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人教版高中数学必修二精品讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:11
tags:高中数学必修二

高中数学概率C52-高中数学解释题技巧


空间几何体的结构



_______________ __________________________________________________ ______________
_______________________________ ________________________________________________

掌握棱柱、棱锥、棱台等多面体结构特征.
掌握圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体的结构特征.
概括简单组合体的结构特征.



1. 几何体
只考虑一个物体占有空间部分的________和_ _______,而不考虑其他因素,则这个空间
部分叫做一个________.
2.构成空间几何体的基本元素
(1)构成空间几何体的基本元素:
________、________、________是构成空间几何体的基本元素.
(2)平面及其表示方法:
①平面的概念:
平面是处处平直的面,它是向四面八方无限延展的.
②平面的表示方法:
图形表示:在立体几何中,通常画平行四边形表示一个平面并把它想象成无限延展的
符号表示 :平面一般用希腊字母________,________,________…来命名,还可以用表示它的平行四边形________顶点的字母来命名.
深刻理解平面的概念,搞清平面与平面图形的 区别与联系是解决相关问题的关键.平面
与平面图形的区别与联系为:平面是没有厚度、绝对平展且无边 界的,也就是说平面是无限
延展的,无厚薄,无大小的一种理想的图形.平面可以用三角形、梯形、圆等 平面图形来表
示.但平面图形如三角形、正方形、梯形等,它们是有大小之分的,不能说三角形、正方形 、
梯形是平面,只能说平面可以用平面图形来表示.
(3)用运动的观点理解空间基本图形之间的关系:
1


①点动成线:运动方向始终不变得到直线或线段;运动方向时刻变化得到的是曲线或者曲
线的一段. < br>②线动成面:直线平行移动可以得到平面或者曲面;固定射线的端点,让其绕一个圆弧转
动,可以 形成锥面.
③面动成体:面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体.
3.棱柱
(1)棱柱的定义
一般地,由一个平面多边形(凸多边形)沿某一方向平移形成的空 间几何体叫做棱柱。
平移起止位置的两个平面叫做棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧 面.
两侧面的公共边叫做棱柱的________,侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的________.
(2)棱柱的本质特征:
①两个底面是全等的多边形,且互相平行;
②其余各面每相邻两个面的公共边都互相平行.
(3)正棱柱
底面是________,每个侧面都是矩形的棱柱叫正棱柱.
A
B
FE
D
A
1
F
1
B
1
E
1C
1
D
1
C

4.棱锥
(1)棱锥的定义
当棱柱的一个底面收缩为一个点时,得到的几何体叫做棱锥。由棱柱的一个底面
收缩 而成的点叫棱锥的________。原棱柱的底面叫棱锥的________。原棱柱的侧面收缩后的

叫做棱锥的侧面。相邻侧面的公共边叫棱锥的侧棱.
(2)棱锥的本质特征:
①有一个面是多边形; ②其余各面是有一个公共顶点的三角形.
(3)正棱锥
如果一个 棱锥的底面是________,并且顶点在底面上的射影是底面的中心,这样的棱锥
叫正棱锥.
5.棱台
(1)棱台的定义
用平行于棱锥底面的平面去截_______ _,截面和底面之间的部分叫棱台。原棱锥的底面
和截面分别叫做棱台的下底面和上底面。其它各面叫做 棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫做
棱台的侧棱.
2



(2)棱台的本质特征
①上、下底面平行,且是相似多边形;
②各侧面是梯形;
③各侧棱延长后交于一点.
(3)正棱台
用正棱锥截得的棱台叫做正棱台.
6.多面体
(1)多面体的定义:由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.
(2)几面体:多面体有几个面就称为几面体.
7.圆柱
(1)圆柱的定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴,旋转一周形成的几何体叫做圆柱.
如右图,旋转轴叫圆柱的________;垂直于的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;
平 行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫
做圆柱的___ _____.
(2)圆柱的简单性质
①平行于底面的截面是与底面大小相同的圆;
②过轴的截面(轴截面)是全等的矩形;
③圆柱的侧面展开图是________.
8.圆锥
(1)圆锥的定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,直角三角形旋转一周形成的几何体叫圆
锥.
如 右图,轴为
SO
,底面为
O
,母线为
SA

SB< br>,
S
叫做圆锥的顶点,
OA
(或
OB
)
叫底面
O
的半径,线段
SO
是圆锥的________.
顶点
(2)圆锥的简单性质
①平行于底面的截面都是圆;
②过轴的截面是全等的________;
③圆锥的侧面展开图是扇形.
9.圆台
(1)圆台的定义
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,旋转一周所形成的集合体叫做圆台.
如右图,旋转轴叫圆台的轴(即上、下底面圆心的连线);在轴上这条边
的长度叫圆台的高;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆台的底面;不垂
侧面
于轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面,无论旋转到什么位置,这条边
都叫做圆台的母线.
(2)圆台的简单性质
①平行于底面的截面都是圆面;
②过轴的截面(轴截面)是全等的等腰梯形;
3

A
O
底面
B
A
'
O
'
B
'
底面
母线< br>高、轴
A
1
B
1
A
D
1
C
1
D
C
B
S
侧面

母线
O
BA
底面


③圆台的侧面展开图是________.
10.球
(1)球的定义
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球. 如右图,半圆的圆心
叫球的球心;半圆的半径叫做球的半径;
A
半圆的直径叫做球的直径;半圆弧旋转而成的曲面叫做球面.
直径
(2)球的简单性质
用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线
O
垂直于截面,球心到截面的距 离
d
与球的半径
R
及截面圆的半径
r
有下面
球面
的关系:________
11.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的 平面内的一条定直线旋转所形成的________叫做旋转面;该
定直线叫做旋转体的_______ _;封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
12.简单组合体
常见的组合体有三种:多面 体与多面体的组合;
多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.其基
本形式实质上有两种 :一种是由简单几何体拼接而成
的简单组合体,如图(1)和(3)所示的组合体;另
一种是由 简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组
合体,如图(2)所示的组合体.

类型一 平面概念的理解
例1:下列说法中正确的是________.
(1)平行四边形是一个平面;
(2)任何一个平面图形都是一个平面;
(3)平静的太平洋面就是一个平面;
(4)圆和平行四边形都可以表示平面.
练 习1:有下列结论:(1)平面是处处平直的;(2)平面是无限延展的;(3)平面的形状是平行
四边 形;(4)一个平面的厚度可以为0.001mm.其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
练习2:1.构成空间几何体的基本元素为( )
A.点 B.线
C.面 D.点、线、面
类型二 构成几何体的基本元素
例2:试指出下列各图中几何体的基本元素.
C
半径
球心
B
4



练 习1:指出所给两个几何图形的面、顶点、棱,并指出它们分别由几个面围成,各有多少
条棱?多少个顶 点?


练习2:下列说法:
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面;
②一个几何体可以没有顶点;
③一个几何体可以没有棱;
④一个几何体可以没有面.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
例3:下列说法错误的是________(填序号).
(1)射线运动后的轨迹不可能是整个平面;
(2)直线绕着一个点转动,只能形成曲面;
(3)将一个矩形沿同一方向移动一段距离,其轨迹是长方体.
练习1:如图所示,画出①②③中线段L绕着直线l旋转一周形成的曲面.

5



6



类型三 多面体与旋转体的问题
例4:下列几何体中是棱柱的个数为( )



A.1 B.2 C.3 D.4
练习1:下面没有体对角线的一种几何体是( )
A.三棱柱 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱
练习2:棱柱的侧面都是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.矩形
练习3:给出下列三个命题,其中正确的有( )
① 用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的
部分是棱台;
② 两个底面平行且相似,其余各面都是梯形的多
面体是棱台;
③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
例5:下列说法不正确的是( )
A.圆柱的平行于轴的截面是矩形
B.圆锥的过轴的截面是等边三角形
C.圆台的平行于底面的截面是圆面
D.球的任意截面都是圆面
练习1:(201 4·江西丰城三中高一期末测试)半圆绕着它的直径所在直线旋转一周所得的轨迹
是( )
A.球 B.球面
7


C.球或球面 D.以上均不是
8



练习2:(2014·甘肃庆阳市 西峰育才中学高一期末测试)如图(1)所示的几何体是由如图(2)所
示的哪个平面图形绕虚线旋转一 周得到的?( )

例6:请描述如图所示的组合体的结构特征.


练习1:(1)说出下列物体可以近似地看作由哪几种几何体组成?

(2)如图(1)、(2)所示的两个组合体有什么区别?

练习2:(1) 如图 所示,已知梯形ABCD中,AD∥BC,且AD<BC,当梯形ABCD绕
AD所在直线旋转一周时, 其他各边旋转围成的一个几何体,试描述该几何体的结构特征.



(2) 如图所示,一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线l旋转180°,说出它形成
的几何体的结构特征
9





1. 下面没有体对角线的一种几何体是

A 三棱柱 B 四棱柱 C 五棱柱 D 六棱柱
2.下列平面图形旋转后能得到下边几何体的是


(1) (2) (3) (4)

A (1) B (2) C (3) D(4)
3.下列说法中不正确的是
A 棱柱的侧面不可以是三角形 B 有六个大小一样的正方形所组成的图形是正方体
的展开图 C 正方体的各条棱都相等 D 棱柱的各条侧棱都相等
4. 指出下图分别包含的几何体

(1) (2) (3)
10

(1) (2)



(3)
11



5.用一个平面去截正方体,得到的截面可能是 、 、 、
[来源:Z。xx。]
、 边形。
A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体
6. (2014·杭州模拟)下列命题中,不正确的是( )
7. 根据下面对几何体结构特征的描述,说出几何体的名称.
(1)由八个面围成,其中两个面是互相平行且全等的六边形,其他各面都是平行四边形.
(2)由五个面围成,其中一个是正方形,其他各面都是有一个公共顶点的三角形.
8. 下列命题中正确的有( )
A、有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B、有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C、有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥
D、棱台各侧棱的延长线交于一点
9、如下图,图(1)截得的下半部分是否为棱台?图(2)是否是棱柱?图(3)是否是棱台?




(1) (2) (3)
10、如下图,分析下面几何体是由何种基本几何体构成的.






(1) (2) (3)

__________ __________________________________________________ ___________________
__________________________ __________________________________________________ ___
12




基础巩固
1. 如图所示是平行四边形
ABCD
所在的平面,下列表示方法中不正确的是( )
① 平面
ABCD
;②平面
BD
;③平面
AD
;④
AC
;⑤平面α.
A.④ B.③⑤ C.②③④ D.③④
2. 一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点,这个几何图形是________(填序号).

3. 下列几何体中是棱柱的个数为( )



A.1 B.2 C.3 D.4
4. 下列关于长方体的说法中,正确的是________.
①长方体中有3组对面互相平行;
②长方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,与
AB
垂直 的只有棱
AD

BC

AA
1

③长方体可看成是由一个矩形平移形成的;
③ 长方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,棱
AA< br>1

BB
1

CC
1

DD
1
平行且相等.
13



5. 设有四个命题:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
以上命题中,真命题的是________.(填序号)
6. 一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,则截面的不可能图形是( )


能力提升
7. 斜四棱柱的侧面最多可有几个面是矩形( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
8. 下列命题中,错误的是( )
A.圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的
B.圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的
C.圆台的轴截面一定是等腰梯形
D.圆锥的轴截面是全等的等腰三角形
9. 图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱 的上底面为底面,下底面圆心为顶点的
圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形 可能是________(填序号).


10.四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可能有_____个.
11.下列命题中为假命题的是( )
A、以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆柱
B、以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几何体
叫圆锥
C、以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面围成的几
何体叫圆锥
14


D、以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴,其余各边旋转形成的曲面围成的几
何体叫圆锥
12.(2014·湖南邵阳一中月考)棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.侧棱都相等
D.侧棱延长后都相交于一点
13.(2015贵州六校联考)下列结论正确的是 ( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆

C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
14. (2014·杭州模拟)下列命题中,不正确的是( )
A.棱长都相等的长方体是正方体 B.有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
C.有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱 D.底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体
15. 关于“两底面直径之差等于母线长”的圆台,下列判断中正确的有( )
A、是不存在的 B、其母线与下底面必成
60

C、其高与母线成
60
角 D、其母线与下地面所成的角不确定


15



空间几何体的三视图与直观图


__________________ __________________________________________________ ___________
__________________________________ _____________________________________________

了解中心投影与平行投影;
能画出简单几何体的三视图;
能识别三视图 所表示的空间几何体.


一、投影的相关定义
1.投影
光线(投射线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,并在该面上得到图形的方法.
2.中心投影
投射线交于一点的投影称为中心投影.
注意:
(1)中心投影也称透视投影;
(2)其优点是形成的直观图能非常逼真地反映原来的物体;
(3)其缺点是投影中心、投影面、和物体相对位置发生改变时,直观图的大小和形状亦将
改变
(4)用途:主要用于绘画领域.
3.平行投影
投射线相互___________的投影称为平行投影.
注意:按照投射方向是否正对着投影面,可分为_____投影和_____投影两种.
二、三视图
1.视图——是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形.
(1)光线自物体的前面向后投影所得的投影称为_____视图或正视图;
(2)光线自物体的__________投影所得的投影称为俯视图;
(3)光线自物体的_____投影所得的投影称为左视图;
16


以上三种视图刻画空间物体的结构,称为三视图.
2.三视图的画法规则
(1)“高平齐”:指_____视图和_____视图的高要保持平齐;
(2)“宽相等”:指_____视图的宽和_____视图的宽度相等;
(3)“长对正”:指_____视图和_____视图的长应对正;
(4)看不到的棱应该用_____线.
三、直观图
1.定义
按平行投 影法,把空间图形在纸上或黑板上画得既富有立体感,又能表达出图形各主要
部分的_____关系和度 量关系,我把这种投影图叫直观图.
2.优点
(1)直观性强;(2)各主要部分的位置关系和度量关系明确;(3)画法较容易.
四、斜二测画法
1.在空间图形中取互相垂直的
x
轴和
y
轴,两轴交于
O
,在取
z
轴,使
?xOy?90,?yOz?90< br>;
'
2.画直观图时把它们画成对应的
x
'
轴、
y
轴和
z
'
轴,它们相交与
O
'
,并使
?x Oy?45
'''
Oy
(或
135
),
?x
'''
'
?90

x
轴和
y
轴所确定的平面表示水平平面 .
'
3. 已知图中平行于
x
轴、
y
轴或
z的线段,在直观图中分别画成平行于
x
'
轴、
y
轴或
z
轴的线段.
4. 已知图形中平行于
x
轴和
z
轴的线段, 在直观图中保持原长度不变;平行于
y
轴的线
段,长度为原来的一半.

'
'
类型一 投影
例1:下列说法正确的是________.
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段;
②与投射面平行的平面图形,它的平行投影与这个图形一定全等;
③平行四边形的平行投影可能为矩形;
④两平行直线的平行投影一定平行;
⑤如果一条长为10的线段的平行投影为5,则长为20的线段的平行投影为10.
练习1:一条直线在平面上的投影是( )
A.直线 B.点 C.线段 D.直线或点
练习2:已知△
ABC
是一个直角三角形,则经过平行投影后所得三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能
练习3:下列命题中正确的是( )
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的投影可能平行
D.一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
17



类型二 三视图
例2:(2014·山东文登高一期末测试)一个 几何体的三视图如下图所示,这个几何体可能是一
个( )

A.三棱锥 B.底面不规则的四棱锥
C.三棱柱 D.底面为正方形的四棱锥
练习1:下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )

A.①② B.①③ C.①④ D.②④
练习2:在一个几何体的三视图中,主视图和俯视图如图所示,则相应的左视图可以为( )


练习3:用若干块相同的小正方体搭成一个几何体(中间不能空),该几何体的三 视图如下
图所示,则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是( ).
A.8 B.7 C.6 D.5

类型三 直观图与斜二测画法
例3:(2014·山东 潍坊高一检测)如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC中最长的边
为_______ _.


练习1:如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,B′O′=O′C ′=C′A′,则原△
ABC是( )
A.等边三角形
B.等腰非直角三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形




18



练习2:水平放置的矩形ABCD长AB=4,宽 BC=2,以AB、AD为轴作出斜二测直观图
A′B′C′D′,则四边形A′B′C′D′的面积为 ( )
A.42 B.22 C.4 D.2
练习3: 水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则
AB边上的中线的 实际长度为________.


1. 已知△
ABC
是一个直角三角形,则经过平行投影后所得三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能

2.有下列说法:
①从投影的角度看,三视图和斜二测画法画出的直观图都 是在平行投影下画出来的空间图
形;②平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;③空 间图形经过中心投
影后,直线还是直线,但平行线可能变成了相交的直线;④空间几何体在平行投影与中 心投
影下有不同的表现形式.其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图所示的是一 个简单几何体的三视图,它的上部是一个________,下部是一个________.

4.(2014·甘肃庆阳市西峰育才中学高一期末测试)有一个几何体的三视图如下(依次为正
视图 、侧视图、俯视图),这个几何体应是一个( )




A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 < br>5.如图在平面直角坐标系中有一个边长为
a
的正方形,利用斜二测画法得到正方形的直 观
图,则这个直观图的面积为( )
a
2
2a
2
2a
2
A.
2
B.
4
C.
2


19

D.
2a

2



6. ( 2014·山东枣庄第三中学高一期末测试)一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,
那么这个几 何体不可以是( )
A.球 B.三棱锥
C.正方体 D.圆柱
7.如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图,
则这个平面图形的面积是______


y





45
x



O





8.如图,在正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中,M、N分别是
BB
1
、BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD
1
A
1
上的射影为( )





___________ __________________________________________________ __________________
___________________________ __________________________________________________ __

20



基础巩固
1. 下列图形中采用中心投影画法的是( )

2.当图形中的直线或线段不平行于投射线时,关于平行投影的性质,下列说法不正确的是
( )
A.直线或线段的平行投影仍是直线或线段
B.平行直线的平行投影仍是平行的直线
C.与投射面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等
D.在同一直线或平行直线上,两条线段平行投影的比等于这两条线段的比

3. 由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示,则搭成该几何体的小正方体木块有
( )
A、6块 B、7块 C、8块 D、9块





正视图 侧视图 俯视图

4.有一正方体,六个面上分别写有数字 1、2、3、4、5、6,有三个人从不同的角度观察的结
果如图所示.如果记3的对面的数字为
m
,4的对面的数字为
n
,那么
m?n
的值为( )
A.3 B.7 C.8 D.11
5. 若一个几何体的三视图都是等腰三角形,则这个几何体可能是( )
A.圆锥 B.正四棱锥 C.正三棱锥 D.正三棱台

6.如图所示的 是水平放置的三角形ABC在直角坐标系中的直观图,其中D′是A′C′的中
点,且∠A′C′B′≠ 30°,则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条.

21



7.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO,在直角坐示系xOy中,点 B的坐标为(2,2),
则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为___ _____.

8.画出如图所示几何体的三视图.



能力提升
9. 正方体(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为
( )


10. 一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视 图分别如右图所示,
则该几何体的俯视图为( )



22



11. 一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底 面与长方体的上底面尺寸一样,
已知长方体的长.宽.高分别为20m,5m,10m,四棱锥的高为8 m,若按的比例画出
它的直观图,那么直观图中,长方体的长.宽.高和四棱锥的高应分别为( )
A.4cm,1cm,2cm,1.6cm
B.4cm,0.5cm,2cm,0.8cm
C.4cm,0.5cm,2cm,1.6cm
D.2cm,0.5cm,1cm,0.8cm
12. 太阳光线与地面成60°的角,照射 在地面上的一只皮球上,皮球在地面上的投影长是
103,则皮球的直径是( )
A.53
C.10
B.15
D.83

13. 桌子上放着一个长 方体和圆柱(如图所示),则下列三幅图分别是什么图(主视图.俯视
图.左视图)①________ .②________.③________.


14. 如图所示,梯形A′B ′C′D′是平面图形ABCD的直观图,若A′D′∥O′y′,
2
A′B′∥C′D′,A ′B′=C′D′=2,A′D′=1,则四边形ABCD的面积是
3
___________ _.


15. 如图所示的平行四边形A′B′C′D′是一个平面图形的直观图 ,且∠D′A′B′=
45°,请画出它的实际图形.
23




空间几何体的表面积和体积


_ __________________________________________________ ____________________________
_________________ __________________________________________________ ____________

能够熟练运用柱、锥、台、球的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积;
用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题.


一、展开图定义
一些简单的多面体可以沿着多面体的某些棱将它剪开而成平面图形,这个 平面图形叫做该
多面体的平面展开图.
二、特殊几何体的定义
1.直棱柱:__________的棱柱叫做直棱柱.
2.正棱柱:__________的直棱柱叫做正棱柱.
3.正棱锥:底面是______ ___,并且顶点在底面的_______是底面的中心的棱锥叫正棱锥.
正棱锥的性质:
(1)正棱锥的侧棱相等;
(2)侧面是全等的等腰三角形;
(3)侧棱、高、底面构成直角三角形.
4.正棱台:正棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面之间的部分角正棱台.
正棱台的性质:
(1)正棱棱台的侧棱长相等
(2)侧面是全等的等腰三角形;
(3)高,侧棱,上、下底面的边心距构成直角梯形.
三、侧面积与表面积公式
24


1. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积公式 (1)设直棱柱高为h,底面多边形的周长为c,则直棱柱侧面积计算公式:S
直棱柱的侧面积等于 它的______和___的乘积.
(2)设正n棱锥的底面边长为a,底面周长为c,斜高为h′, 则正n棱锥的侧面积的计算公
式:
S
正棱锥侧

直棱柱侧
=ch,即
=
.即正棱锥的侧面积等于它的_____和____乘积的一半.
( 3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c,上底面边长为a′、周长为c′,斜高为h′,则正
n棱台 的侧面积公式:S正棱台侧==.
(4)棱柱、棱锥、棱台的表面积(或全面积)等于底面积与侧面积 的和,即S表=_______+
_____.
2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积公式
(1)S圆柱侧=
(2)S圆锥侧=
(3) S圆台侧=
(r为底面半径,l为母线长).
(r为底面圆半径,l为母线长).
(R、r分别为上、下底面半径,l为母线长).
(4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的侧面积与底面积的和,即S表=S底+S侧.
(5) 若圆锥底面的半径为
r
,侧面母线长为
l
,侧面展开图扇形 的圆心角为
?
则,
?
?
r
360

l
.即球面面积等于它的大圆面积的4倍. 3.由球的半径R计算球表面积的公式:S球=
四、体积
1.长方体的体积:
长方体的长、宽和高分别为a、b、c,长方体的体积V
长方体
=_____.
2.棱柱和圆柱的体积:
(1)柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积,即 V
柱体
=____.
(2)底面半径是r,高是h的圆柱体的体积计算公式是V圆柱

3.棱锥和圆锥的体积:
(1)如果一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为 S,高是h,那么它的体积V
锥体

(2)如果圆锥的底面半径是r,高是h,则它的 体积是V
圆锥

4.棱台和圆台的体积:
(1)如果台体的上、下底面面积 分别为S′、S,高是h,则它的体积是V
台体

25

.
h.
.
.


(2)如果圆台的上、下底面半径分别是r′ 、r,高是h,则它的体积是V
圆台

5.球的体积:
如果球的半径为R, 那么球的体积V


6.祖暅原理:幂势既同,则积不容异.
.
.
这就是说,夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.应用祖暅原理可说明:
等___ ___、等______的两个柱体或锥体的体积相等.
7. 球面距离:在球面上,两点之间的最短 连线的长度,就是经过这两点的______在这两点
间的一段劣弧的长度.我们把这个弧长叫做两点的 球面距离.

26



类型一 表面积
例1:(2014·江西九江三中高一月考)已知正四棱台的上、下底面边长分别为3和6,其侧面
积 等于两底面面积之和,则该正四棱台的高是( )
5
A.2 B.
2
7
C.3 D.
2
练习1:某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是( )

A.32
C.48
B.16+162
D.16+322
练习2:若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的全面积是( )
A.3π B.33π
C.6π D.9π
练习3:3.(2014·甘 肃天水一中高一期末测试)球的表面积与它的内接正方体的表面积之比
是( )
ππ
A. B.
34
π
C. D.π
2
例2:(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆
柱, 此圆柱的轴截面面积为( )
8
A.8 B.
π
C.
42
D.
ππ
练习1:(2014·浙江理,3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则 此几何体的表面积
是( )
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
练习2:(2014·河南洛阳高一期末 测试)已知圆锥的表面积为12πcm
2
,且它的侧面展开图是
一个半圆,则圆锥的底 面半径为( )
A.3cm
C.23cm
B.2cm
D.4cm
27



练习3:(2014·浙江 理,3)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积
是( )
A.90cm2
B.129cm2
C.132cm2
D.138cm2
练习4:(2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)长方体的一个顶 点上三条棱长分别是3、
4、5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是_______ _.
类型二 体积
例3:(2014·江西九江三中高一月考)正三棱锥底面三角形的边 长为3,侧棱长为2,则其
体积为( )
11
A. B.
42
39
C. D.
44
练习1:(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)已知正四棱锥P-
ABCD的底面边长为6,侧棱长为5,求四棱锥P-ABCD的体积和
侧面积.
练习2:( 2014·四川文,4)某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,
则该三棱锥的体积是( )
A.3
B.2
C.3
D.1
例4:将长为a,宽为 b(a>b)的长方形以a为轴旋转一周,所得柱体的体积为V
1
,以b为轴
旋转一周 ,所得柱体的体积为V
2
,则有( )
A.V
1
>V
2
B.V
1
2

C.V
1
=V
2
D.V
1
与V
2
的大小关系不确定
练习1:如图,某几何体的主视 图是平行四边形,左视图和俯视图都
是矩形,则该几何体的体积为( )
A.63
B.93
C.123
D.183
1
练习2:一个圆柱的高 缩小为原来的,底面半径扩大为原来的n倍,
n
则所得的圆柱的体积为原来的________ .
例5:在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA=PB=PC=a ,求
这个球的体积.
练习1:体积为8的一个正方体,其全面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于________.
练习2:平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为2,则此球的
体积为 ( )
A.6π



B.43π
28


C.46π D.63π

1.将一个棱长为a的正方体,切成27个全等的小正方体,则表面积增加了( )
A.6a
2
B.12a
2

C.18a
2
D.24a
2

2.正方体的八 个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面
积之比为( )
A.2
6
C.
2
B.3
23
D.
3
3.正四棱柱的体对角线长为6,侧面对角线长为33,则它的侧面积是________.
4.若一棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为示)是边长为3、3、2的三角形,则该圆
锥的侧面积为________.

5.(2014·沈阳高一检测)已知某几何体的俯视图 是如图所示矩形.主视图是一个底边长为8、
高为4的等腰三角形,左视图是一个底边长为6、高为4的 等腰三角
形.

(1)判断该几何体形状;
(2)求该几何体的侧面积S.
6. 若长方体的三个面的面积分别为
2,3,6
,则长方体的体积为 ;其对角线长
为 .
答案:
6

6

7. 若圆锥的侧面展开图是半径为
1
的半圆,则这个圆锥的体积是 .
8.正四棱 台的斜高与上、下底面边长之比为
5:2:8
,体积为
14cm
3
, 则棱台的高为 .

____________________________ __________________________________________________ _
____________________________________________ ___________________________________


29



基础巩固
1. 如果圆锥底面半径为
r
,轴截面为等腰直角三角形,那么圆锥的全面积为( )
2
2?1
?
r
2
D.
?
r
2

3
2.一个圆台的母线长等于上.下底面半径 和的一半,且侧面积是
32
?
,则母线长为( )
A.
2
?
r
B.
2
?
2?1
?
r
2
C.
?
1
3
??
A.
2
B.
22
C.
4
D.
8

3.轴截面为正方形的圆柱的侧面积与全面积的比是( )
A.
1:2
B.
2:3
C.
1:3
D.
1:4

4. (2014·山东威海市高一期末测试)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为( )

A.2 B.3
C.4 D.6
5. 已知圆锥的母线长为8,底面周长为6π,则它的体积是( )
A.955π B.955
C.355π D.355
6. (2014·重庆文,7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.12 B.18
C.24 D.30
7.将半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为____________.
8.已 知ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为 a的正方体,E.F分别为棱AA
1
与CC
1
的中点,求四棱
锥A< br>1
-EBFD
1
的体积.
能力提升
9. 正过球面上三点 A、B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半,且AB=6,BC=8,
AC=10,则球的表面积 是( )
A.100π B.300π
30


100π
C.
3
400
D.
π
3
10. 一圆锥的底面半径为4,用平行于底面的截面截去底面半径为1的小圆锥后得到的圆 台
是原来圆锥的体积的( )
631
A. B.
6416
11
C. D.
464
11.(2014·广东揭阳 一中高一阶段测试)如图,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为
1的正方形,俯视图是一个圆, 那么这个几何体的全面积为( )

A.
2

B.2π
C.π D.4π
12. 如图所示,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,截下一 个棱锥C-A′DD′,求棱锥
C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.


13. (2014·邵阳一中月考)如图所示,在边长为5+22的正方形ABCD中,以A为圆心画 一
个扇形,以O为圆心画一个圆,M、N、K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为圆锥底
面 ,围成一个圆锥,求圆锥的全面积与体积.


31



平面的基本性质与推论


_________ __________________________________________________ ____________________
_________________________ __________________________________________________ ____

理解和掌握平面的性质定理,能合理运用;
掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系;
会判断异面直线、掌握异面直线的求法;
会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.


一、平面 1.平面的概念:平面是一个不加定义,只需理解的原始概念.立体几何里所说的的平面是
从现实生 活中常见的平面抽象出来的.常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形
象.
平面是理想的、绝对的平且无大小,无厚度,不可度量.
2.平面的表示方法:
(1)一个平面: 当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角
画成45,横边画成邻边的2倍长,如右图.
(2)两个相交平面:
?
画两个相交平面时,通常要化出它们的交线,当一个平面的一部分被另一个平面遮住,
应把被遮住部分 的线段画成虚线或不画(如下图)






B
?
?

?
A
B
A
?
?
B

B
A
?
?
?
A
32



3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言
空间 图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看,点动成线,线动成面,从而
可以把直线、平面看成是 点的集合,因此还可借用集合中的符号语言来表示
点、线、面的基本位置关系如下表所示:
图形语言
A


A
符号语言 文字语言(读法)

A
在直线
a

a
A?a

A?a

A?
?

a

A
不在直线
a

?
A
?
A


A
在平面
?

A
b
a




A?
?

ab?A

a?
?


A
不在平面
?

直线
a

b
交于
A

?
?
a
a
直线
a
在平面
?

a
?
??

a
?
?A

直线
a
与平面
?
无公共点

?
a
A
直线
a
与平面
?
交于点
A


??
?l

平面
?

?
相交于直线
l

二、平面的基本性质
1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的_____都在这个平面内

A?
?
?
推理模式:
?
?AB?
?
. 如图示:
B?
?
?
或者:∵
A?
?
,B?
?
,∴
AB?
?

公理1的作用:①判定直线是否在平面内;
②判定点是否在平面内;
③检验面是否是平面.
?
A
B
2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公 共点,且所有这些公共点
的集合是一条过这个公共点的______
A?
?
?
推理模式:
?
?A?l?
?
A?
?
?

?
如图示:
33


或者:∵
A?
?
,A?
?
,∴
?
公理2的作用:
?
?l,A?l

(1)判断两个平面是否相交及交线位置;
(2)判断点是否在线上
今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线).
(1)以上 是确定平面的四个不同的条件,是判断两个平面重合的依据,是证明点线共面
的依据,也是作截面、辅助 面的依据.
(2)有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在,“只有一个”是
说图形唯一.因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方
面来论证 .
3. 公理3 ____________________________________________
A,B,C
不共线
?
?
推理模式:
A,B,C?
?
?
?
?

?
重合
A,B,C?
??
?
或者:∵
A,B,C
不共线,∴存在唯一的平面
?
,使得
A,B,C?
?
.
推论1:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
(1)以上是确定平面的四个不同的条 件,是判断两个平面重合的依据,是证明点线共
面的依据,也是作截面、辅助面的依据.
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在,“只有一个”
是说图形唯一 .因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面
来论证.
三、空间两直线的位置关系
位置关系
相交直线
平行直线
异面直线
四、平行直线
1. 公理4 平行公理
__________________________________________
共面情况
在同一平面内
在同一平面内
不同在任何一个平面内
公共点个数
有且只有一个公共点
没有公共点
没有公共点
推理模式:
ab,bc?ac

(1)它是判断空间两条直线平行的依据; (2)它说明平行关系具有传递性
2.等角定理
如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,且方向相同,那么这两个角_______.
34


由球的半径R计算球表面积的公式:S球=
五、异面直线
1. 定义:
.即球面面积等于它的大圆面积的4倍.
不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
(1)异面直线既不平行,也不相交,永远不存在一个平面能同时包含这两直线;
(2)不能把异面直线误认为:分别在不同平面内的两条直线为异面直线
(3)异面直线一般是对两条直线而言的,没有三条异面直线的说法.
2.异面直线的画法
画异面直线时,为了充分显示不共面的特点,常常需要以辅助平面为衬托,以加强直观
性.





3.异面直线判定定理
过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过该点的直线是异面直线
?a
b
?
b
a
a
?
b
?
l?
?
?A?
?
?
?
推理模式:
?
?
直线
AB
与直线
l
是异面直线
B?
?
?
B?L
?
?
六、异面直线所成的角
1. 定义:
已知
a

b
是两条异面直线,经过空间任意 一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
,我们把直 线
a
?

b
?
所成的锐角(或直角)叫做异面直线
a

b
所成的角.
(1)异面直线所成的角与
O
点的位置无关.
(2)如果两条异面直线所成角是直角,则说这两条异面直线互相垂直,记作
a?b

(3)异面直线所成角的范围是______.
2. 求异面直线所成角的步骤
(1)恰当选点,由平移构造出一个交角;
(2)证平行关系成立;
(3)把角放入三角形或其它平面图形中求出;
(4)作结论:若求出的角是锐角或直角,则 它就是所求异面直线所成的角;若求出的角
是钝角,则它的补角才是所求异面直线所成的角.
七、直线、平面的位置关系
35


1.空间直线与平面的位置关系有以下三种:
(1)直线在平面内:如果一条 直线
a
与平面α有两个不同的公共点,那么这条直线就在
这个平面内,记作
a
?α.
(2)直线与平面相交:直线
a
与平面α只有一个公共点
A
,叫做直线与平面相交,记作
a
∩α=
A
,公共点
A
叫做直线
a
与平面α的交点.
(3)直线与平面平行:如果一条直线
a< br>与平面α没有公共点,叫做直线与平面平行,记

a
∥α.
2.两个平面的位置关系有且只有一下两种:
(1)两个平面平行---没有交点
(2)两个平面相交---有一条公共直线
3.顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成 的图形,叫做空间四边形.这四个点中的各
个点叫做空间四边形的顶点;所连接的相邻顶点间的线段叫做 空间四边形的边;连接不相邻
的顶点的线段叫做空间四边形的对角线.

类型一 平面及其性质
例1:(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形,下列表示错误的是( )
A.l∈α
B.P?l
C.l?α
D.P∈α
练习1:判断下列说法是否正确,并说明理由.
(1)平面的形状是平行四边形( ) (2)任何一个平面图形都可以表示平面( )
(3)平面ABCD的面积为10㎡( ) (4)空间图形中,后引的辅助线是虚线( )
练习2:1、下列说法正确的个数( )
①铺的很平的一张纸是一个平面;②可以一个长 20cm、宽30cm的平面;③通常300页
的书要比10页的书厚一些,那么300个平面重合在一 起时一定比10个平面重合在一起厚.
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
练习3:若点
Q
在直线
b
上,
b
在直线平面
?
内,则
Q,b,
?
之间的关系 可记作( B )
A、
Q?b?
?
B、
Q?b?
?
C、
Q?b?
?
D、
Q?b?
?

例2:如右图,已知
E,F,G,H
分别 为空间四边形
ABCD
各边
AB,AD,BC,CD
上的点,
A
EFGH?P
,求证:
B,D,P
共线.
B
EF
D
G
H
C
P
练习1:已知
l
与三条 平行线
a,b,c
都相交,求证:
l

a,b,c
共面.
练习2:两个不重合的平面有公共点,则公共点的个数是( )
A、2个 B、有无数个且在一条直线上 C、一个或无数个 D、1个
36



练习3:下列命题:①公理1可用集合符号叙述为:若
A?l,B? l

A?
?
,B?
?
,则必

l?
?
;②四边形的两条对角线必交于一点;③用平行四边形表示的平面,以平行四边形
的四边作 为平面边界线;④梯形是平面图形.其中正确的命题个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
类型二 直线及其位置关系
例3:(2014·甘肃嘉峪 关市一中高一期末测试)若
a

b
是异面直线,直线
c
∥< br>a
,则
c

b
的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.异面或相交
练习1:在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别是BD和CD的中点,长方 体的各棱中与
EF平行的有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
练习2:空间四边形
ABCD
中,给出下列说法:
①直线
AB

CD
异面;
②对角线
AC

BD
相交;
③四条边不能都相等;
④四条边的中点组成一个平行四边形.
其中正确说法的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
练习3:a、b、c是空间中三条直线,下面给出几种说法:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;
②若a与b相交,b与c相交,则a与c也相交;
③若a、b分别在两个相交平面内,则这两条直线不可能平行.
上述说法中正确的是________(仅填序号).
例4:已知正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
,
E

F
分别为
AA
1

CC
1
的中点,求证 :
BFED
1

练习1:已知棱长为
a
正方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
,
M< br>、
N
分别为
CD

AD
的中点,
求证:四边形
MNA
1
C
1
是梯形
AEAH练习2:已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,若=
AB AD
1
=,
2
CFCG1
==,则四边形EFGH形状为________.
CBCD 3
例5:已知
E

E
1
分别是正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱
AD

A
1
D
1
的中点.
求证:
?BEC??B
1
E
1
C
1

< br>练习1:如右图,
AA
1
,BB
1
,CC
1
不共面,且
BB
1
AA
1
,CC
1
AA
1
,
37


求证:△
ABC
≌△
A
1
B
1
C
1

练习2:在平行六面体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N、P分别是 CC
1
、B
1
C
1
、C
1
D
1< br>的中点.
求证:∠NMP=∠BA
1
D.
a

例 6:如右图,已知不共面的直线
a,b,c
相交于
O
点,
M

P
是直线
a

两点,
N

Q
分别是直线
b

c
上一点.求证:
MN

PQ是异面直线.
练习1:1、两条异面直线是指( )
A、空间没有公共点的两条直线 B、分别位于两个平面内的直线
C、平面内的一条直线与平面外的一条直线 D、既不平行也不相交的两条直线
练习2:下列说法正确的有 .
M
P
c
Q
O< br>N
b
①两直线无公共点,则两直线平行;②两直线若不是异面直线,则必相交或平行;③ 过平
面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任一直线均构成异面直线;④和两条一面直线都
相交的直线的两直线必是异面直线.
练习3:已知
??
?a,b?
?
,ab?A

c?
?
,ca
,求证:
b

c
为异面直线.
例7:正四面体
A?BCD
的棱长为
a

E

F
分别为棱
AD

BC
的中点,求 异面直线
AF

CE
所成角的余弦值.
练习1:已知
m< br>、
n
为异面直线,
m?
?

n?
?

??
?l
,则直线
l
( )
A、与
m

n
都相交 B、与
m

n
至少一条相交
C、与
m

n
都不相交 D、至多与
m

n
中的一条相交
练习2:在棱长为1的
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
M

N
分别为
A
1
B
1

BB< br>1
的中点,那么直
线
AM

CN
所成角的余弦值是( )
A、

练习3:如右图,等腰直角三角形
ABC
中,
?A?90,BC?
310
32
B、 C、 D、
210
55
2,DA?AC,DA?AB
D
,
EA
B
F
C

DA?1
,且
E

DA
的中点.求异面直线
BE

CD
所成角的余弦值.
38




1.在空间内,可以确定一个平面的条件是( )
A、两两相交的三条直线 B、三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交
C、三个点 D、三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 E、两条直线
2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A.异面 B.相交
C.平行 D.异面或相交
3.一条直线与两条平行线中的一条是异面直线,那么它与另一条的位置关系是( )
A、相交 B、异面 C、平行 D、相交或异面
4.从空间一点
P
分别向
?BAC
的两边
AB,AC
作垂线
PE,PF
,垂足分别为
E,F
,则
?E PF

?BAC
的关系为( )
A、互补 B、相等 C、互补或相等 D、以上都不对
5.在正四面体
A?BCD
中,
E

AD
的中点,则
AB

CE
所成角的余弦值为 .

____________________ __________________________________________________ _________

基础巩固
1. 空间有四个点,其中无三点共线,可确定 个平面;若将此四点两两相连,再以所
得线段中点为顶点构成一个几何体,则这个几何体至多有 个面.
2、三个两两相交的平面最多可把空间分为 个部分.
3、下面6个命题:
①四边相等的四边形是菱形;②两组对边相等的四边形是平行四边形;③ 若四边形有一组
对角相等,则该四边形是圆内接四边形;④在空间,过已知直线外一点,引该直线的平行 线,
可能不只一条;⑤四条直线两两平行,无三线共面,它们共可确定6个平面.其中正确命题
的个数是( )
A、0 B、1 C、2 D、3
4. 在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,与
AD
1

60
的面对角线共有( )
A、4条 B、6条 C、8条 D、10条

5. 已已知棱长为a的正方体ABCD-A′ B′C′D′中,M、N分别为CD、AD的中点,则
MN与A′C′的位置关系是________.


39



能力提升
6. (2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,且
是所在 棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________.


7. 若直线a、b与直线l相交且所成的角相等,则a、b的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.三种关系都有可能

8. 如图,在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,A
1
C1
∩D
1
B
1
=O,E、F分别是B
1
O和C
1
O的中点,
则在长方体各棱中与EF平行的有________条.


9. 如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别 交
平面α于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.


10. 如右图,正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,求
AC

A
1
D所成角的大小







40

A
F
E
B
A
1
D
1
B
1
C
1
D
C



空间中的平行关系


_______________________ __________________________________________________ ______
___
________________________________ _______________________________________________
___

了解直线和平面的三种位置关系;
理解并掌握直线与平面平行的判定定理;
理解并掌握直线与平面平行的性质定理;
理解并掌握平面与平面平行的性质定理.


一、
直线与平面的位置关系
位置关系
直线在平面内
交点个数

图形语言

?
符号语言

a
a
a?
?







直线与平面相交
直线
在平
面外
直线与平面平行

?
A

a
?
?A


a

?



a
?

二、直线和平面平行
1.定义:如果一条直线和一个平面________,那么这条直线与这个平面平行.
2.判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平
面平行.
41


a?
?
?
?
推理模式:
b?
?
?
?a
?

ab
?
?
特别说明:
1、定理中的三个条件缺一不可.
2、该定理的作用:证明线面平行.
3、该定理可简记为“线线平行,则线面平行.”
3. 性质定理
如果一条直线和一 个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这
______________.
?
?
推理模式
a?
?
?
?ab

??
?b
?
?
特别说明:
1、定理中的三个条件缺一不可. 2、该定理的作用:证明线线平行.
3、该定理可简记为“线面平行,则线线平行.”
三、平面和平面的位置关系

位置关系
公共点
符号表示
两平面平行

两平面相交
有一条公共直线
a
?
?

?


?
??
?a







?
图形表示
?
?
a


四、平面与平面平行
1.两平面互相平行的定义
如果两个平面没有公共点,那么这两个平面平行.
2.两平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
42


a?
?
,a
?
?
?
推理模式:
b ?
?
,b
?
?
?
?

?
.简言之: 线面平行
?
面面平行
ab?A
?
?
推论:如果一个平面内 有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个
平面平行.
3.两个平面平行的性质
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么____________________.
?

?
?
?
推理模式:
??
?a?
?ab
.简言之:面面平行
?
线线平行
??
?b
?
?
特别说明:
平面与平面平行的其它性质
(1)两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面.
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段相等.
(3)经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行.
(4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段_________.
类型一 线面平行
例1:b是平面α外的一条直线,可以推出b∥α的条件是( )
A.b与α内的一条直线不相交
B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交
D.b与α内的任何一条直线都不相交
练习1:(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指( )
A.直线与平面没有公共点
B.直线与平面相交
C.直线与平面平行
D.直线与平面最多有一个公共点
练习2:点M、N是正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱A
1
A与A
1
B
1
的中点,P是正方形ABCD
的中心,则MN与平面PCB
1
的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.MN?平面PCB
1

D.以上三种情形都有可能
练习3:在 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中和 平面C
1
DB平行的侧面对角线有________条.
例2:(2014江西丰城 三中高一期末测试)如图,已知
E

F
分别是三棱锥
A
-< br>BCD
的侧棱
AB

AD
的中点,求证:
EF
∥平面
BCD
.



43



练习1:((2014·山东济南一中月考)如图所示,已知
P是?
ABCD
所在平
面外的一点,
M

PB
的 中点,求证:
PD
∥平面
MAC
.





练习2:(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图,已知正方体
ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,O是 底面ABCD对角线的交点,求证:C
1
O∥
平面AB
1
D
1
.



例3:已知直线
a
∥平面α,
a
∥平面β,α∩β=
b
,求证
a

b
.



练习1:三个平面α、β、γ两两相交,
有三条交线
l
1

l
2

l
3
,如果
l< br>1

l
2
.求证:
l
3

l
1

l
2
平行.
练习2:如图,在四棱锥
P

ABCD
中,底面
ABCD
为平行四边形,
N

PB
的中点,过
A

N

D
三点的平面交
PC
于点
M
,求证:
AD

MN
.





类型二 平面与平面平行
例3:如图,在三棱柱
ABC

A
1
B
1
C
1
中,E

F

G

H
分别是
AB

AC

A
1
B
1

A
1
C
1
的中点,求证:
平面
EFA
1
∥平面
BCH G
.










练习1:如图所示,已知正方体ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1

求证:平面AB
1
D
1
∥平面BDC
1
.




44


练习2:已知正 方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E

F
分别是
AA
1
、< br>CC
1
的中点,求证:平面
BDF
∥平

B
1
D
1
E
.










练习3:在正方体EFGH-E
1F
1
G
1
H
1
中,平面E
1
FG1
与平面EGH
1
,平面FHG
1
与平面F
1
H
1
G,
平面F
1
H
1
H与平面FHE
1
,平面E
1
HG
1
与平面EH
1
G中互相平行的对 数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
例4:将已知:平面α∥平面β,AB、CD是夹在这两个平面之间的线段,
且点E、G分别为AB、CD的中点,AB不平行于CD,如图所示.




练习1:知平面α、β、γ,α∥β∥γ,
异面直线
l

m
分别与平面α、β、γ相交于
A

B

C
和< br>D

E

F
.
求证:=.
练习2:若平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,那么a、b的位置关系是( )
A.无公共点 B.平行
C.既不平行也不相交 D.相交

1.(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α,下列命题中正确的是( )
A.若a∥α,b?α,则a∥b
B.若a∥α,b∥α,则a∥b
C.若a∥b,b?α,则a∥α
D.若a∥b,a∥α,则b?α或b∥α
2. P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出四个命
题:
①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4

ABDE
BCEF
45



3.过平面α 外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交
线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或都交于同一点

AMAN
4.如图,在空间四边形ABC D中,M∈AB,N∈AD,若=,则MN与平面BDC的位
MBND
置关系是_______ _.

5.在下列条件中,可判断平面
?
与平面
?
平行的是( )
A、
?
,
?
都垂直于
?
B、
?
内存在不共线的三点到
?
的距离相等
C、
l, m

?
内两条直线,且
l
?
m,
?

D、
l,m
是两条异面直线,且

l
?
,m
?
l,
?
m,
?

6. 有下列几个命题:
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等,则α∥β;
②α∩γ=a,α∩β=b,且a∥b(α、β、γ分别表示平面,a、b表示直线),则γ∥β;
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边,则α∥β;
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行,则
α∥β.
其中正确的有________.(填序号)

________________ __________________________________________________ _____________
________________________________ _______________________________________________

46



基础巩固
1.(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a、b和平面α,下列命题中正确的是( )
A.若a∥α,b?α,则a∥b
B.若a∥α,b∥α,则a∥b
C.若a∥b,b?α,则a∥α
D.若a∥b,a∥α,则b?α或b∥α
2. P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线交点为O,M为PB的中点,给出四个命
题:
①OM∥平面PCD;②OM∥平面PBC;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
3.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交
线的位置 关系为( )
A.都平行
B.都相交且交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或都交于同一点
4..若平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,那么a、b的位置关系是( )
A.无公共点 B.平行
C.既不平行也不相交 D.相交
5.若两直线a、b相交,且a∥平面α,则b与α的位置关系是________.
能力提升
6.若平面α∥β,直线a?α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条直线与a平行
C.存在无数条直线与a平行
D.存在惟一一条与a平行的直线
7. 已知a是一条直线,过a作平面β,使β∥平面α,这样的β( )
A.只能作一个 B.至少有一个
C.不存在 D.至多有一个
8. 已知α∥β,O是两平面外一点,过O 作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、
C三点,和平面β交于A′、B′、C′三点,则△ ABC与△A′B′C′的关系是________,
若AB=a,A′B′=b,B′C′=c,则B C的长是________.

9. 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F、G、H分别是棱CC
1
、C
1
D
1
、D
1
D、CD的中点,
N是BC的中 点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足________________时,有
MN∥平 面B
1
BDD
1
.
10. 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,平面AA
1
C
1
C和平面BB
1
D
1
D的交线与棱CC
1
的位 置关系
是________,截面BA
1
C
1
和直线AC的位置关系 是________.
47



11. 在正方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
,设M、N、E、 F分别是棱A
1
B
1
、A
1
D
1
、C1
D
1
、B
1
C
1
的中
点,如图所示 .

(1)求证:E、F、B、D四点共面;
(2)求证:平面AMN∥平面EFBD.




48



空间中的垂直关系


_______________________ __________________________________________________ ______
___
________________________________ _______________________________________________
___

理解空间中三种垂直关系的定义;
掌握空间中三种垂直关系判定及性质;
用空间中三种垂直关系的定义、判定及性质解决垂直问题.


一、直线与平面垂直
1.如果两条直线相交于一点或_________相交于一点,并且交 角为直角,则称这两条直线
互垂直.
2.如果一条直线(AB)和一个平面(α)相交于点O ,并且和这个平面内过点O的任何直线
都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直,记作,直线叫做 平面的____,
平面叫做直线的____,交点叫做___.垂线上任一点到垂足间的线段,叫做这点 到这个平
面的_____.垂线段的长度叫做这点到平面的距离.
3.直线和平面垂直的判定
4.(1)判定定理:如果一条直线和一个平面内的任何两条相交直线都垂直,那么这条直线
垂 直于这个平面.
符号语言:
l

a

l

b

a

b

A

a
?α,< br>b
?α?
l
⊥α,
如图:


49


(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也_________.
符号语言:
a

b

a
⊥α ?
b
⊥α,
如图:
5.直线与平面垂直的性质

(1)性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线_____.
符号语言:
a
⊥α,
b
⊥α ?
a

b

如图:
(2)一条直线垂直于一个平面,它就和平面内的_____直线垂直.
符号语言:
a
⊥α,
b
?α?
a

b

如图: < br>6.设
P
是三角形
ABC
所在平面α外一点,
O
是< br>P
在α内的射影
(1)若
PA

PB

P C
,则
O
为△
ABC
的_____.特别地当∠
C
=90°时,
O
为_______.
(2)若
PA

PB

PC
两两垂直,则
O
为△
ABC
的_____.
(3)若
P
到△
ABC
三边距离相等,则
O
为△< br>ABC
的_____.
7.(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
(2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
三、直线和平面平行
1.平面与平面垂直的定义:
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面 相交所得的两
条交线互相垂直,就称这两个平面______.平面α、β互相垂直,记作α⊥β.
2.两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号表示:a⊥α,a?β ?α⊥β,
50


如图:


3.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们交线
的直线,垂直于另一个平面.

符号表示:α⊥ β,α∩β=
CD,
BA
?
α

BA

C D

B
为垂足
?
BA
⊥β,
如图:
________内.

推论:如果两个平面垂直,那么过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在

类型一 线面垂直
例1:如图,直角△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
练习1:(2014·河南南阳一中高一月考)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,
底面ABCD是矩形,侧棱PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点,
PA=AD.求证:EF⊥平面PCD.
练习2:如右图,在正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中,
P

DD
1
的中点,
O

ABCD
的中心,
求证:
B
1
O?
平面
PAC



练习3:在如右图,在空间四边形
ABCD
中,
AB?AD,BC ?CD
,
求证:
AC?BD





51

B
A
A
1
P
D
O
B
D
1
B
1
C
1
C
A
E
D
C








< br>例2:如图在△
ABC
中,∠
B
=90°,
SA
⊥平 面
ABC


A

SB

SC
上的射影分别是
N

M
,求证:
MN

SC
.







练习1:如图, 在正方体
ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E

F
分别为
A
1
D

AC
上的
点,且
EF

A
1
D

EF

AC
.求证:
EF

BD
1
.







练习 2:在空间中,下列命题:①平行于同一条直线的两条直线平行;②垂直与同一直线的
两条直线平行;③ 平行与同一平面的两条直线平行;④垂直于同一平面的两条直线平行.其
中正确的由___ .

练习3:已知
a,b,c
及平面
?
,则下列命题正确的是( )
A、
a?
?
?
a?c
?
a?
?< br>?
a
?
?
B、 C、 D、
?a?b?ab
?ab
???
?ab

?
b?
?
?
b?c
?
b?
?
?
b?
?< br>?


例3:如图,在底面为直角梯形的四棱锥
P

ABCD
中,
AD

BC


ABC
= 90°,
PA
⊥平面
ABCD

PA
=3,
AD< br>=2,
AB
=23,
BC
=6.
求证:
BD
⊥平面
PAC
.




52



练习1:在正方体中
ABCD

A
1B
1
C
1
D
1
中,
P

DD
1
的中点,
O
为底面
ABCD
的中心.求证:
B
1
O
⊥平面
PAC
.



练习2: 如图,若测得旗杆PO=4,PA=PB=5,OA=OB=3,则
旗杆PO和地面 α的关系是________.


类型二 平面与平面垂直
例4:(2 014·山东临沂高一期末测试)如图,在底面为正三角形的直三棱柱
ABC

A1
B
1
C
1
中,

D

BC
的中点,求证:平面
AC
1
D
⊥平面
BCC
1B
1
.






< br>练习1:三棱锥S-ABC中,∠BSC=90°,∠ASB=60°,∠ASC=60°,SA=SB= SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.



练习2:如右图 ,在四面体
ABCD
中,
BD?
求证:平面
ABD?
平面< br>BCD







练习3: 空间四边形
ABCD
中,若
AD?BC,BD?AD
,那么有( )
A、平面
ABC?
平面
ADC
B、平面
ABC?
平面
ADB

C、平面
ABC?
平面
DBC
D、平面
ADC?
平面
DBC


53

B
E
C
D
2a,AB?AD?CB?CD?a

A


例5:已知P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面 PBC,求证:
BC⊥AC.

练习1:已知三棱锥
P

ABC
中,侧面
PAC
与底面
ABC
垂直,
PA

PB

PC
.
(1)求证:
AB

BC

(2)若
AB

BC
,过点
A

AF

PB
于点F
,连接
CF
,求证:平面
PBD
⊥平面
AFC
.


练习2:已知平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,如图所 示.求证:PA⊥平面ABC.




1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不确定
2.若一条直线l上有两个点到平面α的距离相等,则l与α的关系是( )
A.平行 B.相交
C.垂直 D.不确定
3.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,给出下列四个命题:
①α∥β,l?β?l⊥m ②α⊥β?l∥m
③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β
其中正确的两个命题是( )
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
4.如 图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿
BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列命
题 正确的是( )

A.平面ABD⊥平面ABC
B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC
D.平面ADC⊥平面ABC
5.若有直线m、n和平面α、β,下列四个命题中,正确的是( )
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m?α,n?α,m∥β,n∥β,则α∥β
C.若α⊥β,m?α,则m⊥β
D.若α⊥β,m⊥β,m?α,则m∥α
6. Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24,到两直角边的距离都是610,
那么点P到 平面α的距离等于__________.
54



__ __________________________________________________ ___________________________
__
____________ __________________________________________________ _________________
__

基础巩固
1.已知一平面平 行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直
线的位置关系是( )
A.平行 B.垂直
C.斜交 D.不能确定
2.直线a⊥直线b,a⊥平面β,则b与β的位置关系是( )
A.b⊥β B.b∥β
C.b?β D.b?β或b∥β
3.下列命题
a⊥α
?
?
?
?a⊥b;

?
b?α
?



a⊥α
?
?
?
?b⊥α; ②
?
a∥b
?

a⊥α
?
?
?
?a⊥b;

?
b∥α
?



a⊥b
a⊥b
?
?
?
?a⊥α;
b?α
?
c?α
?
a∥α
?
?
?
?b⊥α;

?
a⊥b
?
a⊥α
?
?
?
?b∥α. ⑥
?
b⊥a
?
其中正确命题的个数是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
4..若平面α∥平面β,直线a?α,直线b?β,那么a、b的位置关系是( )
A.无公共点 B.平行
C.既不平行也不相交 D.相交
5.直线a与平面α内的两条直线都垂直,则a与α的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.a在平面α内 D.不确定
6.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b,则( )
A.直线a必垂直于平面β
B.直线b必垂直于平面α
C.直线a不一定垂直于平面β
D.过a的平面与过b的平面垂直
7.长方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,MN在平面 BCC
1
B
1
内,MN⊥BC于M,则MN与AB的位
置关系为__ __________________.
8.如图所示,已知正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的面对角线A
1
B⊥B
1
C, 求证B
1
C⊥C
1
A.
55



能力提升
9.若两直线a与b异面,则过a且与b垂直的平面( )
A.有且只有一个 B.至多有一个
C.有无数多个 D.一定不存在
10. 已 知三棱锥S-ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上,球心O在AB上,SO⊥底面
ABC,AC= 2r,则球的体积与三棱锥体积之比是( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
11. (2014·浙江文,6)设m,n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面( )
A.若m⊥n,n∥α,则m⊥α
B.若m∥β,β⊥α,则m⊥α
C.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α
D.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α
12. 已知平面ABC外一点P,且PH⊥平面ABC于H.给出下列4个命题:①若PA⊥BC,
PB⊥AC,则H是△ABC的垂心;②若PA、PB、PC两两互相垂直,则H是△ABC的垂心;< br>③若∠ABC=90°,H是AC的中点,则PA=PB=PC;④若PA=PB=PC,则H是△ABC
的外心.其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
13. 平面α的斜线AB交α于点B,过定点A的动直线l与AB垂直,且交α于点C,则动
点C的轨迹为________.(填直线、圆、其它曲线)
14. 如图所示,已知矩形ABCD中 ,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一
个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于 ________.

15. 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD. 底面各边都相等,M是PC上的一
动点,当点M满足________________时,平面MBD ⊥平面PCD.(注:只要填写一个你认为
正确的即可)

16. 如图所示,△A BC为正三角形,CE⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=AC=2BD,M是AE
的中点.
56



(1)求证:DE=DA;
(2)求证:平面BDM⊥平面ECA;
(3)求证:平面DEA⊥平面ECA.
平面直角坐标系的基本公式


___________________ __________________________________________________ __________
___
____________________________ __________________________________________________ _
___

平面上两点间的距离公式和中点坐标公式;
两点间距离公式的推导;
会运用这两个公式解题.


一、数轴上的基本公式
1.一条给出了______、_________和_____的直 线叫做数轴,或称在这条直线上建立了
_______,在数轴上,若点
P

x
对应,称
P
的坐标为
x
,记作
P
(
x< br>).
2.位移是一个既有大小,又有方向的量,通常称作位移向量,本书中叫做______.
从点
A
到点
B
的向量,记作
→→→

A< br>为
AB
的起点,
B

AB
的终点,线段
AB
的长度称作
AB


_____,记作|
AB
|. 数轴上__________的向量叫做相等的向量.
......

3.在数轴上 ,点
A
作一次位移到点
B
,再由点
B
作一次位移到点
C
,则位移
AC
称作位移
→→→→
AB
与位移
B C
的和,记作
AC

AB
+______.

57


→→→
在数轴上,任意三点
A< br>、
B

C
,向量
AB

BC
AC
的坐标都具有关系:
AC

AB
+_______.
4设
AB
是数轴上的任一个向量,
O
为原点,点
A< br>(
x
1
)、
B
(
x
2
),则
AB

OB

OA
=________,
A
、< br>B
两点的距离
d
(
A

B
)=|
A B
|=__________ .
四、平面直角坐标系的基本公式
1.平 面上任意两点
P
1
(
x
1

y
1
)、
P
2
(
x
2

y
2
)之间的 距离
d
(
P
1

P
2
)=|
P
1
P
2
|=.
2.平面上任意两点
P
1
(
x
1

y
1
)、
P
(
x
2

y
2
)的中点
P
(
x

y
),

x=
,
y=
.

如果
P

P
1
P
2
的中点,则称
P
1

P
2
关于
P
对称.

A
(
x< br>0

y
0
)关于点
M
(
a

b
)的对称点为__________________.

类型一 数轴 < br>例1:(1)若点
P
(
x
)位于点
M
(-2)、N
(3)之间,求
x
的取值范围;
(2)试确定点
A
(
a
)、
B
(
b
)的位置关系.



练习1:下列各组点中,点
M
位于点
N
左侧的是( )
A.
M
(-2)、
N
(-3)
B.
M
(2)、
N
(-3)
C.
M
(0)、
N
(6)
D.
M
(0)、
N
(-6)
练习2:下列各组点中M位于N右侧的是( )
A.
M
(-4)、
N
(-3)
B.
M
(0)、
N
(6)
C.
M
(3)、
N
(6)
D.
M
(-4)、
N
(-6)

例2:已知数轴 上有
A

B
两点,
A

B
之间的距离为1 ,点
A
与原点
O
的距离为3,求向量
OA

AB
的坐标.



练习1:已知数轴上的三点
A< br>(-1)、
B
(5)、
C
(
x
).
(1) 当|
AB
|+
d
(
B

C
)=8时,求< br>x

(2)当
AB

CB
=0时,求
x

→→
(3)当
AB

BC
时,求
x
.
58







练习 2:数轴上任意三点
A

B

C
的坐标分别为
a< br>、
b

c
,那么有下列关系:①
AB

AC

BC

→→→
c

a

AB< br>=
AC

CB
;③|
AB
|=|
AC
|+|
CB
|;④
BC

b

c
;⑤< br>A

C
两点的中点坐标为.其中正
2
确的有________ .(填序号)



类型二 中点坐标公式
例3:平行四边形< br>ABCD
三个顶点坐标分别为
A
(2,3)、
B
(4,0)、
D
(5,3),求顶点
C
的坐标.
练习1:已知点
A关于点
B
(2,1)的对称点为
C
(-4,3),
C
关 于
D
的对称点为
E
(-6,-3),

A

D
的坐标及
AD
中点坐标.




练习2:设点A在x轴上,点B在y轴上,AB的中点为P(2,-1),则|AB|等于( )
A.5
C.25
类型三 两点间距离公式
B.42
D.210
例4:已知
A
(3,-4)与
B
(
a ,
3)两点间距离为72,求
a
的值.



练习1:求下列两点间的距离:
(1)
A
(2,5)、
B
(3,-4);
(2)
A
(2-1,3+2)、
B
(2+1,3-2);




练习2:已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,1)、(2,- 1)、(-1,-3),则第四个
顶点的坐标为________.




1.下列命题:
①相等的向量,它们的坐标相等;反之,若数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量
59


相等;
②对于任何一个实数,数轴上存在一个确定的点与之对应;

③数轴上向量AB的坐标是一个数,实数的绝对值为线段AB的长度,如果起点指向终点的方向与数轴同方向,则这个实数取正数,反之取负数;
④起点和终点重合的向量是零向量,它的方向是任意的,它的坐标是0.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.A、B为数轴上的两点,B的坐标为-5,BA=-6,则A的坐标为( )
A.-11
C.-1

B.-1或11
D.1或-11
60



3.数轴上点P、M、N的坐标分别为-2、8、-6,则在 ①MN=NM;②MP=-10;③PN
=-4中,正确的表示有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
4.点P(2,-1)关于点M(3,4)的对称点Q的坐标为( )
A.(1,5) B.(4,9)
C.(5,3) D.(9,4)
5.以A(5,5)、B(1,4)、C(4,1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
6.数轴 上一点P(x),它到A(-8)的距离是它到B(-4)距离的3倍,则x=________.
7.已知点A(2x)、B(x),点A在点B的右侧,则x的取值范围为________.
8. 已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(-2,3)、C(0,-1),则BC边上中线的长为 __________.
9. 已知A(6,1)、B(0,-7)、C(-2,-3).
(1)求证:△ABC是直角三角形;
(2)求△ABC的外心的坐标.






10.已知两点A、B的坐标如下,求AB、|AB|.
(1)A(2)、B(5);(2)A(-2)、B(-5).






_______________________________ __________________________________________________
_________________________________________ ______________________________________
__

61



基础巩固

1.数轴上向量AB的坐标为-8,且B(-5),则点A的坐标为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.数轴上两点A(2x+a),B(2x),则A、B两点的位置关系是( )
A.A在B左侧 B.A在B右侧
C.A与B重合 D.由a的取值决定
3.已知 两点A(a,b)、B(c,d),且a
2
+b
2
-c
2
+ d
2
=0,则( )
A.原点一定是线段AB的中点
B.A、B一定都与原点重合
C.原点一定在线段AB上但不是中点
D.以上结论都不正确
4.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2)、B(3,y),则x+y等于( )
A.5 B.-1
C.1 D.-5
5.点M到x轴和到点N(-4,2)的距离都等于10,则点M的坐标为________.
能力提升
6.下列各组点:①M(a)和N(2a);②A(b)和B(2+b);③C(x )和D(x-a);④E(x)和F(x
2
).其
中后面的点一定位于前面的点的右侧 的是( )
A.① B.②
C.③ D.④
11
7. 已知数轴上A、B两点的坐标分别为、-,则d(A,B)为( )
33
2
A.0 B.-
3
21
C. D.
39
8. 已知数轴上两点A(a)、B(b),则在数轴上满足条件|PA|=|PB|的点P坐标为( )
b-aa-b
A. B.
22
a+b
C. D.b-a
2
9. 设A(3,4),在x轴上有一点P(x,0),使得|PA|=5,则x等于( )
A.0 B.6
C.0或6 D.0或-6
10. 已知菱形的三个顶点分别为(a,b)、(-b,a)、(0,0),则它的第四个顶点是( )
A.(2a,b) B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)
11. 设M、N、P、Q是数轴上不同的四点,给出以下关系:
①MN+NP+PQ+QM=0;
②MN+PQ-MQ-PN=0;
③PQ-PN+MN-MQ=0;
④QM=MN+NP+PQ.
其中正确的序号是________.
62



12. 等腰三角形ABC的顶点是A(3,0),底边长|BC|=4,BC边的中点是D(5,4) ,则此三角形
的腰长为________.




13. 根据下列条件,在数轴上分别画出点P(x).
(1)|x-1|≤2;(2)|x+2|>1.






14. △ABC中,AO是BC边上的中线,求证:|AB|
2
+|AC|
2
=2(|AO|
2
+|OC|
2
).




63



直线方程


___________________________ __________________________________________________ __
___
____________________________________ ___________________________________________
___

理解直线方程的定义与直线的斜率;
掌握并能灵活利用直线方程的各种形式解决相关问题.


一、直线方程定义与斜率
1.一般地,如果以__________为坐标的点都是某条直线 上的点;反之,这条直线上的
点的坐标都是________,那么这个方程叫做这条直线的方程,这条 直线叫做这个方程的直线.
...........
2.直线方程
y
kx

b
中,
k
叫做这条直线的____,
b
叫做这条直线在
y
轴上的_____,
方程
y

kx

b
的图象是过点______,_____为
k
的直线._______ 的直线没有斜率.
y
2

y
1
3.经过两点
A< br>(
x
1

y
1
)、
B
(
x
2

y
2
)的直线,当
x
1

x
2
时,斜率
k
=;当
x
1

x
2
时无
x
2

x
1
斜率,此时直线方程为
x =x
1

4.
x
轴____与直线____的方向所成的角叫做这 条直线的倾斜角,垂直于
x
轴的直线倾斜
角为______.
我们规定:与
x
轴平行或重合的直线的倾斜角为0°,倾斜角的范围是[0°,180°).
5. 直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于
x
轴的倾斜程度,___越大,直线的倾斜程度
越大.
α=0°时,
____
;0°<α<90°时,
____
; α=90°时,
_____
;90°<α<180°时,
_____
.
二、直线方程的几种形式
1.点斜式:过点
P
(
x
0
y
0
),斜率为
k
的直线方程为
_________ _
,它不能表示过
P
(
x
0

y
0
)斜率不存在的直线
________

2.斜截式:过点
P
( 0,
b
),斜率为
k
的直线方程
________
,它也不 能表示垂直于
x

的直线,
b
叫做直线在
y
轴上的 截距,简称截距.
3.两点式:经过两点
A
(
x
1
y
1
)、
B
(
x
2

y
2< br>)的直线
AB
的方程
64


?
?
x
1

x
2

?
?
y
1

y
2
?

时,为
y

y
1
x

x
1
=;
y
2

y< br>1
x
2

x
1

x
1
=< br>x
2
时,为
x

x
1
;当
y
1

y
2
时,为
y

y
1

两点式不能表示垂直于坐标轴的直线.
4. 截距式
在直线的两点式方程中,若< br>P,Q
是直线与两坐标轴的交点,即
P
?
a,0
?
, Q
?
0,b
?
,此时
方程___________叫做直线的截距式 方程,其中
a
是横截距,
b
是纵截距.
说明:(1)截距式的适用范围是直线在两坐标轴的截距存在且不为零的情况.
(2)截距相等包括两轴上的截距同时为零和都不为零的情况.
5.一般式
方程< br>Ax?By?C?0

A,B
不全为
0
)叫做直线的一般方程
(1)直线的其他形式都可以化成一般形式
(2)无论用哪种形式求出的直线方程一般情况下最后都要化成一般式.
(3)当
A ?0,B?0
时,表示斜率为
0
(即与
x
轴平行或重合)的直线;当
A?0,B?0
时,
表示斜率不存在(即与
x
轴垂直)的直线;当< br>A?0,B?0
时,表示斜率
k??
A
的直线.
B

类型一 直线方程与斜率
例1:(2014·河南郑州高一期末测试)经过点
M(-2,
m
)、
N
(
m,
4)的直线的斜率等于1,则
m
的值为( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
练习1:给出下列命题:
①任何一条直线都有惟一的倾斜角;
②一条直线的倾斜角可以为-30°;
③倾斜角为0°的直线只有一条,即
x
轴;
④按照倾斜角的概念,直线倾斜 角的集合{α|0°≤α<180°}与直线集合建立了一一映
射关系.
正确命题的个数是( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
练习2:经过点
M
(-2,1)、
N
(1,-2)的直线的斜率是( )
A.1 B.-1
C.5 D.-2
例2:若直线
l
的向上的方向与
y
轴的正方向成30°角,则直线
l
的倾斜角为( )
A.30° B.60°
C.30°或150° D.60°或120°
练习1:直线
l
经过第二、四象限,则直线
l
的倾斜角α的范围是( )
65


A.0°≤α<90°
C.90°<α<180°
B.90°≤α<180°
D.0°≤α<180°
66



练习2:求经过下列两点的直线斜率,并判断其倾斜角
?
是锐角还是钝角.
(1)
A
?
0,1
?
,B
?
3,4
?;(2)
A
?
5,6
?
,B
?
?10,6?
;(3)
P
?
5,6
?
,Q
?
3, 7
?
;(4)
P
?
?3,1
?
,Q
??3,10
?

类型二 点斜式直线方程
例3:若直线
l
满足下列条件,求其直线方程.
(1)过点(-1,2)且斜率为3;
(2)过点(-1,2)且与
x
轴平行;
(3)过点(-1,2)且与
x
轴垂直.




练习1:求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点
A
(2,5),斜率是4;
(2)经过点
B
(2,3),倾斜角是45°;



练习2:(1)经过点
C
(-1,-1),与
x
轴平行;
(2)经过点
D
(1,1),与
x
轴垂直.




练习3:(2014·云南个旧一中高一期末测试)经过点(-3,2),倾斜角 为60°的直线方程是
( )
A.
y
+2=3(
x
-3) B.
y
-2=
C.
y
-2=3(
x
+3) D.
y
+2=
类型三 斜截式直线方程
例4:已知直线
l
的斜率为2,在
y
轴上的截距为
m
.
(1)求直线
l
的方程;
(2)当
m
为何值时,直线通过(1,1)点.




练习1:写出下列直线的斜截式方程:
(1)斜率是3,在
y
轴上的截距是-3;
(2)倾斜角是60°,在
y
轴上的截距是5;
67

3
(
x
+3)
3
3
(
x
-3)
3



练习2:求过点
A
(-1,-2)、
B
(-2,3)的直线方程.






练习3:(2014·甘肃庆阳市西 峰育才中学高一期末测试)倾斜角为135°,在
y
轴上的截距
为-1的直线方程为( )
A.
x

y
+1=0 B.
x

y
-1=0
C.
x

y
-1=0 D.
x

y
+1=0
类型四 两点式直线方程
例5:三 角形的顶点是
A
(-5,0)、
B
(3,-3)、
C
(0, 2).求这个三角形三边所在直线的方程.




练习1:已知 三角形的三个顶点
A
(-4,0)、
B
(0,-3)、
C
( -2,1),求
BC
边上中线所在直线
的方程.




练习2:求经过点
M
(-1,-2)和
N
(-1,3)的直线方程.




类型五 截距式直线方程
例6:直线
l
经过
A
(
a,
0)、
B
(0,
b
)两点(
a
·
b
≠0),求直线
l
的方程.




练习1:一条直线经过点
A
(-2,2),并且与两 坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线方
程.



练习2: 直线
l
经过点
P
(2,3)且在
x

y
轴 上的截距相等,求该直线的方程.



68



例7:直线
l
过点
P
(-2,3)且与< br>x
轴、
y
轴分别交于
A

B
两点,若
P
恰为线段
AB
的中点,
求直线
l
的方程.



练习1:若直线
l
的方程是
x
?3y??1< br>,则它的截距式方程为 _____ ;直线
l

x
轴交
5
点为 ______ ;与
y
轴的交点为 ______ .



练习2:下列四个命题中的真命题是( )
A.经过定点
P
0
(
x
0

y
0
)的直线都可以用方程
y
-< br>y
0

k
(
x

x
0
)来 表示
B.经过任意两个不同点
P
1
(
x
1
y
1
),
P
2
(
x
2

y< br>2
)的直线都可以用方程(
y

y
1
)(
x
2

x
1
)=
(
x

x
1
)·(
y
2

y
1
)来表示
C.不经过原点的直线都可以用方程+=1来表示
D.经过定点
A
(0,< br>b
)的直线都可以用方程
y

kx

b
来表 示


1.有下列命题:
①若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应;
②若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应;
③坐标平面上所有的直线都有倾斜角;
④坐标平面上所有的直线都有斜率.
其中错误的是( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②④
2.(2014·山东泰安肥城高一期末测试) 若直线经过点(1,2)、(4,2+3),则此直线的倾斜角是
( )
A.150° B.120°
C.60° D.30°
1
3.(2014·山东济宁梁山一中 高一期末测试)若A(-2,3)、B(3,-2)、C(,m)三点共线,则m
2
的值为( )
1
A.
2
1
B.-
2
xy
ab
C.-2 D.2
4.在x轴上截距为2,在y轴上截距为-2的直线方程为( )
A.x-y=2 B.x-y=-2
C.x+y=2 D.x+y=-2
69



5.若过原点的直线l的斜率为-3,则直线l的方程是( )
A.x-3y=0 B.x+3y=0
C.3x+y=0 D.3x-y=0
6. 与直线3x-2y=0的斜率相等,且过点(-4,3)的直线方程为( )
33
A.y-3=(x+4) B.y+3=(x-4)
22
33
C.y-3=-(x+4) D.y+3=-(x-4)
22
7. 已知三点A(a,2)、B(5,1)、C(-4,2a)在同一直线上,则a的值为________.
3
8. 直线y=x-2的截距式方程是________.
2

__________________________________________________ _____________________________
________________ __________________________________________________ _____________

基础巩固
1.(2014·甘肃天水一中高一期末 测试)已知直线l
1
、l
2
、l
3
的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
,如右图
所示,则( )

A.k
1
2
3

B.k
3
1
2

C.k
3
2
1

D.k
1
3
2

2.已知M(1 ,2)、N(4,3),直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交,那么直线l的斜率k的
取值范围 是( )
A.[-3,2]
11
B.[-,]
32
C.(-∞,-3]∪[2,+∞)
11
D.(-∞,-]∪[,+∞)
32
3.直线y=-2x-7在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则a、b的值是( )
7
A.a=-7,b=-7 B.a=-7,b=-
2
77
C.a=-,b=7 D.a=-,b=-7
22
4.若直 线(2m
2
+m-3)x+(m
2
-m)y=4m-1在x轴上的截距为1, 则实数m为( )
A.1 B.2
70


1
C.-
2
1
D.2或-
2
5.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1 007,b)在直线l上,则b的值为________.
能力提升
6.斜率为2的直线过(3,5)、(a,7)、(-1,b)三点,则a+b等于( )
A.4 B.-7
C.1 D.-1
1
7. 方程y=ax+表示的直线可能是( )
a


8. 已知点P在y轴上 ,点N是点M关于y轴的对称点,直线PM的斜率为k(k≠0),则直
线PN的斜率为_______ _____.
25
9. (2014·江西南昌高一检测)已知直线l方程为y+1=(x- ),且l的斜率为a,在y轴上的
52
截距为b,则|a+b|等于________.
3
10. 求斜率为且与两坐标轴围成的三角形周长为12的直线方程.
4





71



两条直线的位置关系


______________________ __________________________________________________ _______
______________________________________ _________________________________________

掌握两条直线的位置关系;
能解决两条直线的位置关系相关问题


一、
两直线平行、相交与重合的条件
22
1.已知两直线
l
1

A
1
x

B
1
y

C
1
=0,
l
2

A
2
x
+< br>B
2
y

C
2
=0(
A
i

B
i
≠0,
i
=1,2).
(1)
l
1

l
2
相交的条件:______________

_____________

(2)l
1
与l
2
平行的条件:________而__________或___________;

(3)l
1
与l
2
重合的条件:______________ __________


2.已知两直线
l
1

y

k
1
x

b
1

l
2

y

k
2
x

b
2
.
(1)
l
1

l
2
的条件:
___ _____________
.
(2)
l
1

l
2
重合的条件:
_________________
.
(3)
l
1

l
2
相交的条件:
________________
.
二、两直线垂直的条件
1.两直线垂直的条件
(1)
l1

A
1
x

B
1
y
C
1
=0,
2
l
2

A
2
x

B
2
y

C
2
=0(
A2
i

B
i
≠0),
l
1

l
2
?
____________________
.
(2)< br>l
1

y

k
1
x

b< br>1

l
2

y

k
2
x< br>+
b
2

l
1

l
2
?
________________
.
72




类型一 两条直线平行
例1:判断下列各组中两条直线的位置关系.
( 1)
l
1

y
=3
x
+4,
l
2
:2
x
-6
y
+1=0;
x
2
(2)< br>l
1
:2
x
-6
y
+4=0,
l
2

y
=+;
33
(3)
l
1
:(2-1 )
x

y
=3,
l
2

x
+(2 +1)
y
=2;
(4)
l
1

x
=5,
l
2

x
=6.





练习1:判定下列每组中所给两直线
l
1

l
2
的位置关系.
(1)
l
1

x
+2
y< br>-3=0,
l
2
:2
x
+4
y
+1=0.
1
(2)
l
1

y
=-3
x
+1 ,
l
2

y

x
+2.
3
(3 )
l
1
:2
x
-3
y
+1=0,
l
2
:4
x
-6
y
+2=0.






练习2:下列命题:
①若直线
l
1

l
2
的斜率相等,则
l
1
l
2
;②若直线
l
1
l
2
,则两直线的斜率相等;③若
直线< br>l
1
,l
2
的斜率均不存在,则
l
1
l2
;④若两直线的斜率不相等,则两直线不平行;⑤如果
直线
l
1
l
2
,且
l
1
的斜率不存在,那么
l
2
的斜率也不存在.其中正确命题的序号为 ___ .
例2、已知直线
l
1
x

my
+6=0,
l
2
:(
m< br>-2)
x
+3
y
+2
m
=0,当
m
为何值时,直线
l
1

l
2
(1)相交;(2)平行;(3)重合.




练习1:(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线
l
1

ax
+2
y
+6=0与
l
2

x
2
(
a
-1)
y

a
-1=0平行,则实数< br>a
的取值是( )
A.-1或2 B.0或1
C.-1 D.2
73



练习2:已知两直线
l
1

ax
+3
y
-3=0,
l
2
:4x
+(
a
+4)
y
+2=0,若
l
1

l
2
,求
a
的值.




例3:试求三条直线
ax

y
+1=0,
x
ay
+1=0,
x

y

a
=0构成三角形的 条件.





练习1:三条直线
l
1

x

y
=2,
l
2

x
y
=0,
l
3

x

ay
-3=0能构成三角形,求实数
a
的取值范围.






练习2:直线
l
经过
2x?3y?2?0
和< br>3x?4y?2?0
的交点,且与两坐标轴围成等腰直角
三角形,求直线
l的方程.






类型二 两条直线垂直
例4:当
a
为何值时,直线
l
1
:(
a
+2)
x
+(1-
a
)
y
-1=0与直线l
2
:(
a
-1)
x
+(2
a
+3)
y
+2
=0互相垂直?






练习1:判断下列各组中两条直线
l
1

l
2< br>是否垂直.
(1)
l
1
:2
x

y
=0,
l
2

x
-2
y
=0;
(2)
l
1
:2
x
-4
y
-7=0,
l
2
:2
x

y
-5=0;
(3)
l
1< br>:2
x
-7=0,
l
2
:6
y
-5=0.


74



练习2:(2014·甘肃 嘉峪关一中高一期末测试)如图,直线
l
1
的倾斜角α
1
=30°, 直线
l
1

l
2
,则
l
2
的斜率 为( )
A.-
3
3

B.
3
3

C.-3
D.3



例5:(2014·河南郑州高一期末测试)若直线(
a
+2)
x
+(1-
a
)
y

a
2
(
a>0)与直线(
a
-1)
x

(2
a
+3)< br>y
+2=0互相垂直,则
a
等于( )
A.1 B.-1 C.±1 D.2
练习1:若直线
l
1
:(2
a
+5)
x
+(
a
-2)
y
+4 =0与直线
l
2
:(2-
a
)
x
+(
a< br>+3)
y
-1=0互相垂
直,则( )
A.
a
=2 B.
a
=-2
C.
a
=2或
a
=-2 D.
a
=2,0,-2
练习2:(2014·山东济宁曲阜师大附中高一期末测试)已知直线2
ax

y
-1=0与直线(
a

1)
x

ay
+1=0垂直,则实数
a
的值等于( )
A.
13
2
B.
2

C.0或
1
D.0或
3
22


1.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( )
A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0
2.(2014·山东济宁市曲阜师大附中高一期末测试)经过两条直线2x+ y-4=0和x-y+1=0
的交点,且与直线2x+3y-1=0平行的直线方程是( )
A.2x+3y-7=0 B.3x-2y+1=0
C.2x+3y-8=0 D.2x-3y+2=0
3.直线l
1
:2x+(m+1)y+4=0与直线l2
:mx+3y-2=0平行,则m的值为( )
A.2 B.-3
C.2或-3 D.-2或-3
4.直线x+y=0和直线x-ay=0垂直,则a的值为( )
A.0 B.1
C.-1 D.2
5.(2014·湖南师大附中高一期末测 试)过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程
为( )
A.2x+y-5=0 B.2x+y-1=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0
75



6. 以A(-2,1)、B(4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )
A.3x-y+5=0 B.3x-y-5=0
C.3x+y-5=0 D.3x+y+5=0
7. l
1
过点A(m,1)、B(-3,4),l
2
过点C(0,2)、D(1,1),且l< br>1
∥l
2
,则m=________.
8. (2014·安溪八中 高一期末求过直线x-y-2=0和4x-2y-5=0的交点且与直线2x+3y
+5=0垂直的直线 方程.

_____________________________________ __________________________________________
__ < br>_______________________________________________ ________________________________
__

基础巩固
1
1.(2014·山东聊城三县六校高一期末测试)若直线y=kx+2 k+1与直线y=-x+2的交点
2
在第一象限,则实数k的取值范围为( )
1111
-,
?
B.
?
-,
?
A.
?
?
62
??
22
?
111
0,
?
D.
?
-∞,-
?

?
,+∞
?
C.< br>?
6
??
2
?
2
???
2.对于直线ax+ y-a=0(a≠0),以下说法正确的是( )
A.恒过定点,且斜率与纵截距相等
B.恒过定点,且横截距恒为定值
C.恒过定点,且与x轴平行
D.恒过定点,且与x轴垂直
3.和直线3x+4y-7=0垂直,并且在x轴上的截距是- 2的直线方程是________________.
4.下列命题:
①若两条直线平 行,则其斜率必相等;②若两条直线垂直,则其斜率的乘积必是
?1
;③
过点
?
?1,1
?
且斜率为
2
的直线方程是
或重合.其中真命题 的由 .
5. (2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)已知三角形三顶点A(4,0) 、B(8,10)、C(0,6),
求:
(1)AC边上的高所在的直线方程;
(2)过A点且平行于BC的直线方程.






76

y?1
?2
;④同垂直于
x
轴 的两条直线都和
y
轴平行
x?1



能力提升
6.设P
1
(x
1
,y
1
)是直线l:f(x,y)=0 上一点,P
2
(x
2
,y
2
)是不在直线l上的点,则方程 f(x,
y)+f(x
1
,y
1
)+f(x
2
,y
2
)=0所表示的直线与l的关系是( )
A.平行 B.重合
C.相交 D.位置关系不确定
??
y-3
?
=2,x、y∈R< br>?
,B={(x,y)|4x+ay-16=0,x,y∈R},若A∩B7. 设集合A=
?x,y?|
x-1
??
=?,则a的值为( )
A.4
C.4或-2

B.-2
D.-4或2
2
a-
?
x+y+1=0互相垂直,则a的值是( ) 8. 已知直线3ax-y=1与直线
?
?
3
?
1
A.-1或
3
1
C.-或-1
3
1
B.1或
3
1
D.-或1
3
9. 无论m取何值,直线(2m+1)x-(m-2)y+5(m+2)=0都过定点________.
10. 已知直线ax+2y-1=0与直线2x-5y+C=0垂直相交于点(1,m),则a=__ ______,
C=________,m=________.
11. 平行四边形的两邻 边的方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,对角线的交点是O′(3,3),
求另外两边的方程.






12. (2014·山东临沂高一 期末测试)已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线
方程为2x-y-5=0, AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0.
求:(1)顶点C的坐标;
(2)直线BC的方程.






77



点、直线的距离和对称

< br>_______________________________________________ ________________________________
_____________ __________________________________________________ ________________

掌握点、直线的距离问题;
会求解直线对称的问题.


一、距离问题
1. 设平面上 两点
P
1
?
x
1
,y
1
?
,P< br>2
?
x
2
,y
2
?
,则_________ ___________为两点间距离
2.点
P
(
x
0

y
0
)到直线
Ax

By

C
= 0(
A

B
≠0)的距离
d

3.两条平行直线< br>l
1

Ax

By

C
1
=0与
l
2

Ax

By

C
2
=0的距离
d

二、对称问题
1. 关于点对称问题
(1)点关于点对称

M
?
x
0
,y
0
?
关于点
P
?
a,b
?
的对称点是_______ ______.特别地,点
M
?
x
0
,y
0
?关于
原点的对称点为___________.
(2)线关于点对称
已知
l
的方程为:
Ax?By?C?0
A
2
?B
2
?0
和点
P
?
x
0
,y
0
?,则
l
关于
P
点的对
称直线方程.设
P
'22
.

??
?
x,y
?
是对称直线
l
''
'
上任意一点,它关于
P
?
x
0
,y
0
?
的对称点
____________在直线
l
上, 代入得
A2x
0
?x
'
?B2y
0
?y
'
?C?0
.此直线即为所求对
称直线.
2. 关于线对称问题
(1)点关于线对称
78

????


已知点
M
?
x
0
,y
0
?
,直线
l:< br>Ax?By?C?0
?
AB?0
?
,设点
M
关于直线
l
的对称
点为
N
?
x
0
,y
0< br>?
,则由
k
MN
k
l
??1
得到一个关于< br>m,n
的方程,又线段
MN
的中点在直线
l
?
An?y
0
????1
?
?
Bm?x
0
得到另一 个关于
m,n
的方程,解方程组
?
即可求出点
?
A< br>x
0
?m
?B
y
0
?n
?C?0
?
?22
N
?
x
0
,y
0
?

特别说明:
①点
M
?
x
0
,y
0
?
关于
x
轴对称的点的坐标是_______,关于
y
轴对称点的 坐标是
_______
②点
M
?
x
0
,y
0
?
关于直线
y?x
的对称点坐标是______,关于
y??x
对称点为______
(2)线关于线对称
已知
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0,l:Ax?B y?C?0
,求直线
l
1
关于直线
l
对称直线
l< br>2

如右图所示,在直线上任取不同于
l

l
1< br>交点
P
的任一点
M
,先求出点
M

关于直 线
l
的对称点
N
的坐标,再由
N,P

l
2
上,用两点式求出直线
l
2
的方程.
常见的对称结论有:设直线
l:Ax?By?C?0


l
关于
x
轴的对称的直线是:
Ax?B
?
?y
?
?C?0


l
关于
y
轴的对称的直线是:
A
?
?x
?
?By?C?0


l
关于原点的对称的 直线是:
A
?
?x
?
?B
?
?y
?
?C?0


l
关于
y?x
的对称的直线是:
Ay?Bx?C?0


l
关于
y??x
的对称的直线是 :
A
?
?y
?
?B
?
?x
?
?C ?0

M
O
y
P
N
x
l
2l
l
1

类型一 点到直线的距离
例1:求点
P
(3,-2)到下列直线的距离:
(1)3
x
-4
y
-1=0;(2)
y
=6;(3)
y
轴.






79


练习1:求点P(-1,2)到直线2x+y-5=0的距离;


练习2:点
A
(
a,
6)到直线3
x
-4
y
=2距离等于4,求
a
的值;


练习3:求过点
A
(-1,2)且与原点距离等于
2
的直线方程.
2



例2:已知在△
ABC
中,
A< br>(3,2)、
B
(-1,5),
C
点在直线3
x
-< br>y
+3=0上.若△
ABC
的面积为
10,求
C
点坐 标.
练习1:求经过点
P
(1,2)的直线,且使
A
(2,3),
B
(0,-5)到它的距离相等的直线方程.
练习2:若动点
P
1
?
x
1
,y
1
?

P
2
?
x
2
,y
2
?
分别在直线
l
1
:x?y?5?0,l
2
:x?y?15?0
上移
动,则
P
1
P
2
的中点
P
到原点的距离的最小值是( )
A.
52152
B.
52
C. D.
152

22
类型二 两条平行线之间的距离
例3:求两平行线
l
1
:3
x
+4
y
=10和
l
2
:3
x
+4
y
= 15的距离.







练习1: (2014·陕西汉中市南郑中学高一期末测试)两平行直线
x
+3
y
-4= 0与2
x
+6
y
-9
=0的距离是________.

练习2:已知平行线
2x?3y?3?0

2x?3y?9?0
,则 与它们等距离的直线方程是
( )
A.
2x?3y?12?0
B.
2x?3y?6?0
C.
2x?3y?0
D.
2x?3y?3?0

类型三 对称问题
例4:(2014·甘肃高台 一中月考)点
P
(-1,1)关于直线
ax

y

b
=0的对称点是
Q
(3,-1),

a

b的值依次是( )
A.-2,2 B.2,-2
1111
C., - D.,
2222
80





练习1已知直线
l

y
=3
x
+3,求点
P
(4,5)关于直线
l
的对称点坐标.



练习2: 已知
P
?
a,b
?

Q
?
b?1,a?1
?
是关于直线
l
对称的两点,则直线
l
的方程为( )
A.
x?y?0
B.
x?y?0
C.
x?y?1?0
D.
x?y?1?0


例5:在直线
l
:3
x

y
-1=0上求一点
P< br>,使得:
(1)
P

A
(4,1)和
B
( 0,4)的距离之差最大;
(2)
P

A
(4,1)和
C
(3,4)的距离之和最小.







练习1:已知
A
?
?3,5
?
,B
?< br>2,15
?
,直线
l:3x?4y?4?0

(1)在
l
上求一点
P
,使
PA?PB
的值最小;
(2)在
l
上求一点
Q
,使
QA?QB
的值最小.




练习2:若动点
P
1
?
x
1
,y
1
?

P
2
?
x
2
,y
2
?
分别在直线
l
1
:x?y?5?0, l
2
:x?y?15?0
上移
动,则
P
1
P
2
的中点
P
到原点的距离的最小值是( )
A.

52152
B.
52
C. D.
152

22
81




1.已知点
A
?
1,3
?,B
?
?2,6
?
,则
AB
的长及中点坐标分别是( )
A.
?32,
?
?1,9
?
B.< br>32
?
?
?
19
??
19
?
,?
C.
23
?
?,?
?
< br>?
22
??
22
?
D.
32
?
?< br>19
?
,
?

2
?
2
?
2 .若点
A
?
a,6
?
到直线
3x?4y?2
的距离 等于
4
,则
a
的值是( )
A.
2
B.
4646
C.
0

2
D.
2

33
2
的直线方程是( )
2
3.过点
A
?
?1,2
?
且与原点的距离等于
A.
x?y?1?0
B.
7x?y?5?0

C.
x?y?1?0

7x?y?5?0
D.
x?y?1?0

7x?y?5?0

x
4.若点P
到点
P
1
?
0,1
?
,P
2
?
7,2
?
及轴的距离相等,则
P
的坐标是( )
A.
?
3,5
?
B.
?
?17,145
?
C.
?
3,5
?

?
?17,145
?
D.以上全不

5.(2014·山东东营市广饶一中高一期末测试)两平行线4x+3y- 1=0与8x+6y+3=0之间
的距离是( )
21
A. B.
510
11
C. D.
52
6. (2014·山东临沂高一 期末测试)若点P(x,y)在直线x+y-4=0上,O为原点,则|OP|的最
小值是( )
A.10 B.22
C.6 D.2
7. 已知平行四边形相邻两边所在的直线方 程是l
1
:x-2y+1=0和l
2
:3x-y-2=0,此四
边形 两条对角线的交点是(2,3),则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )
A.2x-y+7=0和x-3y-4=0
B.x-2y+7=0和3x-y-4=0
C.x-2y+7=0和x-3y-4=0
D.2x-y+7=0和3x-y-4=0
8. (2014·福建安溪八中高一期末测试)两平行直线x+3y-5=0与x+3y-10=0的 距离是
82


________.
9.已知正方形中心G (-1,0),一边所在直线方程为x+3y-5=0,求其他三边所在直线方程.

___ __________________________________________________ __________________________
___________________ __________________________________________________ __________

基础巩固
1.已知点A(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a=( )
A.2 B.2-2
C.2-1 D.2+1
2.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( )
A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0
C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0
3.P、Q分别为3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任一点,则|PQ|的最小值为( )
918
A. B.
55
2929
C. D.
105
4.过点A(-3,1)的直线中,与原点距离最远的直线方程为_______ _________.
能力提升

5.直线7x+3y-21=0上到两坐标轴距离相等的点的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
6.两平行直线l
1
,l
2
分别过点P( -1,3)、Q(2,-1),它们分别绕P、Q旋转,但始终保持
平行,则l
1
,l
2
之间的距离的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.[0,5]
C.(0,5] D.[0,17]
7. 已知a、b、c为某一直角三角形的三边长,c为 斜边,若点P(m,n)在直线ax+by+2c
=0上,则m
2
+n
2的最小值为________.
8. 与三条直线l
1
:x-y+2=0,l< br>2
:x-y-3=0,l
3
:x+y-5=0,可围成正方形的直线方
程为__________.
9. △ABC的三个顶点是A(-1,4)、B(-2,-1)、C(2,3).
(1)求BC边的高所在直线的方程;
(2)求△ABC的面积S.




10. 已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l
1
: x-y+1=0与l
2
:x-y-1=0所截得的线
段的中点M在直线x+y-3=0 上.求直线l的方程.


83



圆的方程


___________________________ __________________________________________________ __
___
____________________________________ ___________________________________________
___

掌握圆的标准方程会求圆的标准方程;
圆的一般方程和代入法的掌握、应用.


一、圆的标准方程
1._____________________ _________________________)是圆,定点是圆心,定长是半径.
2.确定圆的几何要素:
(1)不共线三点确定一个圆,圆心在任意两点连线段的中垂线上, 三点确定的三角形叫该
圆的内接三角形,该圆叫做这个三角形的外接圆,圆心叫做三角形的外心. (2)圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,只要圆心和半径确定下来,圆也就确定下来
了,因此 求圆的方程必须具备三个独立条件.
3.圆心为(
a

b
)半径为
r
(
r
>0)的圆的方程为:_________________,称作圆 的标准方程.特
别地,圆心在原点、半径为
r
的圆方程为
_________ ______
.
4.点
P
(
x
0

y< br>0
)与圆(
x

a
)+(
y

b< br>)=
r
的位置关系.
222
P
在圆外?(
x
0

a
)
2
+(
y
0

b)
2
____
r
2

P
在圆上?(
x
0

a
)
2
+(
y
0

b
)
2
_____
r
2

P
在圆内? (
x
0

a
)
2
+(
y
0

b
)
2
_____
r
2
.
二、圆的一般方程
?
D
?
2
?
E
?2
D

E
-4
F
. 1.圆的一般方程
__ ___________________
,配方得
?
x

?

?
y

?

4
?
2
??2
?
E
?
1
22
?
D
(1)当
___________
时,方程表示以
?
-,-
?
为圆心,D

E
-4
F
为半径的圆;
2
?
2
?
2
(2)当
____________
时,方程表示一个点
?
-,-
?

2
??
2
84
22
?
DE
?


(3)当
___________
时,方程没有实数解,它不表示任何图形.
85


< br>2.二元二次方程Ax
2
+Bxy+Cy
2
+Dx+Ey+F=0表示 圆的条件是:A=C≠0,B=0,D
2
+E
2
-4F>0
.
3.点P(x
0
,y
0
)与圆x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)的位置关系是:
P在圆内?
P在圆上?
P在圆外?
4.求轨迹方程的五个步骤:
(1)建系:建立适当的坐标系,用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;
(2)设点:写出适合条件P的点M的集合P={M|p(M)};
(3)列式:用坐标(x,y)表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0;
(4)化简:化方程F(x,y)=0为最简形式;
(5)查漏、剔假:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.


类型一 圆的标准方程
例1:写出下列方程表示的圆的圆心和半径.
22
(1)
x

y
=2;
22
(2)(
x
-3)+
y
=4;
22
(3)
x
+(
y
-1)=9;
22
(4)(
x
+1)+(
y
+2)=8.






练习1:已知圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0),试根据下列条件,分别写出a、 b、r应
满足的条件:
(1)圆心在x轴上;
(2)圆与y轴相切;
(3)圆过原点且与y轴相切;
(4)圆与两坐标轴均相切.




86



.


练习2:已知圆
C
的方程为
?
x?5
?
?
?y?6
?
?10
,试判断点
M
?
6,9
?,N
?
3,3
?
,Q
?
5,3
?
是< br>22
在圆上,圆内,还是在圆外?
例2:(2014·辽宁大连第三中学高一期末测试 )过两点
P
(2,2)、
Q
(4,2),且圆心在直线
x

y
=0上的圆的标准方程是( )
22
A.(
x
-3)+(
y
-3)=2
22
B.(
x
+3)+(
y
+3)=2
C.(
x
-3)+(
y
-3)=2
D.(
x
+3)+(
y
+3)=2




练习1:求经过点
A
(10,5)、
B
(-4,7),半 径为10的圆的方程.




练习2:求满足下列条件的方程
(1)圆心在原点,半径是
3
; (2)圆心在点
C
?
3,4
?
上,半径半径是
5

(3)圆心在直线
5x?3y?8
上,又圆与坐标轴相切




练习3:求以A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.






类型二 圆的一般方程
2 222
例3:
m
是什么实数时,关于
x

y
的方程 (2
m

m
-1)
x
+(
m

m
+2)
y

m
+2=0表示一个
圆?





87

22
22






222
练习1:已知方程
x

y< br>+2
mx
-2
y

m
+5
m
=0表 示圆,求:
(1)实数
m
的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.




练习2:
x?y?x?y?R?0
表示一个圆,则
R
的取值范围是( )
A.
?
??,2
?
B.
?
??,2
?
C.
?
??,
22
?
?
1
?
1
??
??,
D.
??
?
2
?
2
??

例4:已知△
ABC
的三个顶点为
A
(1,4)、
B
(-2,3)、C
(4,-5),求△
ABC
的外接圆的一般
方程.









练习1:求过 点
C
(-1,1)和
D
(1,3)且圆心在直线
y

x
上的圆的一般方程.





练习2:< br>?ABC
的三个顶点坐标分别为
A
?
?1,5
?
,B
?
?2,?2
?
,C
?
5,5
?
,求其外 接圆的方程.






例5:等腰三角形的 顶点是
A
(4,2),底边一个端点是
B
(3,5),求另一个端点
C
的轨迹方程,
并说明它的轨迹是什么.
88






22
练习1:自圆
x

y
=4上的点
A
(2,0)引此圆的弦
AB
,求弦
AB
的中点 轨迹方程.



练习2:已知动点
M
到定点
?
8,0
?
的距离等于
M

?
2,0
?的距离的
2
倍,那么点
M
的轨迹
方程是( )
22
A.
x?y?32
B.
x?y?16

22
C.
?
x?1
?
?y
2
?16
D.
x
2
?
?
y?1
?
?16

22

1.已知圆的方程是(x-2)+(y-3)
2
=4,则点P(3,2)满足( )
A.是圆心 B.在圆上
C.在圆内 D.在圆外
2.圆(x+1)
2
+(y-2)
2
=4的圆心坐标和半径分别为( )
A.(-1,2),2 B.(1,-2),2
C.(-1,2),4 D.(1,-2),4
3.已知A(3,-2),B(-5,4),则以AB为直径的圆的方程是( )
A.(x-1)
2
+(y+1)
2
=25
B.(x+1)
2
+(y-1)
2
=25
C.(x-1)
2
+(y+1)
2
=100
D.(x+1)
2
+(y-1)
2
=100
1
4 .圆x
2
+y
2
-2x+y+=0的圆心坐标和半径分别是( )
4
11
A.(-1,);1 B.(1,-);1
22
2
16
C.(1,-);
22
16
D.(-1,);
22
5.方程x
2
+ y
2
+ax+2ay+2a
2
+a-1=0表示圆,则a的范围是( )
22
A.a<-2或a> B.-33
2
C.-23
6.圆x
2
+y
2
-2x+6y+8=0的周长等于( )
A.2π
C.22π
B.2π
D.4π
7. 若点P(-1,3)在圆x
2
+y
2
=m
2
上,则实数m=________.
8. 点P(1,-2)和圆C:x
2
+y2
+m
2
x+y+m
2
=0的位置关系是________

89


9.求经过点P(5,1),圆心为点C(8,-3)的圆的标准方程.




_______________________________ ________________________________________________ < br>_______________________________________________ ________________________________

基础巩固
?
2t

1-t
?
与圆x
2
+y
2=1的位置关系是( ) 1.点P
?
22
?
?
1+t1+t
?
A.在圆内 B.在圆外
C.在圆上 D.与t有关
2.圆(x+2)
2
+y
2
=5关于原点(0,0)对称的圆的方程是( )
A.(x-2)
2
+y
2
=5
B.x
2
+(y-2)
2
=5
C.(x+2)
2
+(y+2)
2
=5
D.x
2
+(y+2)
2
=5
3.方程2x
2
+2y
2
-4x+8y+10=0表示的图形是( )
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
4.(2014·广东广 州市执信中学高一期末测试)已知点P是圆C:x
2
+y
2
+4x+ay-5 =0上任
意一点,P点关于直线2x+y-1=0的对称点在圆C上,则实数a等于( )
A.10 B.-10
C.20 D.-20

能力提升

5.过点A(1,2),且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )
A.(x-1)
2
+(y-1)
2
=1或(x-5)
2
+(y-5)
2< br>=25
B.(x-1)
2
+(y-3)
2
=2
C.(x-5)
2
+(y-5)
2
=25
D.(x-1)
2
+(y-1)
2
=1
6.圆(x+3)
2
+(y-1)
2
=25上的点到原点的最大距离是( )
A.5-10 B.5+10
C.10 D.10
7. 一束光线从点A(-1, 1)出发经x轴反射到圆C:x
2
+y
2
-4x-6y+12=0上的最短路 程是
( )
A.4 B.5
C.32-1 D.26
8.经过原点, 圆心在x轴的负半轴上,半径等于2的圆的方程是__________________.
9.经过 两点
P
(-2,4)、
Q
(3,-1),且在
x
轴上截得的 弦长为6的圆的方程.
90

2


10.圆
C通过不同三点
P
(
k,
0)、
Q
(2,0)、
R
(0,1),已知圆
C
在点
P
的切线的斜率为1,试求

C
的方程.


直线、圆的位置关系

________________________________________________ _______________________________
___
_______ __________________________________________________ ______________________
___

能判断直线与圆的位置关系并能解决相关问题 ;
能判断圆与圆的位置关系并解决相关问题.


一、直线与圆的位置关系
1.几何判定法:

r
为圆的半径,
d
为圆心到直线的距离:
(1)
d
>
r
?圆与直线______;
(2)
d

r
?圆与直线______;
(3)
d
<
r
?圆与直线_______.
2.代数判定法:
?
?
Ax

By

C
=0

?
2
?
x

a

y

b
?
2

r
2

消元,得到一元二次方程的判别式Δ,则
(1)Δ>0?直线与圆_______;
(2)Δ=0?直线与圆______;
(3)Δ<0?直线与圆_______.
二、圆的切线问题
1.切线方程
(1)圆
?
x?a
?< br>?
?
y?b
?
22
?r
2
上一点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
____ ____________________________
91

(2)圆
x?y?Dx?Ey?F?0
上一点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
22
_____________ _________________
2.切线长公式
过圆外一点
P
?
x
0
,y
0
?
引圆的切线,设点为
T
, 则切线长____________________或
_____________________ ______
三、弦长问题
1.几何法
直线
l
与圆
C
交于
A,B
两点,圆心
C
到直线
l
的距离为< br>d
,则圆的半径
r

d
与弦长
AB
AB?
AB
?
2
的一半构成直角三角形的三边,即
d
2?
?
,故求出后再求
AB

?r
?
2
2
??
2.代数法——弦长公式
设 圆
2
?
x?a
?
?
?
y?b
?
2 2
?r
2
,直线
l

y?kx?b
,则
l
被圆截得的弦长
L?1?k
2
?
x
1
?x
2
?
2
?4x
1
x
2

L?1?
1
k
2
?
y
1
?y
2
?
2
?4y
1
y
2

四、圆与圆的位置关系:
222222
1、几何方法:两圆(
x

a
1
)+(
y

b
1
)=
r
1
(
r
1
>0)与 (
x

a
2
)+(
y

b
2)=
r
2
(
r
2
>0)圆心距
d

a
1

a
2
2

b
1

b
2
2

d
>
r
1

r
2
?两圆_______;
d

r
1

r
2
?两圆_______;
|
r
1

r
2
|<
d
<
r
1

r
2
?两圆 _______;
d
=|
r
1

r
2
| ?两圆_______;
0<
d
<|
r
1

r< br>2
|?两圆_______,
d
=0时为同心圆.
?
?x

y

D
1
x

E
1y

F
1
=0
2、代数方法:方程组
?
22< br>?
x

y

D
2
x

E< br>2
y

F
2
=0
?
22


有两组不同实数解?两圆相交;
有两组相同实数解?两圆相切;
无实数解?两圆外离或内含.
3.两圆的公切线条数:当两圆内切时有______公切线; 当两圆外切时有_____公切线;相
交时有_____公切线;相离时有____公切线;内含时__ __公切线.

类型一 直线与圆的位置关系
22
例1:已知直线3x
+4
y
-5=0与圆
x

y
=1,判断它们 的位置关系.





92



练习1:判断下列直线与圆(x-1)
2
+(y-1)2
=1的位置关系:
(1)x-y-2=0;
(2)x+2y-1=0.




练习2:直线
l

3x?4y? 10?0
与圆
C

x?y?2x?4y?4?0
的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
22
例2:已知圆的方程是
x
+(
y
-1)= 2,直线
y

x

b
,当
b
为何值时,圆 与直线有两个公
共点,只有一个公共点,没有公共点?








22
练习1:当
m
为何值时,直 线
x

y

m
=0与圆
x

y< br>-4
x
-2
y
+1=0有两个公共点?有一
个公共点?无公共 点?







练习2:以
M
?
?4,3
?
为圆心的圆与直线
2x?y?5?0
相离 ,那么圆
M
的半径
r
的取值范
围是( )
A.
0?r?2
B.
0?r?
22
5
C.
0?r?25
D.
0?r???


222
例3:已知圆的方程为x+y=r,求过圆上一点P(x
0
,y
0)的切线方程.






93




22
练习1:过原点的直线与圆
x
+< br>y
+4
x
+3=0相切,若切点在第三象限,求该直线的方程.
< br>练习2:若直线
3x?4y?k?0
与圆
x?y?6x?5?0
相切, 则
k
的值等于( )
A.
1

?19
B.
10

?10
C.
?1

?19
D.
?1

19

22
例4:已知圆
C

x
+(
y
-1)=5,直线
l

mx
-< br>y
+1-
m
=0.
(1)求证:对
m
∈R,直线< br>l
与圆
C
总有两个不同的交点;
(2)若直线
l
与 圆
C
交于
A

B
两点,当|
AB
|=17 时,求
m
的值.






练习1:直线
l
经过点
P
(5,5),且和圆
C

x

y
=25相交,截得的弦长为45,求
l
的方
程.






练习2:求直线
l:3x? y?6?0
被圆
C:x?y?2y?4?0
解得的弦长






类型二 圆与圆的位置关系
2222
例 5:判断圆
x

y
+6
x
-7=0与圆
x

y
+6
y
-27=0的位置关系.





2222
练习1:判断圆
x

y
+2
x
=0与圆
x

y
+4
y
=0的位置关系 .


94

22
22
22






2 222
练习2:(2014·山东济南历城区高一期末测试)圆
x

y
-6
x
=0和圆
x

y
+8
y
+12= 0的
位置关系是( )
A.相离 B.相外切
C.相交 D.相内切
2222
例6:实数
k
为何值时,两圆
C
1

x

y
+4
x
-6
y
+12=0,
C
2

x

y
-2
x
-14
y

k
=0相交、
相切、相离?





222222
练习1:已知圆
C
1

x

y
-2
mx
+4
y

m
-5=0,圆
C< br>2

x

y
+2
x
-2
my

m
-3=0,
m

何值时:(1)圆
C
1与圆
C
2
相外切;(2)圆
C
1
与圆
C
2
内含.





2222
练习2 :(2014·湖南文,6)若圆
C
1

x

y
= 1与圆
C
2

x

y
-6
x
-8
y

m
=0外切,则
m
=( )
A.21 B.19
C.9 D.-11

2222
例7:已知圆
C
1

x

y
+2
x
-6
y
+1 =0,圆
C
2

x

y
-4
x
+ 2
y
-11=0.求两圆的公共弦所
在的直线方程及公共弦长.





2222
练习1:⊙
A
的方程为
x

y
-2
x
-2
y
-7=0,⊙
B
的方程为
x

y
+2
x
+2
y
-2=0 ,判断⊙
A
和⊙
B
是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程及两交点间的 距离;若不相交,说明
理由.





22< br>练习2:(2014·福建安溪八中高一期末测试)已知两圆
x

y
- 10
x
-10
y
=0,
x
2

y
2
+6
x
-2
y
-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为__ ______.

95



96




1.若直线3x+y+a=0过圆x< br>2
+y
2
+2x-4y=0的圆心,则a的值为( )
A.-1 B.1
C.3 D.-3
1
2.如果a
2
+b
2
=c
2
,那么直线ax+by+c=0与圆x
2
+y
2
= 1的位置关系是( )
2
A.相交 B.相切
C.相离 D.相交或相切 3.两圆x
2
+y
2
-1=0和x
2
+y
2< br>-4x+2y-4=0的位置关系是( )
A.内切 B.相交
C.外切 D.外离
4.两圆x
2
+y
2
=r
2
,(x-3 )
2
+(y+4)
2
=4外切,则正实数r的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
5.圆x
2
+y
2
=16上 的点到直线x-y=3的距离的最大值为________.
6.(2014·重庆文,14)已知直 线x-y+a=0与圆心为C的圆x
2
+y
2
+2x-4y-4=0相交于A 、
B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为________.

________ __________________________________________________ _____________________
__
__________________ __________________________________________________ ___________
__

基础巩固
1.(2014·广东揭阳一中 阶段测试)直线ax-y+2a=0与圆x
2
+y
2
=9的位置关系是( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.不确定
2.(2014·甘肃高台一中月 考)圆x
2
+y
2
-4y+3=0与直线22x+y+b=0相切,正实数b 的
值为( )
1
A. B.1
2
C.22-1 D.3 3.两圆C
1
:x
2
+y
2
+2x+2y-2=0和C
2
:x
2
+y
2
-4x-2y+1=0的公切线有且仅有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
4.(20 14·辽宁大连第二中学高一期末测试)已知圆C和y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,
且被直线y =x截得的弦长为27,求圆C的方程.
97



能力提升

5.与圆x
2
+(y-2)
2
=2相 切,且在两坐标轴上截距相等的直线有( )
A.6条 B.4条
C.3条 D.2条
6.圆x
2
+y
2
-4x+4y+6=0截直线x-y-5=0所得 弦长是( )
A.6 B.
52
2

C.1 D.2
7. 半径为6的圆与x轴相切,且与圆x
2
+(y-3)
2
=1内切,则此圆的方程是(
A.(x-4)
2
+(y-6)
2
=6
B.(x+4)< br>2
+(y-6)
2
=6或(x-4)
2
+(y-6)
2
=6
C.(x-4)
2
+(y-6)
2
=36
D.(x+4)
2
+(y-6)
2
=36或(x-4)
2
+(y-6)
2
=36
8. 求满足下列条件的圆x
2
+y
2
=4的切线方程:
(1)经过点P(3,1);
(2)经过点Q(3,0);
(3)斜率为-1.






9. 求⊙C
1
: x
2
+y
2
-2y=0与⊙C
2
:x
2
+ y
2
-23x-6=0的公切线方程.




98

)



空间直角坐标系


_________________________________________ ______________________________________
___
__________________________________________________ _____________________________
___

通过用类 比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确
定方法;
通过空间中两点的距离解决问题.


一、空间直角坐标系
1. 从空间某一定点
O
引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了
空间直角坐标系.如右图所示.

O
叫做_______,
x

y

z
三轴分别叫做横、纵轴和竖轴,通过每
两个轴的 平面叫做_______,分别称为
xOy
平面、
yOz
平面、
zO x
平面.
通常建立的坐标系为右手直角坐标系,即右手拇指指向
x
轴的正方向,
食指指向
y
轴的正方向,中指指向
z
轴的正方向.
2.空间特殊平面与特殊直线:
每两条坐标轴分别确定的平面
yOz
xOz

xOy
,叫做坐标平面.
3
z
4
3
2
1
1
1
234
5
y
O
2
x
xOy
平面(通过
x
轴和
y
轴的平面)是坐标形如__ ______的点构成的点集,其中
x

y
为任意
的实数;
xOz
平面(通过
x
轴和
z
轴的平面)是坐标形如_______ _的点构成的点集,其中
x

z
为任意
的实数;
yOz< br>平面(通过
y
轴和
z
轴的平面)是坐标形如________的点构成 的点集,其中
y

z
为任意
的实数;
99
< /p>


x
轴是坐标形如_______的点构成的点集,其中
x
为任意 实数;
y
轴是坐标形如_______的点构成的点集,其中
y
为任意实数;
z
轴是坐标形如________的点构成的点集,其中
z
为任意实数.
3.空间结构:
三个坐标平面把空间分为八部分,每一部分称为一个卦限.在坐标平面
xOy
上方,分别对应
该坐标平面上四个象限的卦限,称为第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限;在 下方的卦限称为第Ⅴ、
第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限.
二、关于一些对称点的坐标求法
1.关于坐标平面对称
P
?
x,y,z
?

关于坐标平面
xOy
对称
P
1
?
x,y,?z
?

P
?
x,y,z
?

关于坐标平面
yOz
对称
P
1
?
?x,y,z
?

P
?
x,y,z
?

关于坐标平面
xOz
对称
P
1
?
x,?y,z
?

2.关于坐标轴对称

P
?
x,y,z
?

关于
x
轴对称
P
1
?
x,?y,?z
?


P
?
x,y,z
?

关于y轴对称
P
1
?
?x,y,?z
?


P
?
x,y,z
?

关于
z
轴对称
P
1
?
?x,?y,z
?

三、空间两点间的距离公式
一般地,空间中任意两点
P
1
?
x
1
,y1
,z
1
?
,P
2
?
x
2
, y
2
,z
2
?
间的距离为___________________ ____
特殊地,任一点
P
?
x,y,z
?
到原点< br>O
的距离为
PO?x
2
?y
2
?z
2


类型一 空间点的坐标
例1:已知棱长为2的正方体
ABCD

A

B

C

D
′,建立如图所示不 同的空间直角坐标系,
试分别写出正方体各顶点的坐标.




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