高中数学必修2第4章 4.1.2

4.1.2 圆的一般方程

【课时目标】 1．正确理解圆的一般方程及其 特点．2．会由圆的一般方程求其圆心、
半径．3．会依据不同条件利用待定系数法求圆的一般方程，并 能简单应用．4．初步掌握点
的轨迹方程的求法，并能简单应用．

1．圆的一般方程的定义
(1)当________________时，方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为
________ ____，半径为______________________．
(2)当D
2
＋E
2
－4F＝0时，方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝ 0表示点________________．
(3)当__________________时， 方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
2．由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x
0
，y
0
)和圆的方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0(D
2＋E
2
－4F>0)．，则其位置关系如
下表：
位置关系 代数关系
2
点M在圆外 x
2
0
＋y
0
＋Dx
0< br>＋Ey
0
＋F________0
2
点M在圆上 x
20
＋y
0
＋Dx
0
＋Ey
0
＋F______ __0
2
点M在圆内 x
2
0
＋y
0
＋Dx0
＋Ey
0
＋F________0



一、选择题
1．圆2x
2
＋2y
2
＋6x－4y－3＝0 的圆心坐标和半径分别为( )
3
1919
－，1
?
和 B．(3,2)和A．
?

?
2
?
42
3
19
?
3
，－1
?
和
19

－，1
?
和C．
?
D．
?
2
?
2
?
2
?
2
2．方程x
2
＋ y
2
＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是( )
1
A．1
4
1
C．m< D．m<1
4
3．M(3,0)是圆x
2
＋y
2
－8x－2y＋10＝ 0内一点，过M点最长的弦所在的直线方程是( )
A．x＋y－3＝0 B．x－y－3＝0
C．2x－y－6＝0 D．2x＋y－6＝0
4．圆x
2
＋y
2
－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为 ( )
2
A．2 B． C．1 D．2
2
22
5．已知圆x＋y－2ax－2y＋(a－1)
2
＝0(0A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
6．若圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x
2
＋y
2
＝0 D．x
2
－y
2
＝0

二、填空题
7．如果圆 的方程为x
2
＋y
2
＋kx＋2y＋k
2
＝0，那么当圆面 积最大时，圆心坐标为________．
8．已知圆C：x
2
＋y
2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对
称点都在圆C上， 则a＝________．

9．已知圆的方程为x
2
＋y
2
－6x－8y＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC
和BD，则四边形AB CD的面积为________．

三、解答题
10．平面直角坐标系中有A(－ 1,5)，B(5,5)，C(6，－2)，D(－2，－1)四个点能否在同一
个圆上？





11．如果方程x
2
＋y
2－2(t＋3)x＋2(1－4t
2
)y＋16t
4
＋9＝0表示一个圆 ．
(1)求t的取值范围；
(2)求该圆半径r的取值范围．








能力提升
12．求经过两点A(4,2)、B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．









1 3．求一个动点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动时，它与定点A(3,0)连线 的中点M的轨迹方程．









1．圆的一般方程
应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件．
2 ．圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出方程，以便
简化解题过程． < br>3．涉及到的曲线的轨迹问题，要求作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，
并掌握求轨 迹方程的一般步骤．


x
2
＋y
2
＋Dx＋E y＋F＝0，来源于圆的标准方程(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
．在
4．1．2 圆的一般方程 答案

知识梳理
DE
1
22
－，－
?
1．(1)D
2
＋E
2
－4F>0
?
D＋E－4F
22
??
2
DE
－，－
?
(2)
?2
??
2
(3)D
2
＋E
2
－4F<0
2．> ＝ <
作业设计
DE
1
－，－
?
，半 径r＝D
2
＋E
2
－4F两公式易得答案．] 1．C [由一般方程圆心
?
2
??
2
2
2．D [表示圆应满足< br>D
2
＋
E
2
－4
F
>0．]
3．B [过
M
最长的弦应为过
M
点的直径所在直线．]
4．D [先求出圆心坐标(1，－2)，再由点到直线距离公式求之．]
5．B [先化成 标准方程(
x
－
a
)
2
＋(
y
－1)2
＝2
a
，将
O
(0,0)代入可得
a
2＋1>2
a
(0<
a
<1)，即
原点在圆外．]
6．D [圆心应满足
y
＝
x
或
y
＝－
x
，等价于
x
2
－
y
2
＝0．]
7．(0，－1)
11
解析 r＝k
2
＋4－4k
2
＝4－3k
2
．
22当k＝0时，r最大，此时圆面积最大，圆的方程可化为x
2
＋y
2
＋2 y＝0，
即x
2
＋(y＋1)
2
＝1，圆心坐标为(0，－1)．
8．－2
a
a
－1，－
?
应在直线l：x－y＋2＝0上 ，即－1＋＋2＝0，解得 解析 由题意知圆心
?
2
??
2
a＝－2．
9．206
解析 点(3,5)在圆内，最长弦|AC|即为该圆直径，
1
∴|AC|＝10， 最短弦BD⊥AC，∴|BD|＝46，S
四边形
ABCD
＝|AC|·|BD|＝2 06．
2
10．解 设过A、B、C三点的圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0， D－5E－F＝26
?
?
则
?
5D＋5E＋F＝－50
?
?
6D－2E＋F＝－40

D＝－4
?
?
，解得
?
E＝－2
．
?
?
F＝－20

所以过A、B、C三点的圆的方程为x
2
＋y
2
－4x－2y－20＝0．
将点D(－2，－1)代入上述方程等式不成立．
故A、B、C、D四点不能在同一个圆上．
11．解 (1)方程x
2
＋y
2
－2(t＋3)x＋2(1－4t
2
)y＋16t
4
＋9＝0表示一个圆必须有：
D
2＋E
2
－4F＝4(t＋3)
2
＋4(1－4t
2
)< br>2
－4(16t
4
＋9)>0，
即：7t
2
－6t－1<0，
1
∴－7
(2)该圆的半径r满足：
D
2
＋E
2
－4F
2
r＝
4
＝ (t＋3)
2
＋(1－4t
2
)
2
－(16t
4< br>＋9)
3
16
t－
?
2
＋， ＝－7t
2
＋6t＋1＝－7
?
?
7
?
7
16
47< br>?
0，
?
，∴r∈
?
0，
∴r
2
∈
?
．
7
??
7
??
12．解 设圆的一般方程为 x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x
2
＋D x＋F＝0，所以

圆在x轴上的截距之和为x
1
＋x
2
＝－D；令x＝0，得y
2
＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距
之和为y
1
＋y
2
＝－E；
由题设，x
1
＋x
2
＋y
1
＋y
2
＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2． ①
又A(4,2)、B(－1,3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0， ②
1＋9－D＋3E＋F＝0， ③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x
2
＋y
2
－2x－12＝0．
13．解 设点M的坐标是(x，y)，点P的坐标是(x
0
，y
0
)．由于点A的坐标为(3,0)且M
x
0
＋3
y
0
是线段 AP的中点，所以x＝，y＝于是有x
0
＝2x－3，y
0
＝2y．
22
2
因为点P在圆x
2
＋y
2
＝1上移动，所以点P的 坐标满足方程x
2
0
＋y
0
＝1，
3
1
x－
?
2
＋y
2
＝． 则(2x－3 )
2
＋4y
2
＝1，整理得
?
?
2
?4
3
1
x－
?
2
＋y
2
＝． 所以点M的轨迹方程为
?
?
2
?
4