高中数学必修2导学案

第一课时 平面

1、利用生活中的实物对平面进行描述
2、掌握平面的表示法及水平放置的直观图
3、掌握平面的基本性质及作用
重点： 平面的概念及表示；平面的基本性质
难点： 平面基本性质的掌握与运用
新知概览
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。

A?l,B?l,且A?
?
,B?
?
?l?
?

公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
P?
?
,且P?
?
?
?
?
?
?l，且 P?l

例题分析
例1如图，用符号表示下列图形中的点、直线、平面之
间的位置关系。



变式 用符号表示下列语句
（1）点A在平面
?
内，点B在平面
?
外；
（2）直线
l
经过平面
?
外的一点M。



例2已知直线
a
和直线
b
相交于点A。求证：过直线a
和直线
b
有且只有一个平面。





变式 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？




例3正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线
A
1
C
与平面
BDC
1
交于点
O
，
AC
、BD
交于点
M
，求证：点
C
1
、
O
、
M
共线.





变式1 如图,空 间四边形
ABCD
中，
E
,
F
分别是
AB
和
CB
上的点，
G
,
H
分别
A
A
1
D
M
O
B
D
1
B
1
C
C
1
学习
目标

是
CD
和
AD
上的点，且
EH与FG
相交于点
K
.求证：
EH
,
BD
,
FG
三条直线相交于同一 点.







变式2 已知：
a
，
b
，
c
，
d
是不共点且两两相交的四条直线，求证：
a，
b
，
c
，
d
共面．







课堂训练
1. 下面说法正确的是（ ）.
①平面
ABCD
的面积为
10cm
2
；②
1 00
个平面重合比
50
个平面重合厚；③空间图形中虚线都是辅助线；④平
面 不一定用平行四边形表示.
A.① B.② C.③ D.④
2. 下列结论正确的是（ ）.
①经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面 ；②经过两条相交直线，可以确定一个平面；③经过
两条平行直线，可以确定一个平面；④经过空间任意 三点可以确定一个平面。
A.
1
个 B.
2
个 C.
3
个 D.
4
个
3. 直线
l
1< br>,l
2
相交于点
P
，并且分别与平面
?
相交于点A,B
两点，用符号表示为____________________.
4. 两个平面不重合，在一个面内取4点，另一个面内取3点，这些点最多能够确定平面_______个.

5. 根据下列条件，画出图形.
（1）平面α∩平面β=
l
，直线AB< br>?
α，AB∥
l
，E∈AB，直线EF∩β=F，F
?
l;




（2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点 满足条件:A∈a，B∈α，B
?
a，C∈β，C
?
a.







2、已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线.

.






第二课时 空间中的直线与直线的位置关系（1）

学习
目标
1、掌握空间两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；
2、理解并掌握公理4，并能运用它解决一些简单的几何问题.
重点： 异面直线的概念，公理4
难点： 异面直线的概念
新知概览
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行（空间平行线的传递性）
ab,cb?ac

例题分析
例1 如图在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点 求证：
四边形EFGH是平行四边形





变式 在长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱AA
1
和棱CC
1
的中点.
求证：EB
1
∥DF，ED∥B
1
F.




例2 已知正方体ABCD-A
1
B1
C
1
D
1,

（1）哪些棱所在直线与直线BA
1
是异面直线？
（2）哪些棱所在的直线与AA
1
垂直？

变式 在正方体ABCD-A'B'C'D'的所有棱中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

课堂训练
1.
a,b,c
为三条直线，如果
a ?c,b?c
，则
a,b
的位置关系必定是（ ）.
A.相交 B.平行 C.异面 D.以上答案都不对
2. 已知
a,b
是异面直线， 直线
c
平行于直线
a
，那么
c
与
b
（ ）.
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
3. 已知
?
I
?
?l
,
a?
?
,b?
?
，且
a,b
是异面直线，那么直线
l
（ ）.
A.至多与
a,b
中的一条相交 B.至少与
a,b
中的一条相交
C.与
a,b
都相交 D.至少与
a,b
中的一条平行
4. 正方体
ABCD?A
?B
?
C
?
D
?
的十二条棱中，与直线
AC?
是异面直线关系的有___________条.
5. “a、b为异面直线”是指：
①a∩b =
?
，且a∥b；②a
?
面
?
，b?
面
?
，且a∩b =
?
；③a
?
面
?
，b
?
面
?
，且
?
∩
?
=?
；④a
?
面
?
，b
?
面
?
；⑤不存在面
?
，使a
?
面
?
，b
?
面< br>?
成立.

上述结论中，正确的是（ ）

A. ①④⑤正确 B．①③④正确 C．仅②④正确 D．仅①⑤正确
6．设直线
a
、b分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线，则
a
、b的位置关系是
7．如图2.1.2-3，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
（1）若E、F分别是AB 、BC的中点，则EF和A
1
C
1
的位置关系是 < br>（2）若E是AB的三等分点，F是AB、BC的中点，则EF和A
1
C
1的位置关系是





A
D
A
1
D
1
B
1
C
1
D
1
A
1
B
1
C
1
C
F
B
D
A
E
F
B
C
E
（1） 图2.1.2-3 （2）
8．一条直线与两条异面直线中的一条相交，那么它与另一条之间的位置关系是（ ）
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D.可能相交、可能平行、可能异面
9. 已知
a
、b是异面直线，c∥
a
，那么c与b（ ）
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D.不可能是相交直线



知识拓展

异面直线的判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线.

如图，
a?
?
,A?
?
,B?
?
,B?a
，则直线
AB
与直线
?
是异面直线.















第三课时 空间中的直线与直线的位置关系（2）

学习
目标
1、异面直线所成的角的定义，等角定理
2、会用异面直线所成 的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直

线所成的角。
重点： 异面直线所成的角
难点： 找出或作出异面直线所成的角
探究新知
等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
已知两条异 面直线
a
，
b
，经过空间任一点O作直线
a'a
，
b'b
，我们把
a'
与
b'
所成的锐角（或直
角）叫做异面 直线
a
与
b
所成的角（或夹角）
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直
例题分析
例1 已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D1,
求直线BA
1
和CC
1
所成的角的大小。



变式 如图，已知长方体ABCD – A′B′C′D′中，AB =
23
，AD =
23
，AA′ =2.
（1）BC和A′C′所成的角是多少度？
（2）AA′ 和BC′ 所成的角是多少度？




例2 如图，点A是BCD所在平面外一点，AD=BC，E、F分别是AB、CD的中点，
且 EF=
2
AD，求异面直线AD和BC所成的角.
2



变式 设空间四边形ABCD，E、F、G、H分别是AC 、BC、DB、DA的中点，若AB=
122
，
CD=
42
，且HG ·HE·sin∠EHG=
123
，求AB和CD所成的角.




课堂训练
1. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ）
2．选择题
（1）两条直线
a
,b分别和异面直线c,d都相交，则直 线
a
，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线

（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
3、一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交
4、若a和b异面，b和c异面，则（ ）
A.a∥c B.a和c异面
C.a和c相交 D.a与c或平行或相交或异面
5.正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？




6. 已知
E,E
?
是正方体ABCD – A′B′C′D′的棱
AD
，
A
?
D
?
的中点，求证：
?CEB??C< br>?
E
?
B
?
.





PEAF3
7. 如图，在三棱锥
P?ABC
中，
PA? BC
，
E
、
F
分别是
PC
和
AB
上的点且
??
，设
EF
与
PA
、
ECFB2
BC
所成的角分别为
?
,
?
，求证：
?
?
?
?90
°.





8. 判断:（1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ）
（2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ）
（3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ）
（4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ）
（5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ）
（6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.（ ）
9．选择题
（1）两条直线
a
,b分别和异面直线c,d都相交，则直 线
a
，b的位置关系是（ ）
（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线
（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线
（2）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( )
（A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面
10. 正四面体 A-BCD 中 , E、F 分别是边 AD、BC的中点，求异面直线 EF与AC 所成的角？




第四课时 空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

学习
目标
1、掌握直线与平面的三种位置关系；
2、会判断直线与平面、平面与平面的位置关系

重点： 直线与平面的三种位置关系及其作用、平面与平面的位置关系及画法
难点： 直线与平面、平面与平面的位置关系的判断
探究新知
直线与平面的位置关系有且只有三种： （1）直线在平面内——有无数个公共点；（2）直线与平面相交——
有且只有一个公共点；（3）直线 与平面平行——没有公共点。
两个平面之间的位置关系有且只有两种：（1）两个平面平行——没有公 共点；（2）两个平面相交——有一
条公共直线。
例题分析
例1 下列命题中正确的个数是（ ）
⑴若直线L上有无数个点不在平面内，则L∥
(2)若直线L与平面平行，则L与平面 内的任意一条直线都平行
(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
(4)若直线L与平面平行，则L与平面内任意一条直线都没有公共点
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D)3

变式 1. 已知直线
a
在平面α外，则 （ ）
（A）
a
∥α
（C）
a?
?
（B）直线
a
与平面α至少有一个公共点
?A
（D）直线
a
与平面α至多有一个公共点
2. 直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．任意一条直线都不相交 D．无数条直线都不相交

例2 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这
条直线在这个 平面内.





变式 已知平面
?
,
?
，直线
a,b
，且
?
∥
?
,
a ?
?
，
b?
?
，则直线
a
与直线
b
具有怎样的位置关系?





课堂训练
1. 以下命题（其中
a
，b表示直线，表示平面）①若
a
∥b，b ，则
a
∥；②若
a
∥，b∥，则
（ ）
a
∥b；
③若
a
∥b，b∥，则
a
∥；④若a
∥，b
（A）0个 （B）1个 （C）2个
，则
a
∥b。其中正确命题的个数是
（D）3个
2. 已知a
∥，b∥，则直线
a
，b的位置关系：①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④ 相交；⑤不垂
直且不相交. 其中可能成立的有 （ ）
（A）2个 （B）3个 （C）4个 （D）5个

3. 如果平面外有两点A、B，它们到平面的距离都是
a
，则直线AB和平面的位置关系一定是（ ）
（A）平行 （B）相交 （C）平行或相交 （D）AB

4. 已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥平面，
（C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
5. 下列说法正确的是 ( )
∩=l，则l （ ）
（A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交
A．直线
a
平行于平面M，则
a
平行于M内的任意一条直线
B．直线
a
与平面M相交，则
a
不平行于M内的任意一条直线
C．直线
a
不垂直于平面M，则
a
不垂直于M内的任意一条直线
D．直线
a
不垂直于平面M，则过
a
的平面不垂直于M
6. 平面
?
,
?
的公共点多于2个，则 （ ）
A.
?
,
?
可能只有3个公共点
B.
?
,
?
可能有无数个公共点，但这无数个公共点有可能不在一条直线上
C.
?
,
?
一定有无数个公共点
D. 除选项A，B，C外还有其他可能

7 已知直线
a,b
及平面
?
满足:
a
∥
?
,
b
∥
?
,则直线
a,b
的位置关系如何?画图表示.





8 两个不重合的平面，可以将空间划为几个部分？三个呢？试画图加以说明.



















第五课时 直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定

学习
目标
理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
理解并掌握平面与平面平行的判定定理.

重点： 掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理.
难点： 掌握直线与平面平行的判定定理. 掌握平面与平面平行的判定定理.
探究新知
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.

a?
?
,b?
?
?a
?

平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
若
a?
?
,b?< br>?
,a?b?P，且a
?
,b
?
,则
?
?
。
例题分析

例1 已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF平面BCD.





变式 正方体，
E
为
DD
1
的中点，试判断
BD
1
与平面
AEC
的位置关系并说明理由.





例2 已知正方体ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
,求证：平面
AB1
D
1
平面
C
1
BD
。






变式 如图，正方体
ABCD
–
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
，
N
，
E
，
F
分别是棱
A
1
B
1
，
A
1
D
1
，
B
1
C
1
，
C
1
D
1
的中点. 求证：平面
AMN
∥平面
EFDB
.







例3 判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的举例说明：
（1）已知平面
?
，< br>?
和直线
m
，
n
，若
m?
?
,n?
?
,m
?
,n
?
,
则
?

?
；
（2）一个平面
?
内两条不平行直线都平行于另一平面
?，则
?

?
；

变式 平面
?
与平面
?
平行的条件可以是（ ）
A．
?
内有无穷多条直线都与
?
平行 B．直线
a
∥
?
，
a
∥
?
，E且直线
a
不在
?
内，也不在
?
内
C．直线
a?
?
，直线
b?
?
，且
a
∥
?
，
b
∥
?

D．
?
内的任何直线都与
?
平行

课堂训练
1. 直线
a
∥平面α，平面α内有无数条直线交于一点，那么这无数条直线中与直线 a 平行的（ ）
（A）至少有一条 （B）至多有一条
（C）有且只有一条 （D）不可能有
2. 已知三条互相平行的直线
a,b,c中，a?
?
, b?
?
,c?
?
，则两个平面
?
,
?
的位 置关系是___________.
3. 如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是
4. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ）
A．一条直线不相交 B．两条直线不相交
C．任意一条直线不相交 D．无数条直线不相交
5. 过空间一点作与两条异面直线都平行的平面，这样的平面（ ）
A.不存在 B.有且只有一个或不存在 C.有且只有一个 D.有无数个
6. 下列三个命题正确的个数为（ ）
（1）如果一条直线不在平面内，则这条直线与该面平行
（2）过直线外一点，可以作无数个面与该面平行
（3）如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行
A 0 B 1 C 2 D 3
7. 在空间四边形
ABCD
中，< br>N
，
M
分别是
BC
，
AD
的中点，则
2MN
与
AB?CD
的大小系是 ．
8. 正方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为
DD
1
的中点，判断
BD
1
与平面AEC的位置关系，并给出证明 。








9. 如 图：B为
?
ACD所在平面外一点，M、N、G分别为
?
ABC、
?
ABD、
?
BCD的重心，
（1）求证：平面MNG平面ACD；（2）求
S
?MNG
:S
?ADC


D
1
E
B
1
D
C
1
A
1
C
A
B
B
N
A
M
F
P
C

H
G
D









第六课时 直线与平面平行的性质

学习
目标
理解直线与平面平行的性质定理的含义, 并会应用性质解决问题

重点： 直线与平面的性质及其应用
难点： 将空间问题转化为平面问题的方法
新知概述
直线与平面平行的性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
例题分析

例1

有一块木料如图，已知棱
BC
平 行于面A′C′(1)要经过木料表面A′B′
C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线和面AC有
A'
什么关系？

D

D'
P
B'
C'
C

A
B
变式 如图，正方体的棱长是
a
，
C
，
D
分别是两条棱的中点.
（1）证明四边形
ABCD
（图中阴影部分）是一个梯形；（2）求四边形
A BCD
的面积.







例2 如图7-4，已知直线
a,b
，平面
?
，且
a
∥
b
，
a
∥
?
，
a,b
都在平面
?
外.求证：
b
∥
a
.







变式 如图，平面
?
,
?
,
?
两两相交，
a
，
b
，
c
为三条交线 ，且
a
∥
b
. 那么，
a
与
c
，
b
与
c
有什么关系？为什
么？







课堂训练
1. 判断题：
①如果a 、b是两条直线，并且a∥b，那么a平行于过b的任何平面。( )
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何直线平行。（ ）
③如果直线a、b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b。（ ）
2. 如图，已知异 面直线AB、CD都与平面
?
平行，CA、CB、DB、DA分别交
?
于点< br>E、F、G、H．求证：四边形EFGH是平行四边形．
A
B



α
E
F
H
G
D
C

3. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．
求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)










4. 下列四个正方体图形中，A、B为正方体 的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面
MNP的图形的序号是_______ _．(写出所有符合要求的图形序号)






5. 如图所示，P是?ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．









6. 如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱BC、C
1
D< br>1
的中点．
求证：EF∥平面BDD
1
B
1
．











第七课时 平面与平面平行的性质

学习
目标
理解平面与平面平行的性质定理的含义, 会应用性质解决问题

重点： 平面与平面平行的性质定理
难点： 平面与平面平行的性质定理

新知概述
平面与平面平行的性质：
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
例题分析

例1 求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等
已知：
?

?
，
AB∥CD
，
A?
?
,D??
,B?
?
,C?
?
，求证：
AB?CD
。< br>





变式 如图，正方体ABCD–A1
B
1
C
1
D
1
中，AE = A
1
E
1
，AF =A
1
F
1
，求证EF ∥E
1
F
1
，且EF = E
1
F
1
.







例2 已知：如下图，四棱锥S- ABCD底面为平行四边形，E、F分别为边AD、SB中点。求证：EF∥平面SDC。







变式 判断下列结论是否成立：
① 过平面外一点，有且仅有一个平面与已知平面平行；（ ）
②
若
?
∥< br>?
，
?
∥
?
，则
?
∥
?
； （ ）
③ 平行于同一个平面的两条直线平行；（ ）
④ 两个平面都与一条直线平行，则这两个平面平行；（ ）
⑤ 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交。（ ）
课堂训练
1. 下列判断正确的是( )
A．
a
∥
?
，
b?
?
，则
a
∥b B．
a
∩
?
＝P，b
?
，则
a
与b不平行
C．
a?
?
，则
a
∥
?
D．
a
∥
?
，b∥α,则
a
∥b
2．直线
a
∥平面α，P∈α，过点P平行于
a
的直线( )
A．只有一条，不在平面α内 B．有无数条，不一定在α内
C．只有一条，且在平面α内 D．有无数条，一定在α内
3. 下列命题错误的是 （ ）
A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交 B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行 D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交
4. 平行四边形EFGH的四个顶点E、F、G、H 、分别在空间四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、AD、上，又
EF∥BD，则 （ ）
∥BD,BD不平行与FG ∥BD，EH不平行于BD
∥BD，FG∥BD D.以上都不对

5. 若直线
a
∥b，
a
∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是 。
6. 一个平面上有两点到另一个平面的距离相等，则这两个平面 。
7.如图，平面
?
∥平面β，A、C∈
?
，B、D∈β，点E、 F分别在线段AB、CD上，且
EF∥平面β．


AECF
，求证：
＝
EBFD





8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶E D＝2∶1，在棱PC上
是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．









9. 如图， 在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，M是A
1C
1
的中点，平面AB
1
M∥平面BC
1
N，AC∩平 面BC
1
N＝N．
求证：N为AC的中点．










10. 如图所示，已知 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中， 面对角线AB
1
、BC
1
上分别有两点E、F，且B
1
E＝ C
1
F．求
证：EF∥平面ABCD．





第八课时 直线与平面垂直的判定

1、理解直线与平面垂直的定义；
2、掌握直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题；
3、理解直线与平面所成的角的定义及求法。
重点： 操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
难点： 操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用
学习
目标

新知概述
如果直线
l
与平面
?
内的任意一 条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面
?
互相垂直，记作
l?
?
。直线
l
叫做平面
?
的垂线，平面
?
叫做直线
l
的垂面，它们惟一的公共点P叫做垂足。
判定直线与平面垂直的定理：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
判断直线与平面垂直的方法
(1)定义法；(2)直接法:线面垂直的判定定理；(3)间接法: 如果两条平行直线中的一条直线 垂直于一个平面，
那么另一条直线也垂直于这个平面即
ab,a?
?
，则b?
?
。
例题分析
例1

如图，已知
a b,a?
?
，则
b?
?
吗？请说明理由。



变式 如图9，PA⊥平面ABC，BC⊥AC，写出图中所有的直角三角形。




例2 在正方体
ABCD_A
1
B
1
C
1
D
1
中，求：
(1)直线
A
1
B
和平面ABCD所成的角
(2)直线< br>A
1
B
和平面
A
1
B
1
CD
所成的角




变式 过△ABC所在平面?
外一点P，作PO⊥
?
，垂足为O，连接PA，PB，PC.
（1）若PA= PB = PC，∠C =90°，则点O是AB边的 心.
（2）若PA = PB =PC，则点O是△ABC的 心.
（3）若P

A⊥PB，PB⊥PC，PB⊥P A，则点O是△ABC的 心.
A
A
1
D
1
B
1
C
1
D

C
B

课堂训练
1、直线
l
与平面内的两条直线都垂直，则直线
l
与平面的位置关系是
（A）平行 （B）垂直 （C）在平面内 （D）无法确定
2、对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：
①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a距离为定值d那么这样的直线b有（ ）
（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）无数条
3、如图，已知E ，F分别是正方形ABCD边AD，AB的中点，EF交AC于M，GC垂直于ABCD所在平
面．求证 ：EF⊥平面GMC．
G

D

C
E
M

B
A
F



A
4、已知：空间四边形< br>ABCD
，
AB?AC
，
DB?DC
，求证：
BC? AD




B
D

E

C

5、
如图所示，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC
1
，M，N分别是A
1
B，B
1
C
1
的中点．
(1)求证：MN⊥平面A
1
BC；
(2)求直线BC
1
和平面A
1
BC所成的角的大小．









6、
如图，△A BC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是
EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．










7、
如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是AB上一点，N 是A
1
C的中点，MN⊥平面A
1
DC．求证：
(1)MN∥AD
1
；
(2)M是AB的中点．

第九课时 平面与平面垂直的判定

学习
目标
1、正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；
2、掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用。
重点：
平面与平面垂直的判定
难点：
如何度量二面角的大小
新知概述
从一条直线出发的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫
做二面角的面。
在二面角 的棱上任取一点，以这个点为垂足，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，则这两条射线
构成的角叫做 二面角的平面角
定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

AB?
?
，AB?
?
=B，AB ?
?
?
?
?
?

例题分析

例1 如图四面体ABCD的棱BD长为2，其余各棱长均为
2
，求二面角A-BD-C的大小。





变式 1.如果平面
?
内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则
?
⊥β.（ ）
2.如果平面
?
内有一条直线垂直于平面β内的两条直线，则
?
⊥β.（ ）
3.如果平面
?
内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线, 则
?
⊥β.（ ）
例2 已知直线PA垂直于圆O所在的平面，A为垂足，AB 为圆O的直径，C
是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC?平面PBC





变式 如图正方形SG
1
G
2
G< br>3
中，E，F分别是G
1
G
2
，G
2
G3
的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF
把这个正方形折成一个四面体，使G
1
，G
2
，G
3
三点重合，重合后的点记为G，则在四面体 S – EFG中必有
（ ）
A．SG⊥EFG所在平面 B．SD⊥EFG所在平面
C．GF⊥SEF所在平面 D．GD⊥SEF所在平

例3 如图，平面角为锐角的二面角
?
?EF?< br>?
，
A
∈
EF
，
AG?
?
，∠GAE
= 45°若
AG
与
?
所成角为30°，
求二 面角
?
?EF?
?
的平面角.

变式 如图P为ΔABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝9 0°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，求证：
⑴平面PAB⊥平面PBC；⑵平面AEF⊥平面PB C；⑶平面AEF⊥平面PAC。





课堂训练
1．过平面
?
外两点且垂直于平面
?
的平面 （ ）
(A)
有且只有一个
(B)
不是一个便是两个
(C)
有且仅有两个
(D)
一个或无数个
2．若平面< br>?
?
平面
?
，直线
n
?
?
，
m
?
?
,
m?n
，则 （ ）
(A)
n?
?

(B)
n?
?
且
m?
?

(C)
m?
?

(D)
n?
?
与
m?
?
中至少有一个成立 < br>3．对于直线
m,n
和平面
?
,
?
，
??
?
的一个充分条件是 （ ）
(A)
m?n
，
m
?
,n
?

(B)
m?n,
?
I
?
?m,n?
?

(C)
mn,n?
?
,m?
?

(D)
m?n,m?
?
,n?
?

4．设
l,m,n
表示三条直线，
?
,
?
,
?
表示三个 平面，给出下列四个命题：
①若
l?
?
,m?
?
，则< br>lm
；②若
m?
?
,n
是
l
在
?< br>内的射影，
m?l
，则
m?n
；
③若
m?
?
,mn
，则
n
?
； ④若
?< br>?
?
,
?
?
?
，则
?

?< br>． 其中真命题是（ ）
(A)
①②
(B)
②③
(C)
①③
(D)
③④
5. 已知平面α∩平面β=直线
a
，α、β垂直于平面γ，又平行于直线b。
求证:(1)
a
⊥γ；(2)b⊥γ．




6. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面 PCD
⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面ABCD．






7.
如图所示，在多面体 P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD
是等边三角形，已知BD＝2AD ＝8，AB＝2DC＝45．设M是PC上的一点。求证：
(1)平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．

第十课时 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质

学习
目标
1、使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理，能运用性质定理解决一些简单问题；
2、了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
重点： 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质及其应用。
难点： 掌握直线与平面垂直、两个平面垂直的性质及应用．
新知概述
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
例题分析

例1

设
?
?
?
，< br>?
I
?
=CD，
AB?
?
，AB⊥CD，AB⊥CD = B。求证AB
?
?



变式

1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”错误的画“×”.
（1）a．垂直于同一条直线的两个平面互相平行. （ ）
b．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ ）
c．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直. （ ）
（2）已知 直线
a
，
b
和平面
?
，且
a
⊥
b
，
a
⊥
?
，则
b
与
?
的位置关系 是 .
2．下列命题中错误的是（ ）
．．
A．如果平面
?
B．如果平面
?
C．如果平面
?
D．如果平面
?
⊥平面
?
，那么平面
?
内所有直线垂直于平面
?
. ⊥平面
?
，那么平面
?
内一定存在直线平行于平面
?
.
不垂直平面
?
，那么平面
?
内一定不存在直线垂直于平面
?
.
⊥平面
?
，平面
?
⊥平面
?
，
?
I
?
?l
，那么
l?
?
.

例2 如图，已知平面
?
，β满足
?
⊥β，直线
a
满足
a
⊥β，
a
?
?
，试判断直线
a
与平 面
?
的位置关系。



变式 空间四边形ABCD中， ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面BCD，试在平面BCD内找一点，使AE
⊥面BCD ,亲说明理由



例3 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．
已知
?
⊥
r
，
?
⊥
r
，
?
∩
?
=
l
，求证：
l
⊥
r
．

课堂训练
1.
直线
b
?< br>直线
a
，直线
b
?
平面
?
，则直线
a
与平面
?
的关系是（

）

A.
a
∥
?
B
a
?
?
C
a
?
?
或
a
∥
?
D
a
?
?

2. 已知PH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连结PE、PF，则图中直角三角形的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
P
3．已知直线
a
、b和平面M、N，且
a?M
，那么 （ ）
（A）b∥M
?
b⊥
a
（B）b⊥
a
?
b∥M
（C）N⊥M
?
a
∥N （D）
a?N?M?N?
?

F
H
E
4. 下列命题中，正确的是（ ）
A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直
B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直
C、若
a
,b异面，过
a
一定可作一个平面与b垂直
D、
a
,b异面，过不在
a
,b上的点M，一定可以作一个平面和
a,b都垂直.
5. 空间四边形ABCD中，ΔABD与ΔBCD都为正三角形，面ABD⊥面 BCD，试在平面BCD内找一点，使AE⊥
面BCD,请说明理由








6．已知
PA?
正方形
ABCD
所在的平面，垂足为
A
，连结
PB,PC,PD,AC,BD，则互相垂直的平面有（ ）

(A)
5对
(B)
6对
(C)
7对
(D)
8对
7．平面
?
⊥平面
?
，
?< br>I
?
=
l
，点
P?
?
，点
Q?l< br>，那么
PQ?l
是
PQ?
?
的（ ）

(A)
充分但不必要条件
(B)
必要但不充分条件
(C)
充要条件
(D)
既不充分也不必要条件
8．若三个平面< br>?
,
?
,
?
，之间有
?
?
?
，
?
?
?
，则
?
与
?
（ ）

(A)
垂直
(B)
平行
(C)
相交
(D)
以上三种可能都有
9．已知< br>?
，
?
是两个平面，直线
l?
?
，
l
?
?
，设（1）
l?
?
，（2）
l
?
， （3）
?
?
?
，若以其中两
个作为条件，另一个作为结论，则正确命 题的个数是 ( )

(A)
0
(B)
1
(C)
2
(D)
3
10．在四棱锥
P?ABCD
中，
PA?
底面
ABCD
，底面各边都相等，
M
是
PC
上的一动点， 当点
M
满足
__________时，平面
MBD
?
平面< br>PCD
。
11．三棱锥
P?ABC
中，
PB?PC,AB? AC
，点
D
为
BC
中点，
AH?PD
于
H
点，连
BH
，求证：
平面
ABH?
平面
PBC.