2017步步高 高中数学-向量在高中数学的哪个课本
71.常用不等式:
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab<
br>(当且仅当a=b时取“=”号).
22
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
333
(3)
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).
(2)
a,b?R
?
?
(4)柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.
(5)
a?b?a?b?a?b
.
72.极值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值<
br>2p
;
(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广
已知
x,y?R
,则有
(x?y)?(x?y)?2xy
(1)若
积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大;
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
(2)若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小;
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
73.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a
?0,??b?4ac?0)
,如果
a
与
22
1
2
s
.
4
22
ax
2
?bx?c
同号,则其解集在
两根之外;如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号,则其解集在两
根之
间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x2
)
;
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x<
br>1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
).
74.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
75.无理不等式
(1)
(2)
(3)
?
f(x)?0<
br>?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f
(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?
.
g(x
)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
?
f(x
)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?[g(x)]
2
?
76.指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
p>
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log<
br>a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
77.斜率公式
k?
y
2
?y
1
(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
).
x
2
?x
1
78.直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直
线
l
过点
P
1
(x
1
,y
1
)<
br>,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
(
y
1
?y
2
)(
P<
br>?
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
(3)两点式
79.两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
①
l
1
||l
2
?
k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1<
br>.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B<
br>1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1
;
??
A
2
B
2
C
2
②
l
1
?l
2?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
;
①
l
1
||l
2
?
80.夹角公式
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k<
br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
,<
br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1<
br>k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
|
. (2)
tan
?<
br>?|
12
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
(1)
tan
?
?|直线
l
1
?l
2
时,直线l
1
与l
2
的夹角是
81.
l
1
到
l
2
的角公式
?
.
2
k
2
?k
1
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1
k
2
??1
)
(1)
tan
?
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
).
(2)
tan
?
?
直线
l
1
?l
2
时,直线l
1
到l
2<
br>的角是
?
.
2
82.四种常用直线系方程
(1
)定点直线系方程:经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
(除直
线
x?x
0
),其中
k
是待定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x<
br>0
)?B(y?y
0
)?0
,其中
A,B
是待定的系
数.
(2)共点直线系方程:经过两直线
l
1
:A
1
x?
B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点
的直线系方程为(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方程:直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线
系方程.与直线
Ax?By?C?0
平行的
直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
),λ
是
参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量.
83.点到直线的距离
A?B
84.
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区域
设直线
l:
Ax?By?C?0
,则
Ax?By?C?0
或
?0
所表示的平面区
域是:
若
B?0
,当
B
与
Ax?By?C
同号时
,表示直线
l
的上方的区域;当
B
与
Ax?By?C
异号时
,表示直线
l
的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.
若
B?0,当
A
与
Ax?By?C
同号时,表示直线
l
的右方的
区域;当
A
与
Ax?By?C
异号时,表示直线
l
的左方的
区域. 简言之,同号在右,异号在左.
85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2)?0
或
?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1<
br>x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(
A
1
A
2
B
1
B
2
?0
),则
(A
1
x?B
1y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
或
?0
所表示的平面区域是:
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分;
(A
1
x?B
1<
br>y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
所表示的平面区域上下两部分.
86. 圆的四种方程
(1)圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
(2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D
2
?E
2
?4F
>0).
(3)圆的参数方程
?
22
222
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
:
Ax?By?C?0).
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
0
圆的直径的端点是(4)圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?
y
2
)?
(
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
).
87. 圆系方程 (1)过点
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1
)(x?
x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1)(x
1
?x
2
)]?0
?(x?x
1)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?by?c?0
是直线
AB
的方程,λ是待定的系数.
(2)过直线
l
:
Ax
?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?Ey?F?0
的交点的圆系
方程
是
x?y?Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是
待定的系数.
(3) 过圆
C
1
:
x
2
?y2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交
点的圆系方程是
x?
y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y
?D
2
x?E
2
y?F
2
)?0
,λ是待定的系数.
88.点与圆的位置关系
点
P(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种
若
d?
222
2222
22
22
(a?x
0
)
2
?(b?y
0
)
2
,则
d?r?
点
P
在圆外;
d?r?
点
P
在圆上;
d?r?
点P
在圆内.
89.直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
Aa?Bb?C
其中
d?
.
22
A?B
90.两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别为r
1
,r
2
,
O1
O
2
?d
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0
.
①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条,
其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
?
?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
当
(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点
22
x
0
x?y
0
y?
的切点弦方程.
②过圆外一点
的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)
,再利用相切
条件求k,这时必
有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x?y?r
.
①过圆上的
P
0
(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y<
br>0
y?r
;
②斜率为
k
的圆的切线方程为
y?kx?r1?k
.
109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
2
222
2
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面内的三个向
量之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的
以公共始点为始点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0
),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
????????
????????
????
P、A、B
三点共线
?
AP||AB
?
AP?tA
B
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
?????????
???
?
???
AB||CD
?
AB
、
CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD
且
AB、CD
不共线.
????????????
推论 空间一点P位于平面MAB内的
?
存在有
序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB
,
?????????
????????
或对空间任一定点O,有序实数对
x,y
,使
OP?OM?
xMA?yMB
.
????????????????
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C,满足
OP?xOA?yOB?zOC
(
x?
y?z?k
),则当
k?1
时,对于空间任一点
O
,总有P、A、B
、C四点共面;当
k?1
时,若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点共面
;若
O?
平面ABC,则P、A、B、C四点不共
面.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实
数对
x,y
,使
p?ax?by
.
????????????
????????
????
A、B、 C、D <
br>四点共面
?
AD
与
AB
、
AC
共面
?
AD?xAB?yAC
?
????????????????
O
D?(1?x?y)OA?xOB?yOC
(
O?
平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存
在一个唯一的有序实数组x,
y,z,使p=xa+yb+zc.
?????
???????????
数x,y,z,使
OP?xOA?yOB?zOC
.
121.射影公式
推论 设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯
一的三个有序实
????
已知向量
AB
=
a
和轴
l
,e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在
l
上
的射影
A
'
,作B
点在
l
上的射影
B
'<
br>,则
????
''
AB?|AB|cos
〈
a
,e
〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算
设
a
=
(a
1
,a
2
,a
3
)
,b=
(b1
,b
2
,b
3
)
则
(1)
a+b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2<
br>,a
3
?b
3
)
;
(2)
a
-b
=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,
a
3
?b
3
)
;
(3)λ
a
=
(
?
a
1
,
?
a
2
,
?
a
3
)
(λ∈R);
(4)
a
·b=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b<
br>3
;
123.设A
(x
1
,y
1
,z1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
124.空间的线线平行或垂直
????????????
AB?OB?OA
=
(x
2
?
x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
rr
设
a?(x
1
,y
1
,z
1
)
,
b?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
?
x
1
?
?
x
2<
br>rrrrrr
?
aPb
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2
;
?z?
?
z
2
?
1
rrrr
a?b
?<
br>a?b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y<
br>2
?z
1
z
2
?0
.
125.夹角公式
设
a
=
(a
1
,a
2
,a
3)
,b=
(b
1
,b
2
,b
3
),则
cos〈
a
,b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
2
1
2
2
2
3
b?b?b
22
2
1
2
2
2
3
.
222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
)?(a
1
?a
2
?a
3
)
(b
1
?b
2
?b
3
)
,此即三维柯西不等式.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC
与
BD
所成的角为
?
,则
2
|(A
B
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
cos
?
?
.
2AC?BD
rr
cos
?
?|cosa,b|
rr
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
|a?b|
=
r
r?
222222
|a|?|b|
x
1
?y
1
?z1
?x
2
?y
2
?z
2
rr
oo(其中
?
(
0?
?
?90
)为异面直线
a,<
br>
b
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向
向量)
128.直线
AB
与平面所成角
??????
AB?m??
???
?
?arcsin
???
(
m
为平
面
?
的法向量).
|AB||m|
129.若
?ABC
所
在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
127.异面直线所成角
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A、B
为
?ABC
的两个内角,则
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(sin
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有
?
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
130.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与
平面
?
成的角分别是
?
1
、
?
2
,
A
'
、B
'
为
?ABO
的两个内角,则
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2
A
'
?sin
2
B
'
)tan
2?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
?
sin<
br>2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角 ??????
???
m?nm?n
?
?arccos
???或
?
?arc
cos
???
(
m
,
n
为平面
?
,
?
的法向量).
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α内的任一条直线,且BC
⊥AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为
?
1
,AB与
AC所成的角为
?
2
,AO与AC所成的角为
?
.则
cos
??cos
?
1
cos
?
2
.
133.
三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是<
br>?
1
,
?
2
,与二面
角的棱所成的角是θ,则有sin
?
sin
?
?sin
?
1
?sin?
2
?2sin
?
1
sin
?
2
co
s
?
2222
|
?
1
?
?
2
|?
?
?180
?
?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
?
时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z2
)
,则
135.点
Q
到直线
l
距离
????????????
222
d
A,B
=
|
AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2
?
y
1
)?(z
2
?z
1
)
.
????<
br>1
22
h?(|a||b|)?(a?b)
(点
P
在直线l
上,直线
l
的方向向量a=
PA
,向量
|a|
????
b=
PQ
).
136.异面直线间的距离
????
???
?
|CD?n|
?
d?
(
l
1
,l
2
是两异面直线,其公垂向量为
n
,
C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点,
d
为
|n|
l1
,l
2
间的距离).
137.点
B
到平面
?
的距离
???????
|AB?n|
?
?
d?
(
n
为平面
?
的法
向量,
AB
是经过面
?
的一条斜线,
A?
?
).
|n|
138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
?2mncos
?
.
????
????
222'
d?h?m?n?2mncosEA,AF
.
d?h
2<
br>?m
2
?n
2
?2mncos
?
(
?
?E?AA
'
?F
).
(两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线
段
AA
的长度为h.在直线a、b上分别取两
点E、F,
AE?m
,
AF?n
,
EF?d
).
'
'
139.三个向量和的平方公式
???
2
?
2
?
2
?
2
??????
(a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a
?
2
?
2
?
2
????????????
?a?b?c?2|a|?|
b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a
140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为
l<
br>1
、l
2
、l
3
,夹角分
别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
l
2?l
1
2
?l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1
?sin
2
?
1
?s
in
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
141. 面积射影定理
S
'
.
S?
cos
?
(平面多边形及其射影的面
积分别是
S
、
S
,它们所在平面所成锐二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是
l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧
和
V
斜棱柱
,它的直截面的周长和
面积
分别是
c
1
和
S
1
,则
①
S
斜棱柱侧
?c
1
l
.
②
V
斜棱柱
?S
1
l
.
143.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相
似,截面面积与底面面积
的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的
多边形是相
似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的<
br>比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)
E<
br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形,则面数F
与棱数E的关系:
E?
'
1
nF
;
2
1
mV
.
2
(2)若每个顶点引出的棱数为
m
,则顶点数V与棱数E的关系:
E?
146.球的半径是R,则
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R
.
其体积
V?
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线
长,
正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的内切球的半径为
148.柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh
(
S
是柱体的底面积、
h是柱体的高).
3
1
V
锥体
?Sh
(
S是锥体的底面积、
h
是锥体的高).
3
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