高中数学必修2__第一章《空间几何体》知识点总结与练习

高中数学必修2__第一章《空间几何体》知识点总结与练习
第一节

空间几何体的结构特征及三视图和直观图


[知识能否忆起]
一、多面体的结构特征
多面体
棱柱
棱锥
棱台

二、旋转体的形成
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球

三、简单组合体
简单组合体的构成有两种基本形式： 一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何
体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体 与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．
四、平行投影与直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两 垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，
z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂 直．
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段
在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
五、三视图
几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
旋转轴
任一边所在的直线
一条直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线
结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相
等
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分

上方观察几何体画出的轮廓线．
1.正棱柱与正棱锥
(1)底面是正多边形的直棱 柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧
棱垂直于底面；②底面是正多边形．
(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意
正棱锥中“正 ”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底
面是正多边形，特别地，各 棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
2．对三视图的认识及三视图画法
(1)空间几何体的三 视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个
方向看到的该几何体的侧面表示的图形 ．
(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要
画 成虚线．
(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．
3．对斜二测画法的认识及直观图的画法
(1)在斜 二测画法中，要确定关键点及关键线段，“平行于x轴的线段平行性不变，长
度不变；平行于y轴的线段 平行性不变，长度减半．”
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S
直观图
＝





典题导入
[例1] (2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边 绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的
几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
[自主解答] A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的
空间几何体的结构特征
2
S，S
原图形
＝22S
直观图．

4
原图形

几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥 ；B错误，如图2，若△ABC不是直角三
角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的 几何体都不是圆锥；
图1

图2
C错误，若该棱锥是六棱锥，由题 设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于
底面边长，这与题设矛盾．
[答案] D
由题悟法
解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概 念
进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱
台 等，也可利用它们的组合体去判断．
以题试法
1．(2012·天津质检)如果四棱锥的四 条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧
棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )
A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：选B 如图，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也
相等，则其腰与底面所成 角相等，即A正确；底面四边形必有一个外接圆，
即C正确；在高线上可以找到一个点O，使得该点到四 棱锥各个顶点的距
离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所
成角 不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．



典题导入
[例2] (2012·湖南高考)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图
几何体的三视图

不可能是( )


[自主解答] 根据几何体的三视图知识求解．
由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间 无实线和虚线，
因此俯视图不可能是C.
[答案] C
由题悟法
三视图的长度特征
三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视 图一样宽，
即“长对正，宽相等，高平齐”．
[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．
以题试法
2．(1)(2012·莆田模拟)如图是 底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，
那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )



解析：选D 由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A.

(2)(2012·济南模拟)

如图，正三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此 三棱柱侧视图
的面积为( )
A．22
C.3
B．4
D．23
解析：选D 依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是
23.



典题导入
[例3] 已知△ABC的直观图A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．
[自主解答]
几何体的直观图

建立如图所示的坐标系xOy′，△A′B′C′的顶点C′在y ′轴上，A′B′边在x轴
上，OC为△ABC的高．
把y′轴绕原点逆时针旋转45°得y轴，
则点C′变为点C，且OC＝2OC′，A，B点即为A′，B′点，长度不变．
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得
A′C′
＝，
sin∠OA′C′
sin 45°
sin 120°6
所以OC′＝ a＝ a，
sin 45°2
OC′

所以原三角形ABC的高OC＝6a.
16
所以S
△
ABC
＝×a×6a＝a
2
.
22

由题悟法
用斜二测画法画几何体的直观图时，要注意原图形与直观图中的“三变、三不变”．
坐标轴的 夹角改变，
?
?
“三变”
?
与y轴平行线段的长度改变，
?
?
图形改变；
平行性不变，
?
?
“三不变”
?与x轴平行的线段长度不变，
?
?
相对位置不变.




以题试法
3．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和 上底均为1的等
腰梯形，那么原平面图形的面积是( )
A．2＋2
2＋2
C.
2

1＋2
B.
2
D．1＋2
解析：选A 恢复后的原图形为一直角梯形
1
S＝(1＋2＋1)×2＝2＋2.
2

第二节

空间几何体的表面积和体积


[知识能否忆起]
柱、锥、台和球的侧面积和体积

圆柱
面积
S
侧
＝2πrl
体积
V＝Sh＝πr
2
h

圆锥 S
侧
＝πrl
111
V＝Sh＝
πr
2
h＝
πr
2
l
2
－r
2< br>
333
1
V＝(S
上
＋S
下
＋S
上
·S
下
)h
3
1
2
＝
π(r
2
1
＋r
2
＋r
1
r
2
)h
3
V＝Sh
1
V＝Sh
3
1
V＝(S
上
＋S
下
＋S
上
·S
下
)h
3
4
V＝
πR
3

3
圆台 S
侧
＝π(r
1
＋r
2
)l
直棱柱
正棱锥
正棱台
球

S
侧
＝Ch
1
S
侧
＝Ch′
2
1
S
侧
＝(C＋C′)h′
2
S
球面
＝4πR
2

1.几何体的侧面积和全面积：
几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积 与所有底面积之和．对侧面
积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．
2．求体积时应注意的几点：
(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解
决．
(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．
3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．





典题导入
[例1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．
几何体的表面积

[自主解答] 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所

示)．

在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.
1
所以其表面积为2××(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.
2
[答案] 92
由题悟法
1．以三视图为载体的几何体的表面积问题， 关键是分析三视图确定几何体中各元素之
间的位置关系及数量．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
以题试法
1．(2012·河 南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正
视图、侧视图都是面积为
3
，且 一个内角为60°的菱形，俯视图为正方
2
形，那么该饰物的表面积为( )
A.3 B．23
C．43 D．4
解析：选D 依 题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底
1
?
面边长和侧 面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×
?
?
2
×1×1?
＝4.



典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )
几何体的体积

A．72π B．48π
C．30π D．24π
(2)(2012·山东高考)如图，正方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，E< br>为线段B
1
C上的一点，则三棱锥A－DED
1
的体积为______ __．
[自主解答] (1)

由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的 ，直观图如图所示，
圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.
141
V＝V
半球
＋V
圆锥
＝·
π·3
3
＋
·π·3< br>2
·4＝30π.
233
1111
(2)VA－DED
1< br>＝VE－ADD
1
＝×S△ADD
1
×CD＝××1＝.
3326
1
[答案] (1)C (2)
6

本例(1)中几何体的三视图若变为：

其体积为________．
解 析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝V
圆柱
－V
圆锥
＝π×3
2
1
×4－
π×3
2
×4＝24π.
3
答案：24π

由题悟法

1．计算 柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分
利用多面体的截面和旋转体 的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．
2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化 法等，它们是解决一些不规则
几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．
3．等积变换法：利 用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容
易计算的方式来计算；②利用“等积法 ”可求“点到面的距离”．
以题试法
2．(1)(2012·长春调研)四棱锥P－ABC D的底面ABCD为正方形，且PD垂直于底面
ABCD，N为PB中点，则三棱锥P－ANC与四棱锥 P－ABCD的体积比为( )

A．1∶2
C．1∶4








B．1∶3
D．1∶8
解析：选C 设正方形ABCD面积为S，PD＝h，则体积比为
111111
Sh－·S·h－·Sh
332232
1
＝.
14
Sh
3
(2012·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体 积是( )

A．32
C．8








B．24
32
D.
3
解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形
1
和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S＝9＋2××3×1＝12，
2
所以几何体体积V＝12×2＝24.



与球有关的几何体的表面积与体积问题

典题导入
[例3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC
是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A.
C.
2

6
2

3

B.
D.
3

6
2

2
[自主解答] 由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC 底面都是△
ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高
的2倍 ，
所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍．
在三棱锥O－ABC中，其棱长都是1，如图所示，
S
△
ABC
＝
33
×AB
2
＝，
44
1
2
－
?
6
3
?
2
＝，
?
3
?
3
高OD＝
1362
∴V
S－
ABC
＝2V
O
－
ABC
＝2×××＝.
3436
[答案] A
由题悟法
1．解决与球有关的“切”、“接”问题 ，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作
截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素 之间的关系．
2．记住几个常用的结论：
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①正方体的外接球，则2R＝3a；
②正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.
(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b ，c，外接球的半径为R，则2R＝a
2
＋b
2
＋c
2
.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.
以题试法
3．(1)(2 012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则
这个几何体的外接球 的表面积为( )

A．23π
C．43






8π
B.
3
16π
D.
3
(2)(2012·潍坊模拟)如图所示，已知球 O的面上有四点A、B、C、
D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体 积
等于________．





解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．
其中侧面DBC⊥底面ABC，取BC 的中点O
1
，连接AO
1
，DO
1
知DO
1
⊥底面ABC且DO
1
＝3，AO
1
＝1，BO
1
＝O< br>1
C＝1.
在Rt△ABO
1
和Rt△ACO
1
中，AB＝AC＝2，
又∵BC＝2，∴∠BAC＝90°.
∴BC为底面ABC外接圆的直径，O
1
为圆心，
又∵DO
1
⊥底面ABC，∴球心在DO
1
上，
即△BCD的外接圆为球大圆，设球半径为R，
则(3－R)
2
＋1
2
＝R
2
，∴R＝
∴S
球
＝4πR
2
＝ 4π×
?
2
.
3
2
?
2
16π
＝.
3
?
3< br>?
(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球
球O的半径为 R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|
＝?2?
2
＋?2?
2
＋?2?
2
＝2R，所以R＝
4πR
3
故球O的体积V ＝＝6π.
3
答案：(1)D (2)6π
6
.
2

某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在
解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的
几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破
解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题
策略——补形法.常见的补形法有对称补形、联系
补形与还原补形.对于还原补形，主要涉及台体中
“还台为锥”问题.
1．对称补形
[典例1] (2012·湖北高考)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

8π
A.
3
10π
C.
3

[解析] 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从
1
母线的中点处截去了圆柱的，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V
4
3＝×π×1
2
×4＝3π.
4
[答案] B
[题后悟道] “对称”是数学中的一种重要关系，在解决空间几何体中的问题时善于发
现对称关系对空间想象能力的提 高很有帮助．
2．联系补形
(2012·辽宁高考)已知点P，A，B，C，D是球O表面 上的点，PA⊥平面ABCD，四边形
ABCD是边长为23的正方形．若PA＝26，则△OAB的面 积为________．
[解析] 由PA⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，故可补形为长方
体如图，知球心O为PC的中点，
又PA＝26，AB＝BC＝23，

B．3π
D．6π

∴AC＝26，∴PC＝43，
∴OA＝OB＝23，即△AOB为正三角形，
∴S＝33.
[答案] 33
[题后悟道] 三条侧棱两两互相垂直，或一侧棱垂直于底面，底面为正方形或长方形，
则此几 何体可补形为正方体或长方体，使所解决的问题更直观易求．
练习题
1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中
俯视图是两个同心圆．
2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体
一定是 ( )
A．圆柱
C．球体
B．圆锥
D．圆柱、圆锥、球体的组合体
解析：选C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满
足任意截面都是圆面．
3．下列三种叙述，其中正确的有( )
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
A．0个
C．2个










B．1个
D．3个
解析：选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③
不正确．

4．(教材习题改编)利用斜二测画法得到的：
①正方形的直观图一定是菱形；
②菱形的直观图一定是菱形；
③三角形的直观图一定是三角形．
以上结论正确的是________．
解析：①中其直观图是一般的平行四边形，②菱形的直观图不一定是菱形，③正确．
答案：③
5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该
几何体的 俯视图为________．


解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图
为③.

答案：③


1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几 何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)
中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④
C．①③④
B．①②③
D．①②④
解析：选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图

都是 边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角
形；④的俯视图是 边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．
2．有下列四个命题：
①底面是矩形的平行六面体是长方体；
②棱长相等的直四棱柱是正方体；
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．
其中真命题的个数是( )
A．1
C．3






B．2
D．4
解析：选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体
不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直
四 棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱
与底面垂直；命 题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得
侧棱与底面垂直，故平行六面 体是直平行六面体．
3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
( )

解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.
4．如图是一几 何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求
画出的该几何体的侧视图是( )

解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该 几何体的侧视图应为面PAD，且EC
投影在面PAD上，故B正确．
5.如图△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：选B 由斜二测画法知B正确．

6．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )

A．2＋3
C．2＋23






B．1＋3
D．4＋3
1
解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于2
2
＋×2×3＝4＋3.
2
7． (2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积
1
为 ，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)
2
①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．
解析：如图1所示，直 三棱柱ABE－A
1
B
1
E
1
符合题设要求，此时俯视图△ ABE是锐角三
角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A
1
B
1
C< br>1
符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；
如图3所示，当直四棱柱的八个顶 点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD
－A
1
B
1C
1
D
1
符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯 视图是扇形或圆，体

积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③
8．(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为________．

解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正 三棱柱
除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几
11153< br>何体的体积为×2×2sin 60°×2－××2×2sin 60°×1＝.
2323
53
答案：
3
9．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为 3，其正视图(主视图)和侧视图(左视图)是全
等的等腰三角形，则正视图的周长为________ ．
解析：由题意知，正视图就是如图所示的截面PEF，其中E、F
分别是AD、BC的中点 ，连接AO，易得AO＝2，而PA＝3，于
是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋ 22.
答案：2＋22
10．已知：图1是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三 视图；图2是某几何
体的三视图，试说明该几何体的构成．

解：图1几何体的三视图为：

图2所示的几何体是上面为正六棱柱，下面为倒立的正六棱锥的组合体．
11．(2012· 银川调研)正四棱锥的高为3，侧棱长为7，求棱锥的斜高(棱锥侧面三角形
的高)．
解：如图所示，正四棱锥S－ABCD中，
高OS＝3，
侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝7，
在Rt△SOA中，
OA＝SA
2
－OS
2
＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝22.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
1
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝2，SO＝3，
2
∴SE＝5，即棱锥的斜高为5.
12．(2012·四平模拟)已知正三棱锥V－ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示．

(1)画出该三棱锥的直观图；
(2)求出侧视图的面积．
解：(1)三棱锥的直观图如图所示．
(2)根据三视图间的关系可得BC＝23，

∴侧视图中
VA＝
23
4
2
－
?
××23
?
2

?
32
?
＝12＝23，
1
∴S
△
VBC
＝×23×23＝6.
2
1．( 教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的全
面积是( )
3＋3
2
A.a
4
3＋3
2
C.a
2

3
B.a
2

4
6＋3
2
D.a
4
2
a，
2
解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于< br>3＋3
2
3
2
1
2
a＋3××
?
a
?
2
＝a.
42
?
2
?
4
∴S
全
＝
2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积 为
( )
A．12π
C．72π










B．36π
D．108π
解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为 < br>1
?
2
?32?
2
－
?
?
2
×6
?
＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的
球心 为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表
面积等于4π×3
2
＝ 36π.
3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为
8，高为5的等腰 三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三
角形，则该几何体的体积为( )
A．24
C．64






B．80
D．240
解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥 底面是长和宽分别为8和6的矩形，
1
棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V＝×8×6×5 ＝80.
3

4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半 圆，则该圆锥的底面

直径为________．
解析：设圆锥的母线为l，圆锥底面半径为r，
则πrl＋πr
2
＝3π，πl＝2πr.
解得r＝1，即直径为2.
答案：2
5.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等
腰三角形，侧 视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是
________．
解析：由三视图可知此几 何体的表面积分为两部分：底面积
即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，
且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，
为2( π＋3)．
答案：2(π＋3)


1．(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的
体积是( )
A．8
C．4


8
B.
3
4
D.
3
解析：选D 将三视图还原 ，直观图如图所示，可以看出，这是一个底
11
面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥 ，其体积V＝S
正方形
ABCD
×PA＝
33
14
××2× 2×2＝.
23
2．(2012·山西模拟)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的 球面上，且AB＝3，
BC＝2，则棱锥O－ABCD的体积为( )
A.51
C．251
B．351
D．651
解析：选A 依题意得 ，球心O在底面ABCD上的射影是矩形ABCD的中心，因此棱
锥O－ABCD的高等于
1< br>2
511
3＋2
2
?
2
＝4
2
－< br>?
，所以棱锥O－ABCD的体积等于
?
2
?
23