高中数学不好 金融-高中数学关于零点的介绍
WORD格式.整理版
高一数学复习题三（立几部分）
1、如下图(3)，在四棱锥
P?ABCD
中，四边形
ABCD
是平行四边形，
M,N
分别是<
br>AB,PC
的
中点，求证：
MN?平面PAD
。
证明：如图，取
PD
中点为
E
，连接
AE,EN
———1分
P
D
N
C
A
P
M B
E
D
N
C
E,N
分别是
PD,PC
的中点
1
?ENDC
———————————————4分
2
1
M
是
AB
的中点
?AMDC
——————7分
2
A M B
?ENAM
?
四边形
AMNE
为平行四边形 —9分
?AEMN
———————————————11分
又
图(3)
AE?面APD
MN?面APD
?
MN?平面PAD
。 ————————12分
2、（本小题满分12分
）如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中，
（1）画出二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角；并说明理由
（2）求证：面
BB
1
DD
1
?
面
AB<
br>1
C
解：（1）如图，取
B
1
C
的中点<
br>E
,连接
AE,EC
1
。
D
C
A
D
D
1
B
AC,AB
1
,B
1
C
分别为正方形的对角线
?AC?AB
1
?B
1
C
优质.参考.资料
E
C
1
B
1
A
1
WORD格式.整理版
E
是
B
1
C
的中点
?AE?B
1
C
——————————————2分
又在正方形
BB
1
C
1
C
中
?EC
1
?B
1
C
——————————————3分
?
?AEC
1
为二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角。 —————————————————4分
（2） 证明：
又
D
1
D?面ABCD
，
AC?面ABCD
?D
1
D?AC
—————6分
在正方形
ABCD
中
?AC?BD
—————————————————8分
D
1
D
又
BD?D
?AC?面DD
1
B
1
B
———————————————10分
AC?面AB
1
C
?
面
BB
1
DD
1
?
面
AB
1C
——————————————12分
3、如图，在边长为a的菱形ABCD中，
E,F是PA和AB的中点。∠ABC=60°，PC⊥面
ABCD；
（1）求证：
EF||平面PBC
（2）求E到平面PBC的距离。
P
E
C
D
?AE?PE,AF?BF,
解（1）证明：
?EF||PB
A
F
B
又
EF?平面PBC,PB?平面PBC,
故
EF||平面PBC
（2）解：在面ABCD内作过F作
FH?BC于H
?PC?面ABCD,PC?面PBC
优质.参考.资料
WORD格式.整理版
?面PBC?面ABCD
又
面PBC?面ABCD?B
C
，
FH?BC
，
FH?面ABCD
?FH?面ABCD
又
EF||平面PBC
，故点E到平面PBC
的距离等于点F到平面PBC的距离FH。
在直角三角形FBH中，
?FBC?60
?
,FB?
a
，
2
FH?FBsin?FBC?
aa33
?sin60
0
???a
2224
故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，
等于
3
a
4
平行四4、（本题８分）如图，四棱锥
S- ABCD
中，底面
A
BCD
为
边形，
E
是
SA
上一点，
S
试探求点
E
的位置，使
SC
平面
EBD
，并证明．
答：点
E
的位置是 ．
证明：
A
解：答：点
E
的位置是 棱SA的中点 ．
C
证明：取SA的中点E，连结EB，ED，AC，设AC与BD的
B
题20
图
O，连结EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又E是SA的中点，∴OE是ΔSAC的中位线．
∴OESC．
∵SC
?
平面EBD，OE
?
平面EBD，
∴SC平面EBD．
5、（本题10分）如图，已知正方体
ABCD-
A
1
B
1
C
1
D
1
，AD
1
与
A
1
D
相交于点
O．
D
1
（1）判断
AD
1
与平面
A
1
B
1
CD
的位置关系，并证明；
（2）求直线
AB
1<
br>与平面
A
1
B
1
CD
所成的角．
O
D
D
交点为
C
1
A
1
B
1
C
AB
(1)解：
AD
1
?平面A
1
B
1
CD
．
证明：∵在正方体
ABCD
-A
1
B
1
C
1
D
1
中，
优质.参考.资料
题23图
WORD格式.整理版
A
1
B
1
?AD
1
,AD
1
?A
1
D,A
1
D?A
1
B
1
?A
1
，
∴
AD
1
?平面A
1
B
1
CD
．
（2）连结
B
1
O
．∵
AD
1
?平面A<
br>1
B
1
CD
于点
O
，
∴直线
B<
br>1
O
是直线
AB
1
B
1
CD
上的射
影．
1
在平面
A
∴
?AB
1
O
为直线<
br>AB
1
B
1
CD
所成的角．
1
与平面
A
又∵
AB
1
?2AO
，
∴
sin?AB
1
O?
AO1
?
．
AB
1
2
∴
?AB
1
O?30
°．
6、如图，用一付直角三角板拼成一直二面角A—BD—C，若其中给定 AB=AD
=2，
?BCD
（Ⅰ）求三棱锥
A-BCD
的体积；
（Ⅱ）求直线AC与平面BCD所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ABC的距离．
?90?
，
?BDC?60?
，
A
解：(1)、
∵
二面角A-BD-C是直二面角
∴平面ABD⊥平面CBD
过A作AE⊥BD，垂足为E，则AE⊥面ABD
即AE是三棱锥A-BCD的高
又
由已知得：BD=
22
，DC=
∴BCD的面积为
S
B
C
D
1
BD=
2
，BC=
BD
2
?CD
2
?6
,
AE=
2
2
BCD
?
3
∴三棱锥A-
BCD的体积为
V
A?BCD
?
6
3
（2）、
∵
AE⊥面ABD
所以
CE
为直线AC在平面BCD内的射影，
??ACE
为直线
AC
与平面
BCD
所成的角，
1
在Rt
?AEC
中，
AE?2
,
CE?BD?2
，
??ACE?45?
，
2
故直线
AC
与平面
BCD
所成的角为
45?
（3）、过E作EF⊥BC，垂足为F，连接AF，则AF⊥BC.
优质.参考.资料
WORD格式.整理版
又在
Rt
△AEF中可求得AF=
10
2
∴
S
ABC
?
15
2
设点D到平面ABC的距离为
h
V
A?BCD
?V
D?ABC
?h?S
1
3
ABC
?V
A?BCD
?
6
3
?h?
3V
A?BCD
S
ABC
?
210
5
210
5
即D到面ABC的距离为
h=
注意：利用等体积积法求点到面的距离。
D
是
AB
的中点.
7、如图,在直三棱柱
ABC?ABC
111
中,
AC?3
,
BC?4
,
AB?5
,
点
(1)求证:
AC?BC
1
;
(2)求证:
AC
1
∥平面
CDB
1
.
证明: (1)
因为三棱柱
ABC?A
1
BC
11
为直三棱柱,
所以
C
1
C?
平面
ABC
,
所以
C
1
C?AC
.
又因为
AC?3
,
BC?4
,
AB?5
,
所以
AC?BC?AB
,
所以
AC?BC
.
又
CC
1
?BC?C
,
所以
AC?
平面
CC
1
B
1
B
,
所以
AC?BC
1
.
(2)
令
BC
1
与
CB
1
的交点为
E
,
连结
DE
. 因为
D
是
AB
的中点,
E
为
BC
1
的中点,
优质.参考.资料
22
2
C
1
A
1
B
1
C
AD
B
（第6题图）
WORD格式.整理版
所以
DE
∥
AC
1
.
又
因为
AC
1
?
平面
CDB
1
,
DE
?
平面
CDB
1
,
所以
AC
1
∥平面
CDB
1
.
8、（本小题14分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是
?A?60
、边长为
a
的菱形，又
?
PD?底ABCD
，且PD=CD，点M、N分别是
棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN平面PMB；
（2）证明：平面PMB
?
平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
解：（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为
M、N分别是棱AD、PC中点，所以
QNBCMD，且QN=MD，于是DNMQ.
P
N
D
M
A
B
C
?
?
MQ?平面PMB
?
?DN平面PMB
.… …………………6分
DN?平面PMB
?
?
（2）
DNMQ
PD?平面ABCD
?
?
?PD?MB
<
br>MB?平面ABCD
?
?
又因为底面ABCD是
?A?60
、
边长为
a
的菱形，且M为AD中点，
所以
MB?AD
.又
优质.参考.资料
所以
MB?平面PAD
.
WORD格式.整理版
MB?平
面PAD
?
?
?平面PMB?平面PAD.
………………10分
MB?平面PMB
?
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作
DH?PM
于H，由（2）平面PMB
?
平面PAD，所以
DH?平面PMB
.
故DH是点D到平面PMB的距离.
a
?a
5
5
2
a
.………14分
DH?
?a.
所以点A到平面PMB的距离为
5
5
5
a
2
答案打印
1、证明：如图，取
PD
中点为
E
，连接
AE,EN
———1分
E,N
分别是
PD,PC
的中点
1
DC
—————————4分
2
1
M
是
AB
的中点
?AMDC
———7分
2
?EN
?ENAM
?
四边形
AMNE
为平行四边形 —9分
?AEMN
———————————————11分
又
AE?面APD
MN?面APD
?
MN?平面PAD
。 ————————12分
D
2、解：（1
）如图，取
B
1
C
的中点
E
,连接
AE,EC1
。
C
AC,AB
1
,B
1
C
分别为正方形的对角线
?AC?AB
1
?B
1
C
A
D
D
1
B
E
E
是
B
1
C
的中点
?AE?B
1
C
——————————————2分
又在正方形
BB
1
C
1
C
中
C
1
B
1
A
1
?EC
1
?B
1
C
——————————————3分
?
?AEC
1
为二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角。 —————————————————4分
优质.参考.资料
WORD格式.整理版
（2） 证明：
又
D
1
D?面ABCD
，
AC?面ABCD
?D
1
D?AC
—————6分
在正方形
ABCD
中
?AC?BD
—————————————————8分
D
1
D
又
BD?D
?AC?面DD
1
B
1
B
———————————————10分
AC?面AB
1
C
?
面
BB
1
DD
1
?
面
AB
1C
——————————————12分
3、
解（1）证明：
?AE?PE,AF?BF,
?EF||PB
又
EF?平面PBC,PB?平面PBC,
故
EF||平面PBC
（2）解：在面ABCD内作过F作
FH?BC于H
?PC?面ABCD,PC?面PBC
?面PBC?面ABCD
又
面PBC?面ABCD?B
C
，
FH?BC
，
FH?面ABCD
?FH?面ABCD
又
EF||平面PBC
，故点E到平面PBC
的距离等于点F到平面PBC的距离FH。
在直角三角形FBH中，
?FBC?60
?
,FB?
a
，
2
FH?FBsin?FBC?
aa33
?sin60
0
???a
2224
故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，
等于
3
a
4
S
4、解：答：点
E
的位置是 棱SA的中点 ．
证明：取SA的中点E，连结EB，ED，AC，设AC与BD的交点为O，连
结EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
优质.参考.资料
A
B
C
D
WORD格式.整理版
又E是SA的中点，∴OE是ΔSAC的中位线．
∴OESC．
∵SC
?
平面EBD，OE
?
平面EBD，
∴SC平面EBD．
5、(1)解：
AD
1
?平面A
1<
br>B
1
CD
．
证明：∵在正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
B
1
?AD
1
,AD
1
?A
1
D,A
1
D?A
1
B
1
?A
1
，
∴
AD
1
?平面A
1
B
1
CD
．
（2）连结
B
1
O
．∵
AD
1
?平面A<
br>1
B
1
CD
于点
O
，
∴直线
B<
br>1
O
是直线
AB
1
在平面
A
1
B<
br>1
CD
上的射影．
∴
?AB
1
O
为直线<
br>AB
1
与平面
A
1
B
1
CD
所成的
角．
又∵
AB
1
?2AO
，
∴
sin?AB<
br>1
O?
AO
AB
?
1
．
1
2
∴
?AB
1
O?30
°．
6、
解：(1)、
∵
二面角A-BD-C是直二面角
∴平面ABD⊥平面CBD
过A作AE⊥BD，垂足为E，则AE⊥面ABD
即AE是三棱锥A-BCD的高
又
由已知得：BD=
22
，DC=
1
2
BD=
2
，
BC=
BD
2
?CD
2
?6
,
AE=
2
∴BCD的面积为
S
BCD
?
3
∴三棱锥A-
BCD的体积为
V
6
A?BCD
?
3
（2）、
∵
AE⊥面ABD
所以
CE
为直线AC在平面BCD内的射影，
??ACE
为直线
AC
与平面
BCD
所成的角，
优质.参考.资料
D
1
C
1
A
1
B1
O
D
C
AB
A
B
D
C
WORD格式.整理版
1
BD?2
，
??ACE?45?
，
2
故直线
AC
与平面
BCD
所成的角为
45?
在Rt
?AEC
中，
AE?2
,
CE?
（3）、过E作EF⊥BC，垂足为F，连接AF，则AF⊥BC.
又在
Rt
△AEF中可求得AF=
10
2
∴
S
ABC
?
15
2
设点D到平面ABC的距离为
h
V
A?BCD
?V
D?ABC
?h?S
1
3
ABC
?V
A?BCD
?
6
3
?h?
3V
A?BCD
S
ABC
?
210
5
210
5
即D到面ABC的距离为
h=
注意：利用等体积积法求点到面的距离。
7、证明: (1)
因为三棱柱
ABC?A
1
BC
11
为直三棱柱,
所以
C
1
C?
平面
ABC
,
所以
C
1
C?AC
.
A
1
C
1
B
1
又因为
AC?3
,
BC?4
,
AB?5
,
所以
AC?BC?AB
,
所以
AC?BC
.
又
CC
1
?BC?C
,
所以
AC?
平面
CC
1
B
1
B
,
所以
AC?BC
1
.
(2)
令
BC
1
与
CB
1
的交点为
E
,
连结
DE
. 因为
D
是
AB
的中点,
E
为
BC
1
的中点,
所以
DE
∥
AC
1
.
优质.参考.资料
A
222
C
D
B
（第7题图）
WORD格式.整理版
又
因为
AC
1
?
平面
CDB
1
,
DE
?
平面
CDB
1
,
所以
AC
1
∥平面
CDB
1
.
高一数学复习题一（立几部分）
姓名
考号
1、（本小题满分12分）如下图(3)，在四棱锥
P
?ABCD
中，四边形
ABCD
是平行四边形，
M,N
分别是
AB,PC
的中点，求证：
MN?平面PAD
。
2
、（本小题满分12分）如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C1
D
1
中，
（2）画出二面角
A?B
1
C?C
1
的平面角；并说明理由
（2）求证：面
BB
1
DD
1
?
面
AB<
br>1
C
D
P
D
N
C
A
M B
C
A
D
B
E
D
1
C
1
A
1
B
1
3、如图，在
边长为a的菱形ABCD中，E,F是PA和AB的中点。∠ABC=60°，PC⊥面ABCD；
（1）求证： EF||平面PBC
优质.参考.资料
P
WORD格式.整理版
（2）求E到平面PBC的距离。
4、（本题８分）如图，四棱锥
S- ABCD<
br>中，底面
ABCD
为平行四边形，
E
是
SA
上一点，
试探求点
E
的位置，使
SC
平面
EBD
，并证明．
答：点
E
的位置是 ．
S
证明：
A
D
B
C
题4图
5、（本题10分）如图，已
知正方体
ABCD
-
A
1
B
1
C
1
D
1
，
AD
1
与
A
1
D
相交于
点
O．
（1）判断
AD
1
与平面
A
1
B
1
CD
的位置关系，并证明；
（2）求直线
AB1
与平面
A
1
B
1
CD
所成的角．
C
1
D
1
D
A
O
C
B
A
1
B
1
题5图
6、如图，用一付直角三角板拼成一直二面角A—BD—C，若其中给定 AB=AD
=2，
?BCD?90?
，
?BDC?60?
，
（Ⅰ）求三棱锥Ａ－BCD的体积；
（Ⅱ）求直线AC与平面BCD所成角的大小；
（Ⅲ）求点D到平面ABC的距离．
优质.参考.资料
A
B
C
D
WORD格式.整理版
D
是
AB
的中点.
7、如图,在直三棱柱
ABC?ABC
111
中,
AC?3
,
BC?4
,
AB?5
,
点
(1)求证:
AC?BC
1
;
A
1
C
1
B
1
(2)求证:
AC
1
∥平面
CDB
1
.
优质.参考.资料
C
B
AD
（第7题图）