高中数学核心素养公布时间-2018北京高中数学竞赛成绩
第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
【课时目标】
1.用定义推导圆的标准方程,并能表达点与圆的位置关系.2.掌握求
圆的标准方程的不同求法.
1.设圆的圆心是A(a,b),半径长为r,则圆的标准方程是_______
_________,当圆的
圆心在坐标原点时,圆的半径为r,则圆的标准方程是_________
_______.
2.设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,点P在圆外?________;点
P在圆上?
________;点P在圆内?________.
一、选择题
1
1.点(sin θ,cos
θ)与圆x
2
+y
2
=的位置关系是( )
2
A.在圆上 B.在圆内
C.在圆外
D.不能确定
2.已知以点A(2,-3)为圆心,半径长等于5的圆O,则点M(5,-7)与圆O
的位置关
系是( )
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
3.若直线y=ax+b
通过第一、二、四象限,则圆(x+a)
2
+(y+b)
2
=1的圆心位于(
)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.圆(x-3)
2
+(y+4)
2
=1关于直线y
=x对称的圆的方程是( )
A.(x+3)
2
+(y+4)
2
=1
B.(x+4)
2
+(y-3)
2
=1
C.(x-4)
2
+(y-3)
2
=1
D.(x-3)
2
+(y-4)
2
=1
5.方程y=9-x
2
表示的曲线是( )
A.一条射线
B.一个圆
C.两条射线 D.半个圆
6.已知一圆的圆心为点(
2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上.则此圆
的方程是( )
A.(x-2)
2
+(y+3)
2
=13
B.(x+2)
2
+(y-3)
2
=13
C.(x-2)
2
+(y+3)
2
=52
D.(x+2)
2
+(y-3)
2
=52
二、填空题
7.已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4)
,则这个圆的方
程是_____________________________________
___________________________________.
8.圆O的方程为(
x-3)
2
+(y-4)
2
=25,点(2,3)到圆上的最大距离为___
_____.
9.如果直线l将圆(x-1)
2
+(y-2)
2
=
5平分且不通过第四象限,那么l的斜率的取值范
围是________.
三、解答题
10.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),
且圆心C在直线l:x-y+1=0上,
求圆心为C的圆的标准方程.
11.已知一个圆与y轴相切,圆心在直线x-
3y=0上,且该圆经过点A(6,1),求这个
圆的方程.
能力提升
12.已知圆C:(x-3
)
2
+(y-1)
2
=4和直线l:x-y=5,求C上的点到直线l的距离
的最大值与最小值.
13.已知点A(-2,-2),B(-2,6),C(4,-2),点P在圆x
2
+y
2
=4上运动,求|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
的最值.
1.点与圆的位置关系的
判定:(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较.(2)利用圆的标
准方程直接判断,即(x
0
-a)
2
+(y
0
-b)
2
与r
2比较.
2.求圆的标准方程常用方法:(1)利用待定系数法确定a,b,r,(2)利用几何条
件确定
圆心坐标与半径.
3.与圆有关的最值问题,首先要理清题意,弄清其几何意义,根据
几何意义解题;或
对代数式进行转化后用代数法求解.
第四章 圆与方程
§4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
答案
知识梳理
1.(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
x
2
+y
2
=r
2
2.d>r d=r d
1
1.C
[将点的坐标代入圆方程,得sin
2
θ+cos
2
θ=1>
,所以点在圆外.]
2
2.B [点
M
(5,-7)到圆心
A
(2,-3)的距离为5,恰好等于半径长,故点在圆上.]
3.D [(-
a
,-
b
)为圆的圆心,由直线经过一、二、四象限
,得到
a
<0,
b
>0,即-
a
>0,
-
b
<0,再由各象限内点的坐标的性质得解.]
4.B [两个半径相等的圆关于直线对称,
只需要求出关于直线对称的圆心即可,(3,
-4)关于
y
=
x
的对
称点为(-4,3)即为圆心,1仍为半径.即所求圆的方程为(
x
+4)
2
+(
y
-3)
2
=1.]
5.D [由y=9-x
2知,y≥0,两边平方移项,得x
2
+y
2
=9.∴选D.]
6.A [设直径的两个端点为M(a,0),N(0,b),
a+0b+0
则=2?a=4,=-3?b=-6.
22
所以M(4,0),N(0,-6).
因为圆心为(2,-3),
故r=?2-4?
2
+?-3-0?
2
=13.
所以所求圆的方程为(x-2)
2
+(y+3)
2
=13.]
7.(x-4)
2
+(y-1)
2
=26
解析
圆心即为两相对顶点连线的中点,半径为两相对顶点距离的一半.
8.5+2
解析 点(2
,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大,最大距离为点(2,3)
到圆心(3
,4)的距离2加上半径长5,即为5+2.
9.[0,2]
解析
由题意知l过圆心(1,2),由数形结合得0≤k≤2.
10.解
因为A(1,1)和B(2,-2),
31
,-
?
, 所以线段AB的中点
D的坐标为
?
2
??
2
-2-1
直线AB的斜率k
AB
==-3,
2-1
3
11
x-
?
,即x-3y-3=0. 因此线段A
B的垂直平分线l′的方程为y+=
?
23
?
2
?
?
?
x-3y-3=0,
圆心C的坐标是方程组
?
的解.
?
?
x-y+1=0
解此方程组,得
?
?
x=-3,
?
?
?
y=-2.
所以圆心C的坐标是(-3,-2).
圆心为C的圆的半径长
r=|AC|=?1+3?
2
+?1+2?
2
=5.
所以
,圆心为C的圆的标准方程是(x+3)
2
+(y+2)
2
=25.
11.解
设圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0).
|a|=r
?
?
由题意得
?
a-3b=0<
br>?
?
?6-a?
2
+?1-b?
2
=r
2<
br>
.
解得a=3,b=1,r=3或a=111,b=37,r=111.
所以圆的方程为(x-3)
2
+(y-1)
2
=9或(x-111)
2
+(y-37)
2
=111
2
.
|3-1-5|
12.解 由题意得圆心坐标为(3,1),半径为2,则圆心到直线l的距离
为d=
2
666
=32-,则圆C上的点到直线l距离的最大值为32-+2,最小值
为32--2.
222
13.解
设P点坐标(x,y),则x
2
+y
2
=4.
|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
=(x+2)
2
+(y
+2)
2
+(x+2)
2
+(y-6)
2
+(x-4)2
+(y+2)
2
=3(x
2
+y
2
)-4y+68=80-4y.
∵-2≤y≤2,∴72≤|PA|
2
+|PB|<
br>2
+|PC|
2
≤88.
即|PA|
2
+|PB|
2
+|PC|
2
的最大值为88,最小值为72.