高中数学教学计划和教学大纲-高中数学单位名称大全
线、面垂直的判定与性质
一、线、面垂直的判定与性质
1.线面垂直的定义:如果直线 l 与平面?内的任意一条直线都垂直,我们说直线 l 与平面?
互
相垂直.
记为l?
?
2.线面垂直的判定:一条直线与一个平面内的两条
相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
直线与平面垂直 直线与直线垂直
l
l?a
?
平面的斜线平面的垂线
l?b
?
?
b
a?
?
?
?l?
?
P
?
b?
?
a
l
?
垂足B
?
A
?
b?Aa?
斜足A
3.线面角相关概念
(1)斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上
α
A
B
0
的射影所成的角
(0,90)
(2)平面的垂线与平面所成的角为直角
斜线PA与平面?所成的角为?PAB
(3)一条直线与平面平行或在平
斜线PA在平面内的射影
面内,则这条直线与平面所成的角为0
0
一条直线与平面所成的角的取值范围是
[0,90]
4.二面角相关概念:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作
垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
∠AOB即为二面角α-
AB-β的平面角
注意:二面角的平面角必须满足:
(1)角的顶点在棱上.(2)角的两边分别在两个面内. (3)角的边都要垂直于二面角的棱.
00
二面角的取值范围
0,180或[0,
?
]
5.面面
垂直的定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面
互相垂直.记
为???
β
6.判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
a
线线垂直 线面垂直 面面垂直
?
?
?
?
A
α
7.直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行
a
b
a
b
a?
?
?
?
?ab
b?
?
?
α
8.面面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
面面垂直?线面垂直
β
?
?
?
?
a
??
?l
?
?
?
?a?
?
l
a?
?
?
?
a?l
A
?
α
??
a?
?
a?面
?
1
二、例题解析
题型一、判断问题
例1、直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α的关系是( )
A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直 C.l在平面α内 D.不能确定
变式:如果一条直线垂直于一个平面内的:①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;
④正六边形的两条边.则能保证该直线与平面垂直( )
A.①③ B.①② C.②④
D.①④
例2、已知直线 a∥平面α,a⊥平面β,则( )
A.α⊥β
B.α∥β C.α与β不垂直 D.以上都有可能
变式:下列命题中错误的是(
)
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么 l ⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
例3、已知
b⊥平面α,a?α, 则直线 a 与直线 b 的位置关系是( )
A.a∥b
B.a⊥b C.直线 a 与直线 b 垂直相交 D.直线 a 与直线 b 垂直且异面
变式1:下面四个命题,其中真命题的个数为( )
①如果直线 l
与平面α内的无数条直线垂直,则 l⊥α;
②如果直线 l 与平面α内的一条直线垂直,则
l⊥α;
③如果直线 l 与平面α不垂直,则直线 l 和平面α内的所有直线都不垂直;
④如果直线 l 与平面α不垂直,则平面α内也可以有无数条直线与直线 l 垂直.
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
变式2:已知平面α⊥平面β,则下列命题正确的个数是( )
①α内的直线必垂直于β内
的无数条直线;②在β内垂直于α与β的交线的直线必垂直于α内的任
意一条直线;③α内的任何一条直
线必垂直于β;④过β内的任意一点作α与β交线的垂线,则这
条直线必垂直于α.
A.4 B.3 C.2 D.1
题型二:求角问题(线面角、面面角)
例1、在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1中,
(1)求直线A
1
C与平面ABCD所成的角的正切值.
(2)
求直线A
1
B与平面BDD
1
B
1
所成的角.
变式:如图所示,Rt△BMC中,斜边BM=5且它在平面ABC上
的射影AB长为4,∠MBC=60°,
求MC与平面ABC所成角的正弦值.
2
例2、在长方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面角A-BC-
A
1
的平面角是( )
A.∠ABC B.∠ABB
1
C.∠ABA
1
D.∠ABC
1
变式:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
PA⊥平面ABCD,且PA=3,AB=1,BC=2,AC=3,
求二面角P-CD-B的大小.
题型三:证明问题
例1、如图,在三棱锥 A-BCD
中,AD,BC,CD两两互相垂直,M,N
分别为 AB,AC 的中点.
(1)求证:BC∥平面 MND;
(2)求证:平面 MND⊥平面 ACD.
变式:
如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,AB=2,
BC
?
2
,侧面PAB是等边三角形,且侧
面PAB⊥底面ABCD.
P
(1)证明:侧面PAB⊥侧面PBC;
(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.
D
A
B
C
3
三、巩固练习
1.在三棱锥V-
ABC中,VA=VC,AB=BC,则下列结论一定成立的是( )
A.VA⊥BC
B.AB⊥VC
C.VB⊥AC D.VA⊥VB
2.若A∈α,B∈α,A∈l,B∈l,P∈l,则( )
A.P?α B.Pα
C.lα D.P∈α
3.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )
A.异面 B.相交 C.平行 D.不能确定
4.如图,在长方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=BC=2,AA
1
=1,则BC
1
与
平面BB
1
D
1
D所成角的正弦值为( )
62
61510
A. B. C. D.
3555
5.设x,y,z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:
①x,y,
z均为直线;②x,y是直线,z是平面;③z是直线,x,y是平面;④x,y,
z均为平面.其中使
“x⊥z,且y⊥z?x∥y”为真命题的是( )
A.③④ B.①③ C.②③
D.①②
6.如图,正方体ABCD -A
1
B
1
C
1<
br>D
1
中,异面直线BD
1
与A
1
D所成的角等于__
________.
7如图,已知正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
,则二面角C
1
-BD
-C的正切值为________.
8.如图,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,
AD=A
E,F是BC的中点,AF与DE交于点G,将△ABF沿AF折起,得到如图
2
所示的三棱锥
A-BCF,其中BC=.
2
(1)证明:DE∥平面BCF;
(2)证明:CF⊥平面ABF;
2
(3)当AD=时,求三棱锥F-
DEG的体积V
F-DEG
.
3
4
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