高一数学必修2期末试题

高一数学必修2试题
.一、选择题：
1． 倾斜角为135?，在
y
轴上的截距为
?1
的直线方程是（ ）
A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0

2． 原点在直线
l
上的射影是P(－2，1)，则直线
l
的方程是 （ ）
A．
x?2y?0
B．
x?2y?4?0

C．
2x?y?5?0
D．
2x?y?3?0

3． 如果直线
l
是平面
?
的斜线，那么在平面
?
( )
A．不存在与
l
平行的直线 B．不存在与
l
垂直的直线
C．与
l
垂直的直线只有一条 D．与
l
平行的直线有无穷多条
4． 过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面（ ）
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
5． 直线
ax?3y?9?0
与直线
x?3y?b?0
关于原点对 称，则
a,b
的值是 ( )
A．
a
=1，
b
= 9 B．
a
=－1，
b
= 9
C．
a
=1，
b
=－9 D．
a
=－1，
b
=－9
6． 已知直线
y?kx?b< br>上两点P、Q的横坐标分别为
x
1
,x
2
，则|PQ|为 （ ）
A．
x
1
?x
2
?1?k
B．
x
1
?x
2
?k

2
1?k
7． 直线
l
通过点(1，3)且与两坐标轴的正半轴所围 成的三角形面积为6，则直线
l
的方程是 （ ）
A．
3x?y?6?0
B．
3x?y?0

C．
x?3y?10?0
D．
x?3y?8?0

8． 如果一个正三棱锥的底面边长为6，则棱长为
15
，那么这个三棱锥的体积是（ ）
C．
x
1
?x
2
2
D．
x
1
?x
2
k

9
Ｂ．
9

2
93
27
Ｃ． Ｄ．
2
2
Ａ．
9． 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是 ( )
100
?
3
208
?
3
cm
B．
cm

33
4163
?
500
?
3< br>cm
3

cm
D．C．
3
3
A．
10． 在体积为15的斜三棱柱ABC－A
1< br>B
1
C
1
中，S是C
1
C上的一点，S－ABC的体 积为3，
则三棱锥S－A
1
B
1
C
1
的体积为 （ ）
3
A．1 B．
2
C．2 D．3

11． 已知点
A(2,?3)
、
B(?3,?2)
直线
l
过点
P(1,1)
，且与线段AB相交，则直线
l
的 斜率的取
值
k
围是 （ ）
331
或
k??4
B．
k?
或
k??

444
33
C．
?4?k?
D．
?k?4

4
4
A．
k?
12． 过点（1，2），且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A．
x?2y?5?0
B．
2x?y?4?0

C．
x?3y?7?0
D．
x?2y?3?0

二、填空题：
13． 过点
P(2,3)
且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
14．
15．
16．
过点(－6，4)，且与直线
x?2y? 3?0
垂直的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，BC
1
与平面BB< br>1
D
1
D所成的角是 ．
已知两点
A(?1,2)
，
B(2,?1)
，直线
x?2y?m?0
与线段 AB相交，则
m
的取值围
是 ．
17． 如图，△ABC为正三角形，且直线BC的倾斜角是45°，则直线AB，，AC的倾斜角分< br>别为：
?
AB
?
__________，
?
AC
?
____________．
18． 正四面体（所有面都是等边三角形的三棱锥）相邻两侧面所成二面角的余弦值
是 ．
三、解答题：
19． 已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别是
x＋
y
＋1＝0和3
x
－
y
＋4＝0， 它的对
角线的交点是
M
(3， 0)， 求这个四边形的其它两边所在的直线方程．






20.正三棱台的上、下底边长为3和6．
（Ⅰ）若侧面与底面所成的角是60°,求此三棱台的体积；
（Ⅱ）若侧棱与底面所成的角是60°,求此三棱台的侧面积；

21.在△ABC 中，BC边上的高所在的直线的方程为
x?2y?1?0
，∠A的平分线所在直线的方程
为
y?0
，若点B的坐标为（1，2），求点 A和点 C的坐标．．

22.如图，在正方体ABCD—A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，已知M为棱AB的中点．
（Ⅰ）AC
1
平面B
1
MC；
（Ⅱ）求证：平面D
1
B
1
C⊥平面B
1
MC．



23.如图，射线
OA
、
OB
分别 与
x
轴成
45
角和
30
角，过点
P(1,0)作直线
AB
分别与
OA
、
OB
交
??

于
A
、
B
．
（Ⅰ）当
AB
的中点为
P
时，求直线
AB
的方程；
（Ⅱ）当
AB
的中点在直线
y
?
1
x
上时 ，求直线
AB
的方程．
2




一、选择题（8小题，每小题4分，共32分）
１．如图１所示，空心圆柱体的主视图是（ ）







(C)
图１ （B）

(A)
(A)１条 （B）２条 (C)３条 (D)４条
2．过点
?
?2,4
?
且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ）
(D)

3．如图2，已知E、F分别是正方体ABCD—A1
B
1
C
1
D
1
的棱BC，CC
1< br>的中点，设
?
为二面
角
D
1
?AE?D
的平 面角，则
sin
?
＝（ ）


(A)
2

3
2

3
（B）
(D)
5

3

(C)
22

3
4．点
P(x,y)
是直线
l
：
x?y?3?0
上的动点，点
A(2,1)
，则
AP
的长的 最小值是( )
图２
(A)
2
（B）
22
(C)
32
(D)
42


路径长度是（ ）
（A）4 （B）5 （C）
32?1
（D）
26

6．下列命题中错误的是( )
．．
A．如果平面
?
⊥平面?
，那么平面
?
一定存在直线平行于平面
?

B．如果 平面
?
不垂直于平面
?
，那么平面
?
一定不存在直线垂直于 平面
?

C．如果平面
?
⊥平面
?
，平面
?
⊥平面
?
，
?
?
?
?l
，那么
l
⊥平面
?

D．如果平面
?
⊥平面
?
， 那么平面
?
所有直线都垂直于平面
?

7．设直线过点
(0 ,a),
其斜率为1，且与圆
x?y?2
相切，则
a
的值为（ ）
22
22
5．一束光线从点
A(?1,1)
出发，经
x
轴反射到圆
C:(x?2)?(y?3)?1
上的最短
（A）
?4
（B）
?2
（C）
?22
（D）
?2

8．将一画有直角坐标系的图纸折叠一 次，使得点
A(0,2)
与点B(4,0)重合．若此时点
C(7,3)
与< br>点
D(m,n)
重合，则
m?n
的值为（ ）
(A)
31

5
(B)
3233
(C)
55
(D)
34

5

二、填空题（6小题，每小题4分，共24分）
9．在空间直角坐标系中，已知
P( 2,2,5)
、
Q(5,4,z)
两点之间的距离为7，则
z
=__ _____．
10．如图，在透明塑料制成的长方体
ABCD?A
1
B1
C
1
D
1
容器灌进一些水，将容器底面一边
BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形
EFGH
的面积不改变；
③棱
A
1
D
1
始终与水面
EFGH
平行；

④当
E?AA
1
时，
AE?BF
是定值．
其中正确说法是 ．
11．四面体的一条棱长为
x
，其它各棱长均为1，若把四面体的体积
V
表示成关于
x
的函数V(x)
，
则函数
V(x)
的单调递减区间为 ．
12．已知两圆
x?y?10
和
(x?1)?(y?3)?20相交于
A，B
两点，则公共弦
AB
所在直线
的直线方程是
．
13．在平面直角坐标系中，直线
x?3y?3?0
的倾斜角是 ．
14．正六棱锥
P?ABCDEF
中，
G
为侧棱
PB
的中点，则三棱锥
D
?
GAC
与三棱锥
P
?
GA C
的
体积之比
V
D?GAC
:V
P?GAC
＝ ．

三、解答题(4大题，共44分)
15．(本题10分)
已知直线
l
经过点
P(?2,5)
，且斜率为
?
2222
（Ⅰ）求直线
l
的方程；
（Ⅱ）求与直线
l
切于点（2， 2），圆心在直线
x?y?11?0
上的圆的方程.







16．(本题10分)
如图所示，在直三棱柱< br>ABC?A
1
B
1
C
1
中，
?ABC?90 ?
，
BC?CC
1
，
M
、
N
分别为
BB
1
、
A
1
C
1
的中点.
（Ⅰ）求证：
CB
1
?平面ABC
1
；
（Ⅱ）求证：
MN平面ABC
1
.









17．(本题12分)
3
.
4

已知圆
x?y?
2
x?
4
y?m ?
0
.
22
(1)此方程表示圆，求
m
的取值围； (2)若(1)中的圆与直线
x?2y?4?0
相交于
M
、
N< br>两点，且
OM?ON
(
O
为坐标原点)，
求
m
的值；
(3)在(2)的条件下，求以
MN
为直径的圆的方程．













18．（本题12分）
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是
?A? 60
?
、边长为
a
的菱形，又
PD?底面ABCD
，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN平面PMB；
（2）证明：平面PMB
?
平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．















一、 选择题

1、下列命题为真命题的是（ ）
A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行；
C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。
2、下列命题中错误的是：（ ）
A. 如果α⊥β，那么α一定存在直线平行于平面β；
B. 如果α⊥β，那么α所有直线都垂直于平面β；
D’
C. 如果平面α不垂直平面β，那么α一定不存在直线垂直于平面β；
A’
D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l⊥γ.

3、右图的正方体ABCD-A
’
B
’
C
’
D
’

D
中,异面直线AA
’
与BC所成的角是（ ）
A. 30
0
B.45
0
C. 60
0
D. 90
0


A
4、右图的正方体ABCD- A
’
B
’
C
’
D
’
中，
二面角D
’
-AB-D的大小是（ ）
A. 30
0
B.45
0
C. 60
0
D. 90
0


5、直线5x-2y-10=0在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,则（ ）
A.a=2,b=5; B.a=2,b=
?5
; C.a=
?2
,b=5; D.a=
?2
,b=
?5
.
6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ）
A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1)
7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（ ）
A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0
C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0
8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（ ）
A.
C’
B’
C
B
?
a
3
; B.
?
a
2
; C.
2
?
a
; D.
3
?
a
.
9、已知一个铜质的五棱柱的底面积为16cm
2
,高为4cm，现将它熔化后铸成一 个正方体的铜块（不
计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（ ）
A. 2cm; B.
4
cm
; C.4cm; D.8cm。
3
10、圆x
2
+y
2
-4x-2y-5=0的圆心坐标是：（ ）
A.(-2,-1); B.(2,1); C.(2,-1); D.(1,-2).
11、直线3x+4y-13=0与圆
(
x?
2)?
(
y?
3)
?
1
的位置关系是：（ ）
22
A. 相离; B. 相交; C. 相切; D. 无法判定.
12、圆C
1
:
(
x?
2)
?
(
y?
2)
?
1
与圆C
2
:
(x?2)
2
?(y?5)
2
?16
的位置关系是（ ）
A、外离 B 相交 C 切 D 外切
二、填空题
13、底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为 cm
2
。
22
14、两平行直线
x?3y?4?0与2x?6y?9?0
的距离是 。

15、下图的三视图表示的几何体是
16、若直线
x?y?1与直线(m?3)x?my?8?0
平行，则
m?
。
17、如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，当底面ABCD
满足条件 时，有
AC?B
1
D
1
（写出你认为正确的一种
条件即可。）





主视图





俯视图

第15题图
A
1
B
1
C
1
左视图
A
B
C
D
1
D
第17题图

三、解答题
18、已知点A（-4，-5），B（6，-1），求以线段AB为直径的圆的方程。









19、已知三 角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点。
（ 1）求AB边所在的直线方程；（2）求中线AM的长。

20、如 图，在边长为a的菱形ABCD中，
?ABC?60,PC?面ABCD
，E,F是PA和AB 的中点。
?
（1）求证： EF||平面PBC

（2）求E到平面PBC的距离。
P



E



D
C

A
22
F
B
21、已知关于x,y的方程C:
x?y?
2
x?
4< br>y?m?
0
.
（1）当m为何值时，方程C表示圆。
（2）若圆C 与直线l:x+2y-4=0相交于M,N两点，且MN=
4
5
,求m的值。







22、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，
?ABC?90
?
,SA?面ABCD，SA?AB?BC?1,AD?
1

(1)求四棱锥S- ABCD的体积;
2
.
(2)求证：
面SAB?面SBC;

S
(3)求SC与底面ABCD所成角的正切值。




B
C



A
D


一、选择题.本大题共10小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）

A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台 D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
2．几何体的三视图如图，则几何体的体积为（ ）
A．
?

3
B．
2
?

3
C．
?
D．
4
?

3

3．如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交且垂直 C． 异面 D．相交成60°
4．若三点
A(2,3),B(5,0),C(0,b)(b?0)
共线，则
b?
（ ）
A．2 B．3

C．5 D．1
5．与直线< br>l:y?2x
平行，且到
l
的距离为
5
的直线方程为（ ）
A．
y?2x?5

C．
y??
B．
y?2x?5

15
15

x?
D．
y??x?
22
22
6．若 点
(k,0)
与
(b,0)
的中点为
(?1,0)
，则直线
y?kx?b
必定经过点（ ）
A．
(1,?2)
B．
(1,2)
C．
(?1,2)
D．
(?1,?2)

7．已知菱形
ABCD
的两个顶点坐标：A(?2,1),C(0,5)
，则对角线
BD
所在直线方程为（ ）
A．
x?2y?5?0
B．
2x?y?5?0

C．
x?2y?5?0
D．
2x?y?5?0

8. 一个长方体，其正视图面积为
6
，侧视图面积为
3
，俯视图面积为
2
，则长方体的对角线
长为（ ）
A．
23
B．
32
C．6
，
且与直线
x?y?4
相切的圆的方程是（ ） 9．圆心为
(11)
A．
(x?1)?(y?1)?2

22
22

2
D．
6

B．
(x?1)?(y?1)?4

22
22
2
C．
(x?1)?(y?1)?2
D．
(x?1)?(y?1)?4

10．由直线
y?x?1
上的一 点向圆
(x?3)?y?1
引切线，则切线长的最小值为（ ）

A．1 B．
22
C．
7

二、填空题：本大题共4小题．
11. 直线
x?ay?a?0
与直线< br>ax?(2a?3)y?0
垂直，则
a
＝


D．3




o
.
. 12．已知正四棱台的上下底面边长分别为2，4，高为2，则其斜高为
13．一个水平放置的平面图 形，其斜二测直观图是一个等腰梯形，其底角为
45
，腰和上底均为1.
如图，则平面图形的实际面积为 .
14.设集合
M?(x,y)x?y≤4
，
N?(x,y)(x?1)
2
?(y?1)
2
≤r
2
(r?0)
.当
MIN?N
时，则正数
r
的取值围 .

三、解答题：本大题共6小题．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形
ABCD
的三个顶点坐标：
?22
?

??
A(0,0),B(3,3),C(4,0)
．
⑴ 求边
CD
所在直线的方程（结果写成一般式）；
⑵ 证明平行四边形
ABCD
为矩形，并求其面积．




16. 如图，四棱锥
P－ABCD
的底面
ABCD
是平行四边形，
M
、
N
分别是
AB
、
PC
的中点，且MN?PC，MN?AB
.证明：平面
PAD
⊥平面
PDC
.

17. 如图，已知 直线
l
1
:4x?y?0
，直线
l
2
:x?y?1 ?0
以及
l
2
上一点
P(3,?2)
．求圆心在
l
1
上且
与直线
l
2
相切于点
P
的圆的方程 ．
18. 已知正四棱锥
P－ABCD
如图.

3、3、2
的等腰三角形，求其表面积S、体积V； ⑴ 若其正视图是一个边长分别为
⑵ 设
AB
中点为
M
，
PC< br>中点为
N
，证明：
MN
平面
PAD
.








⑴ 求证：
BD?AE
；

19．在棱长为2的正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，设
E
是棱
CC
1
的中点.
⑵ 求证：
AC
平面
B1
DE
；⑶．求三棱锥
A?B
1
DE
的体积.

20．已知圆
C:x
2
?y
2
?6x?8y?21?0
和 直线
l:kx?y?4k?3?0
．
⑴ 证明：不论
k
取何值，直线
l
和圆
C
总相交；
⑵ 当
k
取何值时，圆
C
被直线
l
截得的弦长最短？并求最短的 弦的长度．












1．若直线
l
经过原点和点
A
（－2，－2），则它的斜率为（ ）
A．－1 B．1 C．1或－1 D．0
2．各棱长均为
a
的三棱锥的表面积为（ ）
A．
43a
2
B．
33a
2
C．
23a
2
D．
3a
2

3． 如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（

正视图 侧视图
正视图
侧视图


·
俯视图
俯视图

（1）
（2）


正视图 侧视图
正视图 侧视图
）

A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
4．经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x轴上的截距为（ ）
A．
?
3

2
B．
?
22
C．

33
D．2
5．已知A（1，0，2），B（1，
?3,
1） ，点M在
z
轴上且到A、B两点的距离相等，则M点坐
标为（ ）
A．（
?3
，0，0）
3）
6．如果AC＜0，BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
B．（0，
?3
，0） C．（0，0，
?3
） D．（0，0，
7．已知圆心为C（6，5），且过点
B
（3，6）的圆的方程为（ ）
A．
(x?6)?(y?5)?10

C．
(x?5)?(y?6)?10

22
22
B．
(x?6)?(y?5)?10

D．
(x?5)?(y?6)?10

22
22
8．在右图 的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC
1
的中点，
则异面直线AC和MN所成的角为（ ）
A．30°
C．90°










B．45°
D


D
1


A
1


B
1


C
1


N

C

B

M

D． 60°
A

9．给出下列命题

①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直
②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行
③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直
其中正确命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2
222
10．点
P
(
x
0
,
y
0
)
在圆
x?y?r
，则直线
x
0
x?y
0
y?r
和已知圆的公共点的个数为（ ）
A．0

B．1 C．2 D．不能确定
二、填空题（每题4分，共20分）
11．已知原点O（0，0），则点O到直线x+y+2=0的距离等于 ．
12．经过两圆
x?y?
9
和
(x?4)?(y?3)?8
的交点的直线方程
2222
13．过点（1，2），且在两坐标轴上截距相等的直线方程
14．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球
．．
的体积之比为 ．





15．已知两条不同直线
m
、
l
，两个不同平面
?
、
?
，给出下列命题：
①若
l
垂直于
?
的两条相交直线，则
l
⊥
?
；
②若
l
∥
?
，则
l
平行于
?
的所有直线；
M
T

③若
m
?
?
，
l
?
?
且
l
⊥
m
，则
?
⊥
?
；
④若< br>l
?
?
，
l?
?
，则
?
⊥
?
；
⑤若
m
?
?
，
l
?
?且
?
∥
?
，则
m
∥
l
；
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（5道题，共40分）
16．（本大题6分）如图是一个圆台形的纸篓（有底无盖 ），它的母线长为50cm，两底面直径分
别为40 cm和30 cm；现有制作这种纸篓的塑料制品50m
2
，问最多可以做这种纸篓多少个？




17．（本大题8分）求经过直线L
1
：3x + 4y – 5 = 0与直线L
2
：2x – 3y + 8 = 0的交点M，
且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x + y + 5 = 0平行 ；
（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直；




18．（本大题8分）求圆心在
l
1
:
y?
3
x?
0
上，与
x
轴相切，且被直线
l
2
:x?y?0< br>截得弦长为
27
的圆的方程．

19. （本大题8分）在正方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、 F分别是BB
1
、CD的中点.
（1）.证明:
AD?D
1
F
;

(2). 求AE与D
1
F所成的角;
(3). 设AA
1
=2,求点F到平面A
1
ED
1
的距离.










20．（本大题10分）已知方程
x?y?
2
x?
4
y?m ?
0
.
22
D
1

B
1

A
1

E
D
F
A
B
C
1

C
（1）若此方程表示圆，求
m
的取值围；
（2）若（1）中的圆与直线x?2y?4?0
相交于M，N两点，且OM
?
ON（O为坐标原点）
求
m
的值；
（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程.