高中数学必修二好题解答题精选(附答案)

一．解答题（共22小题）
1．如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在 的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD
＝，点M在线段EC上．
（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明
理由；
（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
积．
时，求三棱锥M﹣BDE的体

2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是边长为2的正方形，E ，F分别
为线段DD
1
，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC
1
D
1
；
（2）四棱柱A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的表 面积为16π，求异面直线EF与BC所成的
角的大小．

3．如图，PA⊥平面A BCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，
点E在边BC上移动 ．
（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．
第1页（共28页）

4．如图所示，正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的底面边长是2，侧棱长是
（Ⅰ）求证：B
1
C∥ 平面A
1
BD；
（Ⅱ）在线段AA
1
上是否存在一点E，使得平面 B
1
C
1
E⊥平面A
1
BD？若存在，求出AE
的 长；若不存在，说明理由．
，D是AC的中点．

5．已知直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形，且∠DA B＝60°，AD＝AA
1
，F为棱BB
1
的中点，M为线段AC
1
的中点．
（1）求证：FM∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC
1
⊥平面ACC
1
A
1
．

6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD ，M是
PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．
（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；
（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．
第2页（共28页）

7．如图，在四棱锥A ﹣BCDE中，平面ADC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，
AB＝CD＝2 ，DE＝BE＝1，
（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．

8．如图，在四棱锥P﹣AB CD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD
＝λPC．
（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；
（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．

9．已知 直线2x+y﹣4＝0与圆C：x+y﹣2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝
ON |（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
第3页（共28页）

22

（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和 圆C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小
值及求得最小值时的点P坐标．
10．已知圆C 过点P（2，2），且与圆M：（x+6）+（y﹣6）＝r（r＞0）关于直线x﹣y+6
＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线P A和直线PB的倾
斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为
①求圆C的方程．
②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．
12．已知圆C的圆心坐标 （1，1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1
＝0相切于点P（2，﹣1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
．
，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．
222
14．已知圆 C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离
为．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长 |AB|的最小值及此时
直线l的方程．
15．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M （2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y
﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）AD边所在直线的方程；
（2）矩形ABCD外接圆的方程．
第4页（共28页）

16．已知三条直线l
1
：x+y﹣3＝0，l
2
：3x﹣y﹣1＝0，l
3
：2 x+my﹣8＝0经过同一点M．
（1）求实数m的值；
（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．
17．已知圆C
1
与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线l
上．
（I）求圆C
1
的方程；
（I）若圆C
1
与圆C
2
：x+y﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦MN的
长．
1 8．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不
过圆心 C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段
MN的中点．
（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；
（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切 圆C于A，B两点，求证：直
线AB恒过定点；
（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的 直线L与圆C交于D，E两点，对于每一个确定的
t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方 为u，试用含t的代数式表示u．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x+y+ay＝0（ a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且
直线l与圆M相交于不同的两点A，B．
（1）若a＝4，求弦AB的长；
（2）设直线OA，OB的斜率分别为k
1
，k
2
，若k
1
+k
2
＝，求圆M的方程．
20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x+y＝1，
（1）P为直线l：x＝上一点．
①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；
②若存在过点P的直线交圆O 于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的
第5页（共28页）

22
22
2
22

取值范围；
（ 2）已知C（2，0），M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使
定值，若存在，求出 D坐标；若不存在，说明你的理由．
21．如图，正三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱长和底边长均为2，D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面B
1
BCC
1
；
（Ⅱ）求证：A
1
B∥平面ADC
1
；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
﹣ADB
1
的体积．
为
< br>22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2
的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为
（1）三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
．求：

第6页（共28页）

参考答案与试题解析

一．解答题（共22小题）
1．如图，正方形ADE F与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD
＝，点M在线段EC上．
（1）是否存在点M，使得FM⊥平面BDM，如果存在求出点M位置，如果不存在说明
理由；
（2）当平面BDM与平面ABF所成锐二面角的余弦值为
积．
时，求三棱锥M﹣BDE的体

【解答】解：（1）不存在点M，使得FM⊥平面BDM．
证明如下：
∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，
∴DA，DC，DE所在直线两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则D（0，0，0），F（2，0，2），B（2，2，0），设M（0，b，c），
则，，
，
．
设平面DBM的一个法向量为
由，取y＝﹣1，则．
若与共线，则，即c﹣2c+2＝0，此方程无解．
2
∴不存在点M，使得FM⊥平面BDM；
（2）由（1）知，是平面BDM的一个法向量，
第7页（共28页）

而ABF的一个法向量为
由|cos＜＞|＝＝
．
，
得
再由
，即b＝2c．
与共线，可得b＝2c＝2．
即点M为EC中点，此时，S
△
DEM
＝2，AD为三棱锥B﹣DEM的高，
∴．

2．如图，在直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别
为线 段DD
1
，BD的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC
1
D
1
；
（2）四棱柱A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的表 面积为16π，求异面直线EF与BC所成的
角的大小．

【解答】解：（1）连接 BD
1
，在△DD
1
B中，E、F分别为线段DD
1
、BD 的中点，
∴EF为中位线，∴EF∥D
1
B，
∵D
1
B ?面ABC
1
D
1
，EF?面ABC
1
D
1
，
∴EF∥平面ABC
1
D
1
；
（2）由（1）知E F∥D
1
B，故∠D
1
BC即为异面直线EF与BC所成的角，
第8页（共28页）

∵四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的表面积为16π， ∴四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的外接球的半径R＝2，
设AA
1
＝a，则，解得a＝，
在直四棱柱A BCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
中，
∵BC⊥平面CDD
1
C
1
，CD
1
?平面CD﹣D1
C
1
，
∴BC⊥CD
1
，在RT△CC
1
D
1
中，BC＝2，CD
1
＝
∴tan∠D
1BC＝，则∠D
1
BC＝60°，
，D
1
C⊥BC，
∴异面直线EF与BC所成的角为60°．

3．如图，PA⊥平面ABCD，四边 形ABCD为矩形，PA＝AB＝1，AD＝2，点F是PB的中点，
点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E﹣PAD的体积；
（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE．

【解答】（1）解：∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．
∴
∴
，…（3分）
…（6分）
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵PA＝AB＝1，且点F是PB的中点，
第9页（共28页）

∴AF⊥PB…（8分）
又PA⊥BC，BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，
又AF?平面PAB，∴BC⊥AF…（10分）
由AF⊥平面PBC，又∵PE?平面PBC
∴无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE成立．…（12分）
4．如图所示，正三棱柱A BC﹣A
1
B
1
C
1
的底面边长是2，侧棱长是
（ Ⅰ）求证：B
1
C∥平面A
1
BD；
（Ⅱ）在线段AA
1
上是否存在一点E，使得平面B
1
C
1
E⊥平面A
1
BD？若存在，求出AE
的长；若不存在，说明理由．
，D是AC的中点．

【解答】解：（I）连接AB
1
交A
1
B于点M，连接MD． ∵三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
是正三棱柱，∴四边形 BAA
1
B
1
是矩形，
∴M为AB
1
的中点．
∵D是AC的中点，∴MD∥B
1
C．
又MD?平面A
1
BD，B
1
C?平面A
1
BD，
∴B
1
C∥平面A
1
BD．
（II）作CO⊥AB于点O，则CO⊥平面ABB
1
A
1
，
以O为坐标原点建立空间直角坐标系，假设存在点E，设E（1，a，0）．
∵AB＝2，A A
1
＝
A
1
（1，
，D是AC的中点，∴A（1，0，0） ，B（﹣1，0，0），C（0，0，
，0），C
1
（0，
），
，） ．
，0）．
，，
），
，0），B
1
（﹣1，
），∴D（，0，＝（，0，＝（2，
设是平面A
1
BD的法向量为＝（x，y，z） ，∴
∴，令x＝﹣，得＝（﹣
，﹣
，2，3）．
），＝（﹣1，0，﹣）． ∵E（1，a，0），则

＝（1，a﹣
第10页（共28页）

设平面B
1
C
1
E的法向量为＝（x，y，z），∴，．
∴，令z＝﹣，得＝（3，，﹣）．
∵平面B
1
C
1
E⊥ 平面A
1
BD，∴
即﹣3+﹣3＝0，解得a＝
＝0，
．
． ∴存在点E，使得平面B
1
C
1
E⊥平面A
1
BD，且AE＝

5．已知直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA
1
，F为棱BB
1
的中点，M为线段AC
1
的中点．
（1）求证：FM∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC
1
⊥平面ACC
1
A
1
．

【解答】证明：（1）延长C
1
F交CB的延长线于点N，连接AN．
∵F是BB
1
的中点，
∴F为C
1
N的中点，B为CN的中点．
又M是线段AC
1
的中点，
故MF∥AN．
又MF不在平面ABCD内，AN?平面ABCD，
∴MF∥平面ABCD．
（2 ）连BD，由直四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，可知A
1
A⊥平面ABCD，
第11页（共28页）

又∵BD?平面ABCD，∴A
1
A⊥BD．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
又∵AC∩A
1
A＝A，AC， A
1
A?平面ACC
1
A
1
，∴BD⊥平面ACC
1
A
1
．
在四边形DANB中，DA∥BN且DA＝BN，∴四边形DANB为平行四边形，
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC
1
A
1
，
又∵NA?平面AFC
1
，
∴平面AFC
1
⊥ACC
1
A
1
．
< br>6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥面ABCD，M是
PPC的中点，G是线段DM上异于端点的一点，平面GAP∩平面BDM＝GH，PD＝2．
（Ⅰ）证明：GH∥面PAD；
（Ⅱ）若PD与面GAP所成的角的正弦值为，求四棱锥D﹣PAHG的体积．

【解答】（Ⅰ）证明：连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接OM，
∵M为PC的中点，则OM∥PA，
∵OM?平面BMD，PA?平面BMD，∴PA∥平面BMD，
∵PA?平面GPA，平面GPA∩平面MDB＝GH，∴PA∥GH，
而PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥面PAD；
第12页（共28页）

（Ⅱ）解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为 x，y，z轴建立空间直角
坐标系，
则D（0，0，0），A（2，0，0），P（0，0，2），M（0，1，1），
设＝（0，λ，λ），则
．
，＝（0，λ，λ﹣2），
设平面PAG的一个法向量为
由，取z＝1，得．
，
由PD与面GAP所成的角的正弦值为
，
，得|cos＜＞|＝
解得：或λ＝﹣1（舍）．
∴G为DM的中点，则H为OD的中点，
此时，PA＝，GH＝＝，．
D到平面PCAH的距离d＝＝．
由
得cos＜
，
＞＝＝
，
＝．
∴sincos＜＞＝．
．
＝．
则GH与PA间的距离为h＝
∴四棱锥D﹣PAHG的体积V＝
第13页（共28页）

7．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ADC⊥平 面BCDE，∠CDE＝∠BED＝∠ACD＝90°，
AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，
（I）证明：平面ABD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线AD与平面ACE所成的角的正弦值．

【解答】（Ⅰ）证明：取CD的中点M，连接BM，可得四边形BMDE是正方形．
BC＝BM+MC＝2．
∵BD+BC＝DE+BE+BC＝DC，
∴∠CBD＝90°，∴BD⊥BC．
又AC⊥平面CDE，BD?平面BCDE，∴BD⊥AC，
故BD⊥平面ABC．
∵BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：过点D作DH⊥CE．∵AC⊥DH，∴DH⊥平面ACE．
∴∠DAH即为AD与平面ACE所成的角．
AB＝DC＝2．
在Rt△DCE中，DE＝1，CD＝2，∴CE＝，
222222
222
第14页（共28页）

∴DH＝
∵AC＝
＝＝
＝
．
，∴AD＝
＝．
＝，
在Rt△AHD中，sin∠DAH＝

8．如图，在四棱锥P﹣AB CD中，AB∥CD，AD⊥平面PCD，PC⊥CD，CD＝2AB＝2AD
＝λPC．
（Ⅰ）求证：平面BDP⊥平面BCP；
（Ⅱ）若平面ABP与平面ADP所成锐二面角的余弦值为，求λ的值．

【解答】（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，
又∵CD⊥PC，AD∩CD＝D，
∴PC⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，∴PC⊥BD，
设AB＝AD＝1，则CD＝2，
由题意知在梯形ABCD中，有BD＝BC＝
∴BD+BC＝CD，∴BD⊥BC，
又PC∩BC＝C，∴BD⊥平面BCP．
∵BD?平面BDP，∴平面BPD⊥平面BCP．
（2）解：以点D为原点，DA、DC、 DQ为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设
第15页（共28页）

222
，

AB＝1，PC＝a，
则D（0，0 ，0），A（1，0，0），B（1，1，0），P（0，2，a），
（0，2，a），
设＝（x，y，z）为平面ADP的一个法向量，
则＝＝0，可得，
＝（1，0，0），＝
令z＝﹣2，则y＝a，∴＝（0，a，﹣2）．
同理可得平面ABP的一个法向量＝（a，0，1）．∴|cos|＝＝
＝，
解得：a＝
∴λ＝．
，
9．已知直线2x+y﹣4＝0与圆C：x+y﹣ 2mx﹣y＝0（m＞0）相交于点M、N，且|OM|＝
ON|（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若A（0，2），点P、Q分别是直线x+y+2＝0和圆 C上的动点，求|PA|+|PQ|的最小
值及求得最小值时的点P坐标．
【解答】解：（Ⅰ）化圆C：x+y﹣2mx﹣y＝0（m＞0）为
则圆心坐标为C（m，），
∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，
设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，
22
22
．
则直线OC的斜率k＝
∴m＝2或m＝﹣2．
，
∴圆心为C（2，1）或C（﹣2，﹣1），
∴圆C的方程为（x﹣2）+（y﹣1）＝5或（x+2）+（y+1）＝5，
由于当圆方程为（x+2）+（y+1）＝5时，直线2x+y﹣4＝0到圆心的距离d＞r，
第16页（共28页）

22
2222

此时不满足直线与圆相交，故舍去，
∴圆C的方程为（x﹣2）+（y﹣1）＝5；
（Ⅱ）点A（0，2）关于直线x+y+2＝0的对称点为A′（﹣4，﹣2），
则|PA|+|PQ|＝|PA′|+|PQ|≥|A′Q|，
又A′到圆上点Q的最短距离为
|A′C|﹣r＝
∴|PA|+|PQ|的最小值为2
﹣＝3﹣＝2．
22
，直线A′C的方程为y＝x，
则直线A′C与直线x+y+2＝0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．
10．已知圆C过点P（ 2，2），且与圆M：（x+6）+（y﹣6）＝r（r＞0）关于直线x﹣y+6
＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于点A和点B，且直线P A和直线PB的倾
斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
【解答】（1）解：由题意可得点C和点M（﹣6，6）关于直线x﹣y+6＝0对称，
且圆C和圆M的半径相等，都等于r．
设C（m，n），由
解得：m＝0，n＝0．
故原C的方程为x+y＝r．
再把点P（2，2）代入圆C的方程，求得r＝
故圆的方程为：x+y＝8；
（2）证明：过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，
且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，
则得直线OP和AB平行，
理由如下：由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设PA：y﹣2＝k（x﹣2），PB：y﹣2＝﹣k（x﹣2）．
由，得（1+k）x+4k（1﹣k）x+4（1﹣k）﹣8＝0，
222
22
222
222
且，
．
第17页（共28页）

∵P的横坐标x＝2一定是该方程的解，∴，
同理，x
B
＝．
由于AB的斜率k
AB
＝＝
＝＝1＝k
OP
（OP的斜率），
∴直线AB和OP一定平行．
11．已知圆C的圆心在直线y＝x+1上，半径为
①求圆C的方程．
②过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程．
【解答】解：①由题意可知 ，设圆心为（a，a+1），则圆C为：（x﹣a）+[y﹣（a+1）]
＝2，
∵圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6），
∴
解得：a＝4．
则圆C的方程为：（x﹣4）+（y﹣5）＝2；
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣3）即kx﹣y﹣3k＝0，
∵过点（3，0）的直线l截圆所得弦长为2，
∴，则．
22
22
，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）．
，
∴直线l的方程为12x﹣5y﹣36＝0，
当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝3，此时弦长为2符合题意，
综上，直线l的方程为x＝3或12x﹣5y﹣36＝0．
12．已知圆C的圆心坐标（1， 1），直线l：x+y＝1被圆C截得弦长为
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）从圆C外一点P（2，3）向圆引切线，求切线方程．
【解答】解：（Ⅰ）设圆C的标准方程为：（x﹣1）+（y﹣1）＝r（r＞0），
第18页（共28页）

222
．

则圆心C（1，1）到直线x+y﹣1＝0的距离为：
，…（2分）
则
2
，
2
∴圆C的标准方程：（x﹣1）+（y﹣1）＝1；…（5分）
（Ⅱ）①当切线的斜率不存在时，切线方程为：x＝2，
此时满足直线与圆相切；…（6分）
②当切线的斜率存在时，设切线方程为：y﹣3＝k（x﹣2），
即y＝kx﹣2k+3；
则圆心C（1，1）到直线kx﹣y﹣2k+3＝0的距离为：
，…（8分）
化简得：4k＝3，解得，
∴切线方程为：3x﹣4y+6＝0；…（11分）
综上，切线的方程为：x＝2和3x﹣4y+6＝0．…（12分）
13．在平面直角坐标系 xOy中，已知圆M的圆心在直线y＝﹣2x上，且圆M与直线x+y﹣1
＝0相切于点P（2，﹣1） ．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）过 点（2，﹣1）且与直线x+y﹣1＝0垂直的直线方程为x﹣y﹣3＝0，…
（2分）
由 解得，
所以圆心M的坐标为（1，﹣2），…（4分）
所以圆M的半径为r＝，…（6分）
22
所以圆M的方程为 （x﹣1）+（y+2）＝2． …（7分）
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为
所以圆心M到直线l的距离为d＝
，
＝，…（9分）
若直线l的斜率不存在，则l为x＝0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx，即kx﹣y＝0，
第19页（共28页）

由d＝
2
＝，…（11分）
整理得k+8k+7＝0，
解得k＝﹣1或﹣7，…（13分）
所以直线l的方程为x+y＝0或7x+y＝0． …（14分）
14．已知圆C的圆心C在直线y＝x上，且与x轴正半轴相切，点C与坐标原点O的距离
为．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l过点M（1，）且与圆C相交于A，B两点，求弦长 |AB|的最小值及此时
直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由题可设圆心C（a，a），半径r，
∵
∴a＝±1．
又∵圆C与x轴正半轴相切，
∴a＝1，r＝1．
∴圆C的标准方程：（x﹣1）+（y﹣1）＝1．
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝1，此时弦长|AB|＝2．
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程：
22
．
点C到直线l的距离，
弦长，
当k＝0时，弦长|AB|取最小值
此时直线l的方程为．
，
由①②知当直线l的方程为时，弦长|AB|取最小值为．
15．如图，矩形ABCD的两条 对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x﹣3y
第20页（共28页）

﹣6＝0，点T（﹣1，1）在AD边所在直线上．
（1）AD边所在直线的方程；
（2）矩形ABCD外接圆的方程．

【解答】解：（1）∵AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，且AD与AB垂直，
∴直线AD的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AD上，
∴AD边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1），3x+y+2＝0．
（2）由，解得点A的坐标为（0，﹣2），
∵矩形ABCD两条对角线的交点为M（2，0）．
∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又| AM|＝（2﹣0）+（0+2）＝8，∴
从而矩形ABCD外接圆的方程为 （x﹣2）+y＝8．
16．已知三条直线l
1
：x+y﹣3＝0，l
2
：3x﹣y﹣1＝ 0，l
3
：2x+my﹣8＝0经过同一点M．
（1）求实数m的值；
（2）求点M关于直线l：x﹣3y﹣5＝0的对称点N的坐标．
【解答】解：（1）解方程组
（3分）
将点M（1，2）的坐标代入直线l
3
：2x+my﹣8＝0的方程，得m＝3．…………（6分）
，得交点M（1，2）． ……………………………
22
222
．
（2）法一：设点N的坐标为（m，n），则由题意可………（9分）
解得…………………………………………………………………………（12分）
所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14
分）
法二：由（1）知M（1，2），所以，过M且与x﹣3y﹣5＝0垂直的直线方程为：y﹣2＝
﹣3（x﹣1），
第21页（共28页）

即3x+y﹣5＝0．…………………………………………………………………（8分）
解方程组得交点为H（2，﹣1）………………………………………（10分）
因为M，N的 中点为H，所以，x
N
＝2×2﹣1＝3，y
N
＝2×（﹣1）﹣2＝﹣4． ……（13
分）
所以，所求对称点N的坐标（3，﹣4）．………………………………………………（14
分）
17．已知圆C
1
与y轴相切于点（0，3），圆心在经过点（2，1）与点（﹣2， ﹣3）的直线l
上．
（I）求圆C
1
的方程；
（I）若圆C1
与圆C
2
：x+y﹣6x﹣3y+5＝0相交于M、N两点，求两圆的公共弦M N的
长．
【解答】解：（Ⅰ）经过点（2，1）与点（﹣2，﹣3）的直线方程为
即y＝x﹣1．
由题意可得，圆心在直线y＝3上，
联立，解得圆心坐标为（4，3），
，
22
故圆C
1
的半径为4．
则圆C
1
的方程为（x﹣4）+（y﹣3）＝16；
（Ⅱ）∵圆C
1
的方程为（x﹣4）+（y﹣3）＝16，
即x+y﹣8x﹣6y+9＝0，
圆C
2
：x+y﹣6x﹣3y+5＝0，
两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为2x+3y﹣4＝0．
圆C
1
的圆心到直线2x+3y﹣4＝0的距离d＝．
22
22
22
22
∴两圆的公共弦MN的长为2＝2．
2
18．在平面直角坐标系xOy中，已知以点C（a﹣1，a）（a＞0）为圆心的圆过原点O，不过圆心C的直线2x+y+m＝0（m∈R）与圆C交于M，N两点，且点F（，）为线段
MN的中 点．
（Ⅰ）求m的值和圆C的方程；
第22页（共28页）

（Ⅱ）若Q是直线y＝﹣2上的动点，直线QA，QB分别切圆C于A，B两 点，求证：直
线AB恒过定点；
（Ⅲ）若过点P（0，t）（0≤t＜1）的直线L与圆C交 于D，E两点，对于每一个确定的
t，当△CDE的面积最大时，记直线l的斜率的平方为u，试用含t 的代数式表示u．
【解答】（Ⅰ）解：由题意，，
即2a﹣a﹣1＝0，解得a＝1（a＞0）．
∴圆心坐标为（0，1），半径为1，
由圆心到直线2x+y+m＝0的距离d＝
＝﹣2，
∵点F（，）在直线2x+y+m＝0上，
∴m＝﹣2．
故m＝﹣2，圆C的方程为x+（y﹣1）＝1；
（Ⅱ）证明：设Q（t，﹣2），则QC的 中点坐标为（
以QC为直径的圆的方程为
即x+y﹣tx+y﹣2＝0．
联立，
22
22
2
＝，可得m＝0或m
），
，
可得AB所在直线方程为：tx﹣3y+2＝0．
∴直线AB恒过定点（0，）；
（Ⅲ）解：由题意可设直线l的方程为y＝kx+t，△ABC的面积为S，
则S＝|CA|?|CB|?sin∠ACB＝sin∠ACB，
∴当sin∠ACB最大时，S取得最大值．
要使sin∠ACB＝
即＝，
，只需点C到直线l的距离等于，
第23页（共28页）

整理得：k＝2（t﹣1）﹣1≥0，解得t≤1﹣
①当t∈[0， 1﹣
②当t∈（1﹣
∵y＝sinx是（
22
．
222
] 时，sin∠ACB最大值是1，此时k
＝2t﹣4t+1，即u＝2t﹣4t+1．
，1）时，∠ACB∈（，π）．
，π）上的减函数，∴当∠ACB最小时，sin∠ACB最大．
过C作CD⊥AB于D，则∠ACD＝∠ACB，∴当∠ACD最大时，∠ACB最小．
∵sin∠CAD＝，且∠CAD∈（0，），
∴当|CD|最大时，sin∠CAD取得最大值，即∠CAD最大．
∵|CD|≤|CP|，∴当CP⊥l时，|CD|取得最大值|CP|．
∴当△ABC的面积最大时，直线l的斜率k＝0，∴u＝0．
综上所述，u＝．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M：x+y+ay＝0（a＞0），直线l：x﹣7y﹣2＝0，且< br>直线l与圆M相交于不同的两点A，B．
（1）若a＝4，求弦AB的长；
（2）设 直线OA，OB的斜率分别为k
1
，k
2
，若k
1
+k2
＝，求圆M的方程．
【解答】解：（1）由题意知，a＝4时圆心M坐标为（0，﹣2），半径为2，
圆心到直线距离d＝
∴弦|AB|＝；
，
22
（2）设A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），
联立
2
，
整理得50y+（28+a）y+4＝0．
∵△＝（28+a）﹣16×50＞0，
∴．
2
，
第24页（共28页）

则，．
于是＝
＝
∴a＝2．
∴圆的方程为x+y+2y＝0．
22
．
20．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x+y＝1，
（1）P为直线l：x＝上一点．
①若点P在第一象限，且OP＝，求过点P的圆O的切线方程；
②若存在过点P的直线交圆O 于点A，B，且B恰为线段AP的中点，求点P纵坐标的
取值范围；
（2）已知C（2，0） ，M为圆O上任一点，问：是否存在定点D（异于点C），使
定值，若存在，求出D坐标；若不存在，说 明你的理由．
【解答】解：（1）①设点P的坐标为（，y
0
），
∵OP ＝，∴+y
0
＝
2
22
为
，解得y
0
＝± 1．
又点P在第一象限，∴y
0
＝1，
即P的坐标为（，1）．
易知过点P的圆O的切线的斜率必存在，可设切线的斜率为k，
则切线为y﹣1＝k（x﹣），即kx﹣y+1﹣k＝0，
于是有＝1，解得k＝0或k＝．
因此过点P的圆O的切线方程为：y＝1或24x﹣7y﹣25＝0；
②设A（x，y），则B（，
22
），
22
∵点A、B均在圆O上 ，∴有圆x+y＝1与圆（x+）+（y+y
0
）＝4有公共点．
第25页（共28页）

于是1≤≤3，解得﹣≤y
0
≤
，]；
，
即点P纵坐标 的取值范围是[﹣
（2）设M（x，y），假设存在点D（m，n），使
22222222为定值t（t＞0），
2
则MC＝tMD，即（x﹣2）+y＝t（x﹣m）+t（y﹣n），
∴
22
，
∵M在圆O：x+y＝1上，
∴，解得t＝，m＝，n＝0．
∴存在定点D（），使为定值．
21．如图，正三 棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱长和底边长均为2，D是 BC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面B
1
BCC
1
；
（Ⅱ）求证：A
1
B∥平面ADC
1
；
（Ⅲ）求三棱锥C
1
﹣ADB
1
的体积．

【解 答】（Ⅰ）证明：因为ABC﹣A
1
B
1
C
1
是正三棱柱， 所以CC
1
⊥平面ABC
因为AD?平面ABC，所以CC
1
⊥AD
因为△ABC是正三角形，D为BC中点，所以BC⊥AD，…（4分）
因为CC
1
∩BC＝C，所以AD⊥平面B
1
BCC
1
．…（5分）
（Ⅱ）证明：连接A
1
C，交AC
1
于点O，连接OD．
第26页（共28页）

由 ABC﹣A1
B
1
C
1
是正三棱柱，得四边形ACC
1
A
1
为矩形，O为A
1
C的中点．
又D为BC中点，所以OD为△A
1
BC中位线，
所以A
1
B∥OD，…（8分）
因为A
1
B?平面ADC
1
，OD?平面ADC
1
，
所以A
1
B∥平面ADC
1
；（10分）
（Ⅲ）解：V< br>C1
﹣
ADB1
＝V
A
﹣
C1DB1
＝分）
22．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边 长为2
的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为
（1）三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
．求：
＝．…（14

【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为
所以



因为AB＝2，所以
第27页（共28页）

（2）
连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC
所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角
计算可得：，MN＝1，

异面直线PM与AC所成的角为




第28页（共28页）