高中数学所有题型汇总-高中数学理科排列组合知识总结
空间点线面的位置关系精编考题
1.平面的基本性质公理1
如果一条直线上的两个点都在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内
A,B?l
?
?
?l?
?
A,B?
?
?
2.平面的基本性质公理2(确定平面的依据)
经过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
3.平面的基本性质公理2的推论
(1)经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面
(2)经过两条相交直线,有且只有一个平面
(3)经过两条平行直线,有且只有一个平面
4.平面的基本性质公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是一条
直线
A?
?
?
?
?
?
?l
?
?
A?
?
?
A?l
5.异面直线的定义与判定
(1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线,既不相交也不平行
(2)判定:过平面外一点与平面内一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线
典例1
如图长方体中,(1)说出以下各对线段的位置关系?
①EC和BH是 直线;②BD和FH是 直线;
E
③BH和DC是 直线
(2)与棱AB所在直线异面的棱共有
条?
(3)长方体的棱中共有多少对异面直线?
H
F
D
A
B
G
C
例2:如图,在长方体ABCD-A
1<
br>B
1
C
1
D
1
中,已知E、F分别是AB、BC的中
点.
(1)求证:EFA
1
C
1
.
(2)求证:四边形EF A
1
C
1
是梯形.
(3)若M
、N分别是A
1
B
1
、B
1
C
1
的中点,
求证:∠MD
1
N=∠EDF.
A
1
D
A
E
B
F
D
1
B
1
C
C
1
精选考题
1. 空间不共线的四点,可以确定平面的个数是( )
A.0 B.1 C.1或4 D.无法确定
2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.任意一条直线不相交 D.无数条直线不相交
3.
若
ab
,且
a
与平面
?
相交,那么直线
b
与平面
?
的位置关系是( )
A.必相交 B.有可能平行
C.相交或平行 D.相交或在平面内
4. 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,P、Q分别为
AA
1,CC
1
的中点,则四边形
D
1
PBQ
是( )
A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.空间四边形
5. 下列命题正确的是( )
A.
若
a?
?
,b?
?
,则直线
a,b
为异面直线
B.
若
a?
?
,b?
?
,则直线
a,b
为异面直线
C. 若
a?b??
,则直线
a,b
为异面直线
D. 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线
6. 已知直线
a
与直
线
b
垂直,
a
平行于平面
?
,则
b
与平面
?
的位置关系是( )
A.
b
?
B.
b?
?
C.
b
与平面
?
相交
D.以上都有可能
7. 若直线
a
与直线
b
是异面直线,且
a
平面
?
,则
b
与平面
?
的位置关系是(
)
A.
b
?
B.
b
与平面
?
相交 C.
b?
?
D.不能确定
8 已知
a
平面
?
,直线
b?
?<
br>,则直线
a
与直线
b
的关系是( )
A.相交
B.平行 C.异面 D.平行或异面
9.已知异面直线a,b分别在平面α、β内,且α∩β=c,那么直线c一定( )
A.与a、b都相交;
B.只能与a、b中的一条相交;
C.至少与a、b中的一条相交;
D.与a、b都平行.
10.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行
B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
11.若空间两条直线a,b没有公共点,则其位置关系是____________.
12
.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是______________.
13.在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1中,与对角线AC
1
异面的棱共有________条.
14.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c; <
/p>
④若直线l
1
,l
2
是异面直线,则与l
1<
br>,l
2
都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是________.
15.有下列命题:
①两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行;
②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形;
③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直;
④若∠AOB=∠A
1
O
1
B
1
,且OA∥O
1
A
1
,则OB∥O
1
B
1
.
其中正确命题的序号为________.
16.若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行,则这条直线与另一平面的位置关系
是
.
17 在三角形、四边形、梯形和圆中,一定是平面图形的有 个.
18.
已知直线
a,b
和平面
?
,且
a?b,a?
?
,<
br>则
b
与
?
的位置关系是 .
19.已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D1
中:
(1)B C
1
与C
D
1
所成的角为________;
(2)AD与B
C
1
所成的角为 .
A
1
D
B
1
C
D
1
C
1
A
B
20.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线; ④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
21.如图所示,G
、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,
MN是异面直线的图形有___
_____(填序号).
22:已知ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体.
(1)
正方体的哪些棱所在的直线与直线BC
1
是异面直线.
(2)
求异面直线AA
1
与BC所成的角.
(3)
求异面直线BC
1
和AC所成的角.
A
A
1
D
B
D
1
B
1
C
C
1
空间直线与平面平行的判定及其性质精选考题
【知识点总结】
空间中的平行问题
1.直线与直线平行
(1)平行四边形
ABCD
(矩形,菱形,正方形)
对边平行且相等,
ABCD
,
BCAD
(2)三角形的中位线
E,F
分别是
AB,AC
的中点
中位线平行且等于底边的一半,
EFBC
2.直线与平面平行
(1)线面平行的判定定理
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行
a?
?
,
b?
?
,
ab?a
?
(2)线面平行的性质定理
如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平
面相交,那么这条
直线和交线平行
l
?
,
l?
?
,
?
?
?
?m?lm
3.平面与平面平行
1,面面平行的判定定理
(1)如果一个平面内有两条相交直线,分别平行于另一个平面,那么这两个平面平行
<
br>a?
?
,
b?
?
,
a?b?A
,
a
?
,
b
?
?
?
?
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。
(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
a?
?
,
a?
?
?
?
?
2,面面平行的性质定理
(1)
如果两个平面互相平行,那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面
?
?
,
a?
?
?a
?
(2) 如果两个平行的平面同时与第三个平面相交,则它们的交线平行(面面平行→线线平行)
?
?
,
?
?
?
?a
,
?
?
?
?b?ab
精选考题
1.
能保证直线a与平面
?
平行的条件是
A.
a?
?
,b?
?
,ab
B.
b?
?
,ab
C.
b?
?
,c
?
,ab,ac
D.
b
?
?
,A?a,B?a,C?b,D?b
且
AC?BD
2.
如果直线
a
平行于平面
?
,则
A.平面
?
内有且只有一直线与
a
平行
B.平面
?
内无数条直线与
a
平行
C.平面
?
内不存在与
a
平行的直线
D.平面
?
内的任意直线与直线
a
都平行
3.
如果两直线
a∥b,且a∥平面
?
,则
b
与
?
的位置关系
A.相交 B.
b
?
C.
b?
?
D.
b
?
或
b?
?
4.
b是平面α外的一条直线,下列条件中可得出b∥α是
A.b与α内的一条直线不相交 B.b与α内的两条直线不相交
C.b与α内的无数条直线不相交 D.b与α内的所有直线不相交
5.
已知
直线l
1
、l
2
,平面α,l
1
∥l
2
,
l
1
∥α,则l
2
与α的位置关系是
A.l
2
∥α B.l
2
?
α
C.l
2
∥α或l
2
?
α
D.l
2
与α相交
6.
已知两条相交直线a、b,a∥平面α,则b与α的位置关系
A.b∥α
B.b与α相交 C.b
?
α D.b∥α或b与α相交
7.
直线a∥平面α,平面α内有n条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a平行的
A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不可能有
8
.已知直线
a∥
平面
?
,
P?
?
,那么过点
P
且平行于
?
的直线
( )
A.只有一条,不在平面
?
内
C.只有一条,且在平面
?
内
9.
下列命题正确的个数是
B.有无数条,不一定在
?
内
D.有无数条,一定在
?
内
(1)若直线
l
上有无数个点不在平面α内,则l∥α
(2)若直线
l
与平面α平行,则
l
与平面α内的任意一直线平行
(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
(4)若一直线
a
和平面α内一直线
b
平行,则a∥α
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
10.
若直线a
⊥
b,且a∥平面α,则直线b与平面α的位置关系是?
A.b
?
α B.b∥α C.b
?
α或b∥α?
D.b与α相交或b∥α或b
?
α都有可能
11.
已知α?β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是
A.α?β都垂直于平面γ B.a
?
b是α内两条直线,且a∥β,b∥β
C.α内不共线的三个点到β的距离相等
D.a
?
b为异面直线,且a∥α,b∥α,a∥β,b∥β
12.
下列命题正确的个数是
①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α?
②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
A.0个
B.1个 C.2个 D.3个
13.
平行于同一个平面的两条直线的位置关系是
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或相交或异面
14.
下列四个命题中假命题的个数是
①两条直线都和同一个平面平行,则这两条直线平行
②两条直线没有公共点,则这两条直线平行
③两条直线都和第三条直线垂直,则这两条直线平行
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行
A.4
B.3 C.2 D.1
15下列结论中正确的是
①
?
∥
?
,
?
∥
?
,则
?
∥
?
②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行;
③平面外的两条平行线中,如果有一条和平面平行,那么另一条也和这个平面平行;
④如果一条直线与两个平行平面中一个相交,那么它与另一个必相交。
A.①②③
B.②③④ C.①③④ D.①②③④
16、如图,
正四面体S-ABC中,如果E,F分别是SC,AB的中点且SA与BC异面垂直,
那么异面直线EF
与SA所成的角等于( )
S
A.90° B.45°
C.60° D.30°
E
C
F
B
A
17.
正方体ABCD-A
1<
br>B
1
C
1
D
1
中,E为DD
1
的中
点,则BD
1
与过点A、E、C的平面的位置关系是
__________.
18在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,E为
DD
1
的中点,求证:
BD
1
∥面AEC
19.如图,在四面体
PABC
中,点
D,E,F,G
分别是棱
AP,AC
,
PC?AB,
PA?BC
,
BC,PB
的中点,求证:
DE
平面
BCP<
br>
20.如图所示,在棱长为
a
的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
中,
E
,
F
,
P
,
Q<
br>分别是
BC
,
C
1
D
1
,
AD1
,
BD
的中点.
(1)求证:
PQ
平面
DCC
1
D
1
;
(2)求
PQ
的长;
(3)求证:
EF
平面
BB
1
D
1
D
。
P
D
D
1
F
C
1
A
1
B
1
C
A
Q
B
E
21.已知
a,b
是不共面的直线,且
a?
?
,b?
?
,
a
?
,
b
?
,求证:
?
?
。
a
?
b
?
22、如图,在正方体A
BCDA
1
B
1
C
1
D
1
中,M、N、P
分别为所在边的中点.
求证:平面MNP∥平面A
1
C
1
B;
23、 如图,在三棱柱ABCA
1
B
1
C
1
中,E,F,G,H分别是AB,AC,A
1
B<
br>1
,A
1
C
1
的中点,求证:(1)B,C,H,G四点共面
;(2)平面EFA
1
∥平面BCHG.
24.
如
图所示,在正方体
A
1
B
1
C
1
D
1?ABCD
中,
E,F,G,H
分别是
BC,CC
1
,C
1
D
1
,A
1
A
的中点。
求证:(1)
BF
∥
HD
1
; (2)
EG
∥平面
BB
1
D
1
D
;
(3)
平面
BDF
∥平面
B
1
D
1
H
。
25、如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行
四边形,O为AC的中点,
M为PD的中点.求证:PB∥平面ACM.
附加题
如图所示,正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中,侧面对角线AB
1
,BC
1
上分别有两点E,F,
且B
1
E=C
1
F.
求证:EF∥平面ABCD.