高一数学必修一必修二各章知识点总结

数学必修1各章知识点总结
第一章 集合与函数概念
一、集合
（一）集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性
3.集合的表示： （1）常用数集及其记法 （2）列举法 （3）描述法
4、集合的分类：有限集、无限集、空集
5. 常见集合的符号表示：
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
N

N
?
或
N
?

Z

Q

R

（二）集合间的基本关系
1.子集、真子集、空集； 2.有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集；
3.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（三）集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
设U是一个集合，A是U
由所有属 于A且属于由所有属于集合A或属
B的元素所组成的集于集合B的元素所组成
的一个子集，由U 中所有
的元素组成的集
定 义
合,叫做A,B的交的集合，叫做A,B的并< br>不属于A
集．记作A
?
B（读作集．记作：A
?
B（读作合，叫做U中子集A的补
‘A交B’），即A
?
B=‘A并B’），即A
?
B
集（或余集）
记作
?
C
x|x
?
A，且xB｝． ={x|x
?
A，或x
?
B})．
U
A
，即
｛
C
U
A=
{x|xUx?,且?A}

韦
U
恩
A
B
A
B
A

图
图1
示

图2

A
?
A=A A
?
A=A
(C
A
?
Φ=Φ A
?
Φ=A
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
性
A
?
B=B
?
A A
?
B=B
?
A
(C
u
A)
?
(C
u
B)= C
u
(A
?
B)
质
A
?
B
?
A A
?
B
?
Ａ
A
?
(C
u
A)=U
A
A
?
B
?
B A
?
B
?
B
?
(C
u
A)= Φ．
二、函数
（一）函数的有关概念
1.函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按 照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一
个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它 对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函
数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应
的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)| x∈A }叫做函数的值域．
定义域：能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域.
2.常用的函数表示法及各自的优点：
○1
解析法：必须注明函数的定义域；
○2
图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；
○3
列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．
优点：解析法：便于算出函数值.列表法：便于查出函数值.图象法：便于量出函数值.
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1；
(5)如果函数是由一些基本函数通过 四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义
的
x
的值组成的集合；
(6)指数为零底不可以等于零；
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
相同函数的判断方法：(以下两点必须同时具备)
(1)表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；(2)定义域一致.
求函数值域方法 :（先考虑其定义域）
（1）函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
(2)应熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
(3)求函数值域的常用方法有：直接法、换元法、配方法、分离常数法、判别式法、单调性法等.
2. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的
x
为横坐标，函数值
y
为纵坐标的点P
(x
，
y)
的集合C，叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图 象．C上每一点的坐标
(x
，
y)
均满足函数关系
y=f(x)，反过来，
以满足
y=f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐 标的点
(x
，
y)
，均在C上 .
函数图象既可以是连续的曲线 ，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图

象的依据.
(2) 画法:描点法;图象变换法
常用变换方法有三种:平移变换;对称变换；*伸缩变换.
3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
4．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A中的任意一
个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
?< br>B为从集合A到集合B的一
个映射.记作“f（对应关系）：A（原象集）
?
B （象集）”
对于映射
f
：
A
→
B
来说，则应满足：
(1)集合
A
中的每一个元素，在集合
B
中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合
A
中不同的元素，在集合
B
中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象.
5.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；
(2)各部分的自变量的取值情况；
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．

（二）函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）定义
设函数y =f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x
1
，x2
，
当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区
间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x
1
)
＞
f(x
2
)，那么就说
f(x)
在
这个区间上是减函数.区间D称为 y=f(x)的单调减区间.
定义的变形应用：如果对任意的
x
1
,x2
?D
，且
x
f(x
2
)?f(x
1
)
1
?x
2
有
x
?0
或者
2
?x
1
(f()x
2
?f(xxx
1
))(
2
?
1
)0?
，则函数
f(x)
在区间D上是增函数；如果对任意的< br>x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x2
有
f(x
2
)?f(x
1
)
x
?0
或者
(f()x
2
?f(xxx
1
))(
2
?
1
)0?
，则函数
f(x)
在区间D上是减函数.
2
?x
1
注意：函数的单调性是函数的局部性质.
（2）图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数，那 么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调
性，在单调区间上增函数的图 象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3)函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：

○
1 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
○2
作差f(x
1
)－f(x
2
)；
○
3 变形（通常是因式分解和配方）；
○
4 定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
○
5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)
，
y=f(u)
的单调性密切相关，其规律： “同增异减”
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2．函数的奇偶性（整体性质）
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
利用定义判断函数奇偶性的步骤
：
○
1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
○
2确定f(－x)与f(x)的关系；
○
3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x)
或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意：函数定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点
对称，若不对称则函数是非奇非偶函数 .若对称，(1)再根据定义判定; (2)由

f(-x)±f(x)=0
或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .
3.函数的解析表达式
（1）函数的解析式是 函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的
对应法则，二是要求出函 数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：

凑配法； 待定系数法；换元法；消参法.
如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数
f
[
g
(
x
)]的表达式时，可用换元法，
这时要注意元 的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式，则常用解方
程组消参的方 法求出
f(x)

4．函数最大（小）值

（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
（2）利用图象求函数的最大（小）值；
（3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x =b处有最大值f(b)；
函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调 递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).

第二章 基本初等函数
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果
x
n
?a
，那么
x
叫做
a
的
n
次 方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
*
．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
.
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a(a?0)
?< br>?a(a?0)

2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
a
n
?
n
a(a?0,m,n?N
*
,n?1 )
，
a
?
m
m
n
?
11
a?0, m,n?N
*
m
?(,n?1)

a
n
n
a
m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）< br>a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)；（2）
(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r, s?R)
；（3）
(ab)
r
?ab
rr
(a?0,r?R )
．
（二）指数函数及其性质
1．指数函数的概念：
一般地，函数
y?a
x
(a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2．指数函数的图象和性质

a>1 066
5544
33
22
1
1
1
1
-4-2
0< br>246-4-2
-1

0
246
-1

定义域 R 定义域 R
值域y＞0 值域y＞0
在R上单调递增 在R上单调递减
非奇非偶函数 非奇非偶函数
函数图象都过定点（0，1） 函数图象都过定点（0，1）
利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b ]上，
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f( b)]
（a>1）或

[f(b),f(a)]
(0（2）若
x?0
，则< br>f(x)?1
；
f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R
； < br>（3）对于指数函数
f(x)?a
x
(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a
.

二、对数函数

（一）对数的概念： 一般地，如果
a
x
?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做以
．
a
为底
．．
N
的对数，
记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
○
2
a
x
?N?log
a
N?x
.
两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
指数式与对数式的互化
幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数

（二）对数的运算性质

如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
○1

log
a
(M
·
N)?
loga
M
＋
log
a
N
；
○2

log
M
a
N
?
log
a
M
－
log
a
N
；
○3

log
n
a
M
?n
log
a
M

(n?R)
．
注意：换底公式
log
log
c
b
a
b?
log
（a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；b?0
）．
c
a
利用换底公式可得下面的结论：
（1）log
n
n
a
m
b?
m
log
ab
；
（2）
log
1
a
b?
loga
．
b

（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数
y?l og
a
x(a?0
，且
a?1)
叫做对数函数，其中
x是自变量，函数的定义
域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别.
如：
y?2log
2< br>x
，
y?log
x
5
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
5
○
2 对数函数对底数的限制：
a?0
，且
a?1
．


2、对数函数的图象和性质：
a>1 03
3
2.5< br>2.5
2
2
1.5
1.5
1
1
1
1
0.5
0.5
-1
0
12345678
-115678-0.5
1
0
234
-0.5
1
-1
-1-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域：
(0,??)
定义域：
(0,??)

值域为R 值域为R
在R上递增 在R上递减
函数图象都过定点（1，0） 函数图象都过定点（1，0）
三、幂函数
1．幂函 数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数，其中
?
为常数．
2．幂函数性质归纳：
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）当
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特 别地，当
?
?1
时，幂
函数的图象下凸；当
0?
?
?1
时，幂函数的图象上凸；
（3）当
?
?0
时，幂函数的图象在 区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，当
x
从右边趋向原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋于??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1．函数零点的概念：对于函数< br>y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0
成立的实数
x
叫 做函数
y?f(x)(x?D)
的零点.
2．函数零点的意义：函数
y?f (x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴
交点的横坐标.
即：方程
f(x)?0
有实 数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?< br>函数
y?f(x)
有零点．
3．函数零点的求法：
○
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来，并利用函数的
性质找出 零点．
4．二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞ ０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两个交点，二次函数有
两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一个交点，二次函数 有
一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx? c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
二、函数的应用
解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理 解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际
问题归纳为相应的数学问题； 二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的
关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解.

数学必修2各章知识点总结
第一章 空间几何体
1、柱、锥、台、球的结构特征（要补充直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台、平行六面体的定义）
结 构 特 征 性质 图例
（1）两底面相互平（1）两底面相互平行；（2）侧面< br>棱
行，其余各面都是平
圆
的母线平行于圆柱的轴；
柱
行四边形； （3）是以矩形的一边所在直线为
（2）侧棱平行且相
柱
旋转轴，其余三边旋转形成的曲
等. 面所围成的几何体.
（1）底面是多边形，（1）底面是圆；（2）是以直角三
棱各侧面均是三角形； 圆角形的一条直角边所在的直线为
锥 （2）各侧面有一个公锥 旋转轴，其余两边旋转形成的曲

共顶点. 面所围成的几何体.
（1）两底面相互平
行；（2）是用一个平
（1）两底面相互平行；
棱圆（2）是用一个平行于圆锥底面的
台
行于棱锥底面的平面
台 平面去截圆锥，底面和截面之间
去截棱锥，底面和截

面之间的部分.
的部分.
球
（1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径所
在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

2、空间几何体的三视图
三 视图定义：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注 ：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度.
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x轴平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y轴平行，长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）柱体、锥体、台体的表面积（几何体的表面积为几何体各个面的面积的和）
表面积相关公式 表面积相关公式
棱柱
S
全
?S
侧
?2S
底

圆柱
S
全
?2
?
r
2
?2
?
rh
（
r
：底面半径，
h
：高）
棱锥
S
全
?S
侧
?S
底

圆锥
S
全
?
?
r
2
?
?
rl
（
r
：底面半径，
l
：母线长）
S
全
?
?
(r'
2
??r
2
r'l?rl)

棱台
S
全
?S
侧
?S
上底
?S
下底

圆台
（
r
：下底半径，
r’
：上底半径，
l
：母线长）
（2）柱体、锥体、台体的体积公式
体积公式 体积公式
棱柱
V?S
底
gh
高

圆柱
V?
?
r
2
h

棱锥
V?
1
3
S
底
gh
高

圆锥
V?
1
3
?
r
2
h

棱台
V?
1
(S'?SS'?Sh
圆台
V?
1
3
?
(r'
2
3
)

?rr'?r
2
)h

（3）球体的表面积和体积公式：V
2

球
=
4
3
?
R
3
； S
球面
=
4
?
R

第二章 空间点、直线、平面之间的位置关系

1、空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面
① 平面的概念： 平面是无限伸展的.
② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；
也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC.
③ 点与平面的关系：点
A在平面
?
内，记作
A?
?
；点
A
不在平面?
内，记作
A?
?
.
点与直线的关系：点
A
在直线
l
上，记作：
A
∈
l
； 点
A
在直线
l
外，记作
A
?
l.

直线与平面的关系：直线
l
在平面α内，记作
l
?
α；直线
l
不在平面α内，记作
l
?
α.
（2）平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下：

公理1 公理2 公理3
图形
语言



如 果一条直线上的两点过不在一条直线上的三点，有如果两个不重合的平面有一个
文字
语言
在一个平面内，那么这条且只有一个平面. 公共点，那么它们有且只有一条
直线在此平面内. 过该点的公共直线.
符号
A?l,B?l
?
l
?

ABC,,不共线?
语言
A?
?
,B?
?
?

?
??
AB C,,确定平面
?
P?
?
,P?
?
?
?
?
?
I
?
?l

?
P?l
公理2的三条推论：
推论1： 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2： 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3： 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
（3）空间直线与直线之间的位置关系
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
?
?
相交直线：同一平面内 ，有且只有一个公共点；
①空间两条直线的位置关系：
?
共面直线
?
?
平行直线：同一平面内，没有公共点；

?
?
?
异面直线 ：不同在任何一个平面内，没有公共点.
②异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不 过该点的直线是异面直线
③异面直线所成角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任 一点
O
作直线
a
?
a,b
?
b
，把
a
?
,b
?
所成的锐
角（或直角）叫异面直线
a,b所成的角（或夹角）.
a
?
,b
?
所成的角的大小与点
O
的选择无关，为了简便，
点
O
通常取在异面直线的一条上；异面直线所成 的角的范围为
(0,90?]
，如果两条异面直线所成的角是直角，
则叫两条异面直线 垂直，记作
a?b
. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→
计算.
④等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补.
（4）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点．



三种位置关系的符号表示：
a?
?
；
a
∩
?
＝A ；
a
∥
?
.
（5）平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点，记作
?
∥β.
相交——有一条公共直线，记作
?
∩β＝
b.

2、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,
则该直线与此平面平行.(线线平行
?
线面平行)
符号表示为：
a ?
?
,b?
?
,ab?a
?
.
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行.线面平行
?
线线平行
a
?
?
β
a

符号表示为：
a?
?
?
?
?ab

?
I
?
?b
?
?
?

b


（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，
那么这两个平面平行.（线面平行→面面平行），
用符号表示为：
a?
?< br>,b?
?
,a
I
b?P
?
a
?
,b
?
?
?
?
??

.

*（2）如果 在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行.（线线平行→面面平行），
*（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行.（面面平行→线面平行）

用符号表示为：
?
∥
β
，
a
?
β
?a
?




（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行.（面面平行→线线平行）

用符号表示为：
?
∥
β
，
?
∩
γ
＝
a
,β
∩
γ
＝
b
?ab




3、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）
是直二面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直.
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，
那么这条直线垂直这个平面.（线线垂直
?
线面垂直）
用符号表示为：l
⊥
m
，
l
⊥
n
，
m
∩n
＝B，
m
?
，
n
?
?
l
⊥
?

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
用符号表示为：
a
⊥
?
，
b
⊥
?
?
ab


②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，
那么这两个平面互相垂直.（线面垂直
?
面面垂直）
用符号表示为：
a
?
?
，
?
⊥
β
?
?
⊥
β
.
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内
垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.（面面垂直
?
线面垂直）
用符号表示为：
?
?
?
，
?
I
?
?l，
a?
?
，
a?l
?
a?
?
.
4、空间角问题
（1）直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角：规定为
0
?
.
②两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线所成的角.
③两 条异面直线所成的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线
a
，
b
平行 的直线
a
?
,b
?
，形成
两条相交直线，这两条相交直线所 成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角.
（2）直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角：规定为
0
?
.
②平面的垂线与平面所成的角：规定为
90
?
.
③平面的斜线与平 面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个
平面所成的角.
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”.
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形 叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，
这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内
．．
分别作垂直于
．．．
棱的两 条射线，这两条
射线所成的角叫二面角的平面角.
③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角.
两相交平面如果所组成的二面角是直二面角 ，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那
么所成的二面角为直二面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到二面角平面角.
*垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角
的平 面角
第三章 直线与方程
1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角 定义：
x
轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与
x
轴平行或重合时,我
们规定它的倾斜角为0度.因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180 °
（2）直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的 斜率.直线的斜率常用k表示.
即
k?tan
?
.斜率反映直线与轴的倾斜程 度.
当
?
?
?
0
?
,90
?
?
时，
k?0
；当
?
?
?
90
?
, 180
?
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
时，
k
不存在.
②过两点的直线的 斜率公式：
k?
y
2
?y
1
x
(x
1?x
2
)

2
?x
1
③设
A(,x)，B（）xy,
x
1
?x
2
y?y
1
y
122
，则线段AB中点坐标公式为
(
2
,
12
2
)


2、直线的方程
（1）直线方程的几种形式
名称

方程

适用范围
点斜式
y
－< br>y
0
＝
k
(
x
－
x
0
)< br>
不含垂直于
x
轴的直线
斜截式
y
＝
kx
＋
b
不含垂直于
x
轴的直线
两点式

y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1

不含直线x
＝
x
1
(
x
1
≠
x
2) 和直线
y
＝
y
1
(
y
1
≠
y
2
)
截距式

xa＋yb＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
2
＋
B
2
≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
注意：
○1
各式的适用范围;

○2
特殊的方程如：
平行于
x
轴的直线：
y?b
（
b
为常数）； 平行于
y
轴的直线：
x?a
（
a
为常数）.
（2）直线系方程（即具有某一共同性质的直线）
①平行直线系：平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系方程为：
A
0
x?B< br>0
y?C?0
（
C
为参数）
②垂直直线系：垂直于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?0
（
A
0
,B
0
是不全为0的常数）的直线系方程为：

B< br>0
x?A
0
y?C?0
（
C
为参数）
③过定点的直线系:
（ⅰ）斜率为
k
的直线系方程为
y?y
0
?k
?
x?x
0
?
，直线过定点
?
x
0
,y
0
?
；
*（ⅱ）过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（
?
为参数），其中直线
l
2< br>不在直线系中.
3、两直线平行与垂直
已知
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x ?b
2
，则
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否.
4、两条直线的交点
l
，
l:Ax
相交，交点坐标即方程组
?
A
1< br>:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
22
?B
2
y?C
2
?0
?
1
x?B
1
y?C
1
?0
的一组解.
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
5、距离公式：
(1)平面上任意两点
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)间的距离为|
P
1
P
2
|＝< br>(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2
.
特别地，当
P
1
,P
2
所在直线与
x
轴平行时，
|P
1
P
2
|? |x
1
?x
2
|
；当
P
1
,P
2
所在直线与
y
轴平行时，
|P
1
P
2
|? |y
1
?y
2
|
；
(2)平面上任意一点
P0
(
x
0
，
y
0
)到直线
l
：
Ax
＋
By
＋
C
＝0(
A
，
B
不同时为0)的距离为
d
＝|Ax0＋By0＋C|r(A2
＋B2). < br>(3)两条平行直线
l
1
：
Ax
＋
By
＋< br>C
1
＝0，
l
2
：
Ax
＋
By＋
C
2
＝0(其中
A
，
B
不同时为0，且C
1
≠
C
2
)间的距离为
d
＝|C1－C2| r(A2＋B2).

第三章 圆与方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.
2、圆的方程
（1）标准方程
?
x?a
?
2
?< br>?
y?b
?
2
?r
2
，圆心
?
a, b
?
，半径为
r
；
（2）一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示圆，此时圆 心为
?
?
DE
?
，半径为
1
22

?
?
2
,?
2
?
r?D?E?4F
?
2
当
D
2
?E
2
?4F?0
时，表示一个点； 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形.
（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求.
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需要求出a，b，r；若利用一般方程，
需要求出D，E，F.
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
3、直线与圆的位置关系：
位置关系 几何特征 方程特征 几何法 代数法
相交 有两个公共点 方程组有两个不同实根 d0
相切 有且只有一公共点 方程组有且只有一实根 d=r △=0
相离 没有公共点 方程组无实根 d>r △<0
（1）弦长公式：
利用圆被截得弦的性质（垂径定理）：弦长
|AB|?2r2
?d
2

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存 在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=
半径，求解k，得到方程【一定两解】；
(3)过 圆上一点的切线方程：圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，圆上一点为
(x
0
，y
0
)
，则过此点的切线 方程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（
d< br>）之间的大小比较来确定.
设圆
C
22
2
1
:?
x?a
1
?
?
?
y?b
1
?
?r
，
C
2
:
?
x?a
22
2
2
?
?
?
y?b
2
?
?R

当
d?R?r
时两圆外离，此时有公切线四条；
当
d?R?r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；
当
R?r?d?R?r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当
d?R?r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当
d?R?r
时，两圆内含； 当
d?0
时，为同心圆.
注意：已知两圆相切，两圆心与切点共线，圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点.
5.空间直角坐标系
（1）定义：从空间某一个定点
O
引三条互相垂直且有 相同单位长度的数轴
Ox
、
Oy
、
Oz
，这样的坐标系叫做空间直角坐标系
O
-
xyz
，点
O
叫做坐标原点，
x
轴、
y
轴、
z
轴叫做坐标轴. 通过每两
个坐标 轴的平面叫做坐标平面，分别称为
xOy
平面、
yOz
平面、
zOx
平面.

（2）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示，有序实数组
(x,y,z)
叫做点
M在此空间直角 坐标系中的坐标，记作
Mxyz(,,)
（x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫< br>做点M的竖坐标）
222
（3）空间两点距离坐标公式：
d

?(x?x)?(y?y)?(z?z)
212121