱：相邻两个面的________，
顶点：棱与棱的公共点

类型一 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
命题角度1 棱柱的结构特征
例1 下列关于棱柱的说法：
①所有的面都是平行四边形；
②每一个面都不会是三角形；
③两底面平行，并且各侧棱也平行；
④被平行于底面的平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
反思与感悟 关于棱柱的辨析
(1)紧扣棱柱的结构特征进行有关概念辨析.
①两个面互相平行；②其余各面是四边形；③相邻两个四边形的公共边互相平行.
(2)多注意观察一些实物模型和图片便于反例排除.
特别提醒：求解与棱柱相关的问题时， 首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足
其他特征.
跟踪训练1 关于棱柱，下列说法正确的是__________.(填序号)
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；
②棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；
3

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
③上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱一定是正方体.
命题角度2 棱锥、棱台的结构特征
例2 (1)判断如图所示的物体是不是棱锥，为什么？




(2)如图所示的多面体是不是棱台？




反思与感悟 棱锥、棱台结构特征问题的判断方法
(1)举反例法
结合棱锥、棱台的定义举反例直接说明关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法

定底面
看侧棱
棱锥
只有一个面是多边形，此面即为底面
相交于一点
棱台
两个互相平行的面，即为底面
延长后相交于一点
跟踪训练2 下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；
②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；
③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
类型二 棱柱、棱锥、棱台的画法
例3 画出一个三棱柱和一个四棱台.



4

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案



反思与感悟 在平面几何中，虚线表示作的辅助线，但在空间图形中，虚线表示被遮挡的线.
在 空间图形中作辅助线时，被遮挡的线作成虚线，看得见的线仍作成实线.作图时要使用铅
笔、直尺等，力 求准确.
跟踪训练3 画一个六面体.
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成；
(3)使它是五棱锥.



类型三 空间问题与平面问题的转化
例4 如图所示，在侧棱长为23的正三棱锥V—ABC 中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，
过A作截面AEF，求截面△AEF周长的最小值.



反思与感悟 求几何体表面上两点间的最小距离的步骤
(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图.
(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题.
(3)结合已知条件求得结果.
跟踪训练4 如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三
棱柱 的侧面爬行一周到达点A
1
，则爬行的最短路程为________.


1.有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
5

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
其中正确的有________个.
2.三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个.
3.下列说法错误的是________.(填序号)
①多面体至少有四个面；
②九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形；
③长方体、正方体都是棱柱；
④三棱柱的侧面为三角形.
4.下列几何体中，________是棱柱，________ 是棱锥，________是棱台.(仅填相应序号)


5.下图中不可能围成正方体的是________.(填序号)


1.棱柱、棱锥及棱台定义的关注点
(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有两个平面(底面)互相平行.
②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行.
(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：
①有一个面(底面)是多边形.
②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.
(3)棱台是由一个平行于棱锥底面的平面截得的.
2.棱柱、棱锥、棱台之间的关系 在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱
锥、三棱 台为例).
6

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

3.根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类
几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力.
7

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

答案精析
问题导学
知识点一
思考 (1)有两个面是全等的多边形，且对应边互相平行；(2)其余各面都是平行四边形．
知识点二
思考 (1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
梳理 公共边
知识点三
思考 (1)区别：有两个面相互平行．
(2)联系：用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．
梳理 平行于棱锥底面
知识点四
思考 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体 ．围成多面体的各个多边形叫多面体的
面；相邻两个面的公共边叫多面体的棱；棱和棱的公共点叫多面体 的顶点．
梳理 平面多边形 多边形 公共边
题型探究
例1 ③④
跟踪训练1 ②
例2 (1)解 该物体不是棱锥．因为棱锥的定义中要求：各侧面有一个公 共顶点，但侧面
ABC与侧面CDE没有公共顶点，所以该物体不是棱锥．
(2)解 根据棱 台的定义，可以得到判断一个多面体是棱台的标准有两个：一是共点，二是
平行．即各侧棱的延长线要交 于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，图①
中多面体侧棱延长线不相交于同一点，故不 是棱台；图②中多面体不是由棱锥截得的，不是
棱台；图③中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不 平行，因此也不是棱台．
跟踪训练2 ①②
例3 解 (1)画三棱柱可分以下三步完成：
第一步，画上底面——画一个三角形；
第二步，画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步，画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．

8

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
(2)画四棱台可分以下三步完成：
第一步，画一个四棱锥；
第二步，在它的一条 侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边
平行的线段；
第三步，将多余的线段擦去(如图所示)．

跟踪训练3 解 如图所示．图1是一个四棱柱．
图2是一个由两个三棱锥组成的几何体．
图3是一个五棱锥．

例4 解 将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图所示．

线段AA
1
的长为所求△AEF周长的最小值．
取AA
1
的中点D，
则VD⊥AA
1
，∠AVD＝60°，
可知AD＝3，则AA
1
＝6.
即截面△AEF周长的最小值为6.
跟踪训练4
当堂训练
1．0 2.4 3.④ 4.①③④ ⑥ ⑤ 5.④
10
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球
学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台、 球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合
体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中 简单物体的结构.
9

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

知识点一 圆柱、圆锥、圆台的概念
思考 数学中常见的旋转体圆柱、圆锥、圆台、球是如何形成的？


梳理 将矩形、直 角三角形、直角梯形分别绕着它的________、_______、____________所
在 的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台.如图所示：

知识点二 球
思考 球也是旋转体，它是由什么图形旋转得到的？



梳理 球的结构特征
10

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

球 定义
半圆绕着它的直径所在
的直线旋转一周所形成
球 的曲面叫做球面，球面
围成的几何体叫做球
体，简称球

知识点三 旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的____________旋转所形成的曲面叫做旋转 面，封闭的旋转面
围成的几何体称为__________.圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
球心：半圆的______，
半径：半圆的______，
直径：半圆的______

如图可记作：
球O
相关概念 图形及表示


类型一 旋转体的基本概念
例1 判断下列各说法是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在的直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆 锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰
梯形；
(4)在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球.




反思与感悟 (1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几 何体，
必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
(2)只有理解了各旋转体的生成过程， 才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判
断与这些概念有关的说法的正误.
跟踪训练1 下列说法正确的是________.(填序号)
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
11

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各 边旋转180°形成的曲面围成的几
何体是圆锥；
⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内；
⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；
⑦球面上任意三点可能在一条直线上.
类型二 旋转体中的有关计算
例2 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm
2
和25π cm
2
，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.




反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面
全等 或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的
相似比，构设 相关几何变量的方程组而得解.
跟踪训练2 圆台的两底面面积分别为1,49，平行于底面的截面面 积的2倍等于两底面面积
之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.


类型三 复杂旋转体的结构分析
例3 直角梯形ABCD如图所示，以DA所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.



引申探究
若本例中直角梯形分别以AB、BC所在直线为轴旋转，试说明所得几何体的形状.




反思与感悟 (1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，
12

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的.
(2)在旋转过程中观察平面 图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力或亲自动手做出
平面图形的模型来分析旋转体的形状.
跟踪训练3 如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转形成的面围成一个几何体，试描述该几何体的结构特征.





1.下列说法正确的是________.(填序号)
①圆锥的母线长等于底面圆的直径；
②圆柱的母线与轴平行；
③圆台的母线与轴平行；
④球的直径必过球心.
2.可以通过旋转得到下图的平面图形的序号为________.

3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
4.下列说法正确的有________个.
①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；
②球的直径是球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；
④用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面.
5.如图所示的平面图形绕轴l旋转一周后，形成的几何体是由哪些简单几何体构成？
13

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案





1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何问题中的特殊作用，切实体会空间几何平面化
的思想 .
14

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

答案精析
问题导学
知识点一
思考 将矩形、直角三角形、直角梯形分别 绕着它的一边、一直角边，垂直于底边的腰所在
的直线旋转一周后，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、 圆台．
梳理 一边 一直角边 垂直于底边的腰 圆柱OO′ 圆锥SO 圆台OO′
知识点二
思考 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体．
梳理 圆心 半径 直径
知识点三
一条定直线 旋转体
题型探究
例1 解 (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．
(2)错．直角梯形绕 下底所在的直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成
的几何体，如图所示．

(3)正确．
(4)错．应为球面．
跟踪训练1 ④⑥
例2 解 (1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．

由已知可得
O
1
A＝2 cm，OB＝5 cm.
又由题意知腰长为12 cm，
所以高
AM＝12
2
－?5－2?
2

15

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
＝315(cm)． < br>(2)如图所示，延长BA，OO
1
，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为 l，
则由△SAO
1
∽△SBO，
l－12
2
可得＝，
l5
解得l＝20(cm)．
即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
跟踪训练2 h
1
∶h
2
＝2∶1
例3 解 以AD为轴旋转可得到一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．

引申探究
解 以AB为轴旋转可得到一个圆台，如图①所示．以BC为轴旋转可得一个圆柱和一个圆
锥的组合体．如图 ②所示．

跟踪训练3 解 如图所示，旋转所得的几何体可看成由一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分
而成的组合体．

当堂训练
1．②④ 2.④ 3.103 4.2
5．解 过原图形中的折点向旋 转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、
直角三角形，旋转后的图形如图所示，由一 个圆柱O
1
O
2
、一个圆台O
2
O
3
和一 个圆锥OO
3
组成．
16

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

1.1.4 直观图画法
学习目标 1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图.

知识点 斜二测画法
思考1 边长为2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′ 与C′D′
有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′ D′
呢？





思考2 正方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的直观图如图所示 ，在此图形中各个面都画成正方形了
吗？



梳理 (1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则
17

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

(2)立体图形直观图的画法规则
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O ′y′垂直的轴O′z′，且平行
于O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法.

类型一 平面图形的直观图
例1 画出如图水平放置的直角梯形的直观图.



引申探究
若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？






反思与感悟 在画水平放置的 平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一
般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标 轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线
段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段.确 定多边形顶点的位置是关键之二，
借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连结即可.
跟踪训练1 如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的
坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为
_____ ___.
18

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

类型二 直观图的还原与计算
命题角度1 由直观图还原平面图形
例2 如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图
形.






反思与感悟 由直观图还原平面图形的关键
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍.
(2)对于相邻两 边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴的平行线确定其在xOy
中的位置.
跟踪训练2 如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中
O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________.

命题角度2 原图形与直观图的面积的计算
例3 如图所示，梯形A
1
B
1
C< br>1
D
1
是一平面图形ABCD的直观图.若A
1
D
1
∥O′y′，
2
A
1
B
1
∥C
1
D
1
，A
1
B
1
＝C
1
D
1＝2，A
1
D
1
＝O′D
1
＝1.试画出原四边形的形 状，并求出原图形的
3
面积.



反思与感悟 (1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中
19

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
的高，在直观图中变为与 水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形
相应的高.
(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝
2
S.
4
跟踪训练3 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形
A ′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是________.

类型三 简单几何体的直观图
例4 用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD—A′B′C′D′
的直观图.




反思与感悟 直观图中应遵循的基本原则
(1)用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中 平行于x轴、y轴、z轴的线段在直观图中
应分别画成平行于x′轴、y′轴、z′轴的线段.
1
(2)平行于x轴、z轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.
2
(3)直观图画法口诀“一斜、二半、三不变”.
跟踪训练4 用斜二测画法画出 六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边
形，点P在底面上的投影是正六边形 的中心O.(尺寸自定)





1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的________.(填序号)

2.已知一个正方 形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为
__________.
20

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
3.已 知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点
到底面的距离为 2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之
间的距离为________ cm.
4.如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的________.(填序号)


5.画出一个正三棱台的直观图.(尺寸：上，下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm)







1.画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点.确定点的位置，可采用直角坐
标系.建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多
地落在坐标轴 上或与坐标轴平行的直线上.
2.用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点： < br>(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使
∠ x′O′y′＝45°或135°.
(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长 度取一半，记为“横不变，
纵折半”.
21

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

答案精析
问题导学
知识点
思考1 A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，
1
A′B′＝AB，A′D′＝AD.
2
思考2 没有都画成正方形．
梳理 45° 135° 水平面 x′轴或y′轴的线段 保持原长度不变 一半
题型探究
例1 解 (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰
OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出对应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，
如 图①②所示．

1
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D ′＝OD，过点D′作x′轴的平行
2
线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝D C.连结B′C′，如图②.

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③.

引申探究
解 画法：(1)如图①所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直 角坐标系，
画出对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
22

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

1
( 2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出
2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
连结B′C′，D′A′，如图②所示．

(3)所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图，如图③所示．


跟踪训练1
2

2
例2 解 ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
②过B′作B′ D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y
轴，且使DB＝2D′ B′；
③连结AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．
跟踪训练2 菱形
例3 解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D
1
＝1，OC＝ O′C
1
＝2.

在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D
1
A
1
＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A
1
B
1
＝2.
连结BC，即得到了原图形．
23

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

由作法可知， 原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的
长度AD＝2，
2＋3
所以面积为S＝×2＝5.
2
跟踪训练3 2
例4 解 (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝
90°.

(2)画底面．以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使
3
PQ＝ cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q 作x轴的平行线，设它们的交点
2
分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面A BCD.
(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长
的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
(4)成图．顺次连结A′，B′，C′， D′(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到
长方体的直观图．
跟踪训练4 解 (1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所
在的直线为x轴， 对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′
轴、y′轴、z′轴，三 轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；
1
②在图 (2)中，以O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，
2
以 点N′为中点，画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′
平行于x′ 轴，并且等于EF；③连结A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，得到正六边形
ABCDEF水平 放置的直观图A′B′C′D′E′F′.
(2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点．在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. < br>(3)成图．连结P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′
轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3) ．
24

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

当堂训练
1．③ 2.16或64 3.5 4.③
5．解 (1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC
＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.

(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图
△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连结AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．

1.2.1 平面的基本性质
学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理
及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.


知识点一 平面的概念
思考 几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？

25

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案



梳理 (1)平面的概念
广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样， 平面也是从现实世界中
抽象出来的几何概念.
(2)平面的画法
一般用水平放置的____________作为平面的
直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立
体感，被遮挡部分用____画出来.

(3)平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ?表示，也可以用平行四边形的两个相 对顶点的字母表示，如
图中的平面α、平面AC等.


知识点二 点、线、面之间的位置关系
思考 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位 置关系，如何用
符号来表示？直线和平面呢？



梳理 点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

位置关系
点P在直线AB上
点C不在直线AB上
点M在平面AC上
点A
1
不在平面AC内
直线AB与直线BC交于点B
直线AB在平面AC内
直线AA
1
不在平面AC内
符号表示
P∈AB
C?AB
M∈平面AC
A
1
?平面AC
AB∩BC＝B
AB?平面AC
AA
1
?平面AC
26

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

知识点三 平面的基本性质
思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？


思考2 观察下图，你能得出什么结论？



思考3 观察正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
(如图 所示)，平面ABCD与平面BCC
1
B
1
有且只有两个
公共点B、 C吗？



梳理
公理
(推论)
文字语言
如果一条直线上
的两点在平面内，
公理1 那么这条直线上
所有的点都在这
个平面内
如果两个平面有
一个公共点，那么
公理2 它们还有其他公
共点，这些公共点
的集合是
27
图形语言 符号语言 作用



?
A∈α
?
?

B∈α
?
?
(1)判定直线在平面
内；
(2)证明点在平面内
?
(1)判断两个平面是
P∈α
?
?
?
?____
?
P∈β
?

否相交；
(2)判定点是否在直
线上；
(3)证明点共线问题

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
的一条直线
经过
公理3 ，有且只有一个平
面
经过一条直线和
推论1
这条直线的一点，
有且只有一个平
面
推论2
经过两条直线，有
且只有一个平面
经过两条直线，有
且只有一个平面
a∩b＝A?a，b

确定一个平面α
a∥b?a，b确定

一个平面α

类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示
例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

A?l?A和l确定
一个平面α
(2)证明平面重合；
(3)证明点、线共面


A，B，C不共线
?A，B，C确定
一个平面α
(1)确定一个平面的
依据.
推论3




反思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、
几 条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图
形：
(1)A∈α，B?α；
(2)l?α，m∩α＝A，A?l；
(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.





28

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

类型二 点线共面
例2 如图，已知：a?α，b?α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ?α.

引申探究
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行 直线一定在同一平
面内.






反思与感悟 证明多线共面的两种方法
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法： 先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面
重合.

跟踪训练2 已知l
1
∩l
2
＝A，l
2
∩l3
＝B，l
1
∩l
3
＝C如图所示.求证：直线l
1< br>，l
2
，l
3
在同一平
面内.


类型三 点共线、线共点问题
命题角度1 点共线问题
例3 如图，在正方体AB CD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，设线段A< br>1
C与平面ABC
1
D
1
交于点Q，求证：
B，Q， D
1
三点共线.


反思与感悟 证明多点共线通常利用公理2， 即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别
在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中 两点确定一条直线，然后证明其
29

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
他点也在直线上.
跟踪训练3 已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α
＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.





30

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
命题角度2 线共点问题
例4 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B1
C
1
D
1
中，E为AB的中点，F为AA
1
的中点.求证：
CE、D
1
F，DA三线交于一点.




反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平 面的交线，
然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，< br>证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
跟踪训练4 已知：平 面α，β，γ两两相交于三条直线l
1
，l
2
，l
3
，且l
1
，l
2
不平行.求证：l
1
，
l
2，l
3
相交于一点.



1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.
2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.
3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)


4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.
5.如图，a∩b＝A， a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d
共面.

31

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案




1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现 这三种语言的相互转换，正确理解集合
符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语 言，将图形语言用文字语
言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符 号语言所代
表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线 共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整
体的思想.
32

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

答案精析
问题导学
知识点一
思考 没有．水平放置的正方形的直观图
梳理 (2)正方形的直观图 虚线
知识点二
思考 点和直线，平面的位置关系可用数学符号“∈”或“?”表示，直线和平面的位置关
系，可用数学符号 “?”或“?”表示．
知识点三
思考1 前者不在，后者在．
思考2 不共线的三点可以确定一个平面．
思考3 不是，平面ABCD与平面BCC
1
B
1
相交于直线BC.
梳理 一个 AB?α 经过这个公共点 α∩β＝l且P∈l 不在同一条直线上的三点 外
相交 平行
题型探究
例1 解 在(1)中，α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B.
在(2)中，α∩β＝l，a?α，b?β，a∩l＝P，
b∩l＝P.
跟踪训练1 解 (1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.
(3)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC，如图③.

例2 证明 因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a?β，点P∈β.因为P∈b，
b?α，所以P∈α.又因为a?α，所以α与β重合，所以PQ?α.
引申探究
解 已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：a，b，c和l共面．
证明：如图，∵a∥b，
33

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案

∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l?α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，
同理l?β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由公理3的推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，
∴平面α与平面β重合，
∴a，b，c和l共面．
跟踪训练2 证明 方法一 (纳入平面法)
∵l
1
∩l
2
＝A，∴l
1
和l
2
确定一个平面α.
∵l
2
∩l
3
＝B，∴B∈l
2
.
又∵l
2
?α，∴B∈α.同理可证C∈α.
∵B∈l
3
，C∈l
3
，∴l
3
?α.
∴直线l
1
，l
2
，l
3
在同一平面内．
方法二 (辅助平面法)
∵l
1
∩l
2
＝A，∴l
1
和l
2
确定一个平面α.
∵l
2
∩l
3＝B，∴l
2
，l
3
确定一个平面β.
∵A∈l
2
，l
2
?α，∴A∈α.
∵A∈l
2
，l
2
?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又 在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l
1
，
l
2
，l
3
在同一平面内．
例3 证明 如图，连结A
1
B，CD
1
，

显然B∈平面A
1
BCD
1
，
D
1
∈平面A
1
BCD
1
.
∴BD
1
?平面A
1
BCD
1
.
34

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
同理BD
1
?平面ABC
1
D
1
.
∴平 面ABC
1
D
1
∩平面A
1
BCD
1
＝B D
1
.
∵A
1
C∩平面ABC
1
D
1< br>＝Q，∴Q∈平面ABC
1
D
1
.
又∵A
1
C?平面A
1
BCD
1
，
∴Q∈平面A
1
BCD
1
.
∴Q在平面A
1BCD
1
与ABC
1
D
1
的交线上，即Q∈BD
1
，∴B，Q，D
1
三点共线．
跟踪训练3 证明 方法一 ∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理2可知：点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．
方法二 ∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC?平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR.
又Q∈α，∴Q∈PR，∴P、Q、R三点共线．
例4 证明 如图，连结EF，D
1
C，A
1
B.

∵E为AB的中点，F为AA
1
的中点，
1
∴EF綊A
1
B.
2
又∵A
1
B綊D
1
C，
1
∴EF綊D
1
C，
2
∴E，F，D
1
，C四点共面，
∴D
1
F与CE相交，设交点为P.
又D
1
F?平面A
1
D
1
DA，
CE?平面ABCD，
35

2017-2018学年苏教版高中数学必修2学案
∴P为平面A
1
D
1
DA与平面ABCD的公共点．
又平面A
1
D
1
DA∩平面ABCD＝DA，
根据公理2，可得P∈DA，
即CE、D
1
F、DA相交于一点．
跟踪训练4 证明 如图，α∩β＝l
1
，β∩γ＝l
2
，

α∩γ＝l
3
.
∵l
1
?β，l
2
?β，
且l
1
，l
2
不平行，
∴l
1
与l
2
必相交．
设l
1
∩l
2
＝P，
则P∈l
1
?α，P∈l
2
?γ，
∴P∈α∩γ＝l
3
，
∴l
1
，l
2
，l
3
相交于一点P.
当堂训练
1．A∈l，l?α 2.无数
3．①③④⑤ 4.1或3
5．证明 因为A，B，C三点不共线，
所以A，B，C三点确定一个平面，设为α.
因为A∈a，B∈a，所以a?α，
因为A∈b，C∈b，所以b?α，
因为B∈c，C∈c，所以c?α，
所以a，b，c都在α内．
因为D∈c，E∈b，所以D∈α，E∈α.
又因为D∈d，E∈d，所以d?α，
所以a，b，c，d共面．
1.2.2 空间两条直线的位置关系
学习目标 1. 了解两条直线的三种位置关系.2.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直
线是不是异面直线.3. 理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行.4.理解异面直线所
36