高中数学必修二3.3.2两点间的距离

3.3.2 两点间的距离
（一）教学目标
1．知识与技能：掌握直角坐标系 两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。
2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体 会数形结合的优越性。；
3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。（二）教学重点、难点
重点，两点间距离公式的推导；难点，应用两点间距离公式证明几何问题。< br>（三）教学方法
启发引导式
教学
环节
教学内容
复习数轴上两点的距离公式.
师生互动
设问一：
设计意图
复习
引入
同学们能否用以前所学知
识解决以下问题：
设置情境
导入新课
已知两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2

(x
2
，y
2
)求|P
1
P
2
|
过P
1
、P
2
分别向x轴和y轴作垂
线，垂足分别为N1
(0，y)，M
2
(x
2
，
0)直线P
1
N
1
与P
2
M
2
相交于点Q.
在教学过 程中，可以提出
问题让学生自己思考，教师提
示，根据勾股定理，不难得到. 通过
提 问思考
教师引
导，使学
生体会两
点间距离
公式形成
在直角△ ABC中，|P
1
P
2
|
2
= |P
1
Q|
2

+ |QP
2
|
2
，为了计算其长度，过点P
1
概念向x轴作垂线，垂足为M
1
(x
1
，0)过点
于是有|P
1
Q|
2
= |M
2
M
1
|
2
= |x
2
– x
1
|
2
，
|QP
2
|
2
= |N
1
N
2
|
2
= |y
2
– y
1
|
2
.
形成 P
2
向y轴作垂线，垂足为N
2
(0，y
2
)，
由此得到两点间的距离公式的过程.
22
|PP< br>12
|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y1
)

例1 已知点A (–1，2)，
B(2,7)
在x
轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|
应用的值.
教师讲解思路，学生上台
板书.
通过
例题讲
解，使学
生掌握两
点间的距
离公式及
教师提问： 还有其它的解法，
举例 解：设所求点P (x，0)，于是有
222
由学生思考，再 讨论提出
2
解法二：由已知得，线段AB
(x?1)?(0?2)?(x?2)?(0 ?7)

∴x
2
+ 2x + 5 = x
2
– 4x + 11
解得x = 1
12?7
的中点为
M(,)
，直线
22
其应用.
∴所求点P (1，0)且AB的斜率为
|PA|?(1?1)
2
?(0?2 )
2
?22
同步练习，书本112页第1、2题.
k?
7?22? 731
??(x?)|PA|
322
2?7
7?2
3
?(1 ?2)
2
?(0?2)
2
?22
线段AB的垂直平分线的方程
是
y?
2?731
??(x?)
22
2?7
在上述式子中 ，令y = 0，解得
x = 1.
所以所求点P的坐标为(1，0).
因此
|PA|?(1?2)
2
?(0?2)
2
?22

例2 证 明平行四边形四条边的平方
和等于两条对角线的平方和.
此题让学生讨论解决，再
由学 生归纳出解决上述问题的
基本步骤：
让学
生深刻体
会数形之分析：首先要建 立直角坐标系，用坐
标表示有关量，然后用代数进行运算，
最后把代数运算“翻译”成几何关系 .
第一步：建立直角坐标系，间的关系
用坐标表示有关的量.
第二步：进行有关代数运
算.
第三步：把代数结果“翻
和转化，
并 从中归
纳出应用
代数问题
解决几何
问题的基
本步骤.
证明 ：如图所示，以顶点A为坐标原
点，AB边所在的直线为x轴，建立直
角坐标系，有A(0，0 ).
设B (a，0)，D (b，c)，由平行四边形译”成几何关系.
的性质的点C的坐标为(a + b，c)，因
为|AB|
2
= a
2
，|CD|
2
= a
2
，
|AD|
2
= b
2
+ c
2
= |BC|
2
|BD|
2
= (b – a)
2
+ c
2

所以，|AB|
2
+ |CD|
2
+ |AD|
2
+ |BC|
2
=
2 (a
2
+ b
2
+ c
2
)
|AC|
2
– |BD|
2
= 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)所以，
思考：同学们是否还有其
它的解决办法？
还可用综合几何的方法证
明这道题. |AC|
2
= (a + b)
2
+ c
2
，

|AB|
2
+ |CD|
2
+ |AD|
2
+ |BC|
2
= |AC|
2
+
|BD|
2

因此，平行四边形四条边的平方和等
于两条对角线的平方和.
主要讲述了两点间距离公式的推
归纳
总结
导，以及应用，要懂得用代数的方法
解决几何问题，建立直角坐标系的重
要性.
师生共同总结
让学
生更进一
步体会知
识形成过
程
课后
作业
布置作业
见习案3.3的第二课时.
由学生独立完成 巩固深化
备选例题
例1 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标
【解析】设点P的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得：
(x?3)
2
?(0?6)
2
?10
解得：x = 11或x = –5.
所以点P的坐标为(–5，0)或(11，0).
例2 在直线l：3x – y – 1 = 0上求一点P，使得：
（1）P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
（2）P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小.
【解析】（1）如图，B关于l的对称点B′(3，3).
AB′：2x + y – 9 = 0
由
?
?
2x?y?9?0
?
x?2
解
?
得P(2，5).
3x?y?1?0y?5
??
324
（2）C关于l对称点
C
?
(,)

55
由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|
1126
当P是AC′与l的交点
P(,)
时“=”成立，
77
1126
∴
P(,)
.
77
例3 如图，一束光线经过P (2，1)射到直线l：x + y + 1 =
0，反射后穿过点Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线的方程；
（2）沿这条光线从P到Q的长度.
【解析】（1）设点Q′(a，b)是Q关于直线l的对称点

因为QQ′⊥l，k
1
= –1，所以
k
QQ
?
?1,
b?2
?1

a?0
a?0b?2
??1?0

22
又因为Q′Q的中点 在直线l上，所以
?
b?2
?1
?
?
a??3
?< br>a?0
所以
?
得
?
，所以Q′(–3，–1)
b? ?1
ab?2
?
??1?0
?
?
?22
因为Q′在 入射光线所在直线l
1
上，设其斜率为k，
所以
k?
1?(?1)
2
?

2?(?3)52
l
1
：
y?1?(x?2)
即2x – 5y + 1 = 0
5
（2）设PQ′与l的交点M，由（1）知|QM| = |Q′M|
所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| =
所以沿这光线从P到Q的长度为
29
.
入射光所在直线方程为2x – 5y + 1 = 0.
29