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高中数学必修2知识点及学考复习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:23
tags:高中数学必修二

高中数学命题的步骤-高中数学必修一函数的映射



高中数学必修2 知识点

第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
'
为斜高,l为母线)
S
直棱柱侧面积
?ch

S
正棱锥侧面积
?
1
2
ch'

S1
正棱台侧面积
?
2
(c
1
?c
2
) h'

S
圆柱侧
?2
?
rh

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥侧面积
?
?
rl

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?
?

S
圆台 侧面积
?(r?R)
?
l
Rl?R
2
?



S
圆台表
?
?
r
2
?rl?
柱体、锥体、台体的体积公式
V
1

?Sh

V

?
1
3
Sh

V

?
3
(S
'
?S
'
S?S)h

V
2
圆柱
?Sh?
?
rh

V
圆锥
?
1
3
?
r
2
h

V
11
2
圆台
?
3
(S
'
?S< br>'
S?S)h?
3
?
(r
2
?rR?R)h


球体的表面积和体积公式:
V

=
4
?
R
3
3
; S
球面
=
4
?
R
2



第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

1 平面含义:平面是无限延展的
2 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示为
A∈L
B∈L => L α
A
α
·


A∈α
L
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面内.

A
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
α
·

B
C
·


·

数学必修2知识点

符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。

(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共< br>直线。
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
β
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.

α
P
·

L



2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1、 空间的两条直线有如下三种关系:

共面直线
相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。

2、 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。

3、 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

4、 注意点:


a
?

b
?
所成的角的 大小只由
a、b
的相互位置来确定,与
O
的选择无关,为了简便,

O
一般取在两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角θ∈(0,
?
);
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作
2

a?b

④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。




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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用
a?
?
来表示

a?
?

a?
?
?A

a
?



2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线
与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。 符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b


2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平
面平行 。

符号表示:
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

数学必修2知识点

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、直线与平面平行的性质定理:一条直线 与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。

符号表示:

a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理:如果 两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交
线平行。
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行



2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂
直,记作L ⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面
垂直时,它们唯一公共点 P叫做垂足。
P
a
L
2、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

第 2 页(共 6 页)


2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A

l
β
B
α

2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。


2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个
平面垂直。


第三章 直线与方程

(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方 向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x
轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因 此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角
?
的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线
?
l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

?
?0
?
,90
?
?
时,
k?0
; 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时,
k?0
; 当
?
?90
?
时,
k
不存在。

②过两 点的直线的斜率公式:
k?
y
2
?y
1
x?x
(x
1
?x
2
)
( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
21
注意下面四点:(1)当x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)
k

P
1

P
2
的顺序无 关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;


数学必修2知识点
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式:
y?y
1
?k(x?x1
)
直线斜率k,且过点
?
x
1
,y
1
?

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是
y=y
1

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
l
上每一点的 横坐标都等于
x
1
,所以它的方程是
x
=
x
1

②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为
k
,直线 在
y
轴上的截距为
b



③两点式:
y ?y
1
yy
?
x?x
1
?x

x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)直线两点
?x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?

2
?
1
x
21

④截矩式:
x
?
y
ab
?1
其中直线
l

x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l

x
轴、
y

的截距分别为
a,b


⑤一般式:
Ax?By?C?0
(A,B不全为0)

注意:○
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如:
平行于x轴的直线:
y?b
(b为常数); 平行于y轴的直线:
x?a
(a为常数);

(4)两直线平行与垂直

l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
? b
2

l
1
?l
2
?k
1k
2
??1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(5)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
交点坐标即方程组
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
的一组解。
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方 程组无解
?l
1
l
2
; 方程组有无数解
?
l
1

l
2
重合
< br>(6)两点间距离公式:设
A(x
1
,y
1
),(Bx
2
,y
2

是平面直角坐标系中的两个点,

|AB| ?(x
2
2
?x
2
1
)?(y
2
?y1
)



(7)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
: Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
? C

A
2
?B
2



第 3 页(共 6 页)


(8)两平行直线距离公式
已知 两条平行线直线
l
1

l
2
的一般式方程为
l1

Ax?By?C
1
?0

l
C
1
?C
2
2

Ax?By?C
2
?0
,则
l
1

l
2
的距离为
d?
A
2< br>?B
2




第四章 圆与方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆
的半径。

2、圆的方程
(1)标准方程
?
x?a
?
2< br>?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心
?< br>a,b
?
,半径为r;

M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系:

(x
2
2
0
?a)?(y0
?b)
2
>
r
,点在圆外

(x
2
0
?a)?(y
0
?b)
2
=
r
2,点在圆上

(x
2
0
?a)
2
?(y0
?b)
2
<
r
,点在圆内

(2)一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


D
2
?E
2
?4F?0
时,方程表示圆,此时圆 心为
?
?
DE
?
,半径为
?
?
2
,?
2
?
?
r?
1
2
D
2
?E< br>2
?4F


D
2
?E
2
?4F?0
时,表示一个点; < br>当
D
2
?E
2
?4F?0
时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。
确定一个 圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一
般方程,需要求出D,E,F ;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。






数学必修2知识点
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1) 设直线
l: Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a
?
2
??
y?b
?
2
?r
2
,圆心
C
?a,b
?

l
的距离为
d?
Aa?Bb?C

A
2
?B
2

则: 有
d?r?l与C相离

d?r?l与C相切

d? r?l与C相交


(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在 ,设点斜式方程,用圆心到该
直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

(3) 过圆上一点的切线方程:圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,圆上一点为(x
0

y
0
),则过此点的切线方程< br>为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2



4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与 圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?
y?b
1
?
2
?r
2

C
2
:
?
x?a< br>2
2
?
2
?
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。


d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;


d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;


R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;


d?R?r
时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;


d?R?r
时,两圆内含; 当
d?0
时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点











第 4 页(共 6 页)


学考复习课时训练———必修2
1、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
(A)2 (B)1 (C)
2
3
(D)
1
3







第1题
第2题
2、若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积
...
等于 ( )
A.
3
B.2 C.
23
D.6
3、一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如右
图所示,则该几何体的俯视图为: ( )






4、图中的三个直角三角形是一个体积为
20cm
3
的 几何体的三视图,则
h?

cm







第4题

第5题

5、一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 。
6、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.9π B.10π C.11π D.12π




数学必修2知识点



2


3

第6题

2 2
第7题

俯视图 正(主)视图 侧(左)视图
7、一个几何体的三视图如上图所示,其中 正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,则这
个几何体的侧面积为( )
A.
3
3
π B.2π C.3π D.4π
8、如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积为( )
A.32π B.16π C.12π D.8π







第8题


第9题
9、上图是一个多面体的三视图,则其全面积为( )
A.
3
B.
3
2
?6
C.
3?6
D.
3?4

10、长方体一个顶点上三条棱的长分别为

3



4



5,且它的八个顶点都在同一球面上,这个
球的表面积是( )
A.20
2
π B.25
2
π C.50π D.200π
11、已知
PA?
矩形
ABCD
所在的平面,
M,N
分别是
AB,PC
的中点,求证:
(1)平面
PAD?
平面
PDC
; (2)
MN
平面
PAD

N
D C
A

M
B

第 5 页(共 6 页)


12 、如图正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的底面边 长为
8
,对角线
BC
1
?10

D
AC
的中点。
(1)求证:
AB
1

平面
C< br>1
BD
; (2)求异面直线
AB
1

BC
1
所成的角。

13、在正方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
中,
E,F
分别是
BB
1
,C D
的中点。
(1)证明:
AD?D
1
F
; (2)求
AE

D
1
F
所成的角。








14、在底面是直角梯形 的四棱锥
S?ABCD
中,
?ABC?90?

SA?
面< br>ABCD

SA?AB?BC?1

AD?
1
2
.
(1)求四棱锥
S?ABCD
的体积; (2)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值

1 5、在四棱锥
P?ABCD
中,底面
ABCD
是正方形,
?PAB< br>是正三角形,已知
AB?2,PD?22

(1)证明
AD?
平面
PAB
; (2)求直线
PC
与平面
ABCD
所成角的正弦值
数学必修2知识点

16、下列命题不正确的是( )
A.
平行于同一直线的两条直线平行
B.
平行于同一平面的两个平面平行
C.
垂直于同一平面的两条直线平行
D.
垂直于同一平面的两个平面平行
17、在棱长都相等的正三棱锥中,侧面与底面所成的二面角的余弦值为( )
A.
1
2

B.
1
23
3

C.

2

D.
3

18、半径为3的球的体积等于( )
A.3
?

B.12
?

C.

24
?

D.36
?

19、直线
x?y?1?0
的倾斜角为( )
A.30?

B.45?

C.

60?

D.90?

20、已知点
A
?
?2,3
?
,B
?
4,1
?
,则直线
AB
的方程为( )
A.
3x?y?3?0

B.
x?y?5?0

C.
x?3y?7?0

D.
x?3y?11?0

21、若球的直径为2,则球的表面积是( )
A.
?

B.2
?

C.

4
?

D.16
?

22、 点
?
1,0
?
到直线
3x?4y?2?0
的距离为( )
A.
1

B.
2

C.

3

D.5

23、直线
3x?y?15?0

y
轴上的截距是( )
A.?5

B.5

C.

10

D.15

24、圆心坐标为
C
?
1,0
?
,半径为2的圆的方程是( )
A.

?
x?1
?
2
?y
2
?2

B.

?
x?1
?
2
?y
2
?2


C.

?
x?1
?
2
?y
2
?4

D.

?
x?1
?
2
?y
2
?4

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