高一数学必修二第三单元

高一数学必修二第三单元：直线与方程

一、选择题(本 大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．(2012·宁德高一检测)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是
( )．
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0

2．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )．
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)

3．(2012·佛山高一检测)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a
的值是( )．
A．1



B．－1
D．－2或1 C．－2或－1

4．已知直线ax＋4y－2＝0与2x－5y ＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值
为( )．
A．－4 B．20 C．0 D．24

1
5．若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x ＋2的交点在第一象限，则实数k的取值范围是
2
( )．
51
－，
?
A.
?
?
22
?


21
－，
?
B.
?
?
52
?
21
－，
?
D.
?
?
52
?
51
－，－
?
C.
?
2
??
2

6．(2012·辽宁省营品市质量检测 )已知A(2,4)与B(3,3)关于直线l对称，则直线l的方程
为( )．
A．x＋y＝0



B．x－y＝0
D．x－y＋1＝0 C． x＋y－6＝0

7．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )．
A．3x－y－13＝0

B．3x－y＋13＝0

C．3x＋y－13＝0

D．3x＋y＋13＝0
8．(2012·茂名高一检测)若直线l与直线y＝1，x＝7，分别交于 点P，Q，且线段PQ的中点坐
标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )．
1132
A. B．－ C．－ D.
3323

9．(2 012·湖北重点中学联考(二))已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离 相
等，则实数a的值为( )．
7
A.
9


1
B．－
3
71
D.或
93
71
C．－或－
93

10．等腰Rt△ABC 的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )．
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6)

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程
为________．

12．(2012·南通高一检测)若直线ax－2y＋2＝0与直 线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值
为________．

13．已 知点A(－2,4)与直线l：x＋y＋4＝0.P是直线l上一动点，则|PA|的最小值为________ ．

14．已知，a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线 ax＋by＋2c＝0
上，则m
2
＋n
2
的最小值为_______ _．

15．(2012·江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线，若两条切线的夹角是
60°，则点P的坐标是______ ______．

D．(0,2)
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(12分)(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；
(2)求经过直线l
1
：2x＋3y－5＝0与l
2
：7x＋15y＋1＝ 0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0

的直线方程．

17．(12分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．

18．(12分)已知两条直 线l
1
：x＋m
2
y＋6＝0，l
2
：(m－2)x＋3m y＋2m＝0，当m为何值时，l
1
与l
2
(1)相交；(2)平行；(3) 重合．

19．(12分)(2011·扬州高一检测)已知△ABC中，A(3,2)，B (－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0
上，若△ABC的面积为10，求C点的坐标．

20．(12分)(2012·江苏滨海中学高一检测)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 x－2y
＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C 的坐标．
21.已知直线l：y＝x，圆C
1
的圆心为(3,0)，且经过点A(4,1)．
(1)求圆C
1
的方程；
(2)若圆C
2
与圆C
1
关于直线l对称，点B、D分别为圆C
1
、C
2
上任意一点，求| BD|的最小值．












解析：
一、选择题(本大题共10小题，每小题 5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)

1．(2012·宁德高一检测)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是
( )．
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析 由斜截式可得直线方程为y＝－x－1，化为一般式即为x＋y＋1＝0.故选D.
答案 D
2．直线kx－y＋1＝3k，当k变动时，所有直线都通过定点( )．
A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)
?
?
x－3＝0，
解析 由kx－y＋1＝3k，得k(x－3)＝y－1， 对于任何k∈R都成立，则
?
解
?
y－1＝0，
?
?
x＝3，
?
得
?

?
y＝1.
?


答案 C
3．(2012·佛山高一检测)已知直线l：ax＋y－2－a＝0在 x轴和y轴上的截距相等，则a
的值是( )．
A．1



B．－1
D．－2或1 C．－2或－1
a＋2
解析 由题意得，a＋2＝，解得a＝－2或a＝1.
a
答案 D
4．已知直线ax＋4 y－2＝0与2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值
为( )．
A．－4 B．20 C．0 D．24
a2
解析 由直线互相垂直可得－· ＝－1，∴a＝10，所以直线方程为5x＋2y－1＝0，又垂
45
足(1，c)在直线上， 所以代入得c＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b＝－12，所以a
＋b＋c＝－4.故选 A.
答案 A
1
5．若直线y＝x＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点在第一象 限，则实数k的取值范围是
2
( )．
51
－，
?
A.
?
?
22
?


21
－，
?
B.
?
?
52
?
21
－，
?
D.
?
?
52
?
51
－，－
?
C.
?
2
??
2

?
解析 联立方程组
?
1
y＝－x＋2
?
2
?
?
y＝x＋2k＋1，

?
，得
?
2k＋5< br>y＝
?
3
.
2?1－2k?
x＝，
3
2?1 －2k?
＞0，
?
3
1
与直线y＝－x＋2的交点在第一象限，所以
?
2
2k＋5
?
3
＞0，
51
所以－＜k ＜.
22
答案 A



?
解得
?< br>5
k＞－
?
2
1
k＜，
2
因为直线y＝x＋ 2k＋1
，
6．(2012·辽宁省营品市质量检测)已知A(2,4)与B(3,3)关于 直线l对称，则直线l的方程
为( )．
A．x＋y＝0



B．x－y＝0
D．x－y＋1＝0 C． x＋y－6＝0
解析 由已知得直线l是线段AB的垂直平分线，所以直线l的斜率为1，且过线段中点
?
5
，
7
?
，由点斜式得方程为y－
7
＝x－
5
，化简 得x－y＋1＝0.故选D.
?
22
?
22
答案 D
7．直线l过点A(3,4)且与点B(－3,2)的距离最远，那么l的方程为( )．
A．3x－y－13＝0
C．3x＋y－13＝0
B．3x－y＋13＝0
D．3x＋y＋13＝0
解析 因为过点A的直线l与点B的距离 最远，所以直线AB垂直于直线l，所以直线AB的
斜率为－3，由点斜式可得直线方程为3x＋y－1 3＝0.故选C.
答案 C
8．(2012·茂名高一检测)若直线l与直线y＝1，x＝ 7，分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐
标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )．
1132
A. B．－ C．－ D.
3323
解析 设P(xP
，y
P
)，由题意及中点坐标公式，得x
P
＋7＝2，解得x
P
＝－5，∴P(－5,1)，∴直
1－?－1?
1
线l的斜率k＝ ＝－.
3
－5－1
答案 B
9．(2012·湖北重点中学联考(二)) 已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相
等，则实数a的值为( )．
7
A.
9


1
B．－
3

71
C．－或－
93

71
D.或
93
|－3a－4＋1||6a＋3＋1|
17
解析 由题意及点到直线的距离公式得，＝，解得a＝－或－.
39
a
2
＋1a
2
＋1
答案 C
10． 等腰Rt△ABC的直角顶点为C(3,3)，若点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能是( )．
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
?
k
BC
＝－1，
?
k
AC·
解析 根据题意可得
?

?
|BC|＝|AC|，
?

3－4y－3
?
＝－ 1，
?
3－0
·
x－3
即
?

?
?
?x－3?
2
＋?y－3?
2
＝?0－3?
2
＋ ?4－3?
2
.
??
?
x＝2，
?
x＝4，
?
整理可得或
?

?
y＝0
?
??
y＝6，


所以B(2,0)或B(4,6)．
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．已知 直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程
为____ ____．
解析 直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45 °，又所求直线的倾斜角是已知直 线倾斜角
的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在．又直线过定点P(3,3)，所以直 线l的
方程为x＝3.
答案 x＝3
12．(2012·南通高一检测)若直线a x－2y＋2＝0与直线x＋(a－3)y＋1＝0平行，则实数a的值
为________．
解析 由两直线平行的条件得a(a－3)＝－2，解得a＝1或2，经检验，a＝2时两直线重合，< br>所以两直线平行时，实数a的值为1.
答案 1
13．已知点A(－2,4)与直线 l：x＋y＋4＝0.P是直线l上一动点，则|PA|的最小值为________．
解析 当PA⊥l时，PA最小，即为点A到直线l的距离，
|－2＋4＋4|
所以|PA|的最小值为＝32.
2
答案 32
14．已知，a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边，若点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0

上，则m
2
＋n
2
的最小值为________．
解析 点(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，且m
2
＋n
2
为直线上的点到 原点的距离的平方．当
|a·0＋b·0＋2c|
2c2c
两直线垂直时，距离最小． 故d＝＝＝＝2，∴m
2
＋n
2
≥4.
2222
c
a＋ba＋b
答案 4
15．(2012·江西卷)过 直线x＋y－22＝0上点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线，若两条切线的 夹角是
60°，则点P的坐标是____________．
解析： 直线与圆的位置关系如图所示，

设P(x，y)，则∠APO＝30°，且OA＝1.在直 角三角形APO中，OA＝1，∠APO＝30°，则OP
＝2，即x
2
＋y
2
＝4.又x＋y－22＝0，联立解得x＝y＝2，即P(2，2)．
答案： (2，2)

三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(10分)(1)求与直线3x＋4y－7＝0垂直，且与原点的距离为6的直线方程；
(2)求经过直线l
1
：2x＋3y－5＝0与l
2
：7x＋15y＋1＝ 0的交点，且平行于直线x＋2y－3＝0
的直线方程．
解 (1)设所求的直线方程为4x－3y＋c＝0.
由已知：
|c|
＝6，解得c＝±30，
4
2
＋3
2
故所求的直线方程为4x－3y±30＝0.
(2)设所求的直线方程为
2x＋3y－5＋λ(7x＋15y＋1)＝0，
即(2＋7λ)x＋(3＋15λ)y＋λ－5＝0，
2＋7λ
1
由已知－＝－，解得λ＝1.
2
3＋15λ
故所求的直线方程为9x＋18y－4＝0.
17．(10分)设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为零，当然相等，

则(a＋1)×0＋0＋2－a＝0，
∴a＝2，方程即3x＋y＝0.
a－2
若a≠2，由于截距存在，∴＝a－2，
a＋1
即a＋1＝1.∴a＝0，方程即x＋y＋2＝0.
∴l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)将l的方程化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
?
＋1?≥0，
?< br>－?a
∴l不经过第二象限，当且仅当
?

?
a－2≤0.
?

∴a≤－1，综上可知，a的取值范围是a≤－1.
18．(10分)已知两条直线l
1
：x＋m
2
y＋6＝0，l
2
：(m－2)x＋3my＋2m＝ 0，当m为何值时，l
1
与l
2
(1)相交；(2)平行；(3)重合．
解 当m＝0时，l
1
：x＋6＝0，l
2
：x＝0，∴l
1
∥l
2
；
当m＝2时，l
1
：x＋4y＋6＝0，l< br>2
：3y＋2＝0，∴l
1
与l
2
相交；
1m2
16
当m≠0且m≠2时，由＝，得m＝－1或m＝3，由＝，得m＝3.
m －2
3m
m－2
2m
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l
1
与l
2
相交；
(2)当m＝－1或m＝0时，l
1
∥l
2
；
(3)当m＝3时，l
1
与l
2
重合．
19．(12分) (2011·扬州高一检测)已知△ABC中，A(3,2)，B(－1,5)，C点在直线3x－y＋3＝0< br>上，若△ABC的面积为10，求C点的坐标．
解 |AB|＝ ?3＋1?
2
＋?2－5?
2
＝5，
∵S
△
ABC
＝10，∴AB边上的高为4，
即C点到AB距离为4，
而直线AB的方程为3x＋4y－17＝0，
3x－b＋ 3＝0，
?
?
设C(a，b)，则
?
|3a＋4b－17|

＝4，
?
5
?

?
?
?
a＝3
，
?
a＝－1，
?
解得或
?
?
?< br>b＝0
?

5
?
b＝8.


5< br>?
所以C(－1,0)或
?
?
3
，8
?
.
20．(12分)(2012·江苏滨海中学高一检测)在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为 x－2y
＋1＝0，∠A的平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C 的坐标．

?
?
x－2y＋1＝0，
解 由方程组
?
解得点A的坐标为(－1,0)，又直线AB的斜率k
AB
＝1， x轴是
?
y＝0，
?

∠A的平分线，
所以k
AC
＝－1，
则AC边所在的直线方程为y＝－(x＋1)．①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率k
BC
＝－2，
所以BC边所在的直线方程为y－2＝－2(x－1)．②
?
?
x＝5，
解①②组成的方程组得
?

?
y＝－6，
?

即顶点C的坐标为(5，－6)．
2 1..如图所示，已知直线l：y＝x，圆C
1
的圆心为(3,0)，且经过点A(4,1)．
(1)求圆C
1
的方程；
(2)若圆C
2
与圆C
1
关于直线l对称，点B、D分别为圆C
1
、C
2
上任意一点，求| BD|的最小值．
解析： (1)依题意，设圆C
1
的方程为(x－3)
2
＋y
2
＝r
2
，因为圆C
1
经过点A(4,1)， 所以r
2
＝(4
－3)
2
＋1
2
＝2.
所以圆C
1
的方程为(x－3)
2
＋y
2
＝2.
(2)由(1)，知圆C
1
的圆心坐标为(3,0)，半径为2，
C
1
到直线l的距离d＝
|3－0|
32
＝，
2
1＋1
322
－2＝.
22
2
＝2.
2
所以圆C
1
上的点到直线l的最短距离为
因为圆C
2
与 圆C
1
关于直线l对称，所以|BD|
min
＝2×