高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题

高一数学必修2《直线、平面平行的判定及其性质》练习题
第1题. 已知
?

答案：证明：
?
?a
，
??
? m
，
??
?b
，且
m
?
，求证：
ab．
?
?m
??
??
m

?
?
?m

a
?
?a

b
．
?
???a
?
?
同理?m

b
?





第2题. 已知：
?
?
?
b

?

a
m

?

?
?b
，
a
?
，
a
?
，则
a
与
b
的位置关系是（ ）
Ｂ．
a?b

Ｄ．
a
，
b
异面
Ａ．
ab

Ｃ．
a
，
b
相交但不垂直

答案：Ａ．



第3题. 如图，已知点
P
是平行四边形
A BCD
所在平面外的一点，
E
，
F
分别是
PA
，< br>BD
上的点且
PE
∶
EA?BF
∶
FD
，求 证：
EF
平面
PBC
．


P


E



D


C


F


A


B


答案：证明：连结
AF
并延长交
BC
于
M
．连结< br>PM
，
BFMFPEBFPEMF
??
?
，又由已知，
∴
． FDFAEAFA
EAFD
由平面几何知识可得
EF
PM
，又< br>EF?PBC
，
PM?
平面
PBC
，
∴
EF
平面
PBC
．
∵ADBC
，
∴

第4题. 如图，长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
1
F
1
是平面A
1
C
1
上的线段，求证：
E
1
F
1

平
面
AC
．









D
1
A
1
F
1
C
1
B
1
E
1
D
A
B
C
答案：证明：如图，分别在
AB
和
CD
上截取
AE?A1
E
1
，
DF?D
1
F
1
，连接EE
1
，
FF
1
，
EF
．
∵
长方体
AC
1
的各个面为矩形，
∴A
1
E
1
平行且等于
AE
，
D
1
F
1
平行且等于
DF
，
故四边形
AEE
1
A
1，
DFF
1
D
1
为平行四边形．
∴EE
1< br>平行且等于
AA
1
，
FF
1
平行且等于
DD
1
．
∵AA
1
平行且等于
DD
1
，∴EE
1
平行且等于
FF
1
，
四边形
EFF
1
E
1
为平行四边形，
E
1
F
1
EF
．
∵EF?
平面
ABCD
，
E
1
F
1
?
平面
ABCD
，
∴
E
1
F
1

平面
ABCD
．











D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

E
1

D

A

E

F

B

C

第5题. 如图，在正方形
ABCD
中，
BD
的圆心是
A
，半径为
AB
，
BD
是正方形
ABCD
的

对角线 ，正方形以
AB
所在直线为轴旋转一周．则图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三部分旋转所得几何体的
体 积之比为 ．

D


A



Ⅰ

Ⅱ





Ⅲ
B

C

答案：
1
∶
1
∶
1




第6题. 如图，正方形
ABCD
的边长为
13
，平面< br>ABCD
外一点
P
到正方形各顶点的距离
都是
13
，
M
，
N
分别是
PA
，
DB
上的点，且PM
∶
MA?BN
∶
ND?5
∶
8
．
（１） 求证：直线
MN
平面
PBC
；
（２） 求线段
MN
的长．

P






M



D


N



A





则由
ADBC
，得
C

E

B

（１） 答案：证明：连接
AN
并延长交
BC
于
E
，连接
PE
，
BNNE
?
．
NDAN
BNPMNEPM
∵??
，
∴
．
NDM AANMA
∴MNPE
，又
PE?
平面
PBC
，
M N?
平面
PBC
，
∴
MN
平面
PBC
．
（２） 解：由
PB?BC?PC?13
，得
?PBC?60?
；

BEBN5565
，
??
，知
BE??13?
ADND8 88
918
由余弦定理可得
PE?
，
∴MN?PE?7
．
813
由



第7题. 如图，已知
P
为平行四边形
ABCD
所在平面外一点，
M
为
PB
的中点，
求证：
PD
平面
MAC
．












C




P

M

B

A

D

答案：证明：连接
AC、
BD
交点为
O
，连接
MO
，则
MO
为
△BDP
的中位线，
∴
PDMO
．
∵PD?
平 面
MAC
，
MO?
平面
MAC
，
∴
PD< br>平面
MAC
．


P





M




B


A



C

O


D

第8题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
，
F
分别是棱
BC
，
C
1
D
1
的中点，求证：
EF平面
BB
1
D
1
D
．














D
1

A
1

F

B
1

C
1

D

A

B

C

E

答案：证明：如图，取
D< br>1
B
1
的中点
O
，连接
OF
，
OB
，
11
∵OF
平行且等于
B
1
C
1< br>，
BE
平行且等于
B
1
C
1
，
22
∴OF
平行且等于
BE
，则
OFEB
为平行四边形，
∴EF
BO
．
∵EF?
平面
BB
1
D< br>1
D
，
BO?
平面
BB
1
D
1D
，
∴
EF
平面
BB
1
D
1
D
．














D
1

A
1

F

O

B
1

C
1

D

A

B

C

E

第9题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，试作出过
AC
且与直线
D
1
B
平行的截面，

并说明理由．











D
1

A
1

B
1

C
1

D

A

B

C

答案：解：如图，连接
DB
交
A C
于点
O
，取
D
1
D
的中点
M
， 连接
MA
，
MC
，则截面
MAC
即为所求作的截面．




A
1






A




D
1

B
1

C
1

M

D

O

C

B

∵MO
为
△D1
DB
的中位线，
∴D
1
BMO
．
∵D1
B?
平面
MAC
，
MO?
平面
MAC
，
∴D
1
B
平面
MAC
，则截面
MAC
为过
AC
且与直线
D
1
B
平行的截面．



第10题. 设
a
，
b
是异面直线，
a?
平面
?
，则过
b
与
?
平行的平面（ ）
Ａ．不存在 Ｂ．有1个
Ｃ．可能不存在也可能有1个 Ｄ．有2个以上

答案：Ｃ．

第11题. 如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，求证：平面
A
1
BD
平面
CD
1
B
1
．













D
1

A
1

B
1

C
1

C

A

D

B


?
?
B
1
B
∥
A
1
A

∥
DD

?BB
答案：证明：
?
11

∥
AADD
?
11
?
?
四边形
BB
1
D
1
D
是平行四边形
?
D
1
B
1
DB
?
?

?
DB?
平面
A
1
BD

?
DB ?
平面
ABD
1
?
11
?
D
1
B
1

平面
A
1
BD
?
?
?
同理
B
1
C
平面
A
1
BD

?< br>DBBC?B
11
?
11
?
平面
B
1
CD
1

平面
A
1
BD
．



第12题. 如图，
M
、
N
、
P
分别为 空间四边形
ABCD
的边
AB
，
BC
，
CD
上的点，且
AM
∶
MB?CN
∶
NB?CP
∶
P D
．
求证：（１）
AC
平面
MNP
，
BD
平面
MNP
；
（２）平面
MNP
与平面
ACD
的交线
AC
．


A




M

E



B

N

C


D

P

答案：证明：（１）
AM CN
?
??MNAC
?
MBNB
?
AC?平面MNP
?
?AC平面MNP
．
?
MN?平面MNP
?
?
CNCP
?
??PNBD
?
NBPD
?
BD?平面MNP
?
BD平面MNP
．
?
PN?平面MNP
?
?
（２）
设平面MNP平面ACD?PE
?
?
AC?平面ACD

?
?PEAC，
?
AC平面MNP
?
即平面MNP与平面ACD的交线 AC
．



第13题. 如图，线段
AB
，< br>CD
所在直线是异面直
线，
E
，
F
，
G，
H
分别是线段
AC
，
CB
，
BD
，
DA
的中点．
（１） 求证：
EFGH
共面且
AB∥面
EFGH
，
CD∥
面
EFGH
；
（２） 设
P
，
Q
分别是
AB
和
CD
上任意一点， 求
证：
PQ
被平面
EFGH
平分．



答案：证明：（１）
∵E
，
F
，
G
，
H< br>分别是
AC
，
CB
，
BD
，
DA
的 中点．，
A

E

C

H

P

Q

M

N

G

D

F

B

∴EHCD
，
FG CD
，
∴EHFG
．因此，
E
，
F
，
G< br>，
H
共面．
∵CDEH
，
CD?
平面
EF GH
，
EH?
平面
EFGH
，
∴CD
平面
EFGH
．同理
AB
平面
EFGH
．

（２）设
PQ
平面
EFGH
＝
N
，连接
PC
，设
PCEF?M
．
△PCQ
所在平面平面
EFGH
＝
MN
， < br>∵CQ
平面
EFGH
，
CQ?
平面
PCQ
，
∴CQMN
．
∵EF
是
△ABC
是的中位线，
∴M
是
PC
的中点，则
N
是
PQ
的中点，即PQ
被平面
EFGH
平分．


第14题. 过平面
?
外的直线
l
，作一组平面与
?
相交，如果所得的交线为< br>a
，
b
，
c
，
…
，
则这些交线的位 置关系为（ ）
Ａ．都平行
Ｂ．都相交且一定交于同一点
Ｃ．都相交但不一定交于同一点
Ｄ．都平行或都交于同一点

答案：Ｄ．



第15题.
a
，
b
是两条异面直 线，
A
是不在
a
，
b
上的点，则下列结论成立的是（ ）
Ａ．过
A
且平行于
a
和
b
的平面可能不存在
Ｂ．过
A
有且只有一个平面平行于
a
和
b

Ｃ．过
A
至少有一个平面平行于
a
和
b

Ｄ．过
A
有无数个平面平行于
a
和
b


答案：Ａ．



第16题. 若空间四边形
ABCD< br>的两条对角线
AC
，
BD
的长分别是8，12，过
AB
的中点
E
且平行于
BD
、
AC
的截面四边形的周长为 ．
答案：20．



第17题. 在空间四边形
AB CD
中，
E
，
F
，
G
，
H
分别为
AB
，
BC
，
CD
，
DA
上的
一 点，且
EFGH
为菱形，若
AC
平面
EFGH
，
B D
平面
EFGH
，
AC?m
，
BD?n
，
则
AE：BE?
．

答案：
m
∶
n
．

第18题. 如图，空间四边形
ABCD
的对棱
AD< br>、
BC
成
60?
的角，且
AD?BC?a
，平行于
AD
与
BC
的截面分别交
AB
、
AC
、
CD
、
BD
于
E
、
F
、
G< br>、
H
．
（１）求证：四边形
EGFH
为平行四边形； （２）
E
在
AB
的何处时截面
EGFH
的面积最大？最 大面积是多少？


A



E



F


D

B


H






G

C

答案：（１）证明：
∵BC
平面
EFGH
，< br>BC?
平面
ABC
，
平面
ABC
平面
EFGH
?EF
，
∴BCEF
．同理
BCGH
，
∴EFGH
，同理
EHFG
，
∴
四边形
EGFH
为平行四边形．
（２）解：
∵AD
与
BC
成
60?
角，
?
或
120?
，设
AE:AB?x
，
∵∴
?HGF ?60
BC?a
，
∴
EF?ax
，由
得
EH?a( 1?x)
．
EFAE
??x
，
BCAB
EHBE
??1?x
，
ADAB
?
< br>∴
S
四边形EFGH
?EF?EH?sin60
?ax?a(1?x) ?
3

2
?
3
2
3
2
?
11
?
a(?x
2
?x)
?a
?
?(x?)
2
?
?
．
2
224
??
3
2
1
a
， 时，
S
最大值
?
8
2
3
2
a
．
8
当
x?
即当
E
为
AB
的中点时，截面的 面积最大，最大面积为

第19题.
P
为
△ABC
所在平面外一点， 平面
?

平面
ABC
，
?
交线段
PA
，
PB
，
PC
于
ABC'''
，
PA'
∶
AA'?2
∶
3
，则
S
△AB
''
C< br>'
∶
S
△ABC
?
．
答案：
4
∶
25




第20题. 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，
ABCD
是平行四边 形，
M
，
N
分别是
AB
，
PC
的中点．
求证：
MN
平面
PAD
．


P







D




A


M



N

C

B

答案：证明：如图，取
CD
的中点
E
，连接
NE
，
ME

∵M
，
N
分别是
AB
，
PC
的中点，
∴NEPD
，
MEAD
，
可证明
NE
平面
PAD
，
ME
平面
PAD
．
又
NEME?E
，
∴
平面
MNE
平面
PAD
，
又
MN?< br>平面
MNE
，
∴
MN
平面
PAD
．
P

N

D

E

A

C

M


B

第21题. 已知平面
?

平面
?
，
AB
，
CD
是夹在两平行平面间的两条线段，
A
，
C
在
?
内，
B
，
C
在
?
内，点
E
，F
分别在
AB
，
CD
上，且
AE
∶
E B?CF
∶
FD?m
∶
n
．
求证：
EF
平面
?
．
答案：证明：分
AB
，
CD
是异面、共面两种情况讨论．
（１） 当
AB
，
CD
共面时，如图（
a
） ∵
?

?
，
∴ACBD
，连接
E
，F
．
∵AE
∶
EB?CF
∶
FD
，
∴EFACBD
且
EF?
?
，
AC?
?
，
∴
EF
平面
?
．
























交
?
于点
H
．
在
H
上取点
G< br>，使
AG
，连接
EF
，由（１）证明可得
GFHD
， 又
∶
GH?m
∶
n
得
EGBH
．
∴
平面
EFG
平面
?

平面
?
．
AG∶
GH?AE
∶
EB
又
EF?
面
EFG
，
∴
EF
平面
?
．

A

C

?
E

B

F

D

?

图（
a
）
A

G

C

?
E

H

B

F

D

?

图（
b
）
（２） 当
AB
，
CD
异面时 ，如图（
b
），过点
A
作
AHCD

第22题. 已知
?

答案：证明：
?
?a
，< br>??
?m
，
??
?b
，且
m
?
，求 证：
ab
．
??
?m
??
??
m

?
?
?m

a
?
?a

b
． ?
??
?a
?
?
同理?m

b
?














?

b

?

a
m

?

第23题. 三棱锥
A?BCD
中，
AB?CD?a
，截面
MNPQ
与
AB
、
C D
都平行，则截面
MNPQ
的周长是（ ）．
Ａ．
4a

Ｃ．
Ｂ．
2a

Ｄ．周长与截面的位置有关
3a

2

答案：Ｂ．



第24题. 已知：
??
?b
，
a
?
，
a
?
，则
a
与
b
的位置关系是（ ）．
Ｂ．
a?b

Ｄ．
a
、
b
异面
Ａ．
ab

Ｃ．
a
、
b
相交但不垂直

答案：Ａ．

第25题. 如图，已知点
P
是平行四边形
ABCD
所在 平面外的一点，
E
、
F
分别是
PA
、
BD
上的点且
PE:EA?BF:FD
，求证：
EF
平面
PBC
．

P


E



D


C


F


A

B




答案：证明：连结
AF
并延长交
BC
于
M
．
连结
PM
，
BFMF
，
?
FDFA
PEBFPEMF
又由已知，
∴
．
?
?
EAFA
EAFD
由平面几何知识可得
EF
PM
，
又
EF?PBC
，
PM?
平面
PBC
，
∴
EF
平面
PBC
．
∵ADBC
，
∴



第26题. 如图，长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，
E
1
F
1
是平面
A
1
C
1上的线段，求证：
E
1
F
1

平面
ABCD．






D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

E
1

D

A

B

C

答案：证明：如图，分别在
AB
和
CD
上截得
AE?A
1
E
1
，
DF?D
1
F
1
，连接
EE
1
，
FF
1
，
EF
．
∵
长方体
AC
1
的各个面为矩形， ∴EE
1
平行且等于
AA
1
，
FF
1
平行且等于
DD
1
．
∵AA
1
平行且等于
DD< br>1
，
∴EE
1
平行且等于
FF
1
，
四边形
EFF
1
E
1
为平行四边形，

E
1
F
1
EF
．
∵EF?
平面
ABCD
，
E
1
F
1
?
平面
ABCD，
∴
E
1
F
1

平面
ABCD
．











D
1

A
1

F
1

C
1

B
1

E
1

D

A

E

F

B

C

第27题. 已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，
求证：平面
AB
1
D
1

平面
C
1
BD
．











D
1

A
1

B
1

C
1

D

A

B

C

答案：证明：因为
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
为正方体，
所以
D
1
C1
A
1
B
1
，
D
1
C
1?A
1
B
1
．
又
ABA
1
B
1
，
AB?A
1
B
1
，
所以
D
1
C
1
AB
，
D
1
C
1
?AB
，
所以
D
1
C
1
BA
为平行四边形．
所以
D
1
AC
1
B
．由直线与平面平行的判定定理 得

D
1
A
平面
C
1
BD
．
同理< br>D
1
B
1

平面
C
1
BD
， 又
D
1
A
所以，平面
AB
1
D
1

平面
C
1
BD
．




第28题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这
个平面．
如图 ，已知直线
a
，
b
平面
?
，且
ab
，a
?
，
a
，
b
都在
?
外．
求证：
b
?
．












D
1
B
1
?D
1
，
?

a

b

c
?

答案：证明：过
a
作平面
?
，使它与平面
?
相交，交线为
c
． < br>因为
a
?
，
a?
?
，
?
所以
ac
．
因为
ab
，
所以
bc
．
又因为
c?
?
，
b?
?
，
所以
b
?
．



第29题. 如图， 直线
AA'
，
BB'
，
CC'
相交于
O
，
AO?AO

'
，
BO?BO'
，
CO?C'O< br>．
求证：
ABC
平面
ABC'''
．

C'



B'

A'


?
?c
，
O


A

C

B

答案：提示：容易证明
ABAB''
，
ACAC''
．
进而可证平面
ABC
平面
ABC'''
．




第30题. 直线
a
与平面
?
平行的充要条件是（
Ａ．直线
a
与平面
?
内的一条直线平行
Ｂ．直线
a
与平面
?
内两条直线不相交
Ｃ．直线
a
与平面
?
内的任一条直线都不相交
Ｄ．直线
a
与平面
?
内的无数条直线平行

答案：Ｃ．







）