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高中数学必修二_知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:32
tags:高中数学必修二

高中数学圆柱圆锥-高中数学老师怎么写简历


. .
高中数学必修2

第一章 立体几何初步
特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,
h
'
为斜高,l为母线)
S
直棱柱侧面积
?ch


S
正棱锥侧面积
?
1
2
ch'

S
正棱台侧面积
?
1
2
(c
1
?c
2
)h'


S
圆柱侧
?2
?
rh

S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?



S
圆锥侧面积
?
?
rl

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?



S
圆台侧面积
?(r?R)
?
l

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?




柱体、锥体、台体的体积公式
V

?Sh


V?
1

3
Sh


V
1

?
3
(S
'
?S
'
S?S)h


V
2
圆柱
?Sh?
?
rh


V
1
圆锥
?
3
?
r
2
h


V?
1
3
(S
'
?S
'
S?S )h?
1
圆台
3
?
(r
2
?rR?R
2< br>)h



(4)球体的表面积和体积公式:
V
球< br>=
4
?
R
3
; S
2
3
球面
=
4
?
R


. . .


. .
第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义:平面是无限延展的
2 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面,那么这条直线在此平面.
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用:判断直线是否在平面.
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
A B
α
·

C
·

符号表示为:A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α,
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:确定一个平面的依据。
(3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那 么它们有且只有一条过该点的公共
直线。
β
符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L
P
α
公理3作用:判定两个平面是否相交的依据.
·

L

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系:
相交直线:同一平面,有且只有一个公共点;
共面直线
平行直线:同一平面,没有公共点;
异面直线: 不同在任何一个平面,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为了简便,点
O一般取在两直线中的一条上;
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;
⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面 —— 有无数个公共点
(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
. . .


. .
(3)直线在平面平行 —— 没有公共点
指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
2
.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面的一条直线平行,则该直线与此
平面平行 。
简记为:线线平行,则线面平行。
符号表示:
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平
行。

符号表示:
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此
平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:

a ∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、两个平面平行的性质定理:如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,那么它们的交< br>线平行。
. . .


. .
符号表示:
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义 :如果直线L与平面α的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,
记作L⊥α,直线L 叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直
时,它们唯一公共点P叫做垂足。
P
a
L
2 、直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直,则该直线与
此平面垂直。


注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。


2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。


2、两个平面垂直的性质定理: 两个平面垂直,则一个平面垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
第三章 直线与方程

(1)直线的倾斜角
. . .


. .
定义:
x
轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x
轴平行
或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值围是0°≤α<18 0°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线 的斜率。直线的斜率常
用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜 程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

?
?0,90
时,
k?0
; 当
?
?90,180
在。

②过两点的直线的斜率公式:
k?
?
??
??
??
?
时,
k?0
; 当
?
?90
时,
k
不存
?
y
2
? y
1
(x
1
?x
2
)
( P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2)
x
2
?x
1注意下面四点:(1)当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线 的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)
k

P
1
P
2
的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点 斜式:
y?y
1
?k(x?x
1
)
直线斜率
k,且过点
?
x
1
,y
1
?

注意:当 直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是
y
=
y
1

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因
l
上每一点的 横坐标都等于
x
1
,所以它的方程是
x
=
x
1




②斜截式:
y?kx?b
,直线 斜率为
k
,直线在
y
轴上的截距为
b





③两点式:




④截矩式:
?




⑤一般式:
Ax? By?C
y?y
1
x?x
1

x
1
?x< br>2
,y
1
?y
2
)直线两点
?
x
1
,y
1
?

?
x
2
,y
2
?

?
y
2
?y
1
x
2
?x< br>1
xy
?1
其中直线
l

x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l

x
轴、
y

ab
的截距分别为
a,b

?0

A

B
不全为0)


1
各式的适用围 ○
2
特殊的方程如: 注意:○
平行于< br>x
轴的直线:
y?b

b
为常数); 平行于
y
轴的直线:
x?a

a
为常数);
. . .


. .
(6)两直线平行与垂直

l
1
:y?k
1
x? b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
, b
1
?b
2

l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。


(7)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
Ax?By?C?0
22
?
2
方程组无解
?l
1
l
2
; 方程组有无数解
?
l
1

l
2
重合
(8 )两点间距离公式:设
A(x
1
,y
1
),(
是平面直角坐 标系中的两个点,
Bx
2
,y
2


|AB|? (x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2



(9)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0?C

22
A?B



(10)两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l
1

l
2
的一般式方程为
l
1

Ax?By?C
1?0

l
2

Ax?By?C
2
?0
,则
l
1

l
2
的距离为
d?
















C
1
?C
2
A?B
22

第四章 圆与方程

1、圆的定义:平面到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半
. . .


. .
径。
2、圆的方程
(1)标准方程
?
x?a
?
?
?
y?b
?
?r
,圆心
22
2
222< br>?
a,b
?
,半径为r;

M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系:
22

(x
0
?a)?(y
0
?b)
>
r2
,点在圆外
22

(x
0
?a)?(y
0
?b)
=
r
2
,点在圆上
22

(x< br>0
?a)?(y
0
?b)
<
r
2
,点在圆

(2)一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0

1
DE< br>?
,半径为当
D?E?4F?0
时,方程表示圆,此时圆心为
?
r?D
2
?E
2
?4F

?
?,?
?< br>?
22
?
22
22
2
?E
2
?4F ?0
时,表示一个点;
22

D?E?4F?0
时,方程不表示任何图形。

D


(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线
l:Ax?By?C?0
,圆
C:
?
x?a< br>?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
,圆心
C
?
a,b
?

l
的距离
d?
Aa?Bb?C
,则有
d?r?l与C相离

d?r?l与 C相切

d?r?l与C相交

22
A?B






(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k 存在,设点斜式方程,用圆心到该
直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】



222
(3)过圆上一点的切线方程:圆
(x-a)+(y-b )=r
,圆上一点为
(x
0
,y
0
)
,则过此点的 切线方
2
程为
(x
0
-a)(x-a)+(y
0
- b)(y-b)= r




4、圆与圆的位置关系:通过两圆 半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。
22
设圆
C
1
:
?
x?a
1
?
2
?
?< br>y?b
1
?
2
?r
2

C
2
:
?
x?a
2
?
?
?
y?b
2
?
?R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(
d
)之间的大小比较来确定。
. . .
2


. .

d?R?r
时两圆外离,此时有公切线四条;





d?R?r
时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,公切线一条;




R?r?d?R?r
时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;




d?R?r
时,两圆切,连心线经过切点,只有一条公切线;




d?R?r
时,两圆含; 当
d?0
时,为同心圆。



注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点



. . .

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