高一数学必修二第三章 直线与方程教案

第三章 直线与方程
（1）直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之 间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线
与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此， 倾斜角的取值范围是0°
≤α＜180°

（2）直线的斜率
①定义：倾 斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直
线的斜率常用
k
表 示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
?
当
?
?0
?
,90
?
时，
k?0
； 当
?
?90
?
,180
?
时，
k?0
； 当
?
?90
时，
k
不
存在。
注意：一条直线必有 一个确定的倾斜角，但不一定有斜率，当
?
?0
0
时，
k?0
；当
当
?
?90
0
时，
k
不存在，当
9 0
0
?
?
?180
0
时，
k?0
。 即：
0
0
?
?
?180
0
时，
k?0；
斜率的取值范围为
k?R

?
?
??
例1、 给出下列命题：
① 若直线倾斜角为
?
，则直线斜率为
tan
?
；
②若直线倾斜角为
tan
?
，则直线的倾斜角为
?
；
③直线的倾斜角越大，它的斜率越大；
④直线的斜率越大，其倾斜角越大；
⑤直线的倾斜角的正切值叫做直线的斜率。其中正确命题的序号为
例2、已 知直线的倾斜角为
?
，且
sin
?
?
4
，求直线的 斜率
k

5

k?
②过两点的直线的斜率公式：
y
2
?y
1
(x
1
?x
2
)
（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1
x
2
?x
1
≠x2 ）
注意下面四点：
(1)当
x
1
?x
2
时，公 式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无关；
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例3、已知点
P(2, 1),Q(m,?3)
，求直线
P,Q
的斜率并判断倾斜角的范围。



例4、（三点共线问题）已知
A(?3,?5),B(1,3),C(5 ,11)
三点，证明这三点在同一条直线上



例5、（最值问 题）已知实数
x,y
，满足
2x?y?8
，当
2?x?8
时 ，求
y
的最大值和最小值
x

（3）直线方程
①点斜式：
y?y
1
?k(x?x1
)
直线斜率k，且过点
?
x
1
,y
1
?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y
1
。 < br>当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表
示．但因l上每一点的横 坐标都等于x
1
，所以它的方程是x=x
1
。
②斜截式：
y?kx?b
，直线斜率为
k
，直线在
y
轴上的截距为
b< br>
③两点式：
y?y
1
x?x
1
?
（
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
）直线两点< br>?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?

y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式：
?
xy
?1
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点(0,b)
,即
l
与
x
轴、
ab
y
轴 的截距分别为
a,b
。
例6、根据条件写出下列各题中的直线的方程和值
1. 经过点
P
，倾斜角
?
?45
0

1
(?2,3)
2. 经过点
(?2,?3)
，且与
x
轴垂直
3.
求倾斜角是 直线
y??3x?1
的倾斜角的
1
，且在
y
轴上的截距为< br>?5
的直线的方程。

4
4.
已知点
A(?5,0 )
，
B(3,?3)
，求直线
AB
的方程

5. 过两点
A(?1,1)
，
B(3,9)
的直线在
x
轴上的截 距为
⑤一般式：
Ax?By?C?0
（A，B不全为0）
一般式方程：
以上几种形式的直线方程都是二元一次方程，即平面上任何一条直线都可以用一 个关于
x
y
的二元一次方程表示；
而关于
x
y
的 二元一次方程，它都表示一条直线。因此我们把
x
y
的二元一次方程
Ax?B y?C?0
(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式。
注意：直线方程 的其他形式都可以转化为一般式，因此在解题时若没有特殊说明，应把最后
结果互为直线的一般式 设直线
l
的方程为
(m?2m?3)x?(2m?m?1)y?2m?6
，根据下列条件分
别确定m的值
（1）
l
在
x
轴上的截距为 -3 （2）
l
的斜率是 -1







22

（4）两直线平行与垂直
当
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2
时，

l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
；
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
例7：求与直线
3x?4y?1?0
垂直且过点（1，2）的直线方程（引出垂直直线系方程）

已知 两直线
l
1
：
x?my?6?0
，
l
2
：
(m?2)x?3y?2m?0
，当
m
为何值时，直
线
l< br>1
与
l
2
：
（1）平行
（2）垂直







（5）两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
? 0
相交
A
1
x?B
1
y?C
1
?0交点坐标即方程组
?
的一组解。
?
?
A
2
x ?B
2
y?C
2
?0
方程组无解
?l
1
l
2
； 方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
例8 、求经过两直线
2x?3y?3?0
和
x?y?2?0
的交点且与直线
3x?y?1?0
平行的直线方程。





Bx
2
,y
2
）
（6）两点间距离公式：设
A(x
1
,y
1
)，（
是平面直角坐标系中的两个点，
则
|A B|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2


（7）点到直线距离公式：一点
P?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A
2
?B
2


（8）两平行直线距离公式
已知两条平行线直线
l
1
和
l
2
的一般式方程为< br>l
1
：
Ax?By?C
1
?0
，
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
，则
l
1
与
l
2
的距离为
d?
C
1
?C
2
A ?B
22

强加训练：△ABC的三个顶点A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC所在直线的方程，且BC之间的距离。
（2）BC边上中线AD所在直线的方程;
（3）BC边的垂直平分线DE的方程，以及C点到直线DE的距离。