高中数学必修二复习资料-高中数学必修一必修二复习

第一章 立体几何初步
一、基础知识（理解去记）
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫
做多面体的棱， 棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形 成
的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征
1.棱柱
1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个
四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
E'
F'
侧面
A'
B'
l
D'
C'

1.2相关棱柱几何体 系列（棱柱、斜棱柱、直
底面
侧棱
E
F
AB
D
C< br>棱柱、正棱柱）的关系：
①
?
斜棱柱
?
底面是正多形棱柱
?
棱垂直于底面
?
?正棱柱

?
???? ?
??????直棱柱
?
?
?
?
其他棱柱
?
②四棱柱 底面为平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平
行六面体 底面为矩形

长方体 底面为正方形 正四棱柱 侧棱与底面边长相等 正方
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体
1.3棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
补充知识点 长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶
点上三条棱的平方和；【如图】
AC
1< br>2
?AB
2
?AD
2
?AA
1
2

A1
D1
D
B1
C
B
C1
A
②（ 了解）长方体的一条对角线
AC
1
与过顶点A的三条棱所成的角分别是
?，
?
，
?
，那么
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?1
，
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?2；
③（了解）长方体的一条对角线
AC
1
与过顶点A的相邻三个面所成 的角分
别是
?
，
?
，
?
，则
cos
2
?
?cos
2
?
?cos
2
?
?2< br>，
sin
2
?
?sin
2
?
?sin
2
?
?1
.
1.4侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形 组成的以底面
周长和侧棱长为邻边的矩形.
1.5面积、体积公式：
S
直棱 柱侧
?c?h
S
直棱柱全
?c?h?2S
底
，V
棱 柱
?S
底
?h
（其中c为底面周
长，h为棱柱的高）
注意:大多数省市在高考试卷会给出面积体积公式，因此考生可以不用刻
意地去记
2.圆柱
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2. 1圆柱——以矩形的一边所在的直线
母线
A'
B'
O'
C'
轴
轴截面
侧面
底面
为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面
所围成的几 何体叫圆柱.
2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底
面的截面都是等圆；过轴的截面（轴 截面）是全等的矩形.
A
B
O
C
2.3侧面展开图：圆柱的侧面展 开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.
2.4面积、体积公式：
S圆柱侧=
2
?
rh
；S圆柱全=
2
?
rh?2
?
r< br>2
，V圆柱=S底h=
?
r
2
h
（其中r为底面半径，h为圆柱高）
3.棱锥
3.1棱锥——有一个面是多边形，其
高
S
顶点
侧面
余各面是有一个公共顶点的三角
形，由这些面所围成的几何体叫 做
棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的
侧棱
底面
D
O
A
B
H
C
斜高
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做
正棱锥。
3.2棱锥的性质：
①平行于底面的截面是 与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的
距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在
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底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（ 如上图：
SOB,SOH,SBH,OBH
为直角三角形）
3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。
3.4面积、 体积公式：S正棱锥侧=
ch
?
，S正棱锥全=
ch
?
?S
底
，V棱锥=
S
底
?h
.
（其中c为底面周长，< br>h
?
侧面斜高，h棱锥的高）
4.圆锥
4.1圆锥——以直角三角 形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转
而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
4.2圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径
之比等于顶点 到截面的距离与顶点到底面的距离
之比；
②轴截面是等腰三角形；如右图：
③如右图 ：
l
2
?h
2
?r
2
.
4.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半
径的扇形。
4.4面积、体积公式：
S圆锥侧=
?
rl
，S圆锥全=
?
r(r?l)
，V圆锥=
?
r
2
h
（其中
r为底面半径，h为圆锥的高，l为母线长）
5.棱台
5.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱
锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.
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S
1
2
1
21
3
S
母线
l
A
r
h
轴截面
SAB

O
顶点
轴
侧面
B
底面
1
3
上底面
高
A'
下底面
D
D'
O'
B'< br>C'
M
侧棱
侧面
斜高
C
N
顶点
O< br>A
B

5.2正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；
②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；
③ 如右图：四边形
O`MNO,O`B`BO
都是直角梯形
④棱台经常补成棱锥研究.如右图：
相似比.
5.3棱台的表面积、体积公式：S
全
＝S
上底
＋S
下底
＋S
侧，
V< br>棱台
＝
1
（S＋
3
SO`M与SON,S`O`B`与SOB 相似
，注意考虑
（其
SS`?S`)h
，
S
中
S, S`
是上，下底面面积，h为棱台的高）
6.圆台
6.1圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，
底面与截面之间的部分叫做圆台.
6.2圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。如右图：
SO`A与SOB相似
，注意相似比的应用.
Ar
O'
轴
母线
l
B
R
h
轴截面
O
上底面
D
侧面
C
下底面
6.3圆台的侧面展开图是一个扇环；
6.4圆台的表面积、 体积公式：
S
全
＝
?
r
2
?
?
R
2
?
?
(R?r)l
，
V圆台
＝
1（S＋
3
1
SS`?S`)h＝（
?
r
2
?< br>?
rR?
?
R
2
)h
，（其中
3
r ，R为上下底面半径，h
为高）
7.球
7.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫
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做球体，简称球.
或空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何
体叫做球体，简称球；
7.2球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
②
r?R
2
?d
2
（其中，球心到截面的距离为d、
球心
球的半径为R、截 面的半径为r）
7.3球与多面体的组合体：球与正四面体，
球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

A'
D'
B'
O
O
C'
A'
C '
球面
轴
半径
O
R
A
r
d
O1< br>B

注：球的有
A
DC
B
A
c
关问 题转化为圆的问题
解决.

7.4球面积、体积公式：
S
球
?4
?
R
2
,V
球
?
?
R
3< br>（其中R为球的半径）

（二）空间几何体的三视图与直观图
根据最近几年高考形式上看，三视图的考察已经淡化，所以同学只需了解
即可
1.投影：区分中心投影与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图
形；
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4
3

正视图——光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图；
侧视图——光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图；
正视图——光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图；
注：（1）俯视图画在正视图 的下方，“长度”与正视图相等；侧视图画在
正视图的右边，“高度”与正视图相等，“宽度”与俯视图 。（简记
为“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.
（2）正视图，侧视图，俯视图都是平面图形，而不是直观图。
3.直观图：
3.1直 观图——是观察着站在某一点观察一个空间几何体而画出的图形。
直观图通常是在平行投影下画出的空间 图形。
3.2斜二测法：
step1：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，（即取
?xoy?90?
）；
step2：画直观图时，把它画成对应的轴
o'x',o'y'
，取
?x'o'y'?45?(or135?)
，它
们确定的平面表示水平平面；
ste p3：在坐标系
x'o'y'
中画直观图时，已知图形中平行于数轴的线段保持平
行性 不变，平行于x轴（或在x轴上）的线段保持长度不变，平行于y轴
（或在y轴上）的线段长度减半。
结论：一般地，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
解决两种常见的题型时应注 意：
（1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
（2）由几何体的直观 图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能
看见的轮廓线和棱画成虚线。
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2
倍.
4

二 点、直线、平面之间的位置关系
（一） 平面的基本性质
1.平面——无限延展，无边界
1.1三个定理与三个推论
公理1：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。
用途：常用于证明直线在平面内.
图形语言： 符号语言：

公理2：不共线的三点确定一个平面. 图形语言：
．．．
推论1：直线与直线外的一点确定一个平面. 图形语言：
推论2：两条相交直线确定一个平面. 图形语言：
推论3：两条平行直线确定一个平面. 图形语言：
用途：用于确定平面。
公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共 点，这些公共点的
集合是一条直线（两个平面的交线）.
用途：常用于证明线在面内，证明点在线上.
图形语言： 符号语言：
形语言，文字语言，符号语言的转化：
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（二）空间图形的位置关系
1.空间直线的 位置关系：
?
?
共面:ab=A,ab
?
异面:a与b异面

平行线的传递公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表述：
ab,bc?ac
等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角
相等或互补。
异面直线：（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平
面内不过此点的直线是异面直线。
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P
a
图 形语言：
?
A
P?
?
?
A?
?
?
?
符号语言：
与异面a
?
?PA
a?
?
?< br>A?a
?
?
异面直线所成的角：（1）范围：
?
?
?
0?,90?
?
；（2）作异面直线所成的角：
平移法.
如右图， 在空间任取一点O，过O作
a'a,b'b
，
则
a',b'
所成的< br>?
角为异面直线
a,b
所成的角。特别地，
找异面直线所成的角时，经 常把一条异面直线平移到
另一条异面直线的特殊点（如线段中点，端点等）上，
形成异面直线所 成的角.
?
l?
?
2.直线与平面的位置关系：
?
?< br>?
l?
?
?
l
?
?A

?
?
?
l
?
图形语言：

?
平行：
?

?
3.平面与平面的位置关系：
?
?
相交
?
斜交：
??
=a

?
?
?
?< br>垂直：
?
?
?
（三）平行关系（包括线面平行，面面平行）
1.线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
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a'
a
?
b'
O
b
?

< br>ab
?
?
②判定定理：
a?
?
?
?a
?
（线线平行
?
线面平行）【如图】
b?
?
?
?
?
?
③性质定理：
a?
?
?
?ab
（线 面平行
?
线线平行）【如图】
??
?b
?
?
a< br>?
④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：
l
?
??? l
?
（用
ab
?
?
于判断）；（ii）判定定理：
a?
?
?
?a
?
“线线平行
?
面面平行”（用b?
?
?
?
于证明）；（iii）
?

?
?
?
?a
?
“面面平行
?
线面平行”（用于证明）；a?
?
?
b?a
?
?
（4）
b?
?< br>?
?a
?
（用于判断）；
a?
?
?
?2.线面斜交：
l
?
?A

①直线与平面所成的角（简称线面角 ）：若直线与平面
斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角。【如
图】
PO?
?
于O，则AO是PA在平面
?
内的射影， 则
?P AO
就是直线
P
A
?
?
O
PA与平面
?< br>所成的角。
范围：
?
?
?
0?,90?
?
，注：若
l?
?
或l
?
，则直线
l
与平面
?
所成的角为
0?
；若
l?
?
，则直线
l
与平面
?
所成的角为
90?
。
3.面面平行：
①定义：
??
???
?

?
；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么
两个平面互相平行；
符号表述：
a,b?
?
,ab?O,a
?
,b
?< br>?
?

?
【如下图①】
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O
a
?
?
b
O< br>a
?
O
a'
?
b
b'

图① 图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那
么这两个平面互相平行
符号表述：
a,b?
?
,ab?O,a',b'?
?
,aa ',bb'?
?

?
【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两 个平面互相平
号表述：
a?
?
,a?
?
?
?

?
.【如右图】
③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；
判定定理及推论（常用）（3）判定2
④面面平行的性质：（1）
?

?
?
?
?a
?（面面平行
?
线面平行）；（2）
a?
?
?
?
?
a
行.符
（2）
?

?
?
?
??
?a
?
?ab
；（面面平行
?
线线平行）（3）夹在两个平 行平面间的
??
?b
?
?
平行线段相等。【如图】

（四）垂直关系（包括线面垂直，面面垂直）
1.线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平
面。
符 号表述：若任意
a?
?
,
都有
l?a
，且
l??
，则
l?
?
.
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a,b?
?
?
ab?O
?
?②判定定理：
l?
?
?
?
?l?
?
（线线垂直
?
线面垂直）
?
l?a
?
l?b
?
?< br>l?
?
,a?
?
?l?aa?
?
,b?
?< br>?ab
；③性质：（1）（线面垂直
?
线线垂直）；（2）
④证明或 判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常
?
?
?
?< br>ab
?
?

?
?
a
?
?b
?
?
用）；（3）；（4）（5）
?
?b?
?
（较常用）?
?a?
?
；
?
?a?
?
a?
??
a?
?
?
a?
?
?
a?b
?
?
（面面垂直
?
线面垂直）常用；
⑤三垂线定理及逆定理：
（ I）斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线
P
段与斜线段中，
PO?
?
（1）斜线相等
?
射影相等；
（2）斜线越长
?
射影越长 ；（3）垂线段最短。【如
O
图】
PB?PC?OB?OC
；
PA? PB?OA?OB

?
A
C
B
（II）三垂线定理及逆定理 ：已知
PO?
?
，斜线PA在平面
?
内的射影为
OA，a?
?
，
①若
a?OA
，则
a?PA
— —垂直射影
?
垂直斜线，此为三垂线定理；
②若
a?PA
，则
a?OA
——垂直斜线
?
垂直射影，此为三垂
线定理的逆定理；
a
P
三垂线定理及逆定理的主要应用：（1）证明异面直线垂直；
（2） 作、证二面角的平面角；（3）作点到线的垂线段；【如
图】
3.2面面斜交
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A
?
O

①二面角：（1）定义：【如图】
OB?l,OA?l??AOB是二面角
?
－l?
?
的平面角

范围：
?AOB?[0?,180?]

②作二面角的平面角的方法：（1）定义法；（2）三垂线
法（常用）；（3）垂面法.
3.3面面垂直
（1）定义：若二面角
?
?l?
?
的平面 角为
90?
，则
?
?
?
；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂
线，那么这两个平面互相垂直. a?
?
?
?
?
?
?
?
a?
?
?
?
a
B
（线面垂直
?
面面垂直）
?< br>A
（3）性质：①若
?
?
?
，二面角的一个平面
?M ON
角为
?
a
B
，则
?MON?90?
；
?
?
A
a
A
②
?
?
?
?
?
a
?
?AB
?
?
?
?a?
?
（面面垂直
?
线
a?
?
?
a?AB
?
?< br>面垂直）；
?
?
?
?
A?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a?
?
或a
?a?
?
?
③
?
?a?
?
. ④
A?a
?
a?
?
?
?

二、基础题型（必懂）
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1、概念辨析题：
（1）此题型一般出现在填空题，选择题中，解题方法可采用排除法，筛选
法等。
（ 2）对于判断线线关系，线面关系，面面关系等方面的问题，必须在熟练
掌握有关的定理和性质的前提下 ，利用长方体，正方体，实物等为模
型来进行判断。你认为正确的命题需要证明它，你认为错误的命题必
须找出反例。
（3）相关例题：课本和辅导书上出现很多这样的题型，举例说明如下： 例：（09年北京卷）设m，n是两条不同的直线，
?
,
?
,
?
是三个不同的平面，
给出下列四个说法：①
m?
?
,n
?< br>?m?n
；②
?

?
,
?

?
,m?
?
?m?
?
；③
m
?
,n
?
?mn

④
?
?
?
,
?
?< br>?
?
?

?
，说法正确的序号是：_____________ ____
2、证明题。证明平行关系，垂直关系等方面的问题。
（1）基础知识网络：
平行与垂直关系可互相转化
平行关系
1.
a?
?
,b?
?
?ab

2.
a?
?
,ab?b?
?

3.
a?< br>?
,a?
?
?
?

?

4.
?

?
,a?
?
?a?
?
< br>5.
?

?
,
?
?
?
?
?< br>?
?


判定推论 判定
性质
垂直关系
平面几何知识 平面几何知识
线线平行
判定
线线垂直
性质
判定
性质 面面垂直定义
判定
面面垂直 线面平行 面面平行 线面垂直

三、趋近高考（必懂）
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1.（2010全国卷2理）已知正四棱锥
S?ABCD
中 ，
SA?23
，那么当该棱锥
的体积最大时，它的高为
（A）1 （B）
3
（C）2 （D）3
【答案】C
【解析】设底面边长为a，则高所以体积
，
设，则，当y取最值时，
，故选C.
，解得a=0
或a=4时，体积最大， 此时
2.（2010陕西文）若某空间几何体的三视图如图所
示，则该几何体的体积是 [B]
（A）2 （B）1
（C） （D）
【答案】 B
1
2
2
【解析】 如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为
?1?2?2?1

2
2
3
1
3

1
3.（2010辽宁文） 已知
S,A,B,C
是球
O
表面上的点，
SA?平面ABC
，
AB?BC
，
SA?AB?1
，
BC?2
，则球
O
的表面积等于
（A）4
?
（B）3
?
（C）2
?
（D）
?

【答案】A
【解析 】选A.由已知，球
O
的直径为
2R?SC?2
，
?
表面积 为
4
?
R
2
?4
?
.

数学必修2 第 16 页 共 31 页

4.（2010安徽文）一个几何体的三视图如
图，该几何体的表面积是
（A）372 （B）360
（C）292 （D）280
【答案】B
【解析】该几何体由两个长方体组合而成，
其表面积等于 下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
S?2(10?8?10?2?8?2)?2(6?8?8?2)?360
.
【方法 技巧】把三视图转化为直观图是解决问题的关键.又三视图很容易知
道是两个长方体的组合体，画出直观 图，得出各个棱的长度.把几何体的表
面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面积之和。
5.（2010重庆文）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（A）只有1个 （B）恰有3个
（C）恰有4个 （D）有无穷多个
【答案】 D
【解析】放在正方体中研究,显然，线段
OO
1
、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
所以排除A、B、C，选D
亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直
异面直线AB、CD的距离相等
6.（201 0浙江文）若某几何体的三视图
（单位：cm）如图所示，则此几何体的
数学必修2 第 17 页 共 31 页

体积是
352
3
cm
3
320
3
（B）cm
3
224
3
（C）cm
3
160
3
（D）cm
3
（A）
【答案】B < br>【解析】选B，本题主要考察了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及
几何体体积的计算，属 容易题
7.（2010福建文）若一个底面是正三角形
三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积 等
．．．
( )
A．
3
B．2
C．
23
D．6
【答案】D
【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以
底面积为
2?
3
?4?23
，侧面积为
3?2?1?6
，选D．
4
的
于
8.（2010全国卷1文）已知在半径为2的球面上有A、B、C 、D四点，若
AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为
(A)
234383
(B) (C)
23
(D)
333
【答案】B
数学必修2 第 18 页 共 31 页

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到 CD的距
离为
h
,则有
V
四面体ABCD
??2??2?h ?h
,当直径通过AB与CD的中点
时,
h
max
?22
2
?1
2
?23
,故
V
max
?
43

3
1
3
1
2
2
3
第二章 平面解析几何初步
一、基础知识（理解去记）
1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析 法的实质是用代数的方法研究
几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成
的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，
这条曲线叫做方程的 曲线。如x
2
+y
2
=1是以原点为圆心的单位圆的方程。
2．求 曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的
点的集合；(3)用坐标表 示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取
值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲 线上，且曲线上对应点都
满足方程（实际应用常省略这一步）。
3．直线的倾斜角和斜率：直 线向上的方向与x轴正方向所成的小于180
0
的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x轴的直 线的倾斜角为0
0
，倾斜角
的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上 一点及斜率可
求直线方程。
4．直线方程的几种形式：【必会】【必考】
（1）一般式：Ax+By+C=0；
（2）点斜式：y-y
0
=k(x-x
0
)；
（3）斜截式：y=kx+b；
数学必修2 第 19 页 共 31 页

（4）截距式：
?
（5）两点式：
x
a< br>y
?1
；
b
x?x
1
y?y
1
；
?
x
2
?x
1
y
2
?y
1
（6）法线式方程：xcosθ+ysinθ=p（其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到
直线的距离 ）；
?
?
x?x
0
?tcos
?
（7）参数式：
?
（其中θ为该直线倾斜角），t的几何意义是
?
?
y?y
0
?tsin
?
定点P
0
（x
0
, y
0
）到动点P（x, y）的有向线段的数量（线段的长度前添加正
负号，若P0
P方向向上则取正，否则取负）。
5．到角与夹角：若直线l
1
, l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
，将l
1
绕它们的交点逆时
针旋转到与l
2
重合所转过的最小正角叫l
1
到l
2
的角；l
1
与l
2
所成的角中不超
过90
0
的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tanθ=
α=
k
2
?k
1
.
1?k
1
k
2
k
2< br>?k
1
,tan
1?k
1
k
2
6．平行与垂 直：若直线l
1
与l
2
的斜率分别为k
1
, k
2
。且两者不重合，则l
1
l
2
的充要条件是k
1
= k
2
；l
1
?
l
2
的充要条件是k
1k
2
=-1。
7．两点P
1
(x
1
, y
1
)与P
2
(x
2
, y
2
)间的距离 公式：|P
1
P
2
|=
(x
1
?x
2)
2
?(y
1
?y
2
)
2
。
8．点P(x
0
, y
0
)到直线l: Ax+By+C=0的距离 公式：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22
。
9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l
1
：A
1< br>x+B
1
y+C
1
=0与l
2
：
A
2
x+B
2
y+C
2
=0，则过l
1
, l
2
交点的直线方程为A
1
x+B
1
y+C
1
+λ
(A
2
x+B
2
y+C
2
=0；由l
1< br>与l
2
组成的二次曲线方程为（A
1
x+B
1
y+C
1
）
（A
2
x+B
2
y+C
2
） =0；与l
2
平行的直线方程为A
1
x+B
1
y+C=0(
C?C
1
).
10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l方程为Ax+By+C=0. 若B>0，
数学必修2 第 20 页 共 31 页

则Ax+B y+C>0表示的区域为l上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l
下方的部分。
1 1．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x和y
表示；（2）写出线性约束条 件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件
的可行域；（4）求出最优解。
12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r的圆的标准方程为
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，其参数方程为
?
?x?a?rcos
?
（θ为参数）。
?
y?b?rsin
?< br>DE
?
,?
?
，
22
??
13．圆的一般方 程：x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)。其圆心为
?
?
?
半径为
1
D2
?E
2
?4F
。若点P(x
0
, y
0
)为圆上一点，则过点P的切线方程为
2
?
x
0?x
??
y
0
?y
?
??
x
0
x?y
0
y?D
?
?E
?
2
??
2?
?
?F?0.
①
????
14．根轴：到两圆的切线 长相等的点的轨迹为一条直线（或它的一部分），
这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆：x< br>2
+y
2
+D
i
x+E
i
y+F
i
=0, i=1,
2, 3. 则它们两两的根轴方程分别为(D
1
-D< br>2
)x+(E
1
-E
2
)y+(F
1
-F< br>2
)=0;
(D
2
-D
3
)x+(E
2< br>-E
3
)y+(F
2
-F
3
)=0; (D
3
-D
1
)x+(E
3
-E
1
)y+(F
3
-F
1
)=0。不难证明这三条
直线交于一点或者互相平行，这就是著名的 蒙日定理。
二、基础例题（必会）
1．坐标系的选取：建立坐标系应讲究简单、对称，以便使方程容易化简。
例1 （经典例题） 在ΔABC中，AB=AC，∠A=90
0
，过A引中线BD的
垂线与 BC交于点E，求证：∠ADB=∠CDE。
[证明] 见图10-1，以A为原点，AC所在直线 为x轴，建立直角坐标系。
设点B，C坐标分别为（0,2a）,(2a,0)，则点D坐标为（a, 0）。直线BD
数学必修2 第 21 页 共 31 页

y
?1
， ①直线BC方程为x+y=2a， ②设直线BD和AE的斜
2a
1
率分别为k
1
, k
2，则k
1
=-2。因为BD
?
AE，所以k
1
k
2
=-1.所以
k
2
?
，所以直
2
方程为
?
x
a
1
?
y?x,
1
?
42
?
线AE方程为
y?x
，由
?
解得点E坐标为
?
a ,a
?
。
2
?
2
?
33
?
?< br>x?y?2a
?
所以直线DE斜率为
k
3
?
2
a
3
4
a?a
3
?2.
因为k
1
+k< br>3
=0.
所以∠BDC+∠EDC=180
0
，即∠BDA=∠EDC。
例2 （经 典例题）半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上
滚动。证明：三角形另两条边截圆所得的 弧所对的圆心角为60
0
。
[证明] 以A为原点，平行于正三角形ABC的边B C的直线为x轴，建立直
角坐标系见图10-2，设⊙D的半径等于BC边上的高，并且在B能上能下滚
动到某位置时与AB，AC的交点分别为E，F，设半径为r，则直线AB，AC
的方程分别为
y?3x
,
y??3x
.设⊙D的方程为(x-m)
2
+y
2
=r
2
.①设点E，F的
坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)，则
y
1
?3x
1
,y
2
??3x
2
，分别代入①并消去y
得
2
(x
1
?m)
2
?3x
1
2
?r
2
?0.(x
2
?m)
2
?3x
2
?r
2
?0.

所以x
1
, x
2
是方程 4x
2
-2mx+m
2
-r
2
=0的两根。
m< br>?
x?x?,
12
?
2
?
由韦达定理
??
，所以
22
?
xx?
m?r
12
?
4
?
|EF|
2
=(x
1
-x
2
)2
+(y
1
-y
2
)
2
=(x
1-x
2
)
2
+3(x
1
-x
2
)2

=4(x
1
+x
2
)
2
-4x< br>1
x
2
=m
2
-(m
2
-r
2)=r
2
.
所以|EF|=r。所以∠EDF=60
0
。
数学必修2 第 22 页 共 31 页

2．到角公式的使用。
例3 设双曲线xy=1的两支为C
1
，C
2
，正ΔPQR三顶点 在此双曲线上，求
证：P，Q，R不可能在双曲线的同一支上。
[证明] 假设P，Q，R 在同一支上，不妨设在右侧一支C
1
上，并设P，Q，
R三点的坐标分别为
?
?
x
1
,
?
?
1
x
1
? ?
1
??
,x,
??
2
x
2
??
?
?
1
?
?
,x,
?
?
3
x3
?
?
?
?
?
,
且01
2
3
. 记∠RQP=θ，它
?
是直线QR到PQ 的角，由假设知直线QR，PQ的斜率分别为
11
11
?
?
xx2
xx
2
1
1
，
k
2
?
1< br>??.

k
1
?
3
??
x
1
?x
2
x
1
x
2
x
3
?x
2< br>x
2
x
3
?
11
?
x
1
x
2
x
2
x
3
x(x
1
?x
3)
?
2
2
?0.

1
x
1
x
2
x
3
?1
1?
2
x
1
x
2
x
3
由到角公式
tan
?
?
k
2?k
1
?
1?k
1
k
2
所以θ为钝角，与ΔP QR为等边三角形矛盾。所以命题成立。
3．代数形式的几何意义。
例4 求函数
f(x)?x
4
?3x
2
?6x?13?x
4
?x
2
?1
的最大值。
[解] 因为
f(x)?(x
2
? 2)
2
?(x?3)
2
?(x
2
?1)
2
?(x?0)
2
表示动点P(x, x
2
)到两
定点A(3, 2), B(0, 1)的距离之差，见图10-3，当AB延长线与抛物线y=x
2
的交点C 与点P重合时，f(x)取最大值|AB|=
10.

4．最值问题。
例5 已知三条直线l
1
: mx-y+m=0, l
2
: x+my-m(m+1)=0, l
3
: (m+1)x-y+m+1=0
围成ΔABC，求m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值。
[解]记l
1
, l
2
, l
3
的方程分别为①，②，③。在①，③中取x=-1, y=0，知等式
成立，所以A(-1, 0)为l
1
与l
3
的交点；在②，③中取x=0, y=m+1，等式也成
数学必修2 第 23 页 共 31 页

立，所以B(0, m+1)为l
2
与l
3
的交点。设l
1
, l
2
斜率分别为k
1
, k
2
, 若m
?
0，
1
?
则k
1
?k
2
=
m
?< br>?
?
?
??1
, S
Δ
?
m
?ABC
=
1
|AC|?|BC|
，由点到直线距离公式
2
|AC|=
|?1?m
2
?m|
1?m
2
?
|m
2
?m?1|
m?1
2
，|BC|=
|?m?1?m|1?m
2
?
1
1?m
2
。
3
1m< br>2
?m?11
?
m
?
2
所以S
Δ
A BC
=
?
。因为2m≤m+1，所以S≤。又
?1?
ΔABC
??
22
4
22
?
m?1
?
m?1
1m 1
.
，所以S≥
ΔABC
2
m
2
?1
4
31
当m=1时，（S
ΔABC
）
max
=；当m=-1时 ，（S
ΔABC
）
min
=.
44
因为-m
2
-1≤2m，所以
??
5．线性规划。
例6 设x, y满足不等式组
?
?
1?x?y?4,

?
y?2?|2x?3|.
（1）求点(x, y)所在的平面区域；
（2）设a>-1，在（1）区域里，求函数f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。
?
1?x?y?4,
?
1?x?y?4,
??
[解] （1 ）由已知得
?
y?2?2x?3,
或
?
y?2?3?2x,

?
2x?3?0,
?
2x?3?0.
??
解得点(x, y )所在的平面区域如图10-4所示，其中各直线方程如图所示。AB：
y=2x-5；CD：y=-2 x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.
(2) f(x, y)是直线l: y-ax=k在y轴上的截距，直线l与阴影相交，因为a>-1，
所以它过顶点C时，f(x, y)最大，C点坐标为（-3，7），于是f(x, y)的最大
值为3a+7. 如果-1为-2a-1；如果a>2，则l通过B（3，1）时，f(x, y)取最小值为-3a+1.
6．参数方程的应用。
例7 如图10-5所示，过原点引 直线交圆x
2
+(y-1)
2
=1于Q点，在该直线上
数学必修2 第 24 页 共 31 页

取P点，使P到直线y=2的距离等于|PQ|，求P点的轨迹方程。
?
x?tcos
?
[解] 设直线OP的参数方程为
?
（t参数）。
y?tsin
?
?
代入已知圆的方程得t
2
-t?2sinα=0.
所以t=0或t=2sinα。所以|OQ|=2|sinα|，而|OP|=t.
所以|PQ|=|t-2sinα|，而|PM|=|2-tsinα|.
所以|t-2sinα|=|2-tsinα|. 化简得t=2或t=-2或sinα=-1. 当t=±2时，轨迹方程为x
2
+y
2
=4；当sinα=1时，轨迹方 程为x=0.
7．与圆有关的问题。
例8 点A，B，C依次在直线l上，且AB=AB C，过C作l的垂线，M是这条
垂线上的动点，以A为圆心，AB为半径作圆，MT
1
与MT
2
是这个圆的切线，
确定ΔAT
1
T
2
垂心 的轨迹。
[解] 见图10-6，以A为原点，直线AB为x轴建立坐标系，H为OM与圆
的交点，N为T
1
T
2
与OM的交点，记BC=1。
以A为圆心的 圆方程为x
2
+y
2
=16，连结OT
1
，OT
2
。因为OT
2
?
MT
2
，T
1
H
?
MT
2
，
所以OT
2
HT
1
，同理OT
1
HT
2
，又OT
1
=OT
2
，所以OT
1
HT
2
是菱形。所以2ON=OH。
又因为OM
?T
1
T
2
，OT
1
?
MT
1
，所以
OT
1
2
?
ON?OM。设点H坐标为（x,y）。
by
xy
?
点M坐标为(5, b)，则点N坐标为
?
将坐 标代入
OT
1
2
=ON?OM，再由
?
?
,
?
，
?
22
?
5x
得
16
???16
?
2
?
x?
?
?y?
??
.
5
???
5
?
22
在AB上取点K，使AK=AB， 所求轨迹是以K为圆心，AK为半径的圆。
例9 已知圆x
2
+y
2=1和直线y=2x+m相交于A，B，且OA，OB与x轴正
数学必修2 第 25 页 共 31 页
4
5

方向所成的角是α和β，见图10-7，求证：sin(α+β)是定值。
[证明] 过D 作OD
?
AB于D。则直线OD的倾斜角为
所以2?
tan
?
?
?
2
??1
,
?
?
?
2
， 因为OD
?
AB，
所以
tan
?
?
?
2< br>1
??
。所以
sin(
?
?
?
)?
2
4
2
??.

5
?
?
?
??
1?tan
2
??
?
2
?
2tan
?
?
?
例10 已知⊙O是单位圆，正方形ABCD的一边AB是⊙O的弦，试确定|OD|
的最大值、最小值。
[解] 以单位圆的圆心为原点，AB的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点A，
B的坐标分别 为A(cosα,sinα),B(cosα,-sinα)，由题设|AD|=|AB|=2sin
α ，这里不妨设A在x轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点D在点A的
右侧（否则将整个图形关于 y轴作对称即可），从而点D坐标为(cosα+2sin
α,sinα)，
所以|OD|=
(cos
?
?2sin
?
)
2
?sin
2
?
?4sin
2
?
?4sin
?
cos
?
?1

?
?
=
2(sin2
?
?cos2
?
)?3?3?22sin
?
?
2
?
?
?
.

?
4
?
?
?
因为
?22?2 2sin
?
?
2
?
?
?
?22
，所以2?1?|OD|?2?1.

?
4
?
当
?
?
?
时，|OD|
max
=
2
+1；当
?
?
?
时，|OD|
min
=
2?1.

例11 当 m变化且m≠0时，求证：圆(x-2m-1)
2
+(y-m-1)
2
=4m
2
的圆心在一
条定直线上，并求这一系列圆的公切线的方程。
[证明] 由
?
?
a?2m?1,
消去m得a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线x -2y+1=0
?
b?m?1
|k(2m?1)?(m?1)?b|
1?k< br>2
3
8
7
8
上。设公切线方程为y=kx+b，则由相切有2 |m|=
数学必修2 第 26 页 共 31 页
，对一

切m≠0成立。即(-4k-3)m
2
+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)
2
=0对一切m≠0成立
3
?
k??,
?
??4k?3?0,
?
4
所以
?
即
?
当k不存在 时直线为x=1。所以公切线方程
7
k?b?1?0,
?
?
b?.< br>?
4
?
y=
?x?
和x=1.
三、趋近高考【必懂】
22
1.（2010江西理）8.直线
y?kx?3
与圆
?
x?3
?
?
?
y?2
?
? 4
相交于M,N两点，
3
4
7
4
若
MN?23，则k的取值范围是
3
??
?
3
?
?，0??，?< br>?
??
4
?
?
A.
?
4
?
B.
?
?
33
?
?
2
?
，
??
?
??
?
?， 0
?
?
0，
?
33
?
D.
?
3
?
C.
?
【答案】A
【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离
公式，重点考察数形结合的运用.
解法1：圆心的坐标为（3.，2），且圆与y轴相切.
当
|MN|?23时
，由点到 直线距离公式，解得
[?,0]
；
解法2：数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可， 不取
??
，排
除B，考虑区间不对称，排除C，利用斜率估值，选A
2.（2010安徽文）（4）过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程
是
（A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）
x+2y-1=0
【答案】A
【 解析】设直线方程为
x?2y?c?0
，又经过
(1,0)
，故
c? ?1
，所求方程为
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3
4

x?2y?1?0
.
【方法技巧】 因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方
程为
x?2y?c?0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.
也可以用验证法，判断四个选项中方程 哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0
平行.
?
x?2?cos
?
,
3.（2010重庆文）（8）若直线
y?x?b
与曲线
?（
?
?[0,2
?
)
）有
y?sin
?
?
两个不同的公共点，则实数
b
的取值范围为
（A）
(2?2,1)
（B）
[2?2,2?2]

（C）
(??,2?2)(2?2,??)
（D）
(2?2,2?2)

【答案】D
解析：
?
?x?2?cos
?
,
化为普通方程
(x?2)
2
?y< br>2
?1
，表示圆，
?
y?sin
?
2?b
2
?1,
解得
2?2?b?2?2
因为直线与圆有两个不同的交点，所以< br>法2：利用数形结合进行分析得
AC?2?b?2,?b?2?2

同理分析，可知
2?2?b?2?2

4.（2010重庆理）(8) 直线 y=
3
x?2
与圆心为
3
D的圆
?
?
x? 3?3c
?
os,
?
?
?
?
?
0,
?
2
?
?
交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和
??
?
y?1?3s
?
in
为
A.
?
B.
?
C.
?
D.
?

【答案】C
7
6
5
4
4
3
5
3
数学必修2 第 28 页 共 31 页

解析：数形结合
?1?
?
?30
?

?2?30
?
?
?
?
?

由圆的性质可知
?1??2

?
?
?30
?
?30
?
?
?
?
?

故
?
?
?
?
?

5.（2010广东文）
4
3

6.（2010全国卷1理）（11）已知圆
O
的半 径为1，PA、PB为该圆的两条
切线，A、B为两切点，那么
PA?PB
的最小值为
(A)
?4?2
(B)
?3?2
(C)
?4?22
(D)
?3?22


7.（2010安徽 理）9、动点
A
?
x,y
?
在圆
x
2
?y
2
?1
上绕坐标原点沿逆时针方向
匀速旋转，12秒旋转一周。已知时间t?0
时，点
A
的坐标是
(,
13
)
，则当< br>22
0?t?12
时，动点
A
的纵坐标
y
关于
t
（单位：秒）的函数的单调递增区间是
数学必修2 第 29 页 共 31 页

A、
?
0,1
?

【答案】 D
B、
?
1,7
?
C、
?
7,12
?
D、
?
0,1
?
和
?
7,12
?

【解析】画出图形，设动点A与
x
轴正方向夹角为
?
，则
t?0< br>时
?
?
钟旋转，在
t?
?
0,1
?
上
?
?[,]
，在
?
7,12
?
上
??[
32
?
3
，每秒
?
6
??
3?
7
?
,]
，动点
A
的纵坐标
y
23
关于
t
都是单调递增的。
【方法技巧】由动点
A
?
x,y
?
在圆
x
2
?y
2
?1
上绕坐标 原点沿逆时针方向匀速旋
转，可知与三角函数的定义类似，由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度，< br>画出单位圆，很容易看出，当t在
[0,12]
变化时，点
A
的纵坐标
y
关于
t
（单
位：秒）的函数的单调性的变化，从而得单调递增区间 .
8.（2009江苏卷18）（本小题满分16分）
在平面直角坐标系
xoy
中，已知圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?1)
2< br>?4
和圆
C
2
:(x?4)
2
?(y?5)
2
?4
.
（1）若直线
l
过点
A(4,0)
，且 被圆
C
1
截得的弦长为
23
，求直线
l
的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的
无穷多对互相垂直的直线
l
1
和
l
2
，它们分别与圆
C
1
和圆
C
2
相交，且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等，试求所有满足条件的
点P的坐标。
【解析】 (1)设直线
l
的方程为：
y?k(x?4)
，即
kx?y?4k?0

由垂径定理，得：圆心
C
1到直线
l
的距离
d?4
2
?(
23
)
2
?1
，
2
结合点到直线距离公式，得：
|?3k?1?4k|< br>k?1
7

24
2
?1,

化简得：
24k
2
?7k?0,k?0,or,k??
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求直线
l
的方程为：
y?0
或
y??
7
(x?4)
，即
y?0
或7x?24y?28?0

24
(2) 设点P坐标为
(m,n)
，直线
l
1
、
l
2
的方程分别为：
111< br>y?n?k(x?m),y?n??(x?m)
，即：
kx?y?n?km?0,?x? y?n?m?0

kkk
因为直线
l
1
被圆
C1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长 相等，两圆半径相
等。
由垂径定理，得：：圆心
C
1
到直线
l
1
与
C
2
直线
l
2
的距离相等。
41
|??5?n?m|
k
故有：
|?3k?1?n?km|
?
k
，
2
1
k?1
?1
k
2
化简得：
(2?m?n)k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5

?2?m?n?0
?
m-n+8=0
关于
k
的方程有无穷多解，有 ：
?

,或
?
m?n?3?0m+n-5= 0
??
解之得：点P坐标为
(?
3
,
13
)
或
(
5
,?
1
)
。
22
22



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