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高中数学必修2知识点和例题讲义

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:18
tags:高中数学必修二

山西高中数学课本pdf-高中数学统计在哪本




第24讲 §3.3.2 两点间的距离
22
¤知识要点:1. 平面内两点
P
1
(x
1
, y
1
)

P
2
(x
2
,y
2)
,则两点间的距离为:
|PP
12
|?(x
1
?x< br>2
)?(y
1
?y
2
)
.
特别地,当P
1
,P
2
所在直线与x轴平行时,
|PP
1
,P
2
所在直线与y轴平行时,
|PP
1
,P
2
1 2
|?|x
1
?x
2
|
;当
P
12
|?|y
1
?y
2
|
;当
P
2
在直线< br>y?kx?b
上时,
|P
1
P
2
|?1?k|x1
?x
2
|
.
2. 坐标法解决问题的基本步骤是:(1)建 立坐标系,用坐标表示有关量;(2)进行有关代数运算;(3)把代数运算的
结果“翻译”成几何关系 .
¤例题精讲:
【例1】在直线
2x?y?0
上求一点
P
,使它到点
M(5,8)
的距离为5,并求直线
PM
的方程.
解:∵ 点
P
在直线
2x?y?0
上,∴ 可设
P(a,2a)
,根据两点的距离公式得
PM
2
?(a?5)
2
?(2a?8)
2
?5
2
,即5a
2
? 42a?64?0
,解得
a?2或a?
方程为
323264
,∴P(2,4)或(,)
. ∴
555
直线PM的
y?8x?5y?8x ?5
?或?
,即
4x?3y?4?0或24x?7y?64?0
.
4?82?5
64
?8
32
?5
55
【例2】直线2x-y -4=0上有一点P,求它与两定点A(4,-1),B(3,4)的距离之差的最大值.
解:找A关于l的对称点A′,A′B与直线l的交点即为所求的P点. 设
A'(a,b)
, 则
?
b?1
?2??1
?
?
a?0
?
a?4
,解得, 所以线段
|A'B|?(4?1)2
?(3?0)
2
?32
.
?
?
?
b?1
?
2?
4?a
?
b?1
?4?0
?
?22
【例3】已知AO是△ABC中BC边的中线,证明|AB|
2
+|AC|2
=2(|AO|
2
+|OC|
2
).
解:以O为坐标原点,BC为x轴,BC的中垂线为y轴,建立如图所示坐标系xOy.
设点A(a,b)、B(-c,0)、C(c,0),
A(a,b)
由两点间距离公式得:
|AB|=
(a?c)
2
?b
2< br>,|AC|=
(a?c)
2
?b
2

|AO|=
a
2
?b
2
, |OC|=c.
∴ |AB|
2
+|AC|
2
=
2(a
2
?b
2
?c
2
)
, |AO|
2
+|OC|
2
=
a
2
?b
2
?c
2
.
∴ |AB|
2
+|AC|
2
=2(|AO|
2
+|OC|
2< br>).
y
B(-c,0) O C(c,0) x
第25讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离
|Ax
0
?By
0
?C|
¤知识要点:1. 点
P (x
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的 距离公式为
d?
.
22
A?B
2. 利用点到直线的距离公式,可 以推导出两条平行直线
l
1
:Ax?By?C
1
?0
l
2
:Ax?By?C
2
?0
之间的距离公式
|C?C
2
|
,推导过程为:在直线
l
2
上任取一点
P(x
0
,y
0
)
,则
Ax
0
?By
0
?C
2
?0
,即
Ax
0
?By
0
??C
2
. 这时点
d?
1
22
A?B
|Ax0
?By
0
?C
1
|
|C
1
?C2
|
.
P(x
0
,y
0
)
到直线< br>l
1
:Ax?By?C
1
?0
的距离为
d??
2222
A?BA?B
¤例题精讲:
【例1】求过直线
l
1:y??x?
10

l
2
:3x?y?0
的交点并且与 原点相距为1的直线l的方程.
3
解:设所求直线l的方程为
3y?x?10??
(3x?y)?0
, 整理得
(3
?
?1)x?(3?
?
)y?10?0
.
10
?1
, 解得
?
??3
. 由点到直线的距离公式可知 ,
d?
22
(3
?
?1)?(3?
?
)
代 入所设,得到直线l的方程为
x?1或4x?3y?5?0
.
1
3
【例2】在函数
y?4x
2
的图象上求一点P,使P到直线
y?4x?5的距离最短,并求这个最短的距离.
解:直线方程化为
4x?y?5?0
. 设
P(a,4a
2
)
, 则点P到直线的距离为
有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
1


d?
|4a?4a
2
?5|
4
2
?(?1)
2
?
|?4(a?12)
2
?4|
17
?
4(a?12)
2
?4
17
.当
a?
417
11< br>时,点
P(,1)
到直线的距离最短,最短距离为.
17
22
|m?3|
(m?2)?(1?m)
22
【例3】求证直线L:
(m?2) x?(1?m)y?(6?4m)?0
与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
解:由点线距离公式,得
d?
|(m?2)
g
4?(1?m)
g< br>(?1)?(6?4m)|
(m?2)?(1?m)
22
=.假设
d? 3
,得到
(m?3)
2
?9[(m?2)
2
?(1?m)< br>2
]
,整理得
17m
2
?48m?36?0
.∵
??48
2
?4?17?36??140?0
, ∴
17m
2
?48m?36?0
无实根.∴
d?3
,即直线L与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
点评:此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离,然后从“距离不等于3”的反面出发 ,假设距离是3求
m,但求解的结果是m无解. 从而假设不成立,即距离不等于3.
另解:把直线L:
(m?2)x?(1?m)y?(6?4m)?0
按参数m整理,

(x?y?4)m?2x?y?6?0
.由
?
x?y?4?0x? 2
,解得. 所以直线L恒过定点
Q(2,?2)
.点P到直线L取最大距
y ??2
2x?y?6?0
5
<3, ∴直线L与点
P(4,?1)
的距离不等于3.
?
离时, PQ⊥L,即最 大距离是PQ=
(2?4)
2
?(?2?1)
2
=
5
.∵
点评:此解妙在运用直线系
?
(A
1
x?B
1y?C
1
)?(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
恒过一个定点的知识,其定点就是
A
1
x?B
1
y ?C
1
?0

A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点. 由运动与变化观点,当直线PQ⊥L时,点线距离为最大.

第26讲 第4章 §4.1.1 圆的标准方程
¤知识要点:1. 圆的标准方程: 方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
(r?0 )
表示圆心为A(a,b),半径长为r的圆.
2. 求圆的标准方程的常用方法:(1)几何法:根据题意,求出圆心坐标与半径,然后写出标准方程;
(2)待定系数法:先根据条件列出关于a、b、r的方程组,然后解出a、b、r,再代入标准方程.
¤例题精讲:
【例1】过点
A(1,?1)

B(?1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ).
A.(x-3)
2
+(y+1)
2
=4 B.(x+3)
2
+(y-1)
2
=4
C.(x-1)
2
+(y-1)
2
=4 D.(x+1)
2
+(y+1)
2
=4
解:由圆心在直线x+y-2=0上可以得到A

C满足条件, 再把A点坐标(1,-1)代入圆方程. A不满足条件. 所以,
选C.另解:设圆心C的坐标为(a,b),半径为r, 因为圆心C在直线x+y-2=0上, ∴b=2-a.由|CA|=|CB|,得(a-1)
2
+
(b+1)
2=(a+1)
2
+(b-1)
2
,解得a=1,b=1.因此,所求圆的 方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=4. 选C.
【例2】求下列各圆的方程:
(1)过点
A(?2,0)
,圆心在
(3,?2)
;(2)圆心在直线
2x?y?7?0
上的圆C与y轴交于两点
A(0,?4),B(0,?2)

解:(1)设所求圆的方程为
(x?3)
2
?(y?2)
2
?r
2
. 则
(?2?3)
2
?(0?2)
2
?r
2
, 解得
r
2
?29
. ∴ 圆的方程为
(x?3)
2?(y?2)
2
?29
.(2)圆心在线段AB的垂直平分线
y??3< br>上,代入直线
2x?y?7?0

x?2

圆心为
(2,?3)
,半径
r?(2?0)
2
?(?3?2)
2
? 5
.∴ 圆C的方程为
(x?2)
2
?(y?3)
2
?5
.
【例3】推导以点
A(a,b)
为圆心,
r
为半径的圆的方程.解:设圆上 任意一点
M(x,y)
,则
|MA|?r
.由两点间的距离公
式,得 到
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
.化简即得圆的标准方 程:
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

第27讲 §4.1.2 圆的一般方程
¤知识要点:1. 圆的一般方程:方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

D
2
?E
2
?4F?0
)表示圆心是
(?

DE
,?)
,半径长
22
1
D
2
?E< br>2
?4F
的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M的坐标
(x,y)
满足的关系式.
2
¤例题精讲:
【例1】求过三点A(2,2)、B(5,3)、C(3,-1)的圆的方程.
解:设所求圆 的方程为
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
. 则
?
4?4?2D?2E?F?0
?
D??8
??
22
?< br>25?9?5D?3E?F?0
, 解得
?
E??2
. ∴ 圆的方程为
x?y?8x?2y?12?0
.
?
9?1?3D?E?F?0
?
F?12
??
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
2




【例2】设方程
x
2
?y
2
?2(m?3)x?2(1?4m
2
)y?16m
4
?7m
2
?9?0
,若该方程表示一个圆,求m的取值范围及圆心
的轨迹方程.
2
解:配方得
?
x?(m?3)
?
??
?
y?(1?4m)
?
?
?1?6m
,该方程表示圆 ,则有
?
x?m?3
1
,消去m,得
y?4(x?3)
2
?1

1?6m?0
,得
m?(?,??)
,此时圆心的 轨迹方程为
?
2
6
?
y?1?4m
2
2

m?(?,??)
得x=m+3
?(
1
6
1717
,??)
. ∴所求的轨迹方程是
y?4(x?3)
2
?1
x?(,??)

66
第28讲 §4.2.1 直线与圆的位置关系
¤知识要点:1. 直线与圆的位置关系及其判定: 方法一:方程组思想,由直线与圆的方程组成的方 程组,消去x或(y),
化为一元二次方程,由判别式符号进行判别;
方法二:利用圆心(< br>a,b
)到直线
Ax?By?C?0
的距离
d?
|Aa?Bb ?C|
22
,比较d与r的大小.
A?B
(1)相交
?d?r
?

??0
;(2)相 切
?d?r
?
??0
;(3)相离
?d?r
?
?? 0
.
2. 直线与圆的相切研究,是高考考查的重要内容. 同时,我们要熟记直线与圆的各 种方程、几何性质,也要掌握一些常
|Ax
0
?By
0
?C|
用公式,例如点线距离公式
d?

22
A?B
¤例题精讲:【例1 】若直线(1+a)x+y+1=0与圆x
2
+y
2
-2x=0相切,则a的 值为 .
解:将圆x
2
+y
2
-2x=0的方程化为标 准式:(x-1)
2
+y
2
=1, 其圆心为(1,0),半径为1,由直线(1+a)x+y+1
|1?a?1|
?1
, ∴ a=-1. =0与该圆相切,则圆心到直线的距离
d?
2
(1?a)?1【例2】求直线
l:2x?y?2?0
被圆
C:(x?3)
2
? y
2
?9
所截得的弦长. (P
144
练习1题)
?< br>2x?y?2?0
14
4
2
解:由题意,列出方程组
?
,消y得,得,.
5x?14x?4?0
xx?
x?x?
12
1 2
22
5
5
?
(x?3)?y?9
设直线
2x?y ?2?0
与圆
(x?3)
2
?y
2
?9
交于点A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y< br>2
)
,则
1442145
.
|AB|?(1?k
2
)|x
2
?x
1
|?(1?k
2
)(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
=
(1?2
2
)()
2
?4??
555
|2?3?0 ?2|45
?
另解:圆心C的坐标是
(3,0)
,半径长
r?3. 圆心到直线
2x?y?2?0
的距离
d?
.
5
5
所以,直线
2x?y?2?0
被圆
(x?3)
2
?y
2
?9
截得的弦长是
2r
2
?d
2
?23
2
?(
45
2
2145
)?
.
55
第29讲 §4.2.2 圆与圆的位置关系
¤知识要点:两圆的位置关系及其判定: 设两圆圆心分别为
O
1
,O
2
,半径分别为
r
1
,r
2
,则:
(1)两圆 相交
?|r
1
?r
2
|?|O
1
O
2|?r
1
?r
2
;(2)两圆外切
?|O
1
O
2
|?r
1
?r
2
;(3)两圆内切
?|O
1
O
2
|?|r
1
?r
2
|

¤例题精讲:【例1】已知圆
C
1

x
2
?y
2
?6x?6?0
①,圆
C
2

x
2
?y< br>2
?4y?6?0


(1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在的直线方程.
解:(1)∵圆
C
1
的圆心为(3,0),半径为
r
1
?15
,圆
C
2
的圆心为(0,2),半径为
r
2
?10


|C
1
C
2
|?13
,∴
|r
1
?r
2
|

|C
1
C
2
|?r
1
?r
2
, ∴圆
C
1

C
2
相交.
(2)由①-②,得公共弦所在的直线方程为
3x?2y?0
.
【例2】求 经过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0

x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点,并且圆心在直线
x?y?4?0
上的圆的方程.
解:设所求圆的方程为
x
2
?y
2
?6y?28?
?
(x
2
?y
2
?6x?4)?0
,即
3
?
3
,?)
.
1?
?
1?< br>?
3
?
3
1
∵圆心在直线
x?y?4?0
上 , ∴
???4?0
,解得
?
??
.
7
1?
?
1?
?
∴ 所求圆的方程为
x
2

y
2
?x?7y?32?0

第30讲 §4.2.3 直线与圆的方程的应用
(1?
?
)x
2
?(1?
?
)y
2
?6
?
x?6y?28?4< br>?
?0
, 则所求圆的圆心为
(?
有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
3


¤知识要点:坐标法:建立适当的直角坐标系后,借助代数方法把要研究的 几何问题,转化为坐标之间的运算,由此解
决几何问题
¤例题精讲:
【例1】有一 种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是:每单位
距离,A地的运费是B地运费的3倍.已知A、B两地相距10千米,顾客购物的标准是总费用较低,求A、B两 地的售
货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解:建立使A(-5,0)、B(5,0)的直角坐标系,设单位距离的运费是a元.
若在A地购货费用较低,则:价格+A地运费≤价格+B地运费

3a(x?5)
2
?y
2
?a(x?5)
2
?y
2
.
25
22
15
2
)+y≤() .
44
2515
∴ 两地购物区域的分界线是以点C(-,0)为圆心,为半径的圆.
44
∵ a>0,∴ 8x
2
+8y
2
+100x+200y≤0.得 (x+
所以,在圆 C内的居民从A地购物便宜,圆C外的居民从B地购物便宜,圆C上
的居民从A、B两地购物总费用相等 .
【例2】自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射, 其反射光线所在的直线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y?7?0
相切, 求
光线l所在的直线方程.
‘‘
解:由已知可得圆C:
(x?2)
2
?(y?2)
2
?1
关于x轴对称的圆C的方程为
(x?2)2
?(y?2)
2
?1
,其圆心C(2,-2),
易知l与圆C

相切. 设l: y-3=k(x+3), 即kx-y+3k+3=0.∴
所以 ,所求直线方程为y-3=
?
5k?5
34
?1
,整理得12k2
+ 25k+12=0, 解得
k??

k??
.
43
1?k
2
34
(x+3)或 y-3=
?
(x+3),即3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.
43
点评:关于求切线问题, 利用圆心到切线的距离等于圆的半径的条件, 是解决圆的切线方程的常用方法. 如果由方程组
思想,通过“
??0
”求切线方程也可, 但过程要复杂些.
第31讲 §4.3.1 空间直角坐标系
¤知识要点:1. 空间直角坐标系:从空间某 一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz,这样
的坐标系叫做空间直角坐标 系O-xyz,点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做
坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向, 若中指指向z轴
的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
3. 空间直角坐标系中的坐 标:对于空间任一点M,作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy轴、Oz轴上的射影,若射影在
相应数轴上 的坐标依次为x、y、z,则把有序实数组(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x, y, z),其
中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
4. 在xO y平面上的点的竖坐标都是零,在yOz平面上的点的横坐标都是零,在zOx平面上的点的纵坐标都是零;在O x
轴上的点的纵坐标、竖坐标都是零,在Oy轴上的点的横坐标、竖坐标都是零,在Oz轴上的点的横坐 标、纵坐标都是

¤例题精讲:【例1】在空间直角坐标系中,作出点M(6,-2, 4).
解:点M的位置可按如下步骤作出:
先在x轴上作出横坐标是6的点
M1
,再将
M
1
沿与y轴平行的方向向左移
动2个单位得到点M
2
,然后将
M
2
沿与z轴平行的方向向上移动4个单位
即得点M. M点的位置如图所示.
【例2】在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=12,AD=8,
AA
1
=5,试建立适
当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解:以 A为原点,射线AB、AD、
AA
1
分别为x轴、y轴、z轴的正半轴,
建立 空间直角坐标系,则A(0,0,0)、B(12,0,0)、C(12,8,0)、D(0,8,0)、
A
1
(0,0,5)、
z
M(6,-2,4)
4
6
O
y
M
2

2
M
1

x
B
1
(12,0,5)、
C
1
(12,8,5 )、
D
1
(0,8,5).
【例3】已知正四棱锥P- ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,试建立适当的空
间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
分析:先由条件求出正四棱锥的高,再根据正四棱锥的对称性,建立适当的空间
直角坐标系.


Q
正四棱锥P- ABCD的底面边长为4,解:侧棱长为10,∴正四棱锥的高为
223
.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
4




以正四棱锥的底面中心为原点,平行于AB、BC所在的直线 分别为x轴、y轴,建立如图示的空间直角坐标系,则正四
棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0) 、B(2,2,0)、C(-2,2,0)、D(-2,-2,0)、P(0,0,
223
).
点评:在求解此类问题时,关键是能根据已知图形,建立适当的空间直角坐标系,从而便于计算所需确定 的点的坐标.

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;
5

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本文更新与2020-09-15 11:18,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/396746.html

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