苏教版高中数学必修2全部教案【精美整理版】

苏教版高中数学必修2全部教案【精美整理版】
目 录
第一章 立体几何初步 ........................................... .................................................. ................................................ 1
第一课时 棱柱、棱锥、棱台 .............................. .................................................. ..................................... 2
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球 ....................................... .................................................. ........................ 4
第三课时 中心投影和平行投影 .. .................................................. .................................................. ........... 6
第四课时 直观图画法 .................... .................................................. .................................................. ........... 9
第五课时 平面的基本性质 .................. .................................................. .................................................. ....11
第六课时 平面的基本性质 ......................... .................................................. .............................................. 14
第7课时 空间两条直线的位置关系 ............................ .................................................. ........................... 18
第8课时 异面直线 .... .................................................. .................................................. ............................. 22
第9课时 直线与平面的位置关系 ....................................... .................................................. .................... 25
第10课时 直线与平面垂直 ....... .................................................. .................................................. ............ 29
第11课时 直线与平面垂直(2) ............ .................................................. .................................................. ... 33
第12课时 平面与平面位置关系 ...................... .................................................. ....................................... 38
第13课时 二面角 ................................... .................................................. .................................................. 42
第14课时 平面与平面垂直 ............................ .................................................. ......................................... 44
第15课时 平面与平面的位置关系习题课.......................... .................................................. .................... 48
第16课时 空间几何体的表面积(1) .. .................................................. .................................................. ..... 52
第17课时 空间几何体的表面积(2) ................. .................................................. ........................................ 55
第18课时 空间几何体的体积(1) ........................... .................................................. .................................. 58
第19课时 空间几何体的体积(2) ...................................... .................................................. ....................... 61
第20课时 立体几何体复习 .... .................................................. .................................................. ............... 64
第二章 平面解析几何初步 .............. .................................................. .................................................. ................. 68
第1课 直线的斜率（1） ............ .................................................. .................................................. ............. 69
第2课 直线的斜率（2） ............... .................................................. .................................................. ........ 71
第3课 直线的方程（1） .................... .................................................. .................................................. ... 74
第4课 直线的方程（2） ......................... .................................................. ................................................ 77
第5课 直线的方程（3） ............................. .................................................. ............................................ 80
第6课 两条直线的平行与垂直(1) ............................ .................................................. ................................. 83
第7课 两条直线的平行与垂直(２) .................................... .................................................. ....................... 86
第8课 两直线的交点 ........ .................................................. .................................................. ....................... 90
第9课 平面上两点间的距离 ..... .................................................. .................................................. .............. 93
第10课 2.1.6第一节 点到直线的距离（１）.... .................................................. ..................................... 98
第11课 2.1.6第二节 点到直线的距离（２） .............................. .................................................. ......... 101
第12课 第一节 圆的方程（1） ............... .................................................. .............................................. 106
第13 课第二节 圆的方程（2） ............................. .................................................. ................................. 109
第14课时 直线与圆的位置关系 ........................................ .................................................. ......................113
第15课时 圆与圆的位置关系 ..... .................................................. .................................................. ...........117
第16课时 空间直角坐标系 ................ .................................................. .................................................. . 121
第17课时 空间两点间的距离 ........................ .................................................. ....................................... 123
本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ ............................ .................................................. ............................. 125
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第一章 立体几何初步
一、知识结构
空间几何体
听课随笔
简单的空间几何体 基本元素(点、线、面)关系
多面体(棱柱、
棱锥、棱台)
旋转体（圆柱、
圆锥、圆台）
直线与
直线
直线与
平面
平面与
平面
结构特征，图形表示，侧面积，体积
平行、垂直、夹角、距离
三视图，直观图，展开图
综合应用
判定、性质

二、重点难点
重点：空间直线，平面的位置关系。柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式。平行、垂直
的 定义，判定和性质。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。文字语言，图形语言和符号 语言的转化。平行，垂
直判定与性质定理证明与应用。
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第一课时 棱柱、棱锥、棱台
【学习导航】

知识网络

棱柱的结构特征



棱柱、棱锥、棱台
棱锥的结构特征


棱台的结构特征
学习要求


1．初步理解棱柱、棱锥、棱台的概念。掌握它们的形成特点。
2．了解棱柱、棱锥、棱台中一些常用名称的含义。
3．了解棱柱、棱锥、棱台这几种几何体简单作图方法
4．了解多面体的概念和分类．
【课堂互动】
自学评价
1． 棱柱的定义：


表示法：
思考:棱柱的特点：.
【答】


2． 棱锥的定义：


表示法：
思考:棱锥的特点：.
【答】
3．棱台的定义：
表示法：
思考:棱台的特点：.
【答】
4．多面体的定义：

5．多面体的分类：
⑴棱柱的分类
⑵棱锥的分类
⑶棱台的分类


【精典范例】
例1：设有三个命题：
甲：有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围体一定是棱柱；
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听课随笔

乙：有一个面是四边形，其余各面都三角形所围成的几何体是棱锥；
丙：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台。
以上各命题中，真命题的个数是 （A）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
例2：画一个四棱柱和一个三棱台。

【解】四棱柱的作法：
⑴画上四棱柱的底面----画一个四边形；
⑵画侧棱----- 从四边形的每一个顶点画平行且相等的线段；
⑶画下底面------顺次连结这些线段的另一个端点
见书７页例１






⑷画一个三 棱锥，在它的一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个侧面画出与底面平行的线段，将多
余的线段檫 去．
见书７页例１





点评：(1)被遮挡的线要画成虚线(2)画台由锥截得
思维点拔：
解柱、锥、台概念性问题和画图需要：
(1).准确地理解柱、锥、台的定义
(2).灵活理解柱、锥、台的特点：
例如：棱锥的特点是：⑴两个底面是全等的多边形；⑵ 多边形的对应边互相平行；⑶棱柱的侧面都是平行
四边形。反过来，若一个几何体，具有上面三条，能构 成棱柱吗？或者说，上面三条能作为棱柱的定义吗？
答：不能．

点评:就棱柱来验证这三条性质，无一例外，能不能找到反例，是上面三条能作为棱柱的定义的关键。

追踪训练一
1. 如图，四棱柱的六个面都是平行四边形。这个四棱柱可以由哪个平面图形按怎样的方向平移得到？







A
D
B
C
A
1

B
1

D
1

C
1

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答由四边形ABCD沿AA1方向平移得到．
2.右图中的几何体是不是棱台？为什么？





答：不是，因为四条侧棱延长不交于一点．
3．
多面体至少有几个面？这个多面体是怎样的几何体。
答：４个面，四面体．
第二课时 圆柱、圆锥、圆台、球

【学习导航】

知识网络






圆柱的结构特征
圆锥的结构特征
圆柱、圆锥、圆台、球
球的结构特征
圆台的结构特征
学习要求


1．初步理解圆柱、圆锥、圆台和球 的概念。掌握它们的生成规律。
2．了解圆柱、圆锥、圆台和球中一些常用名称的含义。
3．了解一些复杂几何体的组成情况，学会分析并掌握它们由哪些简单几何体组合而成。 < br>4．结合日常生活中的一些具体实例，体会客观世界中事物与事物之间内在联系的辨证唯物主义观点，初步学会用类比的思想分析问题和解决问题．
【课堂互动】
自学评价
1． 圆柱的定义：

母线
底面
轴

2．圆锥的定义：

3．圆台的定义：

4．球的定义：
5．旋转面的定义：
６．旋转体的定义：
７．圆柱、圆锥、圆台和球的画法。


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听课随笔












【精典范例】
例1：给出下列命题：
甲：圆柱两底面圆周上任意两点的连线是圆柱的
乙：圆台的任意两条母线必相交
丙：球面作为旋转面，只有一条旋转轴，没
有母线。
其中正确的命题的有 （ Ａ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
例2：如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的
由哪些简单几何体构成的？。

D C



A B

【解】见书９页例１




例３：指出图中的几何体是由哪些简单几何体构




甲 乙
【解】见书９页例２


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母线
直线旋转一周，由此形成的几何体是
成的？。

思维点拨：
如何解答一个复杂几何体的组成情况，主要是将原几何体分割成柱、锥、台和球后再解答。
如：以正六边行的一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体由哪些简单几何体组成的？
解：是由一个圆柱，两个圆台挖去两个圆锥所得几何体。
追踪训练
1. 指出下列几何体分别由哪些简单几何体构成？






答：略
2. 如图，将平行四边形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体 是由哪些简单几何体构
成的？
D C

A B

答：圆锥和圆柱
3．
充满气的车轮内胎可以通过什么图形旋转生成？
答：圆


【师生互动】









第三课时 中心投影和平行投影
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中心投影和平行投影

空间几何体的三视图





柱、锥、台、
简单组合体

球的三视图
的三视图

学习要求


1．初步理解投影的概念。掌握中心投 影和平行投影的区别和联系。
2．了解并掌握利用正投影鉴别简单组合体的三视图。
3．初步理解由三视图还原成实物图的思维方法．
【课堂互动】
自学评价
1．投影的定义：
.
2．中心投影的定义：

平行投影的定义：

平行投影的分类：
3．主视图（或正视图）的定义：

俯视图的定义：
左视图的定义：
【精典范例】
一、如何画一个实物的三视图？
例1：画出下列几何体的三视图。







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听课随笔























解答：见书12页例1






点评：1.画三视图的方法和步骤
(1)选择确定正前方，确定投影面，正前方应垂直
正投影面------主视图
( 2)自左到右的方向垂直于投影面，画出这时的正
⑶自上而下的方向是固定不变的。在物体下方确
-----俯视图
2.作图规律：长对正，宽相等，高平齐
例2：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的




解答：见书13页例２


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听课随笔
于投影面，然后画出这时的
投影------左视图
定一个水平面作为投影
三视图。

二、如何由三视图还原成实物图。
例3.根据下面的三视图, 画出相应空间图形的直观图.



主视图 左视图


俯视图
解略．







点评:解决这类问题，需要充分发挥空间想象能力。一般的从主视图出 发，然后是左视图、俯视图，画图
后检验。
追踪训练一
根据下列的主视图和俯视图，找出对应的物体，填在下列横线上。
(1) B (2) D
(3) A (4) C

主视图


俯视图

(2)
(3)
(1)






A B C



(4)
D
第四课时 直观图画法
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空间几何体的直观图
斜二测画法
听课随笔
学习要求


1．初步了解中心投影和平行投影的区别。
2．初步掌握水平放置的平面图形的直观图的画法和空间几何体的直观图的画
法
3．初步了解斜二测画法
【课堂互动】
自学评价
1．消点的定义：
.
2．斜二测画法步骤⑴

⑵

⑶

⑷

【精典范例】
一、
怎样画水平放置的正三角形的直观图

例1：画水平放置的正三角形的直观图。





解答：见书14页例1















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点评：在条件“平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来
听课随笔
的一半”之下，正三角形的直观图为斜三角形。
追踪训练一
画水平放置的正五边形的直观图。








解答：略






例2.画棱长为2cm的正方体的直观图.
解答：见书15页例2









点评：空间图形的直观图的画法。
规则是：已知图形中平行于x轴，y轴和z轴的线段，在直 观图中保持平行性不变；平行于x轴，
z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度 为原来的一半。
追踪训练二
用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长 方体ABCD—A′B′C′D′的直观图
仿照例２作图
第五课时 平面的基本性质
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平面的概念 平面的表示

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平面


平面的基本性质



公里１ 公里2 公里3

学习要求


1.初步了解平面的概念.
2.了解平面的基本性质(公理1-3)
3.能正确使用集合符号表示有关点 、线、面的位置关系.
4.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题
【课堂互动】
自学评价
1．平面的概念：
.
2．平面的表示法
３．公里１：

符号表示
4. 公里2：

符号表示
５．公里３：

符号表示
问题：举出日常生活中不共线的三点确定一个平面的例子．



【精典范例】
例1：已知E、F、G、H分别为空间四边形(四个顶点不共面的四边形)AB CD各边AB、AD、
BC、CD上的点, 且直线EF和GH交于点P, 求证: B、D、P在同一条直线上.



A

E

F

B
D P


G
H

C
证明：∵P∈EF,而E∈AB,F∈AD
∴EF
?
平面ABD
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听课随笔

∴P∈平面ABD
同理，P∈平面BDC
∴P∈平面ABD∩平面BDC
∴B、D、P在同一条直线上






思维点拔：

证明多点共线，通常利用公 里2，即两相交平面交线的唯一性；证明点在相交平面的交线上，必须证明这
些点分别在两个平面内。
追踪训练
如图, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,E、F分别为AB,AA
1
中点，求证CE,D
1
F,DA三条直线交于一点。

C
1

D
1



A
1


B
1


C

F

D



A

E

B


证略．









例2.如图, 在长方体ABCD- A
1
B
1
C
1
D
1
中, 下列命题是否正确? 并说明理由.
①AC
1
在平面CC
1
B
1
B内;
② 若O、O
1
分别为面ABCD、A
1
B
1
C
1D
1
的中心, 则平面AA
1
C
1
C与平面B
1
BDD
1
的交线为OO
1
.
③由点A、O、C可以确定平面;
④由点A、C
1
、B
1
确定的平面与由点A、C
1
、D确定的平面是同一个平面.





D
1

A
1

D
A
B
O
1

B
1

C
C
1

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O

解（１）不正确
（２）正确
听课随笔
（３）不正确
（４）正确．














追踪训练
1. 为什么许多自行车后轮旁装一只撑脚？
2. 用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”
Ａ．Ａ
?
l,l
?
α
B．Ａ
?
l,l
?
α
C．Ａ
?
l,l
?
α
D．Ａ
?
l,l
?
α
3.下列叙述中，正确的是 （ Ｄ ）
Ａ．因为Ｐ
?
α，Ｑ
?
α，所以ＰＱ
?
α
Ｂ．因为Ｐ
?
α,Ｑ
?
β，所以α
?
β＝ＰＱ < br>Ｃ．因为ＡＢ
?
α,Ｃ
?
ＡＢ，Ｄ
?
ＡＢ，所以Ｃ< br>Ｄ．因为ＡＢ
?
α,ＡＢ
?
β，所以Ａ
?
α
?
β，

第六课时 平面的基本性质
【学习导航】

知识网络


公里３



推论１ 推论2 推论3
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正确的是
Ｄ
?
α
且Ｂ
?
α
?
β
Ｂ ） （

学习要求


1.了解平面基本性质的3个推论, 了解它们各自的作用.
2.能运用平面的基本性质解决一些简单的问题.
【课堂互动】
自学评价
1．推论１： .


已知：

求证：

解答：见书22页推论１








2．推论２：


已知：

求证：










３．推论３：


符号表示：
仿推论1、推论2的证明方法进行证明。
【精典范例】
一、
如何证明共面问题．

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听课随笔

例1：已知: 如图A∈l , B∈l, C∈l, D
?
l, 求证: 直线AD、BD、CD共面.


D

C
A

B

解答：见书22页例１






α
l
思维点拔：

简单的点线共面的问题，一般是先由部分点或线确定一个平面，然后证明 其他的点线也在这个平面内，这
种证明点线共面的方法称为＂落入法＂
例2.如图: 在长方 体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, P为棱BB
1
的中点, 画出由A
1
, C
1
, P三点所确定的平面α与
长方体表面的交线.






A
A
1

D
B
1

P
C
D
1

C
1



解答：见书2３页例２

B
追踪训练一
证明空间不共点且两两相交的四条直线在同一平面内．
已知：

求证：
证明：
（１）如图，设直线a,b，c相交于点
Ｏ，直线d和a,b，c分别交于M,N,P
直线d和点Ｏ确定平面α，证法如例１

α
o

a
M
b c
P

d
N


(2)
c
α
R
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a
G
d
P
b
M
N

设直线a,b，c, d两两相交，且任意三条不共线，
∵直线a和b确定平面α
听课随笔
∴a∩c=N,b∩c=Q
∵N,Q都在平面α内
∴直线c
?
平面α，同理直线d
?
平面α
∴直线a,b，c, d共面于α
【选修延伸】
如图, 已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, E、F
BD=P , A
1
C
1
∩EF=Q , 求证:
(1) D、B、F、E四点共面’
(2)若A
1
C交平面DBFE于R点, 则P、Q、R


D
1

C
1



A
1

B
1



D
C


A
B
证明略














追踪训练二
1.空间四点中, 如果任意三点都不共线, 那么由这
2.已知四条不相同的直线, 过其中每两条作平面,
3.已知l与三条平行线a,b,c都相交，求证：l与a,b,c

证明略
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交点分别为M,N,P,Q,R,G
分别为D1
C
1
、B
1
C
1
的中点, AC∩
三点共线 .
四点可确定___１或４____个平面?
至多可确定____６____个平面.
共面．

第7课时 空间两条直线的位置关系
一、【学习导航】
知识网络

判定及性质

平行直线

判定及性质


空间两条直线位置关系
异面直线
异面直线所成角的计算方法


相交


学习要求


1.了解空间两条直线的位置关系
2.掌握平行公理及其应用
3.掌握等角定理，并能解决相关问题．
【课堂互动】
自学评价
１. 空间两直线的位置关系

位置关系 共面情况 公共点个数

相交直线

平行直线

异面直线
２. 公里４：

符号表示：
思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行
答：
３．等角定理



【精典范例】

例1：.如图, 在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 已知E、F分别是AB、BC的中点, 求证: EFA
1
C
1


D
1
C
1


A
1

B
1



D
C

A
F
E
B
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应用

听课随笔

解答：见书２５页例１











思维点拔：

证两直线平行的方法：
(1)利用初中所学的知识
(2)利用平行公理．
追踪训练
已知：棱长为a的正方体ABCD-A1
B
1
C
1
D
1
中，M,N分别为CD,AD 的中点，求证：四边形MNAC是梯形．
M
D
1
C
1

N

A
1

B
1


D

C


A
B



证明略






点评：要证梯形，必须证明有两边平行且相等，平行的证明要善于联想平面几何知识．
例2：如图. 已知E、E
1
分别为正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱AD、A
1
D
1
的中点, 求证: ∠C
1
E
1
B
1
=∠CEB .






A
A
1

D
E
B
D
1

E
1

B
1

C
C
1

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分析：设法证明E
1
C
1
EC,E
1
B
1
EB
证明：

解答：见书２６页例２
听课随笔









等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边
角相等。
等角定理的证明
已知: ∠BAC和∠B
1
A
1
C
1
的边ABA
1
B
1
,
求证: ∠BAC=∠B
1
A
1
C
1

解答：见书２５页



















点评：
平几中的定义，定理等，对于非平面图形，需要
追踪训练
1. 设AA
１
是正方体的一条棱，这个正方体中
Ａ.１条 Ｂ.２条
Ｃ.３条 Ｄ.４条
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分别平行并且方向相同，那么这两个
ACA
1
C
1
, 并且方向相同.
经过证明才能应用。
与AA
1
平行的棱共有 （ C ）

2.若OAO
1
A
1
, OBO
1
B
1
, 则∠AOB与∠A
1
O
1
B
1
关系 （ C ）
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.以上答案都不对
３．如图，已知AA′，BB′，CC′，不共面，且AA′BB′,AA′=BB′,
BB′CC′, BB′=CC′.
求证：△ABC≌△A′B′C′
A′
A

B′
B C′
C
用平行四边形性质证明









思维点拔：
凡“有且只有”的证明，丢掉“有”
即存在性步骤，或丢掉“只有”即唯一性的证明都会导致错误发生，即证明不全面，思维不
严谨 所致。
求证：过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行．
已知：点P
?
直线a
求证：过点P和直线a平行的直线b有且仅有一条．
证明：∵P
?
a，
∴点P和直线a
确定平面α

在平面α内过点Ｐ作直线b直线a平行（由平面几何知识）

假设过点Ｐ还有一条直线c与a平行，则
∵ab,ac
∴
bc,这与b，c共点Ｐ矛盾．

∴直线
b唯一
∴过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行
总结：(1)凡上述两类问题型的证明应有 两步，即先证明事实存在，再证明它是唯一的(2)解
答文字命题必须将文字语言“译”成符号语言，然 后写出“已知和求证”需要作图时，要把
图形作出来，最后给出“解答（证明）”
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第8课时 异面直线
一、【学习导航】
知识网络


定义



画法

异面直线
判定(证明)


异面直线所成角的求法

学习要求


1. 掌握异面直线的定义．
２．理解并掌握异面直线判定方法．
.3.掌握异面直线所成的角的计算方法．
【课堂互动】
自学评价
３. 异面直线的定义


２．异面直线的特点


３．画法：平面衬托法

b

b

a
a


b


a

４．异面直线的判定方法
(1)定义法
(2)判定定理
(3)反证法
５．异面直线所成的角
(1)定义：

(2)范围：
６．异面直线的垂直

【精典范例】
例1：已知ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体.
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听课随笔

(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC
1
是异面直线;
(2)求异面直线AA
1
与BC所成的角;
(3)求异面直线BC
1
和AC所成的角.






见书２７理１
















A B
A
1

D
D
1

B
1

C
C
1

思维点拔：

(1) 证两直线异面的方法①定义法②反证法③判定定理
(2) 求两条异面直线所成的角的方法：①作②证③求
追踪训练

１．指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1)过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线；
(2) 过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直．
答：（１）正确，（２）错

２．在 长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中， 那些棱所在直线与直线AA
1
是异面直线且互相垂直．
C
1


D
1


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A
1

D
B
1


C

A

B
听课随笔
答：ＣＤ，Ｃ
１
Ｄ
１
，ＢＣ，Ｂ
１Ｃ
１

３．在两个相交平面内各画一条直线，使它们成
(1)平行直线； (2)相交直线；(3)异面直线．


b

a



b

a



b

a

４．在空间四边形ABCD中, E、F分别是AB、
求AD与BC所成角的大小.






A


E

D F


H C

B

解析：取BD的中点Ｈ，利用中位线性质，有
AD与BC所成角，可以求得∠EHF＝９０°

【选修延伸】
已知A是△BCD所在平面一点，
中点，
(1)求证直线AE与BD异面
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为：
CD中点, 且EF=5 , 又AD=6, BC=8.
EHAD,FHBC, ∠EHF 或其补角为
AB=AC=AD=BC=CD=DB，E是BC的

(2)求直线A E与BD所成角的余弦值



A





B D


C
(1)反证法
( 2)取ＣＤ的中点Ｆ，连接ＥＦ，可达到平移的目的．
直线AE与BD所成角的余弦值
3
6






第9课时 直线与平面的位置关系
一、【学习导航】
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直线和平面相交


直线在平面内

直线和平面的位置关系
直线和平面平行的定义


直线和平面平行的判定

直线和平面平行


学习要求


1.掌握直线与平面的位置关系.
２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．
.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．
【课堂互动】
自学评价
４. 直线和平面位置关系

位置关系 符号表示 图形表示

直线a在平面α内

直线a在平面α相交

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听课随笔

直线a在平面α相交
２．直线在平面内是指：

３．直线和平面平行的判定定理


符号表示

说明：本章中出现的判定定理的证明不作要求
４．直线和平面平行的性质定理


已知：

求证：
见书31页



直线和平面平行的性质


直线和平面平行的判定

与性质定理的应用



证明：

















【精典范例】
例1：如图, 已知E、F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB、AD中点, 求证: EF平面BCD.

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A
E
F
D B

见书31页例１








追踪训练一
已知正方形ABCD所在的平面和正方形ABEF所在的平面相交与AB，M、N分别是AC、BF上的
点且AM=FN
求证：MN平面BCE

F E


N

A

B

M

C
D

证明：作NPAB交BE于点P
作NQAB交BC于点Q
MQMCNPNB
=,=

ABACEFBF
而AC=BF,AM=FN,
∴MC=NB,有AB=EF
∴MQNP,有MQ=NP
∴四边形MQNP是平行四边形．
∴MNPQ,而PQ
?
平面BCE
∴MN平面BCE

例2.一个长方体木块如图所示, 要经过平面A
1
C
1
内一点P和棱BC将木块锯开, 应怎样画线?



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D
1

A
1

·
P
B
1

C
1

D
C
B
A

听课随笔


见书31页例２

例3.求证: 如果三个平面两两相交于直线, 并且其中两条直线平行, 那么第三条直线也和它们平
行.
已知：

求证：
见书31页例３












[思考]: 如果三个平面两两相交于三条直线, 并且其中的两条直线相交, 那么第三条直线和这
两条直线有怎样的位置关系?


















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追踪训练二

1.指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1).如果一条直线不在平面内，那么这条直线就与这个平面平行；错
(2).过直线外一点有无数个平面与这条直线平行；正确
(3).过平面外一点有无数个直线与这条平面平行。正确
2.已知直线a,b和平面α，下列命题正确的是 （Ｄ ）
A.若aα,b
?
α则ab
B. 若aα,bα则ab
C. 若ab,b
?
α则aα
D. 若ab,b
?
α则aα或b
?
α
3.在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的面中：
(1)与直线AB平行的平面是：面A
1
C
1
, 面DC
1

(2)与直线A A
1
平行的平面是：面BC
1
, 面DC
1

(3)与直线AD平行的平面是：面BC
1
, 面A
1
C
1



D
1

C
1



A

1

D
B
1

第10课时 直线与平面垂直
一、【学习导航】
知识网络

直线和平面垂直的定义


直线和平面垂直
直线和平面垂直的判定



直线和平面垂直的性质


直线和平面垂直的判定

与性质定理的应用


学习要求


1.掌握直线与平面的位置关系.
２．掌握直线和平面平行的判定与性质定理．
.3.应用直线和平面平行的判定和性质定理证明两条直线平行等有关问题．
【课堂互动】
自学评价
５. 直线和平面垂直的定义:

符号表示：
垂线：
垂面：
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听课随笔
听课随笔

垂足：
思考：在平面中，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，那么在空间。
(1)过一点有几条直线与已知平面垂直？
答：
(2)过一点有几条平面与已知直线垂直？
答：
２．定理：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
３．点到平面的距离：


４．直线与平面垂直的判定定理：


符号表示

５．直线和平面垂直的性质定理：







已知：

求证：
证明：见书34






６．直线和平面的距离：


【精典范例】
例1：.求证: 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条直线也垂直于这个平面.
证明：见书34例1





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思维点拔：
要证线面垂直，只要证明直线与平面内的两条相交直线垂直，或利用定义进行证明。
Rt△ABC所在平面外一点Ｓ，且SA=SB=SC
(1)求证：点Ｓ在斜边中点Ｄ的连线SD⊥面ABC
(2)若直角边BA=BC，求证：BD⊥面SAC










追踪训练

如图, 已知PA⊥α, PB⊥β, 垂足分别为A、B, 且α∩β= l , 求证: AB⊥l .






α
A
β
l
B
P

证明：略








例2.已知直线l 平面α , 求证: 直线l各点到平面α的距离相等.
证明：见书34例2





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听课随笔




例3.已知正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
.
(1)求证: A
1
C⊥B
1
D
1

(2)若M、N分别为B
1
D
1
与C
1
D上的点, 且
MNA
1
C .

A
D


B
C


A
1
N

D
1

M

B
1
C
1

分析：(1)可先证B
1
D
1
⊥面A
1
CC
1，
从而证出结论．
(2)可证MN和A
1
C都垂直于面BDC
1
, 从而利用性质














点评：要证线线平行均可利用线面垂直的性
追踪训练

1.已知直线l,m ,n与平面α，指出下列命题
(1)若l
⊥
α,则l与α相交；
(2)若m
?
α,n
?
α,l
⊥
m,l
⊥n
,则l< br>⊥
α；
(3)若lm,m
⊥
α,n
⊥
α,则lm
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MN⊥B
1
D
1
, MN⊥C
1
D , 求证:
证出结论

质。
是否正确，并说明理由：

2.某空间图形的三视图如图所示，试画出它的直观图，并指出其中的线面垂直关系．















3.在
△ABC中，∠Ｂ＝90°，S A⊥面ABC，AM⊥SC，AN⊥SB垂足分别为N、M，
求证：AN⊥BC，MN⊥SC


S

M



N
C

A


B


略证：BC⊥面SAB
?
BC⊥AN
再证AN⊥面SBC
?
AN⊥SC
AM⊥SC
?
SC⊥面ANM
?
MN⊥SC

听课随笔
听课随笔
第11课时 直线与平面垂直(2)
一、【学习导航】
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直线和平面所成角



斜线在平面内射影的定义
直线和平面所成角的定义
学生质疑
直线和平面所成角的求法




教师释疑
学习要求


1.了解直线和平面所成角的概念和范围;
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2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
【课堂互动】
自学评价
６. 斜线的定义:
斜足定义:
斜线段定义:
２．直线和平面所成角的定义：

线面角的范围：
【精典范例】 < br>例1：.如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a
?α，求证：a
⊥BC
A
a
α
C
B

证明：见书3６例3




例2.求证: 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直, 那么这条直线就和这条直线在这个平
面内的射影垂直.
已知：

求证：
证明：
证明：略




点评：
上述两题是三垂线定理及其逆定理，今后在证明其它问题时可直接使用。
例３.如图, ∠BAC在平面α内, 点P
?
α, ∠PAB=∠PAC . 求证: 点P在平面α上的射影在∠BAC的
平分线上.
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α
E
A
F
O
C
P
B
证明：见书3６例４









思考：你能设计一个四个面都是直角的四面体吗?
思维点拨：

要证线面垂 直，通常是从线线垂直来证明，而要证明线面垂直，通常又是从线线垂直来证明，即线线垂直
和线面垂直 互相转化．
追踪训练

1.如图，
∠
BCA=90°，PC
⊥
面ABC，则在三角形ABC，三角形PAC的边所在的直线中：
(1)与PC垂直的直线有AC,AB,BC
(2)与AP垂直的直线有BC




P
C
B
A

2.若直线a与平面
α
不垂直，那么在平面内
α
与直线a垂直的直线 (B )
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面
α
内的所有直线
D.不存在
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3.从平面外一点向平面引斜线段，如果斜线段长相等，那么它们在平 面内的射影相等吗？
答：相等
4.在
正方体ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，Ｐ为DD
１
的中点，O为底 面ABCD的中心，
求证：B
１
O⊥平面PAC
点拨：使B
听课随笔
１
O垂直与平面ABC内的两条相交直线．
















【选修延伸】
Ｒt△ABC的斜边ＢＣ在平面Ｍ内，两直角边和平
０°，求斜边的高ＡＤ和平面Ｍ所成的角



A


B
O

M
C

答：ＡＤ和平面Ｍ所成的角60°














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面Ｍ所成的角分别是４５°和３

总结：要求斜线AD与平面M所成的角，找出斜线ＡＤ在平面Ｍ内的射影是关键．
听课随笔
解题步骤：①作，②证，③求。

追踪训练

在
正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1< br>中，
① 求ＡＤ
１
与平面ABCD所成的角，
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学生质疑

②
求ＡＤ
１
与平面A
1
D
1
CB所成的角


(1) 45°
(2) 30°

教师释疑
听课随笔
第12课时 平面与平面位置关系
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平面与平面的位置关系

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两平面平行
两平面的判定
两平面的性质
两平行平面的距离

两平面相交
学习要求


1.理解并掌握两平面平行, 两平面相交的定义.
2.会画平行或相交平面的空间图形, 并会用符号表示.
3.掌握两个平面平行的判定定理和性质定理, 并能运用其解决一些具体问题.
【课堂互动】
自学评价
７. 两个平面的位置关系

位置关系 两平面平行 两平面相交

公共点
符号表示


图形表示

２．两个平面平行的判定定理：

符号表示：
３．两个平面平行的性质定理：

已知：

求证：
证明：














４．思考：
(1)一个平面内的直线是否平行于另一个平面
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(2)分别在两个平行平面内的两条直线是否平行？

５．两个平行平面间的距离

６．直线和平面的距离：


【精典范例】
例1：如图, 在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
求证: 平面C
1
DB平面AB
1
D
1
.







证明：见书40例1






例2.求证: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面, 那么它也垂直于另一个平面.
证明：见书40例2







例3.求证: 如果一条直线垂直于两个平面, 那么这两个平面平行．.
已知

求证：
证明：仿例2证

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D
A
D
A
B
C
B
C

思维点拨：

两个平面平行的判定定理和性质定理体现了在一
面平行之间可以互相转化．
追踪训练

1.判断下列命题是否正确，并说明理由：
(1).若平面α内的两条直线分别与平面β平
(2) 若平面α内的有无数条直线与平面β
(3)平行于同一条直线的两个平面平行；
(4)过已知平面外一点，有且仅有一个平面与
(5) 过已知平面外一条直线，必能作出与已
2.六棱柱的表面中，互相平行的面最多有多

3.如图，设E,F,E
1
,F
1
分别是长方体
AB,CD,A1
B
1
,
C
1
D
1
的中点，
求证：平面ED
1
平面BF
1


D
1

F
1
C
1



A
B
1

1

E
1


D
F
C

A

E
B
证明：略




4.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相

证明：略



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听课随笔
定条件下，线线平行，线面平行，面
行，则α与β平行；
平行，则α与β平行；
已知平面平行；
知平面平行的平面。
少对？
ABCD-A
1< br>B
1
C
1
D
1
的棱
等。

第13课时 二面角
一、【学习导航】
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定义

二面角
定义

定义法


二面角的平面角

确定方法
垂面法

三垂线定理
学习要求


1.理解二面角及其平面角的概念
2.会在具体图形中作出二面角的平面角，并求出其大小．
【课堂互动】
自学评价
８. 二面角的有关概念
(1)．半平面：
(2).二面角：
(3).二面角的平面角：

(4).二面角的平面角的表示方法：

(5).直二面角：
(6).二面角的范围：
2.二面角的作法：
(1)定义法
(2)垂面法
(3)三垂线定理
【精典范例】
例1：下列说法中正确的是 （D ）
A.二面角是两个平面相交所组成的图形
B.二面角是指角的两边分别在两个平面内的角
C.角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的平面角
D.二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱.
例２如图, 在正方体ABCD-A1
B
1
C
1
D
1
中:
(1)求二面角D
1
-AB-D的大小;
(2)求二面角A
1
-AB-D的大小




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听课随笔

见书43例1
(1) 45°
(2) 90













A
A
1

D
1

B
1

D
B
C
1

听课随笔
C
思维点拨

要求二 面角的平面角，关键是根据图形自身特点找出二面角的平面角，主要方法有：定义法，垂
面法，三垂线定 理法．步骤为作，证，求．


例３在正方体ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
中，求平面A
1
BD与平面C< br>1
BD的夹角的正弦值．
点拨：本题可以根据二面角的平面角的定义作出二面角的平面角．







角．
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D
1

A
1

D
A
B
B
1

C
1

C
分析：取BD的中点O ，连接A
1
O,C
1
O，则∠A
1
O C
1
为平面A
1
BD与平面C
1
BD的二面角的平面

答 ：平面A
1
BD与平面C
1
BD的夹角的正弦值









1

3
听课随笔
追踪训练

1.从一直线出发的三个半平面，两两所成的二面角均等于θ，则θ=60
°

2.矩形ABCD中，AB=3,AD=4,PA
⊥面
ABCD，且
4
3< br>，则二面角A-BD-P的度数为 30
°
PA=
5
3.点A为 正三角形BCD所在平面外一点，且A到三
角形三个顶点的距离都等于正三角形的边长，求
二面 角A-BC-D的余弦值.
1
答：
3




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第14课时 平面与平面垂直
α⊥β的判定
α⊥β的判定
α⊥β的定义
性质１
α⊥β的性质
性质２
α⊥β的判定和性质
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学习要求


1.掌握两平面垂直的定义
2.掌握两个平面垂直的判定与性质定理，并会用这两个定理证明一些问题．
【课堂互动】
自学评价
1.两个平面互相垂直的定义：

2.两个平面互相垂直的判定定理：

符号表示：
３.两个平面互相垂直的性质定理：

已知：

求证：
证明：





【精典范例】
例1 ：在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 求证: 平面A
1
C
1
CA⊥面B
1
D
1
DB .






证明：见书44例2








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D
1

A
1

D
A
B
B
1

C
1

C

思维点拨

证明面面垂直的方法：
(1).利用两平面垂直的定义，作出两相交平
面所成二面角的平面角，并求其大小为90°
(2).利用判定定理，在一个平面内找一条直线垂直于另一个平面．
例２.求证: 如果两个平面互相垂直, 那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平
面内.
已知：

求证：
证明：见书45例3









例３：如图, 在四棱锥P- ABCD中, 底面ABCD是菱形，∠ＤＡＢ＝60°,PD⊥平面ABCD，PD=AD,点E
为A B中点，点F为PD中点，
求证：(1)平面PED⊥平面PAB
(2)求二面角F- AB-D的正切值．






A


证明：（１）略．
（２）
E
B
F
D
C
P
3

3
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追踪训练

1.
判断下列命题是否正确，并说明理由：
①若α⊥γ, β⊥γ, 则αβ；错
②若α⊥β, β⊥γ, 则α⊥γ；错
③若αα
1
, ββ
1
, α⊥β, 则α
1
⊥β
1
，
正确
2. 已知PA⊥平面ABC, AB是⊙O的直径, C是⊙
面PBC .

P


C


A
O
B

证明：略．




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听课随笔
O上的任一点. 求证: 平面PAC⊥平

第15课时 平面与平面的位置关系习题课
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两平面的判定与性质


两平面的位置关系
二面角的求法
综合应用


面面垂直的判定与性质


学习要求


1. 掌握面面平行与垂直的判定与性质定理及其应用；
2.掌握求二面角的方法；
3.能够进行线线、线面、面面之间的平行（或垂直）的相互转化。
【课堂互动】


【精典范例】
例1：如果三个平面两两垂直, 求证：它们的交线也两两垂直。
已知：

求证：
证明：略













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听课随笔

例２．如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, E,F分别是BB
1
,CD的中点
求证: 平面A
1
C
1
CA⊥面B
1
D
1
DB .
(1).求证：AD⊥D
1
F
(2).求AE与D
1
F所成的角
(3).求证：面AED⊥面A
1
F D
1








证明：（１）略
（２）９０°
（３）略．










A
A
1

D
F
D
1

B
1

E
B
C
C
1

思维点拨

解立体几何综合题，要灵活掌握线线，线 面，面面平行与垂直关系的证明方法,以及它们之间的相互转化;
求线面角,面面角关键是利用线面垂直 、面面垂直的性质作出所求角。
【选修延伸】
1.如果直角三角形的斜边与平面α平行, 两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ
（ Ｄ ）
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1
和θ
2
, 则

A. sin
2
θ
1
+sin
2
θ
2
≥1
B. sin
2
θ
1
+sin
2
θ
2
≤1
C. sin
2
θ
1
+sin
2
θ
2
>1
D. sin
2
θ
1
+sin
2
θ
2
<1
２. 如图, 在四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD是正
E是PC中点.
(1)证明: PA平面EDB
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值；
听课随笔
方形, 侧棱PD⊥底面ABCD, PD=DC,

P

E

C B


D
A


(1)略证:连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，证OEPA
(2)
15
5

(3)
2

















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(3).
求二面角E-BD-C的正切值。

追踪训练

1.给出四个命题:
①AB为平面α外线段, 若A、B到平面α的距离相等, 则ABα;
②若一个角的的两边分别平行于另一个角的两边, 则这两个角相等;
③若直线a 直线b , 则a平行于过b的所有平面;
④若直线a 平面α, 直线b 平面α, 则a b ,
其中正确的个数是 （A ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2. a , b是异面直线, P为空间一点, 下列命题:
①过P总可以作一条直线与a、b都垂直;
②过P总可以作一条直线与a、b都垂直相交;
③过P总可以作一条直线与a、b之一垂直与另一条平行;
④过P总可以作一平面与a、b同时垂直;.
其中正确的个数是 ( A ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.如图，PA⊥平面ABCD,ABCD,BC⊥AB,且AB=BC=PD=
(1)求PB与CD所成的角
(2)求E在PB上，当Ｅ在什么位置时，PD平面ACE；
(3).求二面角E- AC- B的正切值。
解答：（１）４５°
（２）
1
CD ,
2
EB1
=
，即Ｅ为ＢＰ的三等份点．
EP2
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（３）
2
2


听课随笔



P



C
B



D
A










第16课时 空间几何体的表面积(1)
一、【学习导航】
知识网络


直棱柱 定义及侧面积公式



空间多面体
正棱锥
定义及侧面积公式
关系


正棱台
定义及侧面积公式

学习要求


1.理解棱柱棱锥棱台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单多面体的表面积.
【课堂互动】
自学评价
1.侧面展开图:见书中（以下同）．

2.直棱柱：
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听课随笔

3.直棱柱侧面积公式：

4.正棱柱：

5.正棱锥：

6.正棱锥侧面积公式：

7.正棱台：

8.正棱台侧面积公式：

9.三个公式之间的关系：

【精典范例】

例1：一个正六棱柱的侧面都是正方形,底面边长为a,求它的表面积.
【解】
侧面积＝
6a

底面积＝
2?6?
2
3
2
a?33a
2

4
所以表面积为
(6?33)a
2
．





例2：设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶, 高是0.85m , 底面的边长是1.5m , 制造这种塔顶需要多少平方米
铁板? (保留两位有效数字)
【解】


见书中．









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思维点拨
记清记准各种侧面积公式，然后结合几何体性质解题．
追踪训练
1．下列图形中，不是正方体的展开图的是 （ Ｃ ）




Ａ Ｂ




Ｃ Ｄ
２．如图，Ｅ，Ｆ分别为正方形ＡＢＣＤ 的边ＢＣ，ＣＤ的中点，沿图中虚线折起来，它能围成怎样的几
何体？

Ａ





Ｂ
Ｅ
Ｃ
Ｄ
Ｆ
答案：三棱锥（其中有一条侧棱垂直于底面）．



３．已知正四棱柱的底面边长为３，侧面的对角线长为
35
，则这个正四棱柱的侧面积为 72 ．










４．一个正三棱锥的侧面都是直角三角形, 底面边长为a , 求它的表面积.

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略解:

侧面 积=
1
'
3
2
3
2
ch?a
,底面积=< br>a

24
4
听课随笔 听课随笔
所以表面积为



3?3
2
a
.
4
５．一个正六棱台的两个底面的边长分别等于8cm
求它的侧面积.

略解:
侧面积=
和18cm , 侧棱长等于13cm ,
118?8
2
(6?8?6?18)?13
2
?()

22
2
=936
cm











第17课时 空间几何体的表面积(2)
一、【学习导航】
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空间旋转体



圆柱
圆锥
圆台
定义及侧面积公式
定义及侧面积公式
定义及侧面积公式
关系
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学习要求


1． 理解圆柱圆锥圆台的侧面积公式的推导。
2.会求一些简单旋转体的表面积.
【课堂互动】
自学评价
1. 圆柱侧面积公式：见书中（以下同）．

２. 圆锥侧面积公式：

３. 圆台侧面积公式：

４. 三个公式之间的关系：


【精典范例】

例1：有一根长为5cm , 底面半径为1cm的圆柱形铁管, 用一段铁丝在铁管上缠绕4圈, 并使铁丝的
两个端点落在圆柱的同一母线的两端, 则铁丝的最短长度为多少厘米? (精确到0.1cm)
【解】



见书．








例2：(1)等边圆柱的母线长为4,则其等边圆
柱的表面积为
24
?
．
(2) 等边圆锥的母线长为4,则其等边圆锥的表面积为
12
?
．
(3) 圆台上 、下底面的半径分别为１和３，圆台高为２，则其圆台的表面积为
(10?82)
?
．


例3. 已知一个圆锥的底面半径为R , 高为h , 在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积;
(2)x为何值时, 圆柱的侧面积最大? 并求出最大值.
解：（１）设圆锥底面半径为r,则
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rh?xh?x
?R
得
r?
Rhh
h?x
R
所以侧面积＝
2
?
?x?
h
2
?
R
(hx?x
2
)
＝
h
h
?
Rh
（２）由（１）知，当
x?
时，侧 面积最大，为．
2
2



思维点拨

1．空间问题平面化，会用侧面展开图解题．
２．记清记准圆柱圆锥圆台的侧面积公式．
追踪训练

1． △ABC的三边长分别为AC=3 , BC=4 , AB=5 , 以AB所在直线为轴, 将此三角形旋转一周, 求所
得旋转体的表面积.

答案：表面积＝


２．圆锥形烟囱帽的底半径是40cm , 高是30cm , 已知每平方米需要油漆150g , 油漆50个这种烟囱
帽(两面都漆), 共需油漆多少千克?(精确到1kg)

84
?
．
5
?
cm
简答：一个圆锥侧面积＝
2000
50个双面的 面积为
20
?
(m
2
)

共用油漆=
20
?
?150g?9.42kg

答共需10kg.

３．圆台的侧面积为Ｓ，其上底面、下底面的半径分别为r和R, 求证：截得这个圆台的圆锥的侧面< br>2
R
2
S
积为
2
．
2
R-r

法基本量证略.



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【选修延伸】
侧面积综合题选讲
四棱锥P—ABCD的底面是面积为9的矩形，PA⊥平面ABCD，侧面PBC、侧面PDC与
底面 所成的角分别是60°和30°，求四棱锥的全面积。

思路：:先证后算．把四个侧面三角形的面积求出后再与底面积相加即可．
答案：全面积＝
18?93
．




思维点拨

在综合题中，遇到的不一定就是能直接套用公式的几何体．于是要利用几何 体的性质与线
面关系来解决问题．这就要求我们不但要发展定势思维，而且还要发展发散思维．本题中所 用
方法就是比较原始的方法，即把几何体各个面的面积求出后相加来求出几何体的表面积．
追踪训练

正三棱台上、下底面边长分别为1，3，侧面积为
43
， 求它的侧面与下底面所成二面角
的大小．
答案；
60
?




第18课时 空间几何体的体积(1)
一、【学习导航】
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柱体 棱柱及圆柱体积公式


锥体
棱锥及圆锥体积公式
关系

空间几何体

台体
棱台及圆台体积公式
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听课随笔
听课随笔

球体
球体积公式
学习要求


1.理解柱体锥体台体的体积公式的推导．
2.会求一些简单几何体的体积.

【课堂互动】
自学评价
1.长方体的体积公式:见书中（以下同）．


2.柱体体积公式


3.锥体体积公式


4.台体体积公式


5.柱体,锥体,台体体积公式之间的关系:


6.球体体积公式






(祖暅原理:两等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等)
【精典范例】

例1：有一堆相同规格的六角螺帽毛坏共重5.8kg , 已知底面六边形长是12mm , 高是10mm , 内孔直
径是10mm, 那么约有毛坯多少个? (铁的比重是7.8gcm
3
)
【解】



见书．（251个）






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例2：例2.（P
56
例2.）如图（见书中）是一个奖杯的三视图（单位：cm） ，试画出它的直观图，并计
算这个奖杯的体积（精确到0.01cm
3
）
【解】



3
见书．(1826.76 cm)














追踪训练

1．正三棱锥底面边长为２，侧面均为直角三角形，此三棱锥的体积为 （ C ）
Ａ
2
2
Ｂ
3
2

Ｃ





2
Ｄ
33

3
２．已知正三棱台的两个底面的边长分别等于１和３ , 侧面积为
63
, 求它的体积.。
解:设棱台斜高为
h
, 棱台高为
h
．
则
63
＝
'
1
(3?9)h
'

2
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得
h
＝
3

又
(h)?h?['22
'
3
(3?1)]
2

6
听课随笔
听课随笔
得
h
＝
26

3
1263
??(1?3?9)

334
13
2
．
6
所以
V?
＝










３．三个球的半径的比是1 : 2 : 3 , 求证: 其中最
的体积之和的3倍.

证明：设三个球半径分别为
则最大球体积＝
36
?
?r
．
3
大的一个球的体积是另两个球
r,2r,3r
．
32
?
?r
3

3
4
3
最小球体积＝
?
?r
．
3
中等球体积＝
于是知:
最大球体积＝3(中等球体积+最小球体积)
第19课时 空间几何体的体积(2)
一、【学习导航】
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空间几何体

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球
多面体
旋转体
表面积、体积公式
体积公式
体积公式
综合运用

学习要求


１．理解球的表面积公式的推导。
2.会求一些球的组合体中的面积与体积的问题.
【课堂互动】
自学评价
球的表面积公式：
S?4
?
R
．






【精典范例】

例1：已知一个正四面体内接在一个表面积为36π的球内, 求这个四面体的表面积和体积.
【解】

设球半径为Ｒ，正四面体棱长为
a
．
则Ｒ＝３ ，且
R?(
2
2
3
2
6
a)?(a?R)
2

33
得
a?
26
R?26

3
3
2
a?243

4
所以表面积＝４
?
体积＝






13
2
6
?a?a?83
．
343
注：棱长为a的正四面体的外接球的半径Ｒ＝


66
a
，内切球的半径r=
a
.
44
例2：已知上、下底半径分别为r、R的圆台有一内切球,
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(1) 求这圆台的侧面积S
1

(2) 求这圆台的体积V .
(3) 求球的表面积与体积．
【解】
(1) S
1
=
?
(r?R)
2

(2)由于圆台高
h?(R?r)
2
?(R?r)
2
?2Rr

所以 体积＝
2
?
3
Rr(R
2
?Rr?r
2
)

（３）球的表面积＝
4
?
Rr

球的体积＝
4
3
?
RrRr
．








思维点拨

一些重 要结论要是能记住那将是非常好的事情．如正四面体外接球半径、内切球半径与正
四面体棱长的关系式。






追踪训练
1. P、A、B、C为球面上的四个点, 若PA、PB、PC两两互相垂直, 且PA=3cm 、PB=4cm、
PC=6cm , 求这个球的表面积.


答案：球半径Ｒ＝
61
2
?

所以球的表面积为
61
?
cm
2

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听课随笔

2.正方体, 等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱), 球的体积相等, 则哪一个表面积最小?

思路：设三种几何体的体积为Ｖ．
则正方体棱长a=
3
V

所以正方体的表面积＝6
a
2
=
3
216?
3
V
2

等边圆柱的底面半径
r?
3
V
2
?
.
等 边圆柱的表面积＝
3
54
?
?
3
V
2

球半径R=
r?
3
3V
4
?

球的表面积＝
3
36
?
?
3
V
2

所以:
正方体的表面积
?
等边圆柱的表面积
?
球的表面积.


第20课时 立体几何体复习
一、【学习导航】
知识网络


侧面积与体积



多面体 旋转体(包括球)


空间几何体


基本元素(点,线,面)


直线与直线
直线与平面 平面与平面
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听课随笔

学习要求


1.温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难 点，再现注意点，达到巩固与知新的效果。
2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简 单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何
体的面积与体积的问题.

【课堂互动】
自学评价
1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：

2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：
.
3.空间两直线的位置关系(3种关系)：

4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：

5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：

6.空间几何体的表面积和体积公式.

7.三种角与六种距离的简单计算方法：

8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫 视图 ．光线自物体的前面向后投射所得的投影
称为 主视图 ，自上向下的称为 俯视图 ．自左向右的称为 左视图 ．

【精典范例】

例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．
略证．先写已知，求证，再进行证明．突出使用线面平行的性质与判定定理．








例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：


证明：连ＡＦ交β于Ｋ．连ＢＫ，ＫＥ，ＣＦ，ＡＤ．
由β∥γ得ＢＫ∥ＣＦ．
因α∥β得ＡＤ∥ＫＥ．
所以 ＡＢ／ＢＣ＝ＡＫ／ＫＦ．
ＡＫ／ＫＦ＝ＤＥ／ＥＦ
所以 ＡＢ／ＢＣ＝ＤＥ／ＥＦ．
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ABDE
=

BCEF

例3.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为AC和BD
G BD．
听课随笔
略证：连ＯＧ．易证：
A
1
O?BD
．
又易证
?A
1
OG
为直角三角形．
所以
A
1
O?OG

所以
A
1
O?
面GBD．

例4.四面体ABCD中， AB，BC，BD两两垂直，
直线AD与BE所成角的余弦值为< br>10
10
,求四面体


思路：用作证求角法或建空间直角坐 标系的方法
所以四面体ABCD的体积＝
1
3
?2?4?
8
3
．


例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点, PA、
球的体积为
3
2
?
, 球的表面积为
3
?
.

例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝Ｃ
沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：
（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ
（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．

略证：（１）易证略
（２）作ＣＨ⊥ＤＢ于Ｈ，作ＣE⊥ＤA于
面角的平面角．在直 角三角形ＣＥＨ中可求得
所以所求二面角的大小为
60
?
.
追踪训练

1.已知ab,且c与a,b都相交，求证：a,b,c共面．

易证略
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的交点，G为CC
1
中点 ，求证：A
1
O⊥面
且AB＝BC＝2， E是AC的中点，异面
ABCD的体积．
可求出ＢＤ＝４，
PB、PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则
Ｄ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，
E，连ＨＥ，可 证得∠ＣＥＨ为所求二
sin∠ＣＥＨ=
3
2
,所以∠ＣＥＨ＝
60
?

2.空间四边形ABCD中, AB=CD , 且AB与CD成60°角, E、F分别为AC、BD的中点, 则EF与AB所
成角的度数为
30
?
或60
?
.

3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2, 则
( A )
111
???

abc
114
B
411
112
C D
211
A
4.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14, 则棱台的高为 ( B )
A 3 B 2 C 5 D 4

5. 一个正四面体的所有棱长都为
2
，四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为
( A )
A 3π B 4π
C 5π D 6π

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第二章 平面解析几何初步
一、知识结构
点斜式

斜截式
直线方程的

几种形式
两点式

截距式

直线方程
的一般式

平行于
x
轴

y?b


平行于坐标轴
直

的直线方程
线
平行于
y
轴

x?a



平行
k
1
=k
2


两直线位置关系
l
1
：
y?k
1
x?b
1


相交
k
1
≠k
2


l
2
：
y?k
2
x?b
2

求交点


垂直
k
1
k
2
= -1


点到直线的
距离公式


标准方程：
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2


圆的方程

一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0


(D
2
?E
2
?4F?0)



直线与圆的位置关系 相交、相切、相离



相离、相交、外切、内切、内含
圆与圆的位置关系

空间直角坐标系中点的坐标表示


空间直角坐标系

空间两点间的距离公式

二、重点难点
重点：
直线的斜率和倾 斜角的概念，过两点的直线的斜率的计算公式；直线的方程的几种形式，会根据
已知条件选择恰当的形式 表示直线；两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两条平行线
间的距离；根据斜率判定两直线的 平行或垂直关系，会求两直线的交点坐标；
圆的标准方程与一般方程的概念，会根据条件选择恰当的形 式求圆的方程；能根据给定直线与圆
的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；
会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用距离公式求空间两点间的距离．
难点：
几 种形式的直线方程的推导；圆的标准方程的推导；直线与圆、圆与圆的位置关系中有关问题的
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听课随笔

探索．
第1课 直线的斜率（1）
【学习导航】

知识网络

概念

直线的斜率

计算公式

学习要求


1．理解直线的斜率的概念；
2．掌握过两点的直线斜率的计算公式．
【课堂互动】
自学评价
1．直线的斜率：已知两点
P(x
1,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，如果
x
1
?x
2
,那么，直线
PQ
的斜率为
k?
y
2
?y
1
x
；
2
?x
1
此时 ，斜率也可看成是
纵坐标的增量
横坐标的增量
?
?y
?x
．

【精典范例】
例1：如图，直线
l
1
,l
2
,l
3
都经过点
P(3,2)
，又
l
1
,
2< br>l
3
,l
分别经过点
Q
1
(?2,?1),Q
2
(4,?2)
，
Q
3
(?3,2)
，
试计算直 线
l
1
,l
2
,l
3
的斜率．
【解】设
l
1
,l
2
,l
3
的斜率分别为
k
1
,k
2
,k
3
，
则
k
?1?23< br>1
?
?2?3
?
5
,k
?2?22?2
2< br>?
4?3
??4,k
3
?
?3?3
?0
，
由图可知，
（1）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜（
l
1
），此
时直线倾斜角为锐角；
（2）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾 斜（
l
2
），此时直线倾斜角为钝角；
（3）当直线的斜率为0时，直线与
x
轴平行或重合（
l
3
），此时直线倾斜角为
0
．
例2：已知直线
l
经过点
A(m,2)
、
B(1,m
2
?2)
，求直线
l
的斜率．
【解】当
m?1
时，直线
l
的斜率不存在，此时倾斜角为
90
；
当
m?1
时，
直线
l
的斜率
k?
m
2< br>?2?2
1?m
?
m
2
1?m
．
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听课随笔

点评:运用斜率公式求直 线斜率时，一定要注意公式中
x
1
?x
2
的条件．
例3： 经过点
(3,2)
画直线，使直线的斜率分别为：（1）
分析：根据两点确定一
【解】（1）根据斜率
平移4个单位，再沿
y
沿
x
轴方向向右平移 4
34
；（2）
?
．
45
条直线，只需再确定直线上另一个点的位置．
?
?y3
，斜率 为表示直线上的任一点沿
x
轴方向向右
4
?x
轴方向向上平移3个单 位后仍在此直线上，将点
(3,2)
个单位，再沿
y

轴方向向上平 移3个
（2）∵
?
单位后得点
(7,5)
，即可确定直线．
4?4
?
，
55
方向向右平移5个单位，再沿
y
轴方向向下平移4个单
∴将点
(3,2)
沿
x
轴
位后得点< br>(8,?2)
，即可确定直线．
【选修延伸】
一、直线斜率与三点共线 < br>例4：已知三点
A(a,2),B(3,7),C(?2,?9a)
在一条直线上，求实 数
a
的值．
【解】由题意，
k
AB
?k
BC
，
∴

点评：共线三点中任意两点确定的直线斜率相等．

7?2?9a?72
?
，∴
a?2
或．
3?a?2?39
思维点拔：
任何直线都有倾斜角和斜率吗？
根据直线倾 斜角和斜率的概念，任何直线都有倾斜角．特别地，当直线与
x
轴平行或重合时，倾斜角
为
0
；当直线与
x
轴垂直时，倾斜角为
90
，此时直线斜 率不存在．因此，除倾斜角为
90
的直线外，其
他直线都有斜率．

追踪训练
1.
?ABC
的三个顶点
A(3,2),B(?4,1)
，
C(0,?1)
，写出
?ABC
三边所在直线的斜率：
k
AB
?
1
，
7
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