人教版高一数学必修二点线面位置关系附答案解析

第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末检测
一、选择题

1．垂直于同一条直线的两条直线一定( )．
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
2．正四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
＝2AB
，则异面直线
A
1
B与AD
1
所成角的余弦值为
( )．
A．
1

5
B．
2

5
C．
3

5
D．
4

5
3．经过平面外两点与这个平面平行的平面( )．
A．可能没有 B．至少有一个 C．只有一个 D．有无数个
4．点E，F，G，H分别为空间四边形AB CD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝
BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形 EFGH是（ ）．
A．菱形 B．梯形 C．正方形 D．空间四边形
5．已知 m，n 为异面直线，m
?
平面
?
，n
?
平面

?
，
?
∩
?
＝l，则( )．


A．l与m，n都相交
C．l与m，n都不相交








B．l与m，n中至少一条相交
D．l只与m，n中一条相交
6．在长方体ABCD-A
1
B
1< br>C
1
D
1
中，AB＝AD＝2
3
，CC
1< br>＝
2
，则二面角C
1
-BD-C的
大小为( )．
A．30° B．45°

C．60°

D． 90°
7．如果平面
?
外有两点A，B，它们到平面
?
的距离都是a ，则直线AB和平面
?
的位
置关系一定是( )．
A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．AB
?
?

8．设m，n是两条不 同的直线，
?
、
?
是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )．
A．
?
⊥
?
，m⊥
?
，n∥
?
?
m⊥n
C．m⊥
?
，n
?
?
，m⊥n
?
?
⊥
?



B．
?
∥?
，m⊥
?
，n∥
?
?
m⊥n
D.
?
⊥
?
，
?
?
＝m，n⊥m
?
n⊥?

9．平面
?
∥平面
?
，AB，CD是夹在
?
和
?
之间的两条线段，E，F分别为AB，CD
的中点，则EF与
?
的关系是( )．
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不能确定
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10．平面
?
⊥平面
?
，A∈α，B∈β，AB与两平面
?
，β所成的角分别为
ππ
和，过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′，B′，则AB∶A′B′
46
等于( )．
A．2∶1
C．3∶2
二、填空题




B．3∶1
D．4∶3
(第10题)

11．下图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小
为 ．
C
A
B
(第11题)

D

12．正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的各 棱长均为2，E，F分别是AB，A
1
C
1
的中点，则EF
的长是 ．
B
1
C
1
F
A
1
B
C
E
(第12题)

A

13．如图，AC 是平面
?
的斜线，且AO＝a，AO与
?
成60?角，OC??，AA′⊥< br>?
于A′，
∠A′OC＝45?，则点A到直线OC的距离是 ．

(第13题)

第 2 页 共 10 页

14．已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为
5
，则侧面 与底面所成二面角的大小
为 ．
15．已知a，b为直线，为
?
平面，a∥
?
，b∥
?
，对于a，b的位置关系有下面五个
结论：
①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交．
其中可能成立的有 个．
三、解答题
16．正方体AC
1
的棱长为a．
(1)求证：BD⊥平面ACC
1
A
1
；
(2)设P为D
1
D中点，求点P到平面ACC
1
A
1
的距离．







17．如图，ABCD是正方形，O 是该正方形的中心，P是平面ABCD外一点，PO
?
底
面ABCD，E是PC的中点 ．
求证：(1)PA∥平面BDE ；
(2)BD⊥平面PAC．








A
D
O
(第17题)

P
E
C
B
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18．如图，在四棱锥P-ABCD中， PD⊥平面ABCD，PD
＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离．
(第18题)





19．如图，棱长为1的正方体ABCD-A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
(1)求证：AC⊥平面B
1
D
1
DB；
(2)求证：BD
1
⊥平面ACB
1
；
(3)求三棱锥B-ACB
1
体积．






20. 已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BC D，∠ADB＝60°，E，F
分别是AC，AD上的动点，且
A
1
D
1
(第19题)

D
A
B
C
C
1
B
1
AEAF
＝＝
?
(0＜
?
＜1)．
ACAD
(1)求证：不论
?
为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
(2)当
?
为何值时，平面BEF⊥平面ACD？

(第20题)

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参考答案
一、选择题
1．D
解析：当垂直于直线l的两条直线与l共面 时，两条直线平行；当这两条直线与l不共
面时，两条直线平行或相交或异面．
2．D 解析：当将AD
1
平移至BC
1
，连接A
1
C
1
，∴∠A
1
BC
1
是异面直线A
1
B与AD1
所成的角.
在△A
1
BC
1
中，容易计算A
1
B＝BC
1
＝
5
，A
1
C
1
＝
2
．
∴由余弦定理得cos∠A
1
BC
1
＝
3．A
解析：当平面外两点的连线与此平面垂直时，经过这两点与这个平面平行的平面不存在．
4．C
4
．
5
∥
1
AC，GH

＝
∥
1
AC，∴ EF

＝
∥
GH． 解 析：依条件得EF
＝
22
∥
1
BD，FG
＝
∥1
BD，∴ EH
＝
∥
FG． 又EH
＝
22
∵AB＝BC，∴EF＝EH．
∵ AC与BD所成角的大小为90°，∴ EF与EH所成角的大小为90°．
∴四边形EFGH是正方形．
5．B
解析：对于A，满足条件的直线l可以与m， n中一条相交；对于C，若l与m，n都不
相交，∵ l分别与m，n共面，∴ l∥m，l∥n．∴ m∥n．矛盾；对于D，满足条件的直线
可以与m，n都相交．
6．A
解析：若设 AC，BD交于点O，连接C
1
O，则BD⊥CO，BD⊥C
1
O．
∴ ∠COC
1
是二面角C
1
-BD- C的平面角．tan∠COC
1
＝
∴ ∠COC
1
＝30°．
7．C
解析：当A，B两点在
?
同侧时，直线AB和平面
?
平行；当A，B两点在
?
异侧时，
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3
CC
1
＝．
3
BC

直线AB和平面
?
相交．
8．B
解析：对于A，
?⊥
?
，m⊥
?
，n∥
?
，m，n可以不垂直； 对于C，m⊥
?
，n∥
?
，m⊥n，
?
,
?< br>可以不垂直；
对于D，
?
⊥
?
，
?
∩?
＝m，n⊥m，n
、
?
可以不垂直．
9．A
解析：设A，C∈
?
，B，D∈
?
，
① 若AB，CD共面，∵
?
∥
?
，∴ AC∥BD.
∵ E，F分别为AB，CD的中点，
∴ EF∥AC，且EF
?
?
，AC
?
?
，∴ EF∥
?
．
②若AB，CD为异面直线，则过点F做直线MN∥AB，MN交
?
于M，交
?
于N，则
MC∥ND．∴ F为的MN中点．∴EF∥AM， 且EF
?
?
，AM
?
?
，∴ EF∥
?
．
10．A
解析：连接AB′，A′B，于是∠ABA′＝
ππ
，∠BAB′＝.
64
设AB＝a，∴ A′B＝acos
3
2
ππ
＝a，BB′＝acos＝a．
64
2
2
∴ A′B′＝
1
a．∴ AB∶A′B′＝2∶1．
2
(第10题)

二、填空题
11．60°．
解析：将展开图恢复为正方体时，点B，D重合，∴ AB，CD，AC三条面对角线构成
等边三角形，∴ 直线AB，CD所成角的大小为60°．
12．
5
．
如图，取A
1
B
1
的中点G，连接FG，EG，
∵FG＝1，EG ＝2，∴ EF＝
5
．

C
14
a．
4
B
1
C
1
G
F
A
1
B
E
(第12题)

A
A
13．
解析：如图过点A作AB⊥OC，垂足为B，连接A′B，
A′
第 6 页 共 10 页
C
B
(第13题)

O

点A到直线OC距离是AB．
依条件得AA′＝
32
1
a，A′O＝a，A′B＝a．
24
2
∴ AB＝
14．60°．
32
14
?
a ＝a．
4
416
解析：依条件可 知正四棱锥底面中心到一边的距离为1，侧面等腰三角形底边上的高为
2，∴ 侧面与底面所成的二面角的余弦值是
1
．
2
∴ 侧面与底面所成的二面角的大小是60°．
15．5．
解析：依条件可知当a∥
?
，b∥
?
时，以上五种情况都有可能出现，因此五个结论都
有可能成立．
三、解答题
16． 证明：(1)∵ AA
1
⊥AB，AA
1
⊥AD，且AB∩AD＝A，
∴ AA
1
⊥平面ABCD．
又BD
?
平面ABCD，∴ AA
1
⊥BD．
又AC⊥BD，AA
1
∩AC＝A，∴ BD⊥平面ACC
1
A
1
．
(2)∵ DD
1
∥AA
1
，AA
1
?
平面ACC
1
A
1< br>，
∴ DD
1
∥平面ACC
1
A
1
．
A
A
1
·
P
D
O
(第16题)

D
1
B
1
C
1
C
B
∴ 点P到平面ACC
1
A
1
的距离即为 直线DD
1
到面ACC
1
A
1
的距离. 也就是点D到平面
ACC
1
A
1
的距离，设AC ∩BD＝O，则DO的长度是点D到平面ACC
1
A
1
的距离．
容易求出DO＝
22
a．∴ P到平面ACC
1
A
1
的距离为a．
22
17．证明：(1)连接EO，∵ 四边形ABCD为正方形，
∴ O为AC的中点．
∵ E是PC的中点，∴ OE是△APC的中位线．
∴ EO∥PA．∵ EO
?
平面BDE，PA
?
平面BDE，
∴ PA∥平面BDE．
(2)∵ PO⊥平面ABCD，BD
?
平面ABCD，
∴ PO⊥BD．
∵

四边形ABCD是正方形，
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P
E
D
A
O
B
(第17题)

C