重点高中数学必修二知识点大全

重点高中数学必修二知识点大
全

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2

40












1

必修二
知识点串讲

40 2

第一章：空间几何体
§1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1、由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多 边形叫做多面体的面，如面
ABCD；相邻两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB；棱与棱的公共点叫 多面体的顶点，如顶点A.

2、由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的 封闭几何体叫旋转体，这条定直线叫
旋转体的轴.

3、一般地，有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱 柱（prism）.棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；
其余各面叫做棱柱的侧面；相 邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶
点.（两底面之间的距离叫棱柱的 高）

4、有一个面是多边形，其余各个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的 几何体叫做棱
锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫 做棱锥的侧面；各侧
面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距 离叫做棱锥的高；
棱锥也可以按照底面的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥…等等，棱锥可以用顶点和 底面各顶点的
字母表示

5、用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之 间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum
of a pyramid).原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面，相邻
侧面的公共边叫侧棱，侧面与两底面的公 共点叫顶点.两底面间的距离叫棱台的高.棱台可以用上、下
底面的字母表示，分类类似于棱锥.

6、例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗？①侧棱都相等，侧面都是平行四边形 ；②两个
底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱 柱,
棱锥、棱台有哪些几何性质呢？

7、知识拓展
1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱； 2. 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；
3. 正棱锥：底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥；
4. 正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.

8、已知集合A={正方体}，B={长方体} ，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面
体}，则（ ）.
A.
A?B?C?D?F?E
B.
A?C?B?F?D?E

40 3

C.
C?A?B?D?F?E
D.它们之间不都存在包含关系

§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
1、以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形 成的曲面所围成的几何体，叫做圆柱（circular
cylinder），旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋
转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转 到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线
圆柱用表示它的轴的字母表示，图中的圆柱可表示 为
OO
?
.圆柱和棱柱统称为柱体.
2、以直角三角形的一条直角边所在直 线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆
锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆 锥统称为锥体.
3、直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的 旋转体叫圆台
(frustum of a cone).棱台与圆台统称为台体.
4、以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体（solid sphere），
简称球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的 直径；球通常用
表示球心的字母
O
表示，如球
O
.
5、由 具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简
单组合体 .简单组合体的构成有两种方式：由
简单几何体拼接而成；由简单几何体截去或挖去一部分而成.
6、知识拓展
圆柱、圆锥的轴截面：过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状 ，通常圆柱的轴截面
是矩形，圆锥的轴截面是三角形.
7、一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为5、4、3，则球的直径为（ ）.

52
A.
52
B.
25
C.
5
D.
2

3
8、圆锥母线长为
R，侧面展开图圆心角的正弦值为
2
，则高等于__________.





40 4

§1.2.1 中心投影与平行投影
§1.2.2 空间几何体的三视图
1、由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下 这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中光
线叫投影线，留下物体影子的屏幕叫投影面.光由一点向外 散射形成的投影叫做中心投影，中心投影
的投影线交于一点.在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投 影，平行投影的投影线是平行的.在平
行投影中，投影线正对着投影面时叫正投影,否则叫斜投影.
2、结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化；平行投影其投影的大小与这< br>个平面图形的形状和大小是完全相同的.
3、为了能较好把握几何体的形状和大小，通常对几何 体作三个角度的正投影.一种是光线从几何体的
前面向后面正投影得到投影图，这种投影图叫几何体的正 视图；一种是光线从几何体的左面向右面正
投影得到投影图，这种投影图叫几何体的侧视图；第三种是光 线从几何体的上面向下面正投影得到投
影图，这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和 俯视图称为几何体的三视图.
一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.三视图中，能 看见的轮廓线和棱用实线表
示,不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图.



正视图
侧视图




俯视图


4、小结：
1.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映的是长度和宽度，侧视图反映的是宽度和高度；
2.正视图和俯视图高度相同，俯视图和正视图长度相同，侧视图和俯视图宽度相同；
3.三 视图的画法规则：①正视图、侧视图齐高，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等，即
“长对正 ”、“高平齐”、“宽相等”；②正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐，不能错位.

5、 下列哪种光源的照射是平行投影（ ）.
A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡
6、 右边是一个几何体的三视图，则这
个几何体是（ ）.
A.四棱锥B.圆锥C.三棱锥D.三棱台

7、 如图是个六棱柱,其三视图为（ ）.
40 5

A. B. C. D.

§1.2.3 空间几何体的直观图

1、斜二测画法的规则及步骤如下：
(1)在已知水平放置的 平面图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴，建立直角坐标系，两轴相交于
O
.画直观
????
图时,把它们画成对应的
x
?
轴与y
轴，两轴相交于点
O
?
，且使
?xOy?
45
°(或
135
°).它们确定的
平面表示水平面；
?
(2) 已 知图形中平行于
x
轴或
y
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x< br>?
轴或
y
轴的线段；
(3)已知图形中平行于
x
轴 的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于
y
轴的线段，长度为原来的
一半；
(4) 图画好后，要擦去
x
轴、
y
轴及为画图添加的辅助线（虚线）.
2 、用斜二测画法画空间几何体的直观图时，通常要建立三条轴：
x
轴，
y
轴，
z
轴；它们相交于点
O
，
且
?xOy?45
°，< br>?xOz?90
°；空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样，即图形中
平 行于
x
轴的线段保持长度不变，平行于
y
轴的线段长度为原来的一半，但空间 几何体的“高”，即
平行于
z
轴的线段，保持长度不变.
3、用斜二测画法画底面半径为4
cm
,高为3
cm
的圆柱.

4、一个长方体的长、宽、高分别是4、8、4，则画其直观图时对应为（ ）.
A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、2
5、 利 用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形
的直观图是 正方形④菱形的直观图是菱形，其中正确的是（ ）.
A.①② B.① C.③④ D.①②③④
6、一个三角形的直观图是腰长为
4
的等腰直角三角形，则它的原面积是（ ）.
A. 8 B. 16 C.
162
D.32
2

7、等腰梯形ABCD上底边CD=1，腰AD=CB=
2
， 下底AB=3，按平 行于上、下底边取x轴，则直观
图
A
?
B
?
C
?< br>D
?
的面积为________.


40 6

§1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）


1、 （1）设圆柱的底面半径为
r
，母线长为
l
，则它的表面积等于圆柱的侧面积 （矩形）加上底面积（两
2
S?2
?
r?2
?
rl?2?
r(r?l)
. 个圆），即
（2）设圆锥的底面半径为
r
， 母线长为
l
，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆
2
S?
?
r?
?
rl?
?
r(r?l)
. 形），即2、设圆台的上、下底面半径分别为
r
?
，
r
，母线长为
l
，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小
圆）加上侧面的面积（扇环），即
S?
?
r
?
2
?
?
r
2
?
?
(r
?
l?rl)?
?
(r
?
2
?r
2
?r
?
l?rl)
.
3、正方体的表面积是64,则它对角线的长为（ ）.
A.
43
B.
34
C.
42
D.
16

4、一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（ ）.
1?2
?
1?4
?
1?2
?
1?4
?
A.
2
?
B.
4
?
C.
?
D.
2
?

5、一个正四棱台的两底面边长分别为
m
,n
(m?n)
,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为
（ ）.
mnmnm?nm?n
A.
m?n
B.
m?n
C.
mn
D.
mn

6、如图，在长方体中，
AB?b
，
BC?c
，
CC
1
?a
，且
a?b?c
，求沿着长方体表面
A
到
C
1
的最短
路线长.




D
?
B
?
A
?
D
C
?
C
40 7
AB

7、柱体体积公式 为：
V?Sh
，（
S
为底面积，
h
为高）
1锥体体积公式为：
V?Sh
，（
S
为底面积，
h
为高）
3
1
台体体积公式为：
V?(S
?
?S
?
S?S)h

3
（
S
?
，
S
分别为上、 下底面面积，
h
为高）

8、补充：柱体的高是指两底面之间的距离；锥体 的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下
底面之间的距离.

9、如图(1 )所示，三棱锥的顶点为
P
，
PA,PB,PC
是它的三条侧棱,且
PA,PB,PC
分别是面
PBC,PAC,PAB
的垂线，又
PA?2，
PB?3,PC?4
，求三棱锥
P?ABC
的体积
V
.










P
C
A
图(1)
B
10、如图(2)，在边长 为4的立方体中，求三棱锥
B
?
?A
?
BC
?
的体 积.










D
?
B
?
A
?
D
A
图
C
?
C
B
3
AB?2,BC?,?ABC?120
2
11、在△
ABC
中,°,若将△
ABC
绕直线
BC旋转一周，求所形成的旋转
40 8

体的体积.







A
B
C
§1.3.2 球的体积和表面积


4
1、球的体积公式
V?
?
R
3

3
球的表面积公式
S?4
?
R
2

其中，
R
为球的半径.显 然，球的体积和表面积的大小只与半径
R
有关.


2、若三个球 的表面积之比为
1
﹕
2
﹕
3
，则它们的体积之比为多少?



3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径(即圆柱内有一内切球)，求证
2
（1）球的体积等于圆柱体积的
3
；
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.


4、记与正方体各个面相切的球 为
O
1
，与各条棱相切的球为
O
2
，过正方体各顶点的球为
O
3
则这3个
球的体积之比为（ ）.
A.1:2:3 B.1:
2
:
3
C.1:
22
:
33
D.1:4:9

40 9

第二章：点线面的位置关系
§2.1.1 平面

1、平面(plane)是平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.


2、⑴点
A
在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
在平面
?
外，记作
A?
?
.⑵点
P在直线
l
上，记作
P?l
，
点
P
在直线外，记 作
P?l
.⑶直线
l
上所有点都在平面
?
内,则直线
l
在平面
?
内(平面
?
经过直线
l
),
记作
l?
?
；否则直线就在平面外，记作
l?
?
.
3、公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.用集合符号表示为： < br>A?l,B?l,
且
A?
?
,B?
?
?l?
?


公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.


公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.如下图所示：


40 10

平面
?
与平面
?
相交于直线
l
，记作
?
I
?
?l
.公理3用集合符号表示为
P?a,
且
P?
?
?
?
I
?
?l
,且
P?l



4、知识拓展
平面的三个性质 是公理(不需要证明,直接可以用),是用公理化方法证明命题的基础.其中公理
1
可以
用来判断直线或者点是否在平面内；公理
2
用来确定一个平面，判断两平面重合，或者证明点 、线共
面；公理3用来判断两个平面相交，证明点共线或者线共点的问题.

5、下列结论正确的是（ ）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面② 经过两条相交直线，可以确定一个平面③经过
两条平行直线，可以确定一个平面④经过空间任意三点可以 确定一个平面
D
A.
1
个 B.
2
个 C.
3
个 D.
4
个
E
G
A
6 、如图在四面体中，若直线
EF
和
GH
相交，则它们的交点一定（ ）.
A.在直线
DB
上
B.在直线
AB
上
C.在直线
CB
上
D.都不对





















40 11
C
F
B
H

§2.1.2空间直线与直线之间的位置关系

1、 像直线
A
?
B
与
CC
?
这样不同在任何一个平面内 的两条直线叫做异面直线(skew lines).


2、异面直线的画法有如下几种(
a,b
异面)：

b
?
b

b
a

?
a
?
a
?



图2-1
3、公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.

4、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.



5、如图2-2,已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线 a
?
∥
a
,
b
?
∥
b
，把< br>a
?
与
b
?
所成的锐
角(或直角)叫做异面直线a,b
所成的角(夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线
互相垂直， 记作
a?b
.

6、正方体
ABCD?A
?
B< br>?
C
?
D
?
的棱长为
a
，求异面直线
AC
与
A
?
D
?
所成的角.
40 12

7、正方体
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
的十二条棱中，与直线
AC
?
是异面直线关系的有___________条.

8、长方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
AB ?3
,
BC?2,
AA
1
=1，异面直线
AC
与< br>A
1
D
1
所成角的余弦值是
______.




§2.1.3空间直线与平面之间的位置关系
§2.1.4平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面位置关系只有三种：
⑴直线在平面内——
⑵直线与平面相交——
⑶直线与平面平行——
其中，⑵、⑶两种情况统称为直线在平面外.
2、两个平面的位置关系只有两种：
⑴两个平面平行——没有公共点
⑵两个平面相交——有一条公共直线
3、下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线
l
上有无数个点不在平 面
?
内，则
l
∥
?
.
②若直线
l
与平面
?
平行，则
l
与平面
?
内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l
与平面
?
平行，则
l
与平面
?
内的任意一条 直线都没有公共点.
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3

4、若直线
a
不平行于平面
?
，且
a?
?
，则下列结论成立的是（ ）
A.
?
内的所有直线与
a
异面
B.
?
内不存在与
a
平行的直线
C.
?
内存在唯一的直线与
a
平行
D.
?
内的直线与
a
都相交.
40 13

5、证明点共线的基本方法有两种
⑴找出 两个面的交线，证明若干点都是这两个平面的公共点，由公理3可推知这些点都在交线上，即
证若干点共 线.
⑵选择其中两点确定一条直线，证明另外一些点也都在这条直线上.

6、如 图4-2,空间四边形
ABCD
中，
E
,
F
分别是
AB
和
CB
上的点，
G
,
H
分别是
CD< br>和
AD
上的点，
且
EH与FG
相交于点
K
. 求证：
EH
,
BD
,
FG
三条直线相交于同一点.

图4-2

7、 如图4-3,如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，共有异面直线多少对?

图4-3







40 14

§2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理
定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

2 、如图5-8，在空间四边形
ABCD
中，
P
、
Q
分别是< br>?ABC
和
?BCD
的重心.求证：
PQ
∥平面
AC D
.

图5-8


§2.2. 2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
如图6-4所示，
?
∥
?
.
※ 典型例题
例1 已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，如图6-5，求证：
平面
AB
1
D
1
∥
CB
1
D
.
40 15

图6-5
2、如图6-7，正方体中，< br>M,N,E,F
分别是棱
A
?
B
?
，
A?
D
?
，
B
?
C
?
，
C?
D
?
的中点，求证：平面
AMN
∥
平面
EFDB
.


图6-7
N
D
?
A
?

M

D
F
C
?

B
?
E
3、 如图6 -9，
A
?
、
B
?
、
C
?
分别是
?PBC
、
?PCA
、
A
C
B
?PAB
的重心.求证：面
A
?
B
?
C
?
∥
面ABC
.
图6-9
§2.2.3 直线与平面平行的性质

1、直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交
线都与该直线平行.
2、如图7- 6，在
?ABC
所在平面外有一点
P
，
D< br>、
E
分别是
PB与AB上的点
，过
D,E
作平面平行 于
BC
，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
图7-6
40 16

§2.2.4 平面与平面平行的性质

1、两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
2. 设
P,Q
是 单位正方体
AC
1
的面
AA
1
D
1
D、面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中 心，如图8-4，证明：⑴
PQ
∥平面
AA
1
B
1
B





；⑵面
D
1
PQ
∥面
C
1
DB
.
图8-4


§2.3.1 直线与平面垂直的判定
1、如果直 线
l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直，就说直线
l
与平面
?
互相垂直，记做
l?
?
.
l
叫做
垂线，
?
叫垂面，它们的交点
P
叫垂足.如图10-3所示.

图10-3
2、直线和平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面
垂直.




3、如图10-6，直线
PA
和平面
?
相交但 不垂直，
PA
叫做平面的斜线，
PA
和平面的交点
A
叫斜足 ；
PO?
?
，
AO
叫做斜线
PA
在平面
?
上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫
这条直线和平面所成的角.

P


?
A
O
40 17

图10-6
直线垂直于平面，则它们所成 的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是
0
°角.
4、 如图1 0-8，在正方体中，求直线
A
?
B
和平面
A
?
B
?
CD
所成的角.
D
?


A
?


D

A


图10-8
C
?
B
?

B
C
5 、如图10-9，在三棱锥中，
VA?VC,AB?BC
，求证：
VB?AC
.

图10-9

6、
a,b
是异面直线,那么经过
b
的所有平面（ ）.
A.只有一个平面与
?
B.有无数个平面与
?
C.只有一个平面与
?
D.有无数个平面与
?

平行
平行
垂直
垂直
§2.3.2 平面与平面垂直的判定
1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫二面角的棱，这两个半平面
叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：二面角
?
?AB?
?
或
?
?l?
?
或
P?AB?Q
.
40 18

l

图11-2
2、如图11-3 ，在二面角
?
?l?
?
的棱
l
上任取一点
O
，以点
O
为垂足，在半平面
?
和
?
内分别作垂
直 于棱
l
的射线
OA,OB
，则射线
OA
和
OB构成的
?AOB
叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

图11-3
3、两个平面所成二面角是直二面角，则这两 个平面互相垂直.如图11-4，
?
垂直
?
，记作
?
??
.

图11-4


4、两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
5、如图11-5，
AB
是⊙
O
的直径，
PA
垂直于⊙
O

所在的平面，
C
是圆周上不同于
A,B
的任意 一点，求证：平面
PAC?
平面
PBC
.


图11-5



40 19

6、如图11-6，在正方体中，求面
A< br>?
D
?
CB
与面
ABCD
所成二面角的大小（取锐角 ）.

D
?


A
?


D


A

图11-6




B
?
C
?

C
B
S
7 、如图11-7，在空间四边形
SABC
中，
?ASC

=90°，
?ASB?BSC?60
°，
SA?SB?SC
， A
C
B
⑴求证：平面
ASC?
平面
ABC
.⑵ 求二面角
S?AB?C
的平面角的正弦值. 图11-7
§2.3.3 直线与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行.

2、 判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
3、知识拓展
设
a,m
和
l
是直线，
?
,
?
是平面，则直线与平面垂直还 有下列性质：
(1)
l?
?
?
?
?l?a
a?< br>?
?
(2)
l?
?
?
?
?m?
?< br>ml
?
；

40 20

(3)
l?
?
?
?
?

?
l?
?
?

你能把它们用图形表示出来吗？
4、如图12-5，在三棱锥中，
PA?PB
，
AB?BC
，若M
是
PC
的中点，
试确定
AB
上点
N
的位置，使得
MN?AB
.

图12-5












§2.3.4 平面与平面垂直的性质

1、平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.

2、如图13-4，四棱锥
P?ABCD
的底面是个矩形，
AB?2,BC ?2
，侧面
PAB
是等边三角形，且侧面
PAB
垂直于底面
ABCD
.
⑴证明：侧面
PAB?
侧面
PBC
；
⑵求侧棱
PC
与底面
ABCD
所成的角.





P
A
B
C
D
40 21

图13-4












第三章：直线与方程
§3.1直线的倾斜角与斜率
1、当 直线
l
与
x
轴相交时，取
x
轴作为基准，
x
轴正向与直线
l
向上方向之间所成的角
?
叫做直线
l
的< br>倾斜角（angle of inclination）.
关键：①直线向上方向；②
x
轴的正方向；③小于平角的正角.
注意:当直线与
x
轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..
2、一 条直线的倾斜角
?
?
(
?
?)
2
的正切值叫做这条 直线的斜率(slope).记为
k?tan
?
.
k?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
.
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)(x
1
?x
2
)
的直线的斜率公式：3、已知直线上两点
P
?
[0,180)
. 5、任何一条直线都有唯一确定的倾斜角，直线斜角的范围是
40 22

6、已知点
A(2,3),B(?3,?2)
，若直线l过点
P(1,1)
且与线段
AB
相交，求直线l的斜率
k
的取值范围.
§ 3.2两直线平行与垂直的判定

1、两条直线有斜 率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，
则它们平行，即
l
1
l
2
?
k
1
=
k
2

王新敞
注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提， 结论并不存立．
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它 们的斜率互为
负倒数，则它们互相垂直.
即
l
1
?l
2< br>?
k
1
??
1
k
2
?
k
1
k
2
??1


王新敞
3、已知三点
A( a,2),B(5,1),C(?4,2a)
在同一直线上，则
a
的值为 .






§ 3.2.1直线的点斜式方程
1、已知直线
l
经过点
P(x
0< br>,y
0
)
，且斜率为
k
，则方程
y?y
0< br>?k(x?x
0
)
为直线的点斜式方程.

2、直线
l
与
y
轴交点
(0,b)
的纵坐标
b
叫做直线< br>l
在
y
轴上的截距（intercept）.直线
y?kx?b
叫做
直线的斜截式方程.
注意：截距
b
就是函数图象与
y
轴交点的纵坐标.
3、直线
l
过点
P(?2,3)
且与
x
轴、
y
轴分别交于
A,B
两点，若
P
恰为线段
AB
的中点 ，求直线
l
的方程.

40 23

§ 3.2.2直线的两点式方程

1
(x
1
,x
2
),P
2
(x
2
,y
2
)
且
(x
1
?x
2,y
1
?y
2
)
，则通过这两点的直线方程为1、已知直线上两 点
P
y?y
1
x?x
1
?(x
1
?x2
,y
1
?y
2
)
y
2
?y
1
x
2
?x
1
，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线 的两点式方程，
简称两点式（two-point form）.

2、已知直线< br>l
与
x
轴的交点为
A(a,0)
，与
y
轴的 交点为
B(0,b)
，其中
a?0,b?0
，则直线
l
的方 程
xy
??1
ab
叫做直线的截距式方程.
注意：直线与
x
轴交点（
a
,0）的横坐标
a
叫做直线在
x
轴上 的截距；直线与y轴交点（0,
b
）的纵
坐标
b
叫做直线在
y
轴上的截距.

3、
a
,
b
表示截距，是不是 表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？


4、直线方程的各种形式总结为如下表格：
直
线
已知条件
名
称
点
斜
式
斜
截
式
两
点
直线方程 使用范围
P
1
(x
1
,y
1
),k

y?y
1
?k(x?x
1
)

k存在
k，b

(x
1
,y
1
)
y?kx?b

y?y< br>1
x?x
1
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1

k存在
x
1
?x
2

40 24

式
截
距
式













（
x
2
,y
2
)

y
1
?y
2

a,b

xy
??1
ab

a?0

b?0







5、过点P(2，1）作直线
l
交
x,y
正半轴于AB两点，当
|PA|?|PB|
取到最小值 时，求直线
l
的方程.

6、 已知一直线被两直线
l
1
:4x?y?6?0
，
l
2
：
3x
?5y?6?0
截得的线段的中点恰好是坐标原点，求
该直线方程.













40 25

§ 3.2.3直线的一般式方程

1、 关于
x,y
的二元一次方程
Ax?By?C?0
（A，B不同时为0）叫做直 线的一般式方程，简称一般式
（general form）．
注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线
2、光线由点
A(?1,4)
射出，在直线
l:2x?3y?6?0
上进行反射，已知反射光线过点
光线所在直线 的方程.

B(3,
62
)
13
，求反射
§ 3.1两条直线的交点坐标
1、求直线
x?y?2?0
关于直线
3x?y ?3?0
对称的直线方程.

2、直线
5x?4y?2m?1?0
与直线
2x?3y?m?0
的交点在第四象限，求
m
的取值范围.
§ 3.3.2两点间的距离

PP?(x
2
?x
1< br>)
2
?(y
2
?y
1
)
2
P(x, y),P(x,y)
12
111222
1、已知平面上两点，则.
OP?x
2
?y
2
P(x,y)
特殊地：与原点的距离为.
PA?PBPA?
2、 已知点
A(?1,2),B(2,7)
，在
x
轴上存在一点
P
，使，则 .
§ 3.3点到直线的距离及两平行线距离
1、已知点
P(x
0
,y
0
)
和直线
l:Ax?By?C?0
，则点
P
到直线
l
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2
.

注意：⑴点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离；
⑵在运用公式时，直线的方程要先化为一般式.
2、已知两条平行线直线
l
1
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
:Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A
2
?B
2
王新敞
注意：应用此公式应注意如下两点：（1）把直线方程化为一般式方程；（2）使
x,y
的系数相等.
3、 求两平行线
l
1
：
2 x?3y?8?0
，
l
2
：
4x?6y
?1?0
的 距离.
40 26

第四章：圆与方程
4.1.1圆的标准方程
1、圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2中,有三个参 数a、b、r,只要求出a、b、r且r＞0,这时圆的
方程就被确定,因此确定圆的标准方程,需三个 独立条件,其中圆心是圆的定位条件,半径是圆的定形
条件.
2、确定圆的方程主要方法是待 定系数法,即列出关于a、b、r的方程组,求a、b、r或直接求出圆心
(a,b)和半径r,一般步 骤为：
1°根据题意,设所求的圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2=r2；
2°根据已知条件,建立关于a、b、r的方程组；
3°解方程组,求出a、b、r的值,并把它们代入所设的方程中去,就得到所求圆的方程.
3、点M(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的关系的判断方法：
当点M (x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2 =r2.
当点M(x0,y0)不在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上时,点M的坐标不满足方 程(x-a)2+(y-b)2=r2.
用点到圆心的距离和半径的大小来说明应为:
1° 点到圆心的距离大于半径,点在圆外
?
(x0-a)2+(y0-b)2＞r2,点在圆外;
2°点到圆心的距离等于半径,点在圆上
?
(x0-a)2+(y0-b)2=r2, 点在圆上;
3°点到圆心的距离小于半径,点在圆内
?
(x0-a)2+(y0-b )2＜r2,点在圆内.
4、写出圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的方程,并判断点M1( 5,-7),M2(-
5
,-1)是否在这个圆上.
解:圆心为A(2,-3),半径长等于5的圆的标准方程是
(x-2)2+(y+3)2=25,
把点M1(5,-7),M2(-
5
,,-1)分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25,
则M1的坐标满足方程,M1在圆上.M2的坐标不满足方程,M2不在圆上.
5、 △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解法一:设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,因为A(5,1),B(7,-3), C(2,-8)都在圆上,
它们的坐标都满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2,于是
?
(5?a)
2
?(1?b)
2
?r
2
,
?
222
?
(7?a)?(?3?b)?r
?
(2?a)
2
?(?8?b)
2
?r
2
.
?
(1)
( 2)
(3)

?
a?2,
?
?
b??3,
?
r?5.
解此方程组得
?
所以△ABC的外接圆的方程为(x-2)2+( y+3)2=25.
40 27

1
解法二:线段AB的中点坐标为(6,-1),斜率 为-2,所以线段AB的垂直平分线的方程为y+1=
2
(x-6).
①
同理线段AC的中点坐标为(3.5,-3.5),斜率为3,所以线段AC的垂直平分线的方程为y+ 3.5=3(x-3.5).
②
22
(5?2)?(1?3)
解 由①②组成的方程组得x=2,y=-3,所以圆心坐标为(2,-3),半径r==5,所以
△ABC 的外接圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
点评:△ABC外接圆的圆心是△ABC的外 心,它是△ABC三边的垂直平分线的交点,它到三顶点的距离相
等,就是圆的半径,利用这些几何知识 ,可丰富解题思路.
6、 求与圆x2+y2-2x=0外切,且与直线x+
3
y= 0相切于点(3,-
3
)的圆的方程.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y- b)2=r2.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1.因为两圆外切,所
22
(a?1)?(b?0)
以圆心距等于两圆半径之和,即=r+1, ①
?
b?31
?(?)??1,
?
3
?
a?3< br>?
?
|a?3b|
?r.
?
1?(3)
2
3 3
由圆与直线x+y=0相切于点(3,-),得
?
解得a=4,b=0,r=2或a =0,b=-4
3
,r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4
3
)2=36.
(2)
(3)




4.1.2 圆的一般方程
1、方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲线不一定是圆,由此得到圆的方程都能写 成x+y+Dx+Ey+F=0的形
2222
式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲 线不一定是圆,只有当D+E-4F＞0时,它表示的曲线才是圆.因
2222
此x+y+Dx +Ey+F=0表示圆的充要条件是D+E-4F＞0.
22
我们把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圆的方程称为圆的一般方程.
2、圆的一般方程形式上的特点:
22
x和y的系数相同,不等于0.没有xy这样的二次项.
40 28
2222

3、判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是,请求出圆的圆心及半径.
22
(1)4x+4y-4x+12y+9=0;
22
(2)4x+4y-4x+12y+11=0.
解:(1)由4x+4y-4x +12y+9=0,得D=-1,E=3,F=
而D+E-4F=1+9-9=1＞0,
所以 方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圆的方程,其圆心坐标为(
(2)由4x+4y-4x+1 2y+11=0,得
D=-1,E=3,F=
2
22
22
2222
9
,
4
131
,-),半径为；
222
11
22
,D+E-4F=1+9-11=-1＜0,
4
2
所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圆的方程.
4、 求过三点O(0,0)、M
1
(1,1)、M
2
(4,2)的圆的方程,并求 圆的半径长和圆心坐标.
22
解:方法一：设所求圆的方程为x+y+Dx+Ey+F=0, 由O、M
1
、M
2
在圆上,则有
?
F?0.
?

?
D?E?F?2?0,
?
4D?2E?F?20?0.
?
解得D=-8,E=6,F=0,
22222故所求圆的方程为x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圆心坐标为(4,-3) ,半径为5.
1153
,),M
1
M
2
的中点F(,),
2222
11
再写出OM
1
的垂直平分线PE的直线方程y-=-( x-), ①
22
35
AB的垂直平分线PF的直线方程y-=-3(x-), ②
22
方法二：先求出OM
1
的中点E(
联立①②得
?< br>?
x?y?1,
?
x?4,
得
?
则点P的坐标为(4 ,-3),即为圆心.OP=5为半径.
?
3x?y?9,
?
y??3.< br>方法三：设所求圆的圆心坐标为P(a,b),根据圆的性质可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222
即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3 ),OP=5为半径.
222
方法四：设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)=r,因为 O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圆上,所以它们的
坐标是方程的解.把它们的坐标代入上 面的方程,可以得到关于a、b、r的方程组,即
?
(1?a)
2
?(1? b)
2
?r
2
,
?
222

?
a ?b?r,
?
(4?a)
2
?(2?b)
2
?r
2
.
?
40 29

?
a?4,
?
222
解此方 程组得
?
b??3,
所以所求圆的方程为(x－4)＋(y+3)=5,圆心坐标为( 4,-3),半径为5.
?
r?5.
?


4.2.1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系的含义是:
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
两个
只有一个
没有
圆心到直线的距离d
与半径r的关系
d＜r
d=r
d＞r
图形



2、直线与圆的位置关系的判断方法：
几何方法步骤：
1°把直线方程化为一般式,求出圆心和半径.
2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.
3°作判断：当d＞r时,直线与圆相离；当d=r时,直线与圆相切;当d＜r时,直线与圆相交.
代数方法步骤：
1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.
2°利用消元法,得到关于另一个元的一元二次方程.
3°求出其判别式Δ的值.
4°比较Δ与0的大小关系,若Δ＞0,则直线与圆相离；若Δ=0,则直线与圆相切;若Δ＜0,则直线
与圆相交.反之也成立.
22
3、 已知圆的方程是x+y=2,直线y=x+b,当b为 何值时,圆与直线有两个公共点,只有一个公共点没有
公共点.
22
解法一:若直线 l：y=x+b和圆x+y=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点,
22
?
?
x?y?2,
则方程组
?
有两个不同解、有两个相同解、没有实数解,
?
?
y?x?b
消去y,得2x+2bx+b-2=0,
222
所以Δ=(2b)-4×2(b-2)=16-4b.
22
所以,当 Δ=16-4b＞0,即-2＜b＜2时,圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b=0,即b=±2时,圆与 直
40 30
22

线只有一个公共点；当Δ=16-4b＜0,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点.
22
解法二：圆x+y=2的圆心C的坐标为(0,0),半径长为2,圆心C到直线l:y=x+b的 距离
d=
2
|?1?0?1?0?b|
1?1
22
?
|b|
2
.
当d＞r时,即
|b|
2
＞
2,即|b|＞2,即b＞2或b＜-2时,圆与直线没有公共点;
当d=r时,即
|b|
2
=
2
,即|b|=2,即b=±2时,圆与直线只有一个公共点；
当d＜r时,即
|b|
2
＜
2
,即|b|＜2,即-2＜b＜2时 ,圆与直线有两个公共点.
22
4、已知直线l过点P(4,0),且与圆O：x+y=8相 交,求直线l的倾斜角α的取值范围.
解法一：设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,
因为直线l与圆O相交,所以圆心O到直线l的距离小于半径,
即
|?4k|
k
2
?1
＜2
2
,化简得k＜1,所以-1＜k＜1,即-1＜t anα＜1.
2
?
3
?
；当-1＜tanα＜0时,＜α＜π.
4
4
?
3
?
所以α的取值范围是［0,)∪(,π). < br>4
4
当0≤tanα＜1时,0≤α＜
解法二：设直线l的方程为y=k(x- 4),
?
?
y?k(x?4),
2222
由
?
2
,消去y得(k+1)x-8kx+16k-8=0.
2
x?y?8,
?< br>?
因为直线l与圆O相交,所以Δ=(-8k)-4(k+1)(16k-8)＞0,化简得k＜ 1.(以下同解法一)
22222





40 31

4.2.2 圆与圆的位置关系
1、两圆的位置关系：
外离
d＞R+r
外切
d=R+r
相交
|R-r|＜d＜R+r
内切
d=|R-r|
内含
d＜|R-r|

2222
2、已知圆C
1
:x+y+2x-6y+1=0,圆C
2
:x+y-4x+2y-11=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
解:设两圆交点为A (x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),则 A、B两点坐标满足方程组
22
?
?
x?y?2x?6y?1?0,
?
22
?
?
x?y?4x?2y?11?0.
(1)
(2 )

①-②,得3x-4y+6=0.
因为A、B两点坐标都满足此方程,所以3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C
1
的圆心(-1,3),半径r=3.
又点C
1
到直线的距离为d=
|?1?3?4?3?6|
9
=.
22
53?(?4)
所以AB=2
r?d
22
924
24
?2 3
2
?()
2
?
,即两圆的公共弦长为.
55
5
22
3、已知⊙O方程为x+y=4,定点A(4,0),求过点A且和⊙O相切的动圆圆心的 轨迹方程.
活动：教师引导学生回顾学过的知识,两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切, 连心线长等于
两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐 标化,即得
到它的轨迹方程.
解法一：设动圆圆心为P(x,y),因为动圆过定点A,所以|PA|即为动圆半径.
当动圆P与⊙O外切时,|PO|=|PA|+2；
当动圆P与⊙O内切时,|PO|=|PA|－2.
综合这两种情况,得||PO|－|PA||=2.
40 32

将此关系式坐标化,得
y
2
|x?y?(x?4)?y
|=2.化简可得(x－2)－=1.
3
22222
解法二：由解法一可得动点P满足几何关系||OP|－|PA||=2,
即P点到两 定点O、A的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以O、A为焦点,2为实轴长的双曲
线,中心在 OA中点(2,0),实半轴长a=1,半焦距c=2,虚半轴长b=
c
2
?a
2
?3
,所以轨迹方程为(x
y
2
－2)－=1.
3
2
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、求通过直线2x-y+3=0与圆x+y+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.
解法一:利用过两曲线交点的曲线系,
22
设圆的方程为x+y+2x-4y+1+λ(2x-y+3)=0,
22
?
2
?
22
)=(1+λ)+(2+)-3λ-1,
22
52
2
19
2
5
2
∵r=λ+λ+4 =(λ+)+,
4455
配方得标准式(x+1+λ)+(y-2-
2
∴当 λ=-
2
19
时,半径r=最小.
5
5
22
∴所求面积最小的圆的方程为5x+5y+6x-18y-1=0.
解法二:利用平面几何知识,
以直线与圆的交点A(x
1
,y
1< br>),B(x
2
,y
2
)连线为直径的圆符合要求.
由
?
?
2x?y?3?0,
22
?
x?y?2x?4y?1?0,< br>消去y,得5x+6x-2=0.
2
∴判别式Δ＞0,AB中点横坐标x
0< br>=
x
1
?x
2
39
=-,纵坐标y
0
=2x
0
+3=,
2
55
即圆心O′(-
39
,).
55
又半径r =
1
19
2
|x
1
-x
2
|·
1 ?2
=,
2
5
3
2
9
2
19
)+(y-)=.
55
5
∴所求面积最小的圆的方程是(x+
40 33

2、已知x,y是实数,且x+y-4x-6y+12=0,求 (1)
22
y
22
的最值;(2)x+y的最值;(3)x+y的最值;(4 )x-y的
x
最值.
22
解:(x-2)+(y-3)=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆.
(1)
y
表示圆C上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k,
x
2
3
故当y=kx为圆C的切线时,k得最值.
∵
|2k?3|
1?k
2
=1,∴k=2±
3
.
∴
y
2
的最大值为2+
3
x
22
3
,最小值为2-
2
3
3
.
(2)设x+y表示圆C上的点P(x ,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当
222
P为直线 OC与圆C的两交点P
1
、P
2
时,OP
1
与OP
2
分别为OP的最大值、最小值.
∴x+y的最大值为(
2
2
?3
2
+1)=14+2
13
,
222
最小值为(
2
2
?3
2
-1)=14-2
13
.
2
(3)令x+y=m,
当直线l:x+y=m与圆C相切时,l在y轴上截距m取得最值.
∵
|2?3?m|
2
=1,∴m=5±
2
.
∴x+y的最大值为5+
2
,最小值为5-
2
.
(4)令x-y=n,
当直线l′:x-y=n与圆C相切时,l′在y轴上截距的相反数n取得最值.
∵
|2?3?n|
2
=1,∴n=-1±
2
.
∴x-y的最大值为-1+
2
,最小值为-1-
2
.
3、已知圆O的方程为x+y=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.
活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.
解法一:参数法(常规方法)
22
?
x
2
?y
2
?9,
设过A的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k存在时),P(x,y),则< br>?
消y,得
?
y?kx?(2?k),
(1+k)x+2k(2-k) x+k-4k-5=0.
40 34
222

∴x
1
+x
2
=
2k(k?2)
.
k< br>2
?1
k(k?2)
?
x?,
2
?
?
k?1
(k为参数). 利用中点坐标公式及中点在直线上,得
?
?
y?< br>?k?2
?
k
2
?1
?
∴消去k得P点的轨迹方程为 x+y-x-2y=0,当k不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.
∴P的轨迹是以点(
22
5
1
,1)为圆心,为半径的圆.
2
2
解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法)
设过点A的弦MN,M( x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
). < br>22
?
y?y
2
?
x
1
?y
1?9,
∵M、N在圆O上,∴
?
.∴相减得(x
1
+x
2
)+
1
·(y
1
+y
2
)=0(x
1< br>≠x
2
).
22
x
1
?x
2
?< br>?
x
2
?y
2
?9.
设P(x,y),则x=
x
1
?x
2
y?y
2
,y=
1
.
2
2
∴M、N、P、A四点共线,
y
1
?y
2
y?2
=(x≠1).
x
1
?x
2
x?1
∴2x+
y?2
·2y=0.
x?1
22
∴中点P的轨迹方程是x+y-x-2y=0(x=1时亦正确).
∴点P的轨迹是以点(





5
1
,1)为圆心,为半径的圆.
2
2
4.3.1 空间直角坐标系
1、如图3,长方体OABC—D′A′B′C′中,|OA|=3,|OC|=4, |OD′|=2,写出D′,C,A′,B′四点的坐标.
40 35

图3
2、如图4,已知点P′在x轴正半 轴上,|OP′|=2,PP′在xOz平面上,且垂直于x轴,|PP′|=1,求点P′
和P的坐标 .

图4
解:显然,P′在x轴上,它的坐标为(2,0,0).
若点P在xOy平面上方,则点P的坐标为(2,0,1).
若点P在xOy平面下方,则点P的坐标为(2,0,-1).

3、如图5,在正 方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,E ,F分别是BB
1
和D
1
B
1
的中点,棱长为1,求E,F 点的坐标.

图5
解:方法一:从图中可以看出E点在xOy平面上的射影为B, 而B点的坐标为(1,1,0),E点的竖坐标为
所以E点的坐标为(1,1,
1
,< br>2
111
);F点在xOy平面上的射影为G,而G点的坐标为(,,0),F点的竖坐 标
222
11
为1,所以F点的坐标为(,,1).
22
方法二: 从图中条件可以得到B
1
(1,1,1),D
1
(0,0,1),B(1,1 ,0).E为BB
1
的中点,F为D
1
B
1
的中点,由中点
坐标公式得
(
E点的坐标为(
1?11?11?0
1
,,< br>)=(1,1,),F点的坐标为
2
222
1?01?01?1
11< br>,,
)=(,,1).
22
222
4、在空间直角坐标系中的点P( x,y,z)关于①坐标原点;②横轴(x轴);③纵轴(y轴);④竖轴(z
轴);⑤xOy坐标平面 ;⑥yOz坐标平面;⑦zOx坐标平面的对称点的坐标是什么?
解:根据平面直角坐标系的点的对称方法结合中点坐标公式可知:
点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P
1
(-x,-y,-z);
40 36

点P(x,y,z)关于横轴(x轴)的对称点为P
2
(x,-y,-z);
点P(x,y,z)关于纵轴(y轴)的对称点为P
3
(-x,y,-z);
点P(x,y,z)关于竖轴(z轴)的对称点为P
4
(-x,-y,z);
点P(x,y,z)关于xOy坐标平面的对称点为P
5
(x,y,-z);
点P(x,y,z)关于yOz坐标平面的对称点为P
6
(-x,y,z);
点P(x,y,z)关于zOx坐标平面的对称点为P
7
(x,-y,z).













4.3.2 空间两点间的距离公式
1、空间中点P1
(x
1
,y
1
,z
1
),P
2(x
2
,y
2
,z
2
)之间的距离为|P
1< br>P
2
|=
(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)?(z
1
?z
2
)
.
2、已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.
解:(1)设M(x,y,z)是线段AB的中点,则根据中点坐标公式得
x=
22 2
3?1
3?0
35?13
=2,y==,z==3.所以AB的中点坐标为 (2,,3).
2222
2
222
根据两点间距离公式,得
d( A,B)=
(1?3)?(0?3)?(5?1)?
所以AB的长度为
29
.
(2)因为点P(x,y,z)到A,B的距离相等,
所以有下面等式：
29
,
(x?3)
2
?(y?3)
2
?(z?1 )
2
?(x?1)
2
?(y?0)
2
?(z?5)
2
.
化简得4x+6y-8z+7=0,
因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.
40 37

40 38