高中数学 必修二 第二章 2.2 2.2.2课后习题

第二章 2.2 2.2.2
基础巩固
一、选择题
1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
[答案] D
2．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面
D．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
[答案] D
[解析] 任意一条直线平行于另一个平面，即平面内所有的直线都平行于另一个平面．
3．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，下列结论一定成立的是( )
A．这两个角相等
B．这两个角互补
C．这两个角所在的两个平面平行
D．这两个角所在的两个平面平行或重合
[答案] D
[解析] 这两个角相等或互补；这两个角所在的两个平面平行或重合．
4．如图所示，设E，F，E
1
，F
1
分别是长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AB，CD，A
1
B
1
，
C
1
D
1
的中点，则平面EFD
1
A
1
与平 面BCF
1
E
1
的位置关系是( )

A．平行
C．异面
[答案] A
[解析] ∵E
1
和F
1分别是A
1
B
1
和D
1
C
1
的中点，

B．相交
D．不确定

∴A
1
D
1
∥E
1
F
1
，又A
1
D< br>1
?平面BCF
1
E
1
，E
1
F
1
?平面BCF
1
E
1
，
∴A
1
D
1
∥平面BCF
1
E
1
.
又E
1
和E分别是A
1
B
1
和AB的中点， ∴A
1
E
1
綊BE，∴四边形A
1
EBE
1< br>是平行四边形，
∴A
1
E∥BE
1
，
又A
1
E?平面BCF
1
E
1
，BE
1
?平面BCF
1
E
1
，
∴A
1
E∥平面BCF
1
E
1
，
又A< br>1
E?平面EFD
1
A
1
，A
1
D
1
?平面EFD
1
A
1
，A
1
E∩A
1< br>D
1
＝A
1
，
∴平面EFD
1
A
1
∥平面BCF
1
E
1
.
5．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是( )
A．l∥β，l?α?α∥β
B．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C．l∥m，l?α，m?β?α∥β
D．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
[答案] D
[解析] 如右图所示，在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，直线AB∥
CD，则直线AB∥平面DC
1
，直线 AB?平面AC，但是平面AC与平
面DC
1
不平行，所以选项A错误；取BB
1
的中点E，CC
1
的中点F，
则可证EF∥平面AC，B
1C
1
∥平面AC
．
又EF?平面BC
1
，B
1
C
1
?平面BC
1
，但是平面AC
与平面BC
1< br>不平行，所以选项B错误；直线AD∥B
1
C
1
，AD?平面AC，B
1
C
1
?平面BC
1
，
但平面AC与平面BC1
不平行，所以选项C错误；很明显选项D是两个平面平行的判定定
理，所以选项D正确．
6．若平面α∥平面β，直线a∥α，点B∈β，则在平面β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
[答案] A
[解析] 当直线a?β，B∈a上时满足条件，此时过B不存在与a平行的直线，故选A．

二、填空题
7．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是________.
[答案] 平行
8．已知平面α和β，在平面α内任取一条直线a，在β内总存在直线b∥a ，则α与β
的位置关系是________(填“平行”或“相交”)．
[答案] 平行
[解析] 假若α∩β＝l，则在平面α内，与l相交的直线a，设a∩l＝A，对于β内的任
意直线b，若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面，即β内不存在直线
b∥a.故α ∥β.
三、解答题
9. (2015·福建厦门六中月考)如图所示，四棱锥P－ABCD 的底面ABCD为矩形，E，F，
H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.

[证明] 因为F为CD的中点，H为PD的中点，
所以FH∥PC，所以FH∥平面PCE.
又AE∥CF且AE＝CF，
所以四边形AECF为平行四边形，
所以AF∥CE，所以AF∥平面PCE.
由FH?平面AFH，AF?平面AFH，FH∩AF＝F，
所以平面AFH∥平面PCE.
10.如图，F，H分别是正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱CC
1
，AA
1
的中点，求证：平面BD F
∥平面B
1
D
1
H.

[证明] 取DD
1
中点E，
连AE、EF.
∵E、F为DD
1
、CC
1
的中点，
∴EF綊CD
．

∴EF綊AB，
∴四边形EFBA为平行四边形．
∴AE∥BF.
又∵E、H分别为D
1
D、A
1
A的中点，
∴D
1
E綊HA，
∴四边形HAED
1
为平行四边形．
∴HD
1
∥AE，∴HD
1
∥BF，
由正方体的性质易知 B
1
D
1
∥BD，且已证BF∥D
1
H.
∵B
1
D
1
?平面BDF，BD?平面BDF，
∴B
1
D
1
∥平面BDF.
∵HD
1
?平面BDF，BF?平面BDF，
∴HD
1
∥ 平面BDF.又∵B
1
D
1
∩HD
1
＝D
1
，
∴平面BDF∥平面B
1
D
1
H.
能力提升
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．平面α内有一条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行
C．平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与平面β平行
D．平面α内所有直线都与平面β平行，则平面α与平面β平行
[答案] D
[解析] 两个平面平行?两个平面没有公共点?平面α内的所有直线与平面β没有公共
点?平 面α内的所有直线都与β平行．
2．经过平面α外两点，作与α平行的平面，可以作( )

A．1个
C．0个或1个
[答案] C
B．2个
D．无数个
[解析] 当两个点在平面α同侧且 连线平行于平面α时，可作一个平面与α平行；当两
个点在平面α异侧或同侧且连线与平面α不平行时， 不能作出平面与α平行．
3．下列结论中：
(1)过不在平面内的一点，有且只有一个平面与这个平面平行；
(2)过不在平面内的一条直线，有且只有一个平面与这个平面平行；
(3)过不在直线上的一点，有且只有一条直线与这条直线平行；
(4)过不在直线上的一点，有且仅有一个平面与这条直线平行．
正确的序号为( )
A．(1)(2)
C．(1)(3)
[答案] C
4．过平行六面 体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
任意两条 棱的中点作直线，其中与平面DBB
1
D
1
平
行的直线共有( )
A．4条
C．8条
[答案] D
[解析] 如右图所示，以E为例，易证EH，EM∥平面DBB
1
D
1
.
B．6条
D．12条
B．(3)(4)
D．(2)(4)

8×2
与E处于同等地位的点还有F、G、H、M、N、P、Q，故有符合题意的直线＝82
条．以E为例，易证QE∥平面DBB
1
D
1
，与E处于同等 地位的点还有H、M、G、F、N、P，
故有符合题意的直线4条．∴共有8＋4＝12(条)．
二、填空题
5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H 分别为PA，
PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB
．

其中正确的有________.(填序号)
[答案] ①②③
[解析] 把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EH∥AB，所以EH∥平面ABCD
．
同理可证EF∥平面ABCD，所以平面EFGH∥平面
A BCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个
侧面，则它们两两相交． ∵AB∥CD，∴平面PCD∥AB
．
同理平面PAD∥BC
．

6 ．如下图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H分别为棱CC
1
、C
1
D
1
、
D
1
D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则 M满足________
时，有MN∥平面B
1
BDD
1
.

[答案] 点M在FH上
[解析] ∵FH∥BB
1
，HN∥BD，FH∩HN＝H，
∴平面FHN∥平面B
1
BDD
1
，
又平面FHN∩平面EFGH＝FH，
∴当M∈FH时，MN?平面FHN，
∴MN∥平面B
1
BDD
1
.
三、解答题
7． 如下图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是B
1
D
1
的中点，E，F，G分别是
BC，DC 和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.

[分析]
证明平面与平面平行转化为证明线面平行 ，即转化为证明直线FG∥平面BDD
1
B
1
，EG
∥平面BDD< br>1
B
1
.
[证明] 如下图所示，连接SB，SD
．


∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD
．

又∵SD?平面BDD
1
B
1
，FG?平面BDD
1
B
1
，
∴直线FG∥平面BDD
1
B
1
.
同理可证EG∥平面BDD
1
B
1
.
又∵直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，直线EG∩直线FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD
1
B
1
.
8．已知点S是正三 角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB边AB
上的高，D、E、F分别是 AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给
予证明．

[分析1] 观察图形容易看出SG∥平面DEF.要证明此结论成立，只须证明SG与平面
D EF内的一条直线平行．考虑到题设条件中众多的中点，可应用三角形中位线性质．
观察图形可以看出：连接CG与DE相交于H，连接FH，FH就是适合题意的直线．
怎样证明SG∥FH？只需证明H是CG的中点．

[证法1] 连接CG交DE于点H，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB
．

在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，∴H是CG的中点．
∴FH是△SCG的中位线，
∴FH∥SG.
又SG?平面DEF，FH?平面DEF，
∴SG∥平面DEF.
[分析2]
由题设条件中，D、E、F都是棱的中点，不难得出DE∥AB，DF∥SA，从而平面DEF
∥平面SAB，
又SG?平面SAB，从而得出SG∥平面DEF.
[证法2] ∵EF为△SBC的中位线，
∴EF∥SB
．

∵EF?平面SAB，SB?平面SAB，
∴EF∥平面SAB
．

同理：DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，
∴平面SAB∥平面DEF，
又∵SG?平面SAB，∴SG∥平面DEF.
[点评] 要证面面平行，应先证线线或线面平行，已知面面平行也可以得出线面平行，
它们之间可以相互转化．