高中数学微积分答案-高中数学三角函数公式横等变换
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高中数学必修2 点、线、面知识小结
一、关于异面直线：
1.定义：不同在任一平面的两条直线；
既不平行也不相交的两条直线
2.异面直
线夹角：对于异面直线
l
和
m
，在空间任取一点
第一部分
课本相关概念
其中每一个部分都叫做一个半平面
2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
这条直线称为二面角的棱；两个半平面称为二面角的面
3.二面角的平面角：以二面角棱上任
意一点为端点，在两
个面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角
二面角的大小用它的平面角的大小来表示
平面角是直角的二面角称为直二面角
4.二面
角的范围：记作“
?
”，
?
?
?
0，
?
?
P
，过
P
分别作
l
和
m
的平行
线
l
1
和
m
1
，我们把
l
1
和<
br>m
1
所成的角叫做异面直线
l
和
m
所成的角
?
其中，
?
?
?
0，
?
四、空间中的距离问题：
3.异面直线的公垂线与两异面直线都垂直且相交的直线
1.点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段长
两异面直线的公垂线段有且仅有一条
2.点到平面的距离：平面外一点到平面的垂线段长
3.两异面直线间的距离：两异面直线间公垂线段的长
?
?
?
说明：两直线所成角
?
的范围：
?
?
?
0，
?
4.平行直线到平面的距离：直线上任一点到平面的距离
?
2
?
5.两平行平面间的距离：
二、关于线面角
其中一个平面内任意一点到另一个平面的距离
1.直线与平面斜交：当直线与平面相交且不垂直时，称直五、空间中的位置关系：
线与平面斜交，直线叫做平面的斜线 1.点与直线的位置关系：点在直线上；点不在直线上；
2.斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的2.点与平面的位置关系：点在平面内；点不在平面
内；
3.两直线的位置关系：相交，平行，异面；
?
?
?
空间中垂直有两种：相交垂直和异面垂直
射影所成的锐角
?
，
?
?
?
0，
?
?
?
?
?
2
?
?
2
?
当直线与平面垂直时，直线与平面所成角为
90?
3.直线与平面所成角：记作“<
br>?
”，
?
?
?
0，
?
?
?
?
?
2
?
4.直线与平面间的位置关系：直线与平面平行
l
?
；直
线与平面相交
l?
?
?P
；直线在平面
内
l?
?
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种；
直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线不在平
面内
5.平面与平面的位置关系：
三、关于二面角
相交
?
?
?
?l
；平行
?
?
；重合
?
?
?
；
1.半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，
第二部分
课本公理定理
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行
直线在此平面内
ab
，
bc
?
ac
空间等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，
A?l,B?l,且A?
?<
br>,B?
?
?
l?
?
那么这两个角相等或互补
用途：常用来判断点在平面内；或者直线在平面内
若方向相同，则两角相等；若方向相反，则两角互补
公理2
过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面
推论 ①过直线与直线外一点，有且仅有一个平面
②过两条相交直线，有且仅有一个平面
③过两条平行直线，有且仅有一个平面
用途：常用来确定平面
公理3
若两个不重合的平面有一个公共点，则它们有且
只有一条过该点的公共直线．
异面直线的判定
定理：过平面外一点与平面内一点的直
线，与平面内不经过该点的直线是异面直线
l?
?
,A?
?
,B?
?
,B?l
?
AB
和
l
是异面直线
线面平行判定定理
若不在平面内的一条直线与此平面
内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
l?
?
,m?
?
,lm
?
l
?
面面平行判定定理
若一个平面内的两条相交直线分别
与另一个平面平行，则这两个平面平行
P?
?
且P?
?
?
?
?
?
?l,且P?l
用途：证明两平面相交；或三点共线；或三线共点
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a?
?
,b?
?
,a?b?P;a<
br>?
,b
?
?
?
?
推论 若一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两
条直线分别平行，则这两个平面平行 <
br>a?
?
,b?
?
,a?b?P;al,bm;m?
?
,l?
?
?
?
?
线面平行性质定理
若一条直线与一个平面平行，过这条
直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行
m
?
,m?
?
,
?
?
?
?l
?
ml
面面平行性质定理
若两个平行平面同时和第三个平面
相交，则它们的交线平行
?
<
br>?
,
?
?
?
?l,
?
?
?
?m
?
lm
面面平行性质一
若两平面平行，则其中一个平面内任一
直线必平行于另一平面
?
?
,l?
?
?
l
?
面面平行性质二 平行于同一平面的两平面相互平行
?
?
,
?
?
?
?
?
面面平行性质三 夹在两平行平面间的平行线段相等
l?
?
,
?
?
?
l?
?
线面垂直性质三
垂直于同一个平面的两条直线平行
l?
?
,n?
?
?
ln
线面垂直性质四 垂直于同一直线的两平面平行
l?
?
,l?
?
?
?
?
线面垂直性质五
若两平行线中的一条垂直于一个平面，
则另一条也垂直于这个平面
ln,l?
?
?
n?
?
面面垂直性质一 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于
交线的直线与另一个平面垂直
?
?
?
,l?
?
,
?
?<
br>?
?n,l?n
?
l?
?
面面垂直性质二 若两个平面垂直，则过一个平面内一点
与另一个平面垂直的直线在该平面内
?
?
?
,P?
?
,P?l,l?
?
?
l?
?
三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这
个平面的一条
斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直
A?
?
,B?
?
;C?
?
,D?
?
;
?
?
,
ACBD
?
AC?BD
面面平行性质四
若两直线被三个平行平面所截，则截得
的对应线段成比例
线面垂直判定定理
若一条直线与一个平面内的两条相
交直线都垂直，则该直线垂直于此平面
m?
?
,n?
?
,m?n?P;l?m,l?n
?
l?
?
面面垂直判定定理
若一个平面过另一个平面的一条垂
线，则这两个平面互相垂直
l?
?
,l?
?
?
?
?
?
线面垂直性质一
若一条直线垂直于一个平面，则它垂直
于平面内的所有直线
l?
?
,n?
?
?
l?n
PA?
?
?A,PB?
?
,l?
?
,l?AB
?
l?PA
三垂线逆定理：在
平面内的一条直线，若和这个平面的一
条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直
PA??
?A,PB?
?
,l?
?
,l?PA
?
l?AB
射影长定理
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和
斜线段中：
垂线段比任何一条斜线段都短
斜线段相等，射影也相等；斜线段较长，射影长也较长
射影相等，斜线段也相等；射影较长，斜线段也较长
关于射影的补充定理
若平面的
一条斜线和这个平面内以斜足为顶点的角
的两边成等角，则这条斜线在这个平面上的射影是这个角
的角平分线所在直线。 线面垂直性质二
若一条直线垂直于垂直于两个平行平
面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面
第三部分
立体几何中的唯一性定理辨析
1、经过平面外一点，有无数条直线和已知平面平行
3、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行
经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线平行
2、经过平面外一点，有且只有一条直线和已知平面垂直
4、经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线垂直
经过平面外一点，有无数个平面和已知平面垂直 经过直线外一点，有无数个平面和已知直线垂直
第四部分 关于平行的判定方法
一、线线平行的判定 3.线面平行性质定理
若一条直线与一个平面平行，过这
1.定义法：在同一平面内,没有公共点的两条直线
条直线的任意平面与此平面相交，则交线与该直线平行
m?
?
,l?
?
;m?l??
?
ml
2.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行
ab
，
bc
?
ac
m
?
,m?
?
,
?
?
?
?l
?
ml
4.面面平行性质定理
若两个平行平面同时和第三个平
面相交，则它们的交线平行
圆梦教育中心
专注高中教育
?
?
,
?
?
?
?l,
?
?
?
?m
?
lm
5.线面垂直性质 垂直于同一个平面的两条直线平行
l?
?
,n?
?
?
ln
二、线面平行的判定
1.定义法：直线与平面无公共点
l?
?
??
?
l
?
2.线面平行判定定理
若不在平面内的一条直线与此平
面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
?
?
,l?
?
?
l
?
三、面面平行的判定
1.定义法：两个平面没有公共点
?
?
?
??
?
?
?
2.面面平行判定定理
若一个平面内的两条相交直线分
别与另一个平面平行，则这两个平面平行
a??
,b?
?
,a?b?P;a
?
,b
?
?
?
?
3.面面平行判定定理推论
若一个平面内两条相交直线
与另一个平面内的两条直线分别平行，则这两个平面平行
a??
,b?
?
,a?b?P;al,bm;m?
?
,l?
?
?
?
?
l?
?
,m?
?
,lm
?
l
?
3. 面面平行性质
若两平面平行，则其中一个平面内任
一直线必平行于另一平面
第五部分
关于垂直的判定方法
一、线线垂直的判定 交线的直线与另一个平面垂直
1.定义法：两直线所成角为
90
；
两直线所成角，是两直线相交所得较小的角；也可以
是异面直线平移后相交所得较小的角
2.线面垂直性质：若一条直线垂直于一个平面，则它垂直
于平面内的所有直线
l?
?
,n?
?
?
l?n
3.三垂线定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一
条斜线的
射影垂直，则它也和这条斜线垂直
o
?
?
?
,l?
?,
?
?
?
?n,l?n
?
l?
?
二、线面垂直的判定
1.定义法：若直线和平面相交，并
且和这个平面内的任
意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直
2.线面垂直判定定理
若一条直线与一个平面内的两
条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面
m?
?,n?
?
,m?n?P;l?m,l?n
?
l?
?
3.线面垂直性质
若一条直线垂直于垂直于两个平行
平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平面
l?
?
,
?
?
?
l?
?
三、面面垂直的判定
1.定义法：两个平面相交，若它们所成的二面角是直二面
角，则这两个平面互相垂直.
2.面面垂直判定定理 若一个平面过另一个平面的一条垂
线，则这两个平面互相垂直
l?
?
,l?
?
?
?
?
?
PA?
?
?A,PB?
?
,l?
?
,l?AB
?
l?PA
4.三垂线定理的逆定理：在平面内的一直线，若和这个平
面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线的射影垂直
PA?
?
?A,PB?<
br>?
,l?
?
,l?PA
?
l?AB
5.线面垂直性质
若两平行线中的一条垂直于一个平面，
则另一条也垂直于这个平面
ln,l?
?
?
n?
?
6. 若两个平面垂直，则一个平面内垂直于
面面垂直性质