高中数学必修2第四章测试(含答案)

第四章测试
(时间：120分钟 总分：150分)
一、选择题(本大题共 12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知两圆的方程是x
2
＋y
2
＝1和x
2
＋y
2
－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是
( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
2．过点(2,1)的直线中，被圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )
A．3x－y－5＝0
C．x＋3y－5＝0
B．3x＋y－7＝0
D．x－3y＋1＝0
3．若直线(1＋a)x＋y＋1＝0与圆x
2
＋y
2
－2x＝0相切，则a的值为( )
A．1，－1
C．1
B．2，－2
D．－1
4．经过圆x
2
＋y
2
＝10上一点M(2，6)的切线方程是( )
A．x＋6y－10＝0
C．x－6y＋10＝0
B.6x－2y＋10＝0
D．2x＋6y－10＝0
5．点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是( )
A．(－3,3，－1)
C．(3，－3，－1)
B．(－3，－3，－1)
D．(3,3,1) < br>6．若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，－2,5)关于y轴对称的点，< br>则|AC|＝( )
A．5 B.13 C．10 D.10
7．若直线y＝kx＋1与圆x
2
＋y
2
＝1相交于P、Q两点，且∠POQ＝120°(其中O为坐标
原点)，则k的 值为( )
A.3 B.2 C.3或－3 D.2和－2
8．与圆O
1
：x
2
＋y
2
＋4x －4y＋7＝0和圆O
2
：x
2
＋y
2
－4x－10y＋1 3＝0都相切的直线条
数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．直线l将圆x
2
＋y< br>2
－2x－4y＝0平分，且与直线x＋2y＝0垂直，则直线l的方程是( )
A．2x－y＝0
C．x＋2y－3＝0
B．2x－y－2＝0
D．x－2y＋3＝0
10．圆x
2
＋y
2
－(4m＋2 )x－2my＋4m
2
＋4m＋1＝0的圆心在直线x＋y－4＝0上，那么圆

1

的面积为( )
A.9π B.π C．2π D．由m的值而定
11．当点P在圆x
2
＋y< br>2
＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方
程是( )
A．(x＋3)
2
＋y
2
＝4
C．(2x－3)
2
＋4y
2
＝1
B．(x－3)
2
＋y
2
＝1
D．(2x＋3)
2
＋4y
2
＝1
12．曲线y＝1＋4 －x
2
与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
5
A．(0，)
12
13
C．(，]
34
5
B．(，＋∞)
12
53
D．(，]
124
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在题中横线上) < br>13．圆x
2
＋y
2
＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离最 小值为____________．
14．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是________．
15．方 程x
2
＋y
2
＋2ax－2ay＝0表示的圆，①关于直线y＝x对称；②关 于直线x＋y＝0
对称；③其圆心在x轴上，且过原点；④其圆心在y轴上，且过原点，其中叙述正确的 是
__________．
16．直线x＋2y＝0被曲线x
2
＋y
2
－6x－2y－15＝0所截得的弦长等于__________．
三、解答题(本大题 共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(10分 )自A(4,0)引圆x
2
＋y
2
＝4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹 方程．
18．(12分)已知圆M：x
2
＋y
2
－2mx＋4y＋ m
2
－1＝0与圆N：x
2
＋y
2
＋2x＋2y－2＝0相
交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
19．(12分)已知圆C
1
：x
2
＋y
2
－3x－3y＋3＝0，圆C
2< br>：x
2
＋y
2
－2x－2y＝0，求两圆的公
共弦所在的直线 方程及弦长．
20．(12分)已知圆C：x
2
＋y
2
＋2x－4 y＋3＝0，从圆C外一点P向圆引一条切线，切点
为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求 |PM|的最小值．
21．(12分)已知⊙C：(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝1，点A(－1,0)，B(1,0)，点P是圆上动点，求
d＝|PA|
2< br>＋|PB|
2
的最大、最小值及对应的P点坐标．
22．(12分)已知曲线 C：x
2
＋y
2
＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠ －1.
(1)求证：曲线C表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
(2)证明曲线C过定点；
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值．



2

1解析：将圆x
2
＋y
2
－6x－8y＋9＝0，
化为标准方程得(x－3)
2
＋(y－4)
2
＝16.
∴两圆的圆心距?0－3?
2
＋?0－4?
2
＝5，
又r
1
＋r
2
＝5，∴两圆外切．答案：C
2解析：依题 意知，所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程得
3x－y－5＝0.答案：A
|1＋a＋0＋1|
3解析：圆x
2
＋y
2
－2x＝0的圆心C(1 ,0)，半径为1，依题意得＝1，即|a＋
?1＋a?
2
＋1
2|＝?a＋ 1?
2
＋1，平方整理得a＝－1.答案：D
4解析：∵点M(2，6)在圆x2
＋y
2
＝10上，k
OM
＝
∴过点M的切线的斜率为 k＝－
故切线方程为y－6＝－
6
，
3
6
，
2
y＋2x－1
＝，即
1＋22－1
6
(x－2)，
3
即2x＋6y－10＝0. 答案：D
5解析：点M(3，－3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)．答案：D
6解析：依题意得点A(1，－2，－3)，C(－2，－2，－5)．
∴|AC|＝?－2 －1?
2
＋?－2＋2?
2
＋?－5＋3?
2
＝13.答案 ：B
1
7解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线y＝kx＋1的距离为，
2
∴
11
＝，∴k＝±3.答案：C
1＋k
2
2
8解析：两圆的方程配方得，O
1
：(x＋2)
2
＋(y－2)2
＝1，
O
2
：(x－2)
2
＋(y－5)
2
＝16， < br>圆心O
1
(－2,2)，O
2
(2,5)，半径r
1
＝1，r
2
＝4，
∴|O
1
O
2
|＝?2＋2?
2
＋?5－2?
2
＝5，r
1
＋r
2
＝5 .
∴|O
1
O
2
|＝r
1
＋r
2
，∴两圆外切，故有3条公切线．答案：B
9解析：依题意知，直线l过圆心(1,2)，斜率k＝2，
∴l的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案：A
10解析：∵x
2
＋y
2
－(4m＋2)x－2my＋4m
2
＋4m＋1＝0， ∴[x－(2m＋1)]
2
＋(y－m)
2
＝m
2
.
∴圆心(2m＋1，m)，半径r＝|m|.
依题意知2m＋1＋m－4＝0，∴m＝1.
∴圆的面积S＝π×1
2
＝π.答案：B

3

< br>11解析：设P(x
1
，y
1
)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的 坐标为(x，y)，
x
1
＋3
y
1
则x＝，y＝，∴x< br>1
＝2x－3，y
1
＝2y.
22
又点P(x
1< br>，y
1
)在圆x
2
＋y
2
＝1上，
∴(2x－3)
2
＋4y
2
＝1.
故线段PQ中点的轨迹 方程为(2x－3)
2
＋4y
2
＝1.答案：C
12解析：如图所示，曲线y＝1＋4－x
2


变形为x
2
＋(y－1)
2
＝4(y≥1)，
直线y＝k(x－2)＋4过定点(2,4)，
当直线l与半圆相切时，有
|－2k＋4－1|
5
＝2，解得k＝.
12
k
2
＋1
3
当直线l过点(－2,1)时，k＝.
4
53
因此，k的取值范围是124
13解析：圆心(0,0)到直线3x＋4y－25＝0的距离为5，
∴所求的最小值为4.
|1＋1－4|
14解析：r＝＝2，所以圆的方程为(x－ 1)
2
＋(y－1)
2
＝2.
2
15解析：已知方程配方 得，(x＋a)
2
＋(y－a)
2
＝2a
2
(a≠0)，圆 心坐标为(－a，a)，它在直
线x＋y＝0上，∴已知圆关于直线x＋y＝0对称．故②正确．
16解析：由x
2
＋y
2
－6x－2y－15＝0，
得(x－3)
2
＋(y－1)
2
＝25.
|3＋2×1|
圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝5.在弦心距、半径、半弦长组成的直
5角三角形中，由勾股定理得，弦长＝2×25－5＝45.
yy
17解：解法1：连接O P，则OP⊥BC，设P(x，y)，当x≠0时，k
OP
·k
AP
＝－1， 即·
x
x－4
＝－1，
即x
2
＋y
2
－4x＝0①

4

当x＝0时，P点坐标为(0,0)是方程①的解，
∴BC中点P的轨迹方程为x
2
＋y
2
－4x＝0(在已知圆内)．
1
解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2 ，由圆的定
2
义知，P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心，2为半径的圆．
故所求的轨迹方程为(x－2)
2
＋y
2
＝4(在已知圆内)．
18解：由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．
两圆的方程相减得直线AB的方程为
2(m＋1)x－2y－m
2
－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)，
∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m
2
－1＝0，
解得m＝－1.
故圆M的圆心M(－1，－2)．
19解：设两圆的交点为A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，则A、 B两点的坐标是方程组
22
?
?
x＋y－3x－3y＋3＝0
?2
的解，两方程相减得：x＋y－3＝0，
2
?
x＋y－2x－2y＝0
?

∵A、B两点的坐标都满足该方程，
∴x＋y－3＝0为所求．
将圆C
2
的方程化为标准形式，
(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝2，
∴圆心C
2
(1,1)，半径r＝2.
|1＋1－3|
1
圆心C
2
到直线AB的距离d＝＝，
2 2
|AB|＝2r
2
－d
2
＝2
1
2－＝6.
2
即两圆的公共弦长为6.
20解：如图：PM为圆C的切线，则CM⊥PM，∴△ PMC为直角三角形，∴|PM|
2
＝|PC|
2
－|MC|
2.

5

设P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝2.
∵|PM|＝|PO|，
∴x
2
＋y
2
＝(x＋1)
2
＋(y－2)
2
－2，
化简得点P的轨迹方程为：2x－4y＋3＝0.
求|PM|的最小值，即求|PO |的最小值，即求原点O到直线2x－4y＋3＝0的距离，代入
35
点到直线的距离公式可求 得|PM|最小值为.
10
21解：设点P的坐标为(x
0
，y
0
)，则
d＝(x
0
＋1)
2
＋y
0
2
＋(x
0
－1)
2
＋y
0
2
＝2(x
0
2
＋y
0
2
)＋2.
欲求d的最大、最小值，只需求u＝x
0
2
＋y
0
2
的最大、最小值，即求⊙C上的点到原点
距离的平方的 最大、最小值．
作直线OC，设其交⊙C于P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，
如图所示．

则u
最小值
＝|OP
1
|
2
＝(|OC|－|P
1
C|)
2
＝(5－1)
2
＝16.
x
1
y
1
4
此时，＝＝，
345
1216
∴x
1
＝，y
1
＝.
5 5
1216
?
∴d的最小值为34，对应点P
1
的坐标为
?
?
5
，
5
?
.
1824
?
同理 可得d的最大值为74，对应点P
2
的坐标为
?
?
5
，5
?
.
22解：(1)证明：原方程可化为(x＋k)
2
＋( y＋2k＋5)
2
＝5(k＋1)
2

∵k≠－1，∴5(k＋1)
2
>0.
故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，半径为5|k＋1|的圆．

6

?
?
x＝－k，
设圆心的坐标为(x，y)，则
?

?
y＝－2k－5，
?

消去k，得2x－y－5＝0.
∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上．
(2)证明：将原方程变形为
(2x＋4y＋10)k＋(x
2
＋y
2
＋10y＋20)＝0，
∵上式对于任意k≠－1恒成立，
?
2x＋4y＋10＝0，
?
∴
?
22

?
x＋y＋10y＋20＝0.
?
?
?
x＝1，
解得
?

?
y＝－3.
?


∴曲线C过定点(1，－3)．
(3)∵圆C与x轴相切，
∴圆心(－k，－2k－5)到x轴的距离等于半径，
即|－2k－5|＝5|k＋1|.
两边平方，得(2k＋5)
2
＝5(k＋1)
2
，
∴k＝5±35.


7