高中数学必修2知识点总结01 空间几何体

高中数学必修2知识点总结01 空间几何体
几何学是研究现实世界中物体的 形状、大小与位置关系的数学学科，而空间几何体是几何学的重要组
成部分，它在土木建筑、机械设计、 航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用。教材要求：从空间几何
体的整体观察入手，研究空间几何体 的结构特征、三视图和直观图，了解简单几何体的表面积与体积的计
算方法。
一、空间几何体的结构特征
课标要求：
1．利用实物模型、计算机软件观察大量空 间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，
并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的 结构；
2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上 述的
三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；
3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；
要点精讲：
1．柱、锥、台、球的结构特征
由若干个平面多边形围成的 几何体称之为多面体。围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个
面的公共边叫做多面体的棱 ，棱与棱的公共点叫做顶点。
把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体称之 为旋转体，其中定直线称为旋转
体的轴。
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平 行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平
行，由这些面所围成的几何体叫做棱 柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面
叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
注：相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：

棱柱的性质：
①侧棱都相等，侧面是平行四边形；
②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；
④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴 ，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴
叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面 叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都
叫做圆柱侧面的母线。

圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是 有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公 共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公
共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……

正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样 的棱锥叫做
正棱锥。
注：棱锥的性质：
①平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；
③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高 、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构
成四个直角三角形。
圆锥：以 直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫
做圆锥；旋转 轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥
的侧面。

圆锥的性质：
①平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；
②轴截面是等腰三角形；
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台
棱台：用一 个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分
别叫做棱台的下 底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。

正棱台的性质：
①各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；

②正棱台的两个底面以及平行于底面的截面是正多边形；
③棱台经常补成棱锥研究。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分 叫做圆台；原圆锥的底面和截面分
别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。

圆台的性质：
①圆台的上下底面，与底面平行的截面都是圆；
②圆台的轴截面是等腰梯形；
③圆台经常补成圆锥来研究。

圆台和棱台统称为台体。
（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转 一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心
叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直 径叫做球的直径。

注：球的有关问题转化为圆的问题解决。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的长度和宽度；
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；
''
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使
?X
'
OY
=45（或135），
’’’’00
它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
结论：一般地 ，采用斜二测法作出的直观图面积是原平面图形面积的
注：解决两种常见的题型时应注意
1）由几何体的三视图画直观图时，一般先考虑“俯视图”.
2）由几何体的直观图画三视图时，能看见的轮廓线和棱画成实线，不能看见的轮廓线和棱画成虚线。
（2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
4．知识归纳及拓展
（1）几种常凸多面体间的关系
‘
‘
2
倍。
4

（2）一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质

二、空间几何体的表面积和体积
课标要求：
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。

要点精讲：
1．多面体的面积和体积公式

2．旋转体的面积和体积公式

附注：（1）两点的球面距离：
球面上两 点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫
做两点的球面 距离
两点的球面距离公式：（其中R为球半径，θ为A,B所对应的球心角的弧度数）

（2）正四面体的性质
2
设正四面体的棱长为a，则 这个正四面体的全面积：
S
全
=3a
；体积：
V?
2
3
a
；对棱中点连线段的
12
长：
d?
266
a
；内切球半径：
r?a
；外接球半径
R?a
；正四面体内任意一点到 四个面的距离
2124
之和为定值(等于正四面体的高)。
（参考教材：人教版必修2A版）