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高中数学必修二直线与圆的综合问题精选

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:13
tags:高中数学必修二

高中数学的分步列研究哪几种-2011年陕西省高中数学竞赛


高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
直线与圆



一.解答题(共10小题)

1.已知直线x﹣y+3=0与圆心为(3,4)的圆C 相交,截得的弦长为2
(1)求圆C的方程;

(2)设Q点的坐标为(2,3),且 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k(k>0).若动点M的轨
迹是一条直线,试确定相应 的k值,并求出该直线的方程.





2.已知直线 l:y=x+2被圆C:(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=r
2
(r>0)截得的弦AB的长等于该圆的半径.

(1)求圆C的方程;

(2)已知直线m:y=x+n被圆C:(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=r< br>2
(r>0)截得的弦与圆心构成三角形CDE.若△CDE
的面积有最大值,求出直线 m:y=x+n的方程;若△CDE的面积没有最大值,说明理由.









3.已知M(4,0),N(1,0),曲线C 上的任意一点P满足:
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)过点N(1,0)的直线与 曲线C交于A,B两点,交y轴于H点,设=λ
1
,=λ
2
,试问λ
1

2
?=6||

是否为定值?如果是定值,请求出这个定值;如果不是定值,请说明理由.






4.已知动圆P与圆F
1
:(x+2)< br>2
+y
2
=49相切,且与圆F
2
:(x﹣2)
2< br>+y
2
=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为坐标 原点,过点F
2
作OQ的平行线交曲线C于M,
N两个不同的点,求△QMN面积的最 大值.
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5.已知动圆P过定点
C.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)过点D(3,0)且斜率不为零的直线交曲线C于A ,B两点,在x轴上是否存在定点Q,使得直线
AQ,BQ的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的 坐标;若不存在,请说明理由.






6 .如图所示,在△ABC中,AB的中点为O,且OA=1,点D在AB的延长线上,且.固定边AB,
且与圆N:相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线
在平面内移动顶点C,使得圆M与边BC,边AC的延长线 相切,并始终与AB的延长线相切于点D,记顶点
C的轨迹为曲线Γ.以AB所在直线为x轴,O为坐标 原点如图所示建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线Γ的方程;

(Ⅱ)设动 直线l交曲线Γ于E、F两点,且以EF为直径的圆经过点O,求△OEF面积的取值范围.








7.已知△ABC的顶点A(1,0 ),点B在x轴上移动,|AB|=|AC|,且BC的中点在y轴上.

(Ⅰ)求C点的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)已知过P(0,﹣2)的直线l交轨迹Γ于不 同两点M,N,求证:Q(1,2)与M,N两点连线QM,
QN的斜率之积为定值.


2 13


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8.已知圆M:x
2
+y
2+2y﹣7=0和点N(0,1),动圆P经过点N且与圆M相切,圆心P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点,点B、C在曲线 E上,若直线AB、AC的斜率k
1
,k
2
,满足k
1
k< br>2
=4,
求△ABC面积的最大值.








9.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:( x﹣2)
2
+(y﹣3)
2
=1交于点M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)请问是否存在实数k使得
如果不存在,请说明理由.








10.已知O为坐标原点,抛物线C:y
2
=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为
点P处的切线交x轴于点 Q,直线l
1
经过点Q且垂直于x轴.

(1)求线段OQ的长;

(2)设不经过点P和Q的动直线l
2
:x=my+b交C交点A和B,交l
1
于点E,若直线PA,PB的斜率依次成
等差数列,试问:l
2
是否过定点 ?请说明理由.







,C在
(其中O为坐标原点),如果存在请求出k的值,并求|MN|;
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直线与圆

参考答案与试题解析



一.解答题(共10小题)
< br>1.已知直线x﹣y+3=0与圆心为(3,4)的圆C相交,截得的弦长为2
(1)求圆C的方 程;

(2)设Q点的坐标为(2,3),且动点M到圆C的切线长与|MQ|的比值为常数k (k>0).若动点M的轨
迹是一条直线,试确定相应的k值,并求出该直线的方程.

【分析】(1)求出圆心C到直线l的距离,利用截得的弦长为2
(2)设动点M(x,y),则由题 意可得=k,即
求得半径的值,可得圆C的方程;

=k,化简可得 (k
2



1)?x
2
+(k
2
﹣1)?y
2
+(6﹣4k
2
)x+(8﹣6k
2
)y+ 13k
2
﹣9=0,若动点M的轨迹方程是直线,则k
2
﹣1=0,即
可得出结论.

【解答】解:(1)圆心C到直线l的距离为
∵截得的弦长为2
∴半径为2,

∴圆C:(x﹣3)
2
+(y﹣4)
2
=4;

(2)设动点M(x,y),则由题意可得=k,即=k,



=,

化简可得 (k
2
﹣1)?x
2
+(k2
﹣1)?y
2
+(6﹣4k
2
)x+(8﹣6k
2< br>)y+13k
2
﹣21=0,

若动点M的轨迹方程是直线,则k
2
﹣1=0,∴k=1,

直线的方程为x+y﹣4=0.

【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系,弦长 公式的应用,圆的一般式方程,属于中档题.



2.已知直线l:y=x +2被圆C:(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=r
2
(r>0 )截得的弦AB的长等于该圆的半径.

(1)求圆C的方程;

(2)已知 直线m:y=x+n被圆C:(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=r
2< br>(r>0)截得的弦与圆心构成三角形CDE.若△CDE
的面积有最大值,求出直线m:y=x +n的方程;若△CDE的面积没有最大值,说明理由.


【分析】(1)根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆C的方程;

(2)根据直线和圆相交的位置关系,结合△CDE的面积公式即可得到结论.

【解答】解:(1)设直线l与圆C交于A,B两点.

∵直线l:y=x+2被圆C :(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=r
2
(r>0)截得的弦 长等于该圆的半径,

∴△CAB为正三角形,

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高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
∴三角形的高等于边长的,



∴圆心C到直线l的距离等于边长的
∵直线方程为x﹣y+2=0,圆心 的坐标为(3,2),

∴圆心到直线的距离d=
∴r=
=,

,∴圆C的方程为:(x﹣3)
2
+(y﹣2)
2
=6.

(2)设圆心C到直线m的距离为h,H为DE的中点,连结CD,CH,CE.

在△CDE中,

∵DE=



=
< br>∴
当且仅当h
2
=6﹣h
2
,即h
2
=3, 解得h=
∵CH=
∴|n+1|=
∴n=




时,△CDE的面积最大.



,∴存在n的值,使得△CDE的面积最大值为3,



此时直线m的方程为y=x


【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,根据弦长公式是解决本题的关键.

3.已知M(4,0),N(1,0),曲线C上的任意一点P满足:
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
?=6||

(Ⅱ)过点N(1,0)的直线与曲线C交于A,B两点,交y轴 于H点,设=λ
1
,=λ
2
,试问λ
1

2是否为定值?如果是定值,请求出这个定值;如果不是定值,请说明理由.

【分析】(Ⅰ)求出向量的坐标,利用条件化简,即可求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)分 类讨论,利用=λ
1
,=λ
2
,结合韦达定理,即可得出结论.

=(x﹣4,y),


=(1﹣x,﹣y).

【解答】 解:(Ⅰ)设P(x,y),则
∵?=6|
=(﹣3,0),
|,∴﹣3×(x﹣4) +0×y=6
化简得=1为所求点P的轨迹方程.4分

(Ⅱ)设A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
).

①当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+1(m≠0),则H(0,﹣).

5 13


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从而=(x< br>1
,y
1
+),=(1﹣x
1
,﹣y
1
), 由=λ
1
得(x
1
,y
1
+)=λ
1
(1 ﹣x
1
,﹣y
1
),

∴﹣λ
1
=1+

同理由得﹣λ
2
=1+,

∴﹣(λ
1

2
)=2+

由直线与椭圆方程联 立,可得(4+3m
2
)y
2
+6my﹣9=0,

∴y< br>1
+y
2
=﹣,y
1
y
2
=﹣

代入得∴(λ
1

2
)=2+=,

∴λ
1

2
=﹣

②当直线l与x轴重合时,A (﹣2,0),B(2,0),H(0,0),λ
1
=﹣
∴λ
1

2
=﹣11分

.12分.

.λ
2
=﹣2,

综上,λ
1

2为定值﹣
【点评】本题考查轨迹方程,考查向量知识的运用,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查 分类讨论的数
学思想,属于中档题.



4.已知动圆P与圆F< br>1
:(x+2)
2
+y
2
=49相切,且与圆F
2< br>:(x﹣2)
2
+y
2
=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为 坐标原点,过点F
2
作OQ的平行线交曲线C于M,
N两个不同的点,求△QMN面积 的最大值.

【分析】(I)由已知条件推导出|PF
1
|+|PF
2
|=8>|F
1
F
2
|=6,从而得到圆心P的轨迹为以F
1
,F
2
为焦点的椭圆,
由此能求出圆心P的轨迹C的方程.
< br>(II)由MN∥OQ,知△QMN的面积=△OMN的面积,由此能求出△QMN的面积的最大值.
【解答】解:(Ⅰ)设圆P的半径为R,圆心P的坐标为(x,y),

由于动 圆P与圆F
1
:(x+2)
2
+y
2
=49相切,且与圆F
2
:(x﹣2)
2
+y
2
=1相内切,

所以动圆P与圆F
1
只能内切.…(1分)

所以|PF
1
|+|PF
2
|=7﹣R+R﹣1=6>|F
1
F
2
|=4.…(3分)

所以圆心圆心P的轨迹为以F
1
,F
2
为焦点的椭圆,
< br>其中2a=6,2c=4,∴a=3,c=2,b
2
=a
2
﹣c
2
=5.

所以曲线C的方程为=1.…(4分)

6 13


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(Ⅱ)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),Q(x
3
,y
3
),直线MN的方程为x=my+2,

由可得:(5m
2
+9)y
2
+20my﹣25=0,

则y
1
+y
2
=﹣

,y
1
y
2
=﹣.…(5分)

所以|MN|== …(7分)


因为MN∥OQ,∴△QMN的面积=△OMN的面积,

∵O到直线MN:x=my+2的距离d=.…(9分)

所以△QMN的面积.…(10分)

令=t,则m
2
=t
2
﹣1(t≥0),S==.

设,则.

因为t≥1,所以.

所以,在[1,+∞)上单调递增.

所以当t=1时,f(t)取得最小值,其值为9.…(11分)

所以△QMN的面积的最大值为.…(12分)

【点评】本题考查椭圆的标准方程、 直线、圆、与椭圆等椭圆知识,考查推理论证能力、运算求解能力,
考查函数与方程思想、化归与转化思 想、数形结合思想等.



5.已知动圆P过定点
C.

(Ⅰ)求曲线C的方程;

(Ⅱ)过点D(3,0)且斜率不为零的直线交曲线C于A ,B两点,在x轴上是否存在定点Q,使得直线
AQ,BQ的斜率之积为非零常数?若存在,求出定点的 坐标;若不存在,请说明理由.

【分析】(Ⅰ)由题意可知丨PM丨+丨PN丨=4>丨MN 丨=2
长为4的椭圆,则a=4,c=
,则P的轨迹C是以M,N为焦点,长轴
,b< br>2
=a
2
﹣c
2
=1,即可求得椭圆方程;

且与圆N:相切,记动圆圆心P的轨迹为曲线
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高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
(Ⅱ)将直线方程代入椭圆方程,考 查韦达定理,直线的斜率公式,当且仅当,解
得t=±2,代入即可求得,定点的坐标.

【解答】解:(Ⅰ)设动圆P的半径为r,由N:及,知点M在圆N
内,则有,

从而丨PM丨+丨PN丨=4>丨MN丨=2,

∴P的轨迹C是以M,N为焦点,长轴长为4的椭圆,

设曲线C的方程为:(a>b>0),则2a=4,a=4,c=,

b
2
=a
2
﹣c
2
=1

故曲线C的轨迹方程为;

(Ⅱ)依题意可设直线AB的方程为x=my+3,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).,
由,整理得:(4+m
2
)y
2
+6my+5=0,则△=3 6m
2
﹣4×5×(4+m
2
)>0,即m
2
>4,

解得:m>2或m<﹣2,

由y
1
+y
2
= ﹣,y
1
y
2
=,x
1
+x
2
=m(y< br>1
+y
2
)+6=,

x
1
x
2< br>=(my
1
+3)(my
2
+3)=m
2
y
1
y
2
+m(y
1
+y
2
)+9=,

假设存在定点Q(t,0),使得直线AQ,BQ的斜率之积为非零常数,则

(x< br>1
﹣t)(x
2
﹣t)=x
1
x
2
﹣t(x
1
+x
2
)+t
2
=﹣t×+t
2
=,< br>
∴k
AQ
?k
BQ
=?==,

要使k< br>AQ
?k
BQ
为非零常数,当且仅当,解得t=±2,

当t=2时,常数为
当t=﹣2时,常数为
=
=




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高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
∴存在两个定点Q
1
(2,0)和Q
2
(﹣2,0),使直线AQ, BQ的斜率之积为常数,

当定点为Q
1
(2,0)时,常数为;当定点为Q
2
(﹣2,0)时,常数为.

【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性 质,椭圆的定义,考查直线与椭圆的位置关系,韦达定理,
直线的斜率公式,考查计算能力,属于中档题 .



6.如图所示,在△ABC中,AB的中点为O,且OA=1,点D 在AB的延长线上,且.固定边AB,
在平面内移动顶点C,使得圆M与边BC,边AC的延长线相切, 并始终与AB的延长线相切于点D,记顶点
C的轨迹为曲线Γ.以AB所在直线为x轴,O为坐标原点如 图所示建立平面直角坐标系.

(Ⅰ)求曲线Γ的方程;

(Ⅱ)设动直线l 交曲线Γ于E、F两点,且以EF为直径的圆经过点O,求△OEF面积的取值范围.

【分析】(Ⅰ)确定点C轨迹Γ是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点,即可求曲< br>线Γ的方程;

(Ⅱ)可设直线
求△OEF面积的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)依题意得AB=2,BD=1,设动圆M与边AC的延长线相切于T
1
, 与边BC相切于T
2
,则
AD=AT
1
,BD=BT
2,CT
1
=CT
2

所以AD+BD=AT
1
+BT
2
=AC+CT
1
+BT
2
=AC+CT
1
+CT
2
=AC+BC=AB+2BD=4>AB=2…(2分)

所以点C轨迹Γ是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆,且挖去长轴的两个顶点.则曲线Γ的方程为
,进 而表示面积,即可
.…(4分)

(Ⅱ)由于曲线Γ要挖去长轴两个顶点,所以直线O E,OF斜率存在且不为0,所以可设直线
…(5分)


由得,,同理可得:,;

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所以,

又OE⊥ OF,所以
令t=k
2
+1,则t>1且k
2
=t﹣
…(8 分)

1,所以
=
…(10分)

又,所以,所以,

所以,所以,

所以△OEF面积的取值范围为.…(12分)


【点评】本题考查轨迹方 程,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查三角形面积的计算,考查学生分析解
决问题的能力,属于中档 题.



7.已知△ABC的顶点A(1,0),点B在x轴上移动,|A B|=|AC|,且BC的中点在y轴上.

(Ⅰ)求C点的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)已知过P(0,﹣2)的直线l交轨迹Γ于不同两点M,N,求证:Q(1,2)与M,N两点连线QM ,
QN的斜率之积为定值.

【分析】(Ⅰ)利用直接法,求C点的轨迹Γ的方程;

(Ⅱ)设直线l的方程为y=kx﹣2,与抛物线方程联立,求出斜率,即可证明结论.
【解答】解:(Ⅰ)设C(x,y)(y≠0),因为B在x轴上且BC中点在y轴上,所以B(﹣x,0) ,由|AB|=|AC|,
得(x+1)
2
=(x﹣1)
2
+y2


化简得y
2
=4x,所以C点的轨迹Γ的方程为y
2
=4x(y≠0).

(Ⅱ)直线l的斜率显然存在且不为0,

设直线l的方程为y=kx﹣2,M(x
1
,y
1
),N(x
2< br>,y
2
),

由得ky
2
﹣4y﹣8=0,

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高中数学必修二直线与圆的综合问题精选
所以,,,同理,


所以Q(1,2)与M,N两点连线的斜率之积为定值4.

【点评】本题考查轨迹方 程,考查直线与抛物线位置关系的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.


< br>8.已知圆M:x
2
+y
2
+2y﹣7=0和点N(0,1),动圆P 经过点N且与圆M相切,圆心P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

(2)点A是曲线E与x轴正半轴的交点,点B、C在曲线E上,若直线AB、AC的斜率k
1
,k
2
,满足k
1
k
2
=4,
求△ABC面积的 最大值.

【分析】(1)利用圆与圆的位置关系,得出曲线E是M,N为焦点,长轴长为的方程;

的椭圆,即可求曲线E
(2)联立方程组得 (1+2t
2< br>)y
2
+4mty+2m
2
﹣2=0,利用韦达定理,结合k
1
k
2
=4,得出直线
BC过定点(3,0),表示出面积,即可求△ABC 面积的最大值.

【解答】解:(1)圆M:x
2
+y
2
+ 2y﹣7=0的圆心为M(0,﹣1),半径为
点N(0,1)在圆M内,因为动圆P经过点N且与圆M 相切,

所以动圆P与圆M内切.设动圆P半径为r,则
因为动圆P经过点N,所以r =|PN|,
所以曲线E是M,N为焦点,长轴长为
由,得b
2
=2﹣1=1 ,

的椭圆.

﹣r=|PM|.

>|MN|,


所以曲线E的方程为…(4分)

(Ⅱ)直线BC斜率为0时,不合题意

设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),直线BC:x=ty+m,

联立方程组得 (1+2t
2
)y
2
+4mty+2m
2< br>﹣2=0,

又k
1
k
2
=4,知y
1y
2
=4(x
1
﹣1)(x
2
﹣1)=4(ty
1
+m﹣1)(ty
2
+m﹣1)

=.

代入得

又m≠1,化简得(m+1)(1﹣4t
2
)=2(﹣4m t
2
)+2(m﹣1)(1+2t
2
),

11 13


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解得m=3,故直线BC过定点(3,0)…(8分)

由△>0,解得t
2
>4,
=

(当且仅当时取等号).

综上,△ABC面积的最大值为…(12分)
< br>【点评】本题考查圆与圆的位置关系,考查椭圆的定义与方程,考查直线与椭圆位置关系的运用,考查韦< br>达定理,属于中档题.



9.已知过点A(0,1)且斜率为k的 直线l与圆C:(x﹣2)
2
+(y﹣3)
2
=1交于点M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)请问是否存在实数k使得
如果不存在,请说明理由.

【分析】(1)设出直线方程,利用直线与圆的位置关系,列出不等式求解即可.

( 2)设出M,N的坐标,利用直线与圆的方程联立,通过韦达定理,结合向量的数量积,求出直线的斜率,
然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可.

【解答】解:(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1,因为直线l与圆C交于两点,

由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.

故由<1,解得:<k<

(其中O为坐标原点),如果存在请求出k的值,并求|M N|;
所以k的取值范围为得(,)

(2)设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
).

将y=kx+1代 入方程:(x﹣2)
2
+(y﹣3)
2
=1,

整理得(1+k
2
)x
2
﹣4(1+k)x+7=0.
< br>所以x
1
+x
2
=
?
,x
1
x2
=,

=12,

=x
1
x
2+y
1
y
2
=(1+k
2
)(x
1
x
2
)+k(x
1
+x
2
)+1=
解得k=1,所以 直线l的方程为y=x+1.

故圆心C在直线l上,所以|MN|=2.

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用,以及直线和圆相交的弦长公式的计算,考查学生的计
算能力,是中档题.



10.已知O为坐标原点,抛物线C:y
2
=nx(n>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点的距离为
点P处的切线交x轴于点Q ,直线l
1
经过点Q且垂直于x轴.

(1)求线段OQ的长;

,C在
12 13


高中数学必修二直线与圆的综合问题精选 (2)设不经过点P和Q的动直线l
2
:x=my+b交C交点A和B,交l
1< br>于点E,若直线PA,PB的斜率依次成
等差数列,试问:l
2
是否过定点?请 说明理由.

【分析】(1)先求出p的值,然后求出在第一象限的函数,结合函数的导数的几 何意义求出N的坐标即可
求线段OQ的长;

(2)联立直线和抛物线方程进行消元, 转化为关于y的一元二次方程,根据根与系数之间的关系结合直线
斜率的关系建立方程进行求解即可.< br>
【解答】解:(Ⅰ)由抛物线y
2
=nx(n>0)在第一象限内的点P(2 ,t)到焦点的距离为
得2+=,∴n=2,



抛物线C的方程为y
2
=2x,P(2,2). …(2分)

C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=
故C在点P处的切线斜率为
,则y′=,

,切线的方程为y﹣2=(x﹣2),

令y=0得x=﹣2,所以点Q的坐标为(﹣2,0).

故线段OQ的长为2. …(5分)

(Ⅱ)l
2
恒过定点(2,0),理由如下:

由题意可知l
1
的方程为x=﹣2,因为l
2
与l
1
相交 ,故m≠0.

由l
2
:x=my+b,令x=﹣2,得y=﹣
设A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2

由消去x得:y
2
﹣2my﹣2b=0

,故E(﹣2,﹣)

则y
1
+y
2
=2m,y< br>1
y
2
=﹣2b …(7分)

直线PA的斜率为,同理直线PB的斜率为,

直线PE的斜率为.

因为直线PA,PE,PB的斜率依次成等差数列,

所以+=2× …(10分)

整理得:=,

因为l
2
不经过点Q,所以b≠﹣2,

所以2m﹣b+2=2m,即b=2.

故l
2
的方程为x=my+ 2,即l
2
恒过定点(2,0).…(12分)

【点评】本题主要考查直线 和抛物线的位置关系,利用直线和抛物线方程,转化为一元二次方程,结合韦
达定理,利用设而不求的思 想是解决本题的关键.



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