高中数学必修二知识点+例题+知识点

立体几何知识点
一、空间几何体
1.多面体：由若干个多边形围成的几何体 ，叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面
体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱 的公共点叫做多面体的顶
点.
2.棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相 邻两个四边形的公共边都平行，
由这些面所围成的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做底面,其余各 面叫做侧
面.
3.棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这 些面所围成的多
面体叫做棱锥。底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥叫做正棱锥。 < br>正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形；顶点在底面上的射影是底面正
多边形 的中心。
4.棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。由正棱锥截
得
的棱台叫做正棱台。
正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；正棱台的两底 面以及平行于底面
的截面是相似的正多边形
5.旋转体：由一个平面图形绕一条定直线旋转所 形成的封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫
做旋转体的轴，
6.圆柱、圆锥、圆台：分别以矩 形的一边、直角三角形的直角边、直角梯形垂直于底边的腰
所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆
台。
圆柱、圆锥、圆台的性质：平行于底面的截 面都是圆；过轴的截面(轴截面)分别是全等的
矩形、等腰三角形、等腰梯形。 注：在处理圆锥、圆 台的侧面展开图问题时，经
常用到弧长公式
l?
?
R

7. 球:以半圆的直径为旋转轴，旋转一周所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体
(简称球)
8.简单空间图形的三视图：一个投影面水平放置，叫做水平投影面，投影到这个平面内的图
形 叫做俯视图。一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面，投影到这个平面内
1

的图形叫做主视图(正视图)。和直立、水平两个投影面都垂直的投影面叫做侧立投影面 ，通
常把这个平面放在直立投影面的右面，投影到这个平面内的图形叫做左视图(侧视图)。三视
图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓线的
正投影围成 的平面图形。
（1）.三视图画法规则：
高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐
长对正：主视图与俯视图的长应对正
宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等
（2）.空间几何体三视图：正视图（从前向后的正投影）；
侧视图（从左向右的正投影）；
俯视图（从上向下正投影）．
例题1.某四棱锥底面为直角梯形，
一条侧棱与底面垂直，四棱锥的三视图如右图所示，
则其体积为 ．
例题2.右图是底面为正方形的四棱锥，
其中棱
PA
垂直于底面，它的三视图正确的是（ ）
[来源:学|科|网Z|X|X|K]



主视
图
左视
图
主视
图
左视
图
主视
图
左视
图< br>主视
图
左视
图
1
正视
图
2
1
1
俯视
图
D
A
正前方
B
侧视
图
P

C
[来源:学_科_网]


俯视
图
俯视
图
俯视
图
俯视
图
C
（3）.空间几何体的直观图——斜二 测画法特点：
A
B
D
①斜二测坐标系的
y
轴与
x
轴正方向成
45
?
角；②原来与x轴平行的线段仍然与x平行,长度
不变；③原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半．
常用结论：平面图形面积与其斜二侧直观图面积之比为
22
：1．
例．如果 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为
1
的等
腰 梯形，那么原平面图形的面积是( )．
2

A．2＋
2
B．
1＋2

2
C．
2＋2

2
D．
1＋2
< br>9.特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
'
为斜高，l为母线） ：
S
直棱柱侧面积
?ch

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
正棱锥侧面积
?
1
ch'

S
圆锥侧面积
?
?
rl

2
1
S
正棱台侧面积
?(c
1
?c
2
)h'

S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

2
S
圆台表
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
S
球面
=
4
?
R

??
2
10.柱体、锥体、台体和球的体积公式：
V
柱
?Sh

V
圆柱
?Sh?
?
2
r

h

V
锥
?
1
Sh

V
圆锥
?
1
?
r
2
h

3
3
1
'
1
1
'22
V
台
?(S
'
?S
'
S?S)h

V
圆台
?(S?SS?S)h?
?
(r?rR?R)h

33
3
V
球
=
4
?
R
3

3
例题3:已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形，正视图(或称主视图)是
一个 底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长
为6、高为4的等腰三角形．
例4.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．
16
?
B．
20
?
C．
24
?
D．
32
?

例5．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为_____.
练习：
1 ．已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积
V?
( )
A．
12
?
B．
16
?
C．
18
?
D．
64
?

2 ．右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几
何体的表面积是 （ ）
.

3 ．某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆
与其直径组成的图形,则此几何体的体积是 （ ）
20
A．
π
3



2
.

俯视图
. .
4
正（主）视图
4
侧（左）视图
2
1
4
侧（左）视图
B
6π

．
10
C
．
π

3
3
16
D．
π

3
2
正（主）视图
俯视图
（第3题图）

4

．
一个几何体的三视图是三个边长为1的正方形和对角线,
如图所示,则此几何体的体积为( )

1
A．
6

1
B．
3

5
C．
6
D．1

5
．一个空间几何体的三视图如图所示,根据图标出的尺寸,可得这个几
何 体的体积为( )

A
．
4

B
．
8

C
．
12

D
．
24

6．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所
示,则这个棱柱的体积为 （ ）
4
33
正视图
侧视图
俯视图

A．
123
B．6 C．
273
D．
363

二、 立体几何点 线 面的位置关系
平行与垂直关系可互相转化
平行关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab

2.
a?
?
,ab?b?
?

3.
a?< br>?
,a?
?
?
?

?

4.
?

?
,a?
?
?a?
?
< br>5.
?

?
,
?
?
?
?
?< br>?
?

??

判定推论 判定
垂直关系
平面几何知识 平面几何知识
线线平行
判定
线线垂直
性质
判定
性质 性质
判定
面面垂直定义
面面垂直 线面平行 面面平行 线面垂直

例1． 如图，在正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是
AB
1
、BC
1
的
4

中点，则以下结论中不成立的是( )
A．
EF与BB
1
垂直
B.
EF与BD垂直

C.
EF与CD异面
D.
EF与A
1
C
1
异面

例2.已知
m,n
是两条不同直线，
?
,
?
,
?
是三个不同平面，下 列命题中正确的是（ ）
A．
若m
‖?
,n
‖?
, 则m
‖
n

C．
若m
‖?
,m
‖?
,则
?‖?

练习：
1.设直线
m
与平面
?
相交但不垂直，则下列说法中正确的是（ ）
．
A．在平面
?
内有且只有一条直线与直线
m
垂直 B．过直线
m
有且只有一个平面与平面
?
垂
直
C．与直线
m
垂直的直线不可能与平面
?
平行 D．与直线
m
平行的平面不可能与平面
?
垂直
．．
2.设
a，b
为两条直线,
?
，
?
为两个平面,下列四个命题中， 正确的命题是( )
A．若
a，b
与
?
所成的角相等，则
a∥b
B．若
a∥
?
，
b∥
?
，
?
∥
?
，则
a∥b

C．若
a?
?
，
b?
?
，
a∥b
，则
?
∥
?
D．若
a ?
?
，
b?
?
，
?
?
?
，则a?b

3.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若 直线
l
1
,l
2
与同一平面所成的角相等,则
l
1
,l
2
互相平行.
④若直线
l
1
,l
2
是异面直线,则与
l
1
,l
2
都相交的两条直线是异面直线 .
其中假命题的个数是（ ）
．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
4.设
?
、
?
、
?
为平面，
m、n、l
为直线，则
m?
?
的一个充分条件是( )
(A)
?
?
?
,
?
?
?
?l,m?l

(C)
?
?
?
,
?
?
?
,m?
?

5．设、是不同的直线,、
(B)
?
?
?
?m,
?
?
?
,
?
?
?

(D)
n?
?
,n?
?
,m?
?



B．
若
?
?
?
,
?
?
?
,则
?‖?

D．
若m?
?
,n?
?
,则m
‖
n

、是不同的平面,有以下四个命题:
5

① 若
③ 若
则
,则
②若
④若
,,则
,则


其中真命题的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
三、线线平行的判断：
（1）三角形中位线定理；
（2）构造平行四边形，其对边平行；
（3）对应线段成比例，两直线平行；
（4）平行于同一直线的两直线平行；（平行的传递性）
（5）如果一条直线和一个 平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直
线和交线平行；（线面平行的性质）
（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，所得交线平行；（面面平行的性质）
（7）垂直于同一平面的两直线平行；（线面垂直的性质）
线面平行的判断：
（1）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（2）两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
例1、（三角形中位线定 理）如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D< br>1
中，
E
是
AA
1
的中点，求证：
AC1

平面
BDE
。
证明：连接
AC
交
BD
于
O
，连接
EO
，
∵
E
为
AA
1
的中点，
O
为
AC
的中点
∴
EO
为三角形
A
1
AC
的中位线 ∴
EOAC
1

BDE
外 又
EO
在平面
BDE
内，
AC
1
在平面
BDE
。 ∴
AC
1

平面
B
A
D
B
1
A
D
1
E
C
C
OABCD
对角线的交点.求证： 例2、（证明是平行四边形）已知正方体
ABCD ?A
1
BC
11
D
1
，是底
C
1
O∥面
AB
1
D
1
；
AC
11
?B< br>1
D
1
?O
1
，连结
AO
证明：（1）连结
AC
，设
111
A
1
6
D
1
B
1
C
1
D
O
AB
C< /p>

∵
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
是正方体
?A
1
ACC
1
是平行四边形
∴A
1
C
1
∥AC且
AC
11
?AC

又
O
1
,O
分别是
AC
11
,AC
的中点，∴O
1
C
1
∥AO且
O
1
C
1
?AO

?AOC
1
O
1
是平行四边形
?C
1
O∥AO
1
,AO
1
?
面
AB1
D
1
，
C
1
O?
面
AB
1
D
1
∴C
1
O∥面
AB
1
D
1

3、面面平行的判断：
（1）一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行。
例4、如图，在正方体
ABCD?A1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、< br>F
、
G
分别是
AB
、
AD
、
C< br>1
D
1
的中点.求证：平面
D
1
EF
∥平面
BDG
.
证明：∵
E
、
F
分别是
AB< br>、
AD
的中点，
?
EF
∥
BD

又
EF?
平面
BDG
，
BD?
平面
BDG
?
EF
∥平面
BDG

∵
D
1
G
E B
?
四边形
DGBE
为平行四边形，
D
1
E
∥
GB

1
又
D
1
E?
平面
B DG
，
GB?
平面
BDG
?
D
1
E
∥平面
BDG
EF?D
1
E?E
，
?
平面
D
1
EF
∥平面
BDG

练习：
1、（利用三 角形中位线）如图,已知四棱锥
P?ABCD
的底面
ABCD
是菱形,
PA?
平面
ABCD
,
点
F
为
PC

的中点.求证:
PA
平面
BDF
;





2、（构造平行四边形）如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,每个
侧面均为正方形,
D
为底边AB
的中点,
E
为侧棱
CC
1
的中点，求证:
CD
∥平面
A
1
EB
;



7

B
C
F
P
A
D
A
1
B
1
C
1
E
A
D
B
C

3、（线面平行的性质）如图，四面体
A
—
BCD
被一平面所截，截面
EFGH
是一个矩形.
求证：
CD
∥平面
EFGH
.
（1）证明：∵截面
EFGH
是一个矩形，
∴
EF
∥
GH
， 又
GH
?平面
BCD
.
∴
EF
∥面
BC D
，而
EF
?面
ACD
，
面
ACD
∩面
BCD
=
CD
.
∴
EF
∥
CD
，∴
CD
∥平面
EFGH
.




4．（对应线段成比例，两直线平行，面面平行得到线面平 行）如下图，设
P
为长方形
ABCD
所
在平面外一点，
M< br>、
N
分别为
AB
、
PD
上的点，且
P
N
A
E
B
G
C
H
F
D
AMDN
=，求证：直线
MN
∥平面
PBC
。
MBNP
D
C
A
MB

分析：要证直线
M N
∥平面
PBC
，只需证明
MN
∥平面
PBC
内的 一条直线或
MN
所在的某个
平面∥平面
PBC

证法一：过
N
作
NR
∥
DC
交
PC
于点
R< br>，连结
RB
，依题意得

DC?NR
=
DN
NP
NR
=
AM
=
AB?MB
=
DC?MB?
NR
=
MB

MB
MB
MB
∵NR
∥
DC
∥
AB
，∴四边形
MNRB
是平行 四边形
∴
MN
∥
RB
. 又∵
RB
平面
PBC
，∴直线
MN
∥平面
PBC

证法二：过
N
作
NQ
∥
AD
交
PA
于点
Q
， 连结
QM
，
8

∵
AM
=DN
=
AQ
，∴
QM
∥
PB
又
NQ< br>∥
AD
∥
BC
，∴平面
MQN
∥平面
PBC
∴直线
MN
∥平面
PBC

MBNP
QP
5、（中位线定理、平行四边形）如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别
为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；
分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边形
F
P


E
A
C
D





B
（第1题图）
6、（平行的传递性）已知正方体 ABCD-A`B`C`D`中，E，F分别是A`B`，B`C`的中点。求证：
EF∥面AD`C。









四、立体几何垂直总结
1、线线垂直的判断：
A
D
B
C
A`
D`
E
F
B`
C`
线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：
（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
9

（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断：
一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：
例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形
A BCD
中，
BC?AC,AD?BD
，
E
是
AB
的 中点。求证：（1）
AB?
平面CDE;（2）平面
CDE?
平面
A BC
。
证明：（1）
A
E
BC?AC
?
AD?BD
?
同理，
?CE?AB
??
?DE?AB

AE?BE
?
AE?BE
?

B
又∵
CE?DE?E
∴
AB?
平面
CDE

（2）由（1）有
AB?
平面
CDE

又∵
AB?
平面
ABC
， ∴平面
CDE?
平面
ABC

C
D
例2、（菱 形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥
P?ABCD
的底面是菱
形．
PB?PD
，
E
为
PA
的中点．（Ⅰ）求证：
PC
∥平面
BDE
；（Ⅱ）求证：平面
PAC?
平
面
B DE
．







例3、 (线线、线面垂直相互转化)已知
?ABC
中
?ACB?90
?
,< br>SA?
面
ABC
,
AD?SC
,求证：
AD?
面
SBC
．
证明：
∵?ACB?90
°
?BC?AC

又
SA?
面
ABC

?SA?BC

?BC?
面
SAC

?BC?AD
又
SC?AD,SC?BC?C
?AD
?
面
SBC

AB
E
C
P
D
S
D
A
C
B

10

例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示 ，已知
PA
垂直于圆O在平面，
AB
是圆O的直
径，
C是圆O的圆周上异于
A
、
B
的任意一点，且
PA?AC
，
点
E
是线段
PC
的中点.求证：
AE?
平面PBC
.

D
1
C
1

P

证明：∵
PA?
?O
所在平 面，
BC
是
?O
的弦，∴
BC?PA
.

又∵
AB
是
?O
的直径，
?ACB
是 直径所对的圆周角，
∴
BC?AC
.
∵
PA?AC? A,PA?
平面
PAC
，
AC?
平面
PAC
.
∴
BC?
平面
PAC
，
AE?
平面< br>PAC
，∴
AE?BC
.
∵
PA?AC
，点
E
是线段
PC
的中点.∴
AE?PC
.
∵
PC?BC?C
,
PC?
平面
PBC
，
BC?< br>平面
PBC
.
∴
AE?
平面
PBC
.

A
1
B
1

D
E


C

O

B

A

?
A

图2
B

C

例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，
∠D AB＝60°，AE⊥BD，CB＝CD＝CF. 求证：BD⊥平面AED；
证明 因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，
所以∠ADC＝∠BCD＝120°.
又CB＝CD，所以∠CDB＝30°，
因此∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD?平面AED，
所以BD⊥平面AED.

例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC—A
1B
1
C
1
中，△ABC为等
腰直角三角形，∠BAC＝90°， 且AB＝AA
1
，D、E、F分别为B
1
A、C
1
C、BC 的中点．
求证：(1)DE∥平面ABC；(2)B
1
F⊥平面AEF.





例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
C< br>11

⊥平面BC
1
D

证明：连结AC
⊥AC

∵BD
∴ AC为A
1
C在平面AC上的射影
?BD?A
1
C
练习；
?
?
?A
1
C?平面BC
1
D
同理可证A
1
C?BC
1
?

1、 如图在三棱锥P—ABC中，AB ＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线
段AD上.证明：AP⊥BC；







1
2、直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝BC＝
2
AA1
，D是棱AA
1
的中点，DC
1
⊥BD.证明：DC
1
⊥
BC。




3．如图，平行四边形AB CD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿
BD折起到△EBD的位置，使平面E BD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)
求三棱锥EABD的侧面积．



4、在正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，若AB=2，
AA
1
?1
，求点
A到平面< br>A
1
BC
的距离。
12

5、如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面 ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别
是AB、PC的中点，PA＝AD.
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD.






五、直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它 的倾
斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。当(
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?
时，
k
不存在。
k

?
②过两点的直线的斜率公式：
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
x
2
?x
1
?
?
?
90,180
?
时，
k?0
； 当
??90
??
?
注意下面四点：(1)当
x
1
?x
2
时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程
①点 斜式：
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率k，且过点?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0° 时，k=0，直线的方程是y=y
1
。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程 不
能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x
1
，所以它的方程是x=x1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点 式：（
x
1
?x
2
y,
1
④截矩式：
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
注意：1 各式的适用范围
13

y?
2
）直线两点
?< br>x
1
,y
1
?
，
?
x
2
, y
2
?

y
轴交于点
(0,b)
,即
l< br>与
x
轴、
y
轴的截距分别为
a,b
。
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）

2特殊的方程如：平行于x轴的直线：
y?b
（b为常数）； 平行于y轴的直线：
x?a
（a为常数）；
（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线
（一）平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系：
A
0
x? B
0
y?C?0
（C为常数）
（二）过定点的直线系
（ⅰ）斜率 为k的直线系：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
（ⅱ ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y ?C
2
?0
的交点的直线系方程为
?
A
1
x?B< br>1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0

（
?
为参数），其中直线
l
2
不在直线系中。
（5）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x? b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
（6）两条直线的交点
交点坐标即方程组的一组解。
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x ?B
2
y?C
2
?0
相交
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
22
Bx
2
,y
2
）
（7）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，则
|AB| ?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
（8）点到直线距离公式：一点
P
?
x
0
,y0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
六、圆的方程
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
（9）两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点 到直线的距离进行求解。
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a, b
?
，半径为r；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

?

,?
?

当
D
2
?E2
?
4
F?
0
时，方程表示圆，此时圆心为，
2

?
半径为
r?
?

2
?
1
22
D?E?4F
2
当
D
2
?E< br>2
?
4
F?
0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形。
?
DE
?
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，
若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：
Aa?Bb ?C
22
2
（1）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
， 圆心
C
?
a,b
?
到l的距离为 ，
d

?
则有
d?r?l与C相离
；
A
2
?B
2
d?r?l与C相切
；
d?r?l与C相交
（2）设直线
l:Ax?By?C?0
，圆
C:
?
x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
， 先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中
的判别式为
?
，则有
??0?l与C相离
；
??0?l与C相切
；
??0?l与C相交

注：如果圆心的位置在原点，可使用公式
xx
0
?yy
0
? r
2
去解直线与圆相切的问题，其中
?
x
0
,y
0
?
表示切点坐标，r
表示半径。

(3)
过圆上一点的切线方程：
①圆x
2
+y
2
=r
2
，圆上一点为(x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程 为
xx
0
?yy
0
?r
2
(课本命题)． ②圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为 (x
0
，y
0
)，则过此点的切线方程为(x
0
-a)(x -a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2
(课本命题的推广)．
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
?
?< br>y?b
1
?
?r
2
，
C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2

2222
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
14