2018年人教A版高中数学必修2全册教案优化设计精美整理版

新课标人教A版高中数学必修2教案
目 录
第一 章：空间几何体
....................................... .................................................. .................................... 1
1.2.1 空间几何体的三视图（1课时） ................................... .................................................. ................... 3
1.2.2 空间几何体的直观图（1课时） .. .................................................. .................................................. .. 5
1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积..................... .................................................. ................................ 7
§1.3.2 球的体积和表面积 ......................................... .................................................. .................................. 9
第二章 直线与平面的位置关系 ....................................... ........................ 11
§2.1.1 平面 ........ .................................................. .................................................. ..........................................11
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ....................... .................................................. ........................ 13
§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、 平面与平面之间的位置关系 ........................... ............................... 17
§2.2.1 直线与平面平行的判定 ....................................... .................................................. ............................ 19
§2.2.2 平面与平面平行的判定 ....................................... .................................................. ............................ 21
§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 ............................ .................................................. ... 23
§2.3.1直线与平面垂直的判定 ...................... .................................................. .............................................. 25
§2.3.2平面与平面垂直的判定 ............................. .................................................. ....................................... 27
§2、3.3直线与平面垂直的性质 §2、3.4平面与平面垂直的性质 ............ ................................................ 31
本章小结 ...................................... .................................................. .................................................. ............... 33
第三章 直线与方程 ................ .................................................. .............. 35
3.1.1直线的倾斜角和斜率 ............. .................................................. .................................................. ........... 35
3.1.2两条直线的平行与垂直() ............. .................................................. .................................................. ..... 39
3.2.1 直线的点斜式方程 ..................... .................................................. .................................................. .... 43
3.2.2 直线的两点式方程 ...................... .................................................. .................................................. ... 47
3.2.3 直线的一般式方程 ....................... .................................................. .................................................. .. 49
3.3-1两直线的交点坐标 .......................... .................................................. .................................................. .. 53
3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离 ................ .................................................. ......................... 57
3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式 ....................................... ...................................... 59
第四章 圆与方程 ............................................. ......................................... 63
4.1.1 圆的标准方程 ................................. .................................................. .................................................. .. 63
4.1.2圆的一般方程 ............................ .................................................. .................................................. ........ 67
4.2.1 直线与圆的位置关系 ................. .................................................. .................................................. .... 71
4.2.2 圆与圆的位置关系 ...................... .................................................. .................................................. ... 75
4.2.3 直线与圆的方程的应用 ..................... .................................................. .............................................. 79

第一章：空间几何体
1.1.1柱、锥、台、球的结构特征
一、教学目标
1．知识与技能
（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法
（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观
（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点
重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学用具
（1）学法：观察、思考、交流、讨论、概括。
（2）实物模型、投影仪
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．教师提出问题：在我们生活周围中有 不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几
何结构特征如何？引导学生回忆，举例和相互 交流。教师对学生的活动及时给予评价。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展 示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物
体），你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗 ？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知
1．引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2．观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？ < br>3．组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特
征。（1）有两个面互相平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边互相平行。
概括出棱柱的概念。
4．教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5．提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不可以根据不同对棱柱分类？
请列举身 边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些

基本几何体组成的？
6．以类似的方法，让学生思考、讨论、概括 出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以
及表示。
7．让学生观察圆柱，并实物 模型演示，如何得到圆柱，从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆
柱的表示。
8．引导学 生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征，以及相关概念和表示，借助实物模型演
示引导学生思考 、讨论、概括。
9．教师指出圆柱和棱柱统称为柱体，棱台与圆台统称为台体，圆锥与棱锥统称为锥体。
10 ．现实世界中，我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请
列举身边 具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何
体组成的 ？
（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
1．有两个面互相平行，其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱（举反例说明，如图）
2．棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗？
3．课本P8，习题1.1 A组第1题。
4．圆柱可以由矩形旋转得到，圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以由什么图形旋转得到？如何旋转？
5．棱台与棱柱、棱锥有什么关系？圆台与圆柱、圆锥呢？
四、巩固深化
练习：课本P7 练习1、2（1）（2）
课本P8 习题1.1 第2、3、4题
五、归纳整理
由学生整理学习了哪些内容
六、布置作业
课本P8 练习题1.1 B组第1题
课外练习 课本P8 习题1.1 B组第2题
2

1.2.1 空间几何体的三视图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握画三视图的基本技能
（2）丰富学生的空间想象力
2．过程与方法
主要通过学生自己的亲身实践，动手作图，体会三视图的作用。
3．情感态度与价值观
（1）提高学生空间想象力
（2）体会三视图的作用
二、教学重点、难点
重点：画出简单组合体的三视图
难点：识别三视图所表示的空间几何体
三、学法与教学用具
1．学法：观察、动手实践、讨论、类比
2．教学用具：实物模型、三角板
四、教学思路
（一）创设情景，揭开课题 “横看成岭侧看成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实反映出物
体，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图。
在初中，我们已经学习了正 方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），
你能画出空间几何体的三视图吗 ？
（二）实践动手作图
1．讲台上放球、长方体实物，要求学生画出它们的三视图，教师巡 视，学生画完后可交流结果并讨
论;
2．教师引导学生用类比方法画出简单组合体的三视图
（1）画出球放在长方体上的三视图
（2）画出矿泉水瓶（实物放在桌面上）的三视图
学生画完后，可把自己的作品展示并与同学交流，总结自己的作图心得。
作三视图之前应当细心观察，认识了它的基本结构特征后，再动手作图。
3．三视图与几何体之间的相互转化。
（1）投影出示图片（课本P10，图1.2-3）
请同学们思考图中的三视图表示的几何体是什么？
（2）你能画出圆台的三视图吗？
（3）三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

教师巡视指导，解答学生在学习中遇到的困难，然后让学生发表对上述问题的看法。
4．请同学们画出1.2-4中其他物体表示的空间几何体的三视图，并与其他同学交流。
（三）巩固练习
课本P12 练习1、2 P18习题1.2 A组1
（四）归纳整理
请学生回顾发表如何作好空间几何体的三视图
（五）课外练习
1．自己动手制作一个底面是正方形，侧面是全等的三角形的棱锥模型，并画出它的三视图。
2．自己制作一个上、下底面都是相似的正三角形，侧面是全等的等腰梯形的棱台模型，并画出它的
三视 图。
4

1.2.2 空间几何体的直观图（1课时）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。
（2）采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。
2．过程与方法
学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图。
3．情感态度与价值观
（1）提高空间想象力与直观感受。
（2）体会对比在学习中的作用。
（3）感受几何作图在生产活动中的应用。
二、教学重点、难点
重点、难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图。
三、学法与教学用具
1．学法：学生通过作图感受图形直观感，并自然采用斜二测画法画空间几何体的过程。
2．教学用具：三角板、圆规
四、教学思路
（一）创设情景，揭示课题
1．我们都学过画画，这节课我们画一物体：圆柱
把实物圆柱放在讲台上让学生画。
2．学生画完后展示自己的结果并与同学交流，比较谁画的效果更好，思考怎样才能画好物体的直观
图 呢？这是我们这节主要学习的内容。
（二）研探新知
1．例1，用斜二测画法画水平放置的 正六边形的直观图，由学生阅读理解，并思考斜二测画法的关键
步骤，学生发表自己的见解，教师及时给 予点评。
画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确 定，依
次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点 的位置
的画法。强调斜二测画法的步骤。
练习反馈
根据斜二测画法，画出水平放置的正五边形的直观图，让学生独立完成后，教师检查。
2．例2，用斜二测画法画水平放置的圆的直观图
教师引导学生与例1进行比较，与画水平放 置的多边形的直观图一样，画水平放置的圆的直观图，也
是要先画出一些有代表性的点，由于不能像多边 那样直接以顶点为代表点，因此需要自己构造出一些点。
教师组织学生思考、讨论和交流，如何构造出需要的一些点，与学生共同完成例2并详细板书画法。
3．探求空间几何体的直观图的画法

（1） 例3，用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm、3cm、2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图 。
教师引导学生完成，要注意对每一步骤提出严格要求，让学生按部就班地画好每一步，不能敷衍了事。
（2）投影出示几何体的三视图、课本P15图1.2-9，请说出三视图表示的几何体？并用斜二测画 法画
出它的直观图。教师组织学生思考，讨论和交流完成，教师巡视帮不懂的同学解疑，引导学生正确把 握图
形尺寸大小之间的关系。
4．平行投影与中心投影
投影出示课本P17图1. 2-12，让学生观察比较概括在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图
形的各自特点。
5．巩固练习，课本P16练习1（1），2，3，4
三、归纳整理
学生回顾斜二测画法的关键与步骤
四、作业
1．书画作业，课本P17 练习第5题
2．课外思考 课本P16，探究（1）（2）
6

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积
一、教学目标
1、知识与技能
（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
2、过程与方法
（1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。
（2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。
3、情感与价值
通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习
的积极性。
二、教学重点、难点
重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算
难点：台体体积公式的推导
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材，自 主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何
体的特征，从而更好地完成本节课的教 学目标。
2、教学用具：实物几何体，投影仪
四、教学设想
1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪
些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。
（2）教师设疑：几何体的表 面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是
怎样的？你能否计算？引入本节内 容。
2、探究新知
（1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图







（2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？
（3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。
3、质疑答辩、排难解惑、发展思维
（1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: S
圆台表面积
?
?
（r'
2
?r
2
? r'l?rl)

r为上底半径 r为下底半径 l为母线长
（2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
1

（3）教师引导学生探究：如何把一个三棱柱分 割成三个等体积
加深学生对等底、等高的锥体与柱体体积之间的关系的了解。如图：



（4）教师指导学生思考，比较柱体、锥体，台体的体积公式之间存在的关系。
的棱锥？由此

(s’,s分别我上下底面面积，h为台柱高)
4、例题分析讲解
（课本）例1、 例2、 例3
5、巩固深化、反馈矫正
教师投影练习
1、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为 。
2
（答案：
3a
?
m
）

3
?< br>2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台 的
3
体积。 （答案：2325cm）
6、课堂小结
本 节课学习了柱体、锥体与台体的表面积和体积的结构和求解方法及公式。用联系的关点看待三
者之间的关 系，更加方便于我们对空间几何体的了解和掌握。
7、评价设计
习题1.3 A组1.3
8

§1.3.2 球的体积和表面积
一. 教学目标
１． 知识与技能
错误！未找到引用源。通过对球的体积和面积公式的推导，了解 推导过程中所用的基本数学思想方法：
“分
割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
错误！未找到引用源。能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
错误！未找到引用源。培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
２． 过程与方法
通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式Ｖ＝
4
πR
3
和面积公式Ｓ＝４π
3
R
2
的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为 球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。
３． 情感与价值观
通过学习，使我们对 球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空
间想象能力，增强了我们探索 问题和解决问题的信心。
二. 教学重点、难点
重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
三. 学法和教学用具
１． 学法：学生通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值 的、
再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤。
２． 教学用具：投影仪
四. 教学设计
（一） 创设情景
错误！未找到引用源。教师提出问题：球既没有 底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平
面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生 进行思考。
错误！未找到引用源。教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体 积和面
积？激发学生推导球的体积和面积公式。
（二） 探究新知
错误！未找到引用源。．球的体积：
如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到 很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之
和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以 它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体
积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割 ——求和——化为准确和”的方法来
进行。
步骤：
第一步：分割
如图 ：把半球的垂直于底面的半径ＯＡ作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半
球切割成n个 “小圆片”，“小圆片”厚度近似为
如图：
R
，底面是“小圆片”的底面。
n
R
?
R
3
i?1
2
[1?()]　　(i?1 、２??n)
得
V
i
?
?
?r
i
??< br>nnn
2

第二步：求和
1< br>(1?
1
n
)(2?
n
)
Ｖ
半球
＝ v
1
?v
2
?v
3
???v
n
?
?
R[1?]

6
3
第三步：化为准确的和
当n→∞时，
n
→0 （同学们讨论得出）
所以
Ｖ
半球
＝
?
R
3
1
(1?
1?22
)?
?
R
3

63
Ｖ
球
?
得到定理：半径是Ｒ 的球的体积
4
?
R
3

3
3
练习：一种空 心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9gcm)
错误！未找到引用源。．球的表面积：
球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的 函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推
导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所 以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化
为准确和”方法推导。
思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？
2
半径为R的球的表面积为 Ｓ＝４πR
练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3 、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的
表面积是 。 （答案50元）
（三） 典例分析
课本P
47
例4和P
29
例5
（四） 巩固深化、反馈矫正
错误！未找到引用源。正方形的内切球和外接球的体积的比为 ，表面积比
为 。
（答案：
33:1
； 3 ：1）
错误！未找到引用源。在球心同侧有相距9c m的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm和400
22
πcm，求球的表面积。 （答案：2500πcm）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性
质求球的半径
2
（五） 课堂小结
本节课主要学习了球的体积和 球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解
了推导中的“分割、求近似和，再由近 似和转化为准确和”的解题方法。
（六） 评价设计
作业 P
30
练习1、3 ，B（1）
10

第二章 直线与平面的位置关系
§2.1.1 平面
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）利用生活中的实物对平面进行描述；
（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；
（3）掌握平面的基本性质及作用；
（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；
（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值
使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、平面的概念及表示；
2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读 教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的
教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板
四、教学思想
（一）实物引入、揭示课题
师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等， 都给我们以平面的印象，你们能举出更
多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教 师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、平面含义
师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的 平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，
几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示
师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）
之后 教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边
0< br>形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长（如图）

D C

α

A B

平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α 、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶
点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面ABCD等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片）

β
β




α
α

·B

·A

课本P41 图 2.1-4 说明
平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
点A在平面α内，记作：A∈α
点B在平面α外，记作：B
?
α
α
2.1-4
3、平面的基本性质
教师引导学生思考教材P41的思考题，让学生充分发表自己的见解。
师：把一把直尺边缘上 的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学
生归纳出以下公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（教师引导学生阅读教材P42前几行相关内容，并加以解析）
符号表示为
A∈L
A
B∈L => L α

α
·

L
A∈α
B∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等……
引导学生归纳出公理2
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
A B
·

α
·

C
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
·

使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
教师用正（长）方形模型，让学生理解两个平面的交线的含义。
引导学生阅读P42的思考题，从而归纳出公理3
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
β
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
P
α

·

L
4、教材P43 例1
通过例子，让学生掌握图形中点、线、面的位置关系及符号的正确使用。
5、课堂练习：课本P44 练习1、2、3、4
6、课时小结：（师生互动，共同归纳）
（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？
7、作业布置
（1）复习本节课内容；
（2）预习：同一平面内的两条直线有几种位置关系？


12

§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法
（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；
（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值
让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点
重点：1、异面直线的概念；
2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具
1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面 直线的概念：不同在任何一个平面内的
两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）
（二）讲授新课
1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：



2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直 线互相平行。在空间中，
是否有类似的规律？
组织学生思考：
长方体ABCD-A'B'C'D'中，
BB'∥AA'，DD'∥AA'，
BB'与DD'平行吗？
生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
=>a∥c
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
（2）例2（投影片）
例2的讲解让学生掌握了公理4的运用
（3）教材P47探究
让学生在思考和交流中提升了对公理4的运用能力。
3、组织学生思考教材P47的思考题

（投影）





让学生观察、思考：
∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？
0
生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180
教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。
4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。
（1）师：如图，已知 异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的
锐角（或直 角）叫异面直线a与b所成的角（夹角）。

（2）强调：
① a'与b'所成的 角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两
直线中的一条上；
?
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
2
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
（3）例3（投影）
例3的给出让学生掌握了如何求异面直线所成的角，从而巩固了所学知识。
（三）课堂练习
教材P49 练习1、2
14

充分调动学生动手的积极性，教师适时给予肯定。
（四）课堂小结
在师生互动中让学生了解：
（1）本节课学习了哪些知识内容？
（2）计算异面直线所成的角应注意什么？
（五）课后作业
1、判断题：
（1）a∥b c⊥a => c⊥b （ ）
（1）a⊥c b⊥c => a⊥b （ ）
2、填空题：
在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。
15

§2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、
平面与平面之间的位置关系

一、教学目标：
1、知识与技能
（1）了解空间中直线与平面的位置关系；
（2）了解空间中平面与平面的位置关系；
（3）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法
（1）学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
（2）让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。
二、教学重点、难点
重点：空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系。
难点：用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、导入课题
教师以生活中的实例以及课本P49的思考题为载体，提出了：空 间中直线与平面有多少种位置关系？（板
书课题）
（二）研探新知
1、引导学生观察、思考身边的实物，从而直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
例4（投影）
师生共同完成例4
例4的给出加深了学生对这几种位置关系的理解。
2、引导学生对生活实例以及对长方体模型的观察、思考，准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：
（1）两个平面平行 —— 没有公共点
（2）两个平面相交 —— 有且只有一条公共直线
用类比的方法，学生很快地理解与掌握了新内容，这两种位置关系用图形表示为

α
L
α
β
β
α∥β α∩β= L

教师指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行。
教材P51 探究
让学生独立思考，稍后教师作指导，加深学生对这两种位置关系的理解
教材P51 练习
学生独立完成后教师检查、指导
（三）归纳整理、整体认识
教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。
（四）作业
1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。
2、教材P52 习题2.1 A组第5题


18

§2.2.1 直线与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）理解并掌握直线与平面平行的判定定理；
（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；
2、过程与方法
学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。
3、情感、态度与价值观
（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；
（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。
二、教学重点、难点
重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。
2、教学用具：投影仪（片）
四、教学思想
（一）创设情景、揭示课题
引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。
（二）研探新知
1、投影问题
a



直线a与平面α平行吗？
α



a


若α内有直线b与a平行，
那么α与a的位置关系如何？
α b
是否可以保证直线a与平面α平行？

学生思考后，师生共同探讨，得出以下结论
直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2、例1 引导学生思考后，师生共同完成
该例是判定定理的应用，让学生掌握将空间问题转化为平面问题的化归思想。
（三）自主学习、发展思维
练习：教材第57页 1、2题
让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

（四）归纳整理
1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？
2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。
（五）作业
1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；
2、预习：如何判定两个平面平行？

20

§2.2.2 平面与平面平行的判定
一、教学目标：
1、知识与技能
理解并掌握两平面平行的判定定理。
2、过程与方法
让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。
3、情感、态度与价值观
进一步培养学生空间问题平面化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个平面平行的判定。
难点：判定定理、例题的证明。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入课题
引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。
（二）研探新知
1、问题：
（1）平面β内有一条直线与平面α平行，α、β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行，α、β平行吗？
通过长方体模型，引导学生观察、思考、交流，得出结论。

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
教师指出：判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
2、例2 引导学生思考后，教师讲授。
例子的给出，有利于学生掌握该定理的应用。
（三）自主学习、加深认识
练习：教材第59页1、2、3题。
学生先独立完成后，教师指导讲评。
（四）归纳整理、整体认识
1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？
2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。
（五）作业布置
第65页习题2.2 A组第7题。

§2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
一、教学目标：
1、知识与技能
（1）掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；
（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用。
2、过程与方法
学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。
3、情感、态度与价值观
（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；
（2）进一步体会类比的作用；
（3）进一步渗透等价转化的思想。
二、教学重点、难点
重点：两个性质定理 。
难点：（1）性质定理的证明；
（2）性质定理的正确运用。
三、学法与教学用具
1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型
四、教学思想
（一）创设情景、引入新课
1、思考题：教材第60页，思考（1）（2）
学生思考、交流，得出
（1）一条直线与平面平行，并不能保证这个平面内的所有直线都与这个直线平行；
（2）直线a与平面α平行，过直线a的某一平面，若与平面α相交，则直线a就平行于这条交线。

在教师的启发下，师生共同完成
该结论的证明过程。
于是，得到直线与平面平行的性质定理。


定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为：线面平行则线线平行。
符号表示：

a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、例3 培养学生思维，动手能力，激发学习兴趣。
例4 性质定理的直接应用，它渗透着化归思想，教师应多做引导。
3、思考：如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么样的位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论：异面或平行。
再问：平面AC内哪些直线与B'D'平行？怎么找？

在教师的启发下，师生

共同完成该结论及证明过程，
于是得到两个平面平行的性质定理。



定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
教师指出：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
4、例5
以讲授为主，引导学生共同完成，逐步培养学生应用定理解题的能力。
（三）自主学习、巩固知识
练习：课本第63页
学生独立完成，教师进行纠正。
（四）归纳整理、整体认识
1、通过对两个性质定理的学习，大家应注意些什么？
2、本节课涉及到哪些主要的数学思想方法？
（五）布置作业
课本第65页 习题2.2 A组第6题。


24

§2.3.1直线与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；
（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。
2、过程与方法
（1）通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；
（2）探究判定直线与平面垂直的方法。
3、情态与价值
培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。
二、教学重点、难点
直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。
三、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与 平面垂直的现象，例如：“旗杆与地
面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗 ？然后让学生回忆、思考、讨论、教
师对学生的活动给予评价。
2、接着教师指出：一条直线 与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的
位置关系引出课题内容。
（二）研探新知
1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知，可再借助 长方体模型让学生感知
直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直 线与直线垂直、直线与
平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义 这条直线与这个平面垂
直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。
如果直线L与平面α内的任 意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直
线L叫做平面α的垂线，平面α 叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫
做垂足。并对画示表示进 行说明。
L

p

α
图2-3-1
2、老师提出问题，让学生思考：
（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一 起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A
翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在 桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证
折痕AD与桌面所在平面垂直？
A



B D C
图2.3-2
（3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条 相交直线确定一个平面），进行合情推理，
获得判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
（三）实际应用,巩固深化
（1）课本P69例1教学
（2）课本P69例2教学
（四）归纳小结，课后思考
小结：采用师生对话形式，完成下列问题：
①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定
定理，体现的教学思想方法是什么？
课后作业:
①课本P70练习2
②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。
思考题 ：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？
为什么？
26

§2.3.2平面与平面垂直的判定
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角 ”、“两个平面互相垂直”
的概念；
（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；
（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。
2、过程与方法
（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；
（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。
3、情态与价值
通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围 ，从中激发学生积极
思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。
二、教学重点、难点。
重点：平面与平面垂直的判定；
难点：如何度量二面角的大小。
三、学法与教学用具。
1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。
2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？
问题2：在 立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么
共同的特征 ？
以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两
个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角
有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。
（二）研探新知
1、二面角的有关概念
老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维 思考，并对以上问题类比，归
纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角
A
图形 边
顶点 O 边 B
从平面内一点出发的两条射线（半
定义
直线）所组成的图形
构成
表示
2、二面角的度量
射线 — 点（顶点）一 射线
∠AOB
成的图形
二面角
A
梭 l β
B
α
从空间一直线出发的两个半平面所组
半平面 一 线（棱）一 半平面
二面角α-l-β或α-AB-β
二面角定理地反映了两个平面相交的 位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，
那我们应如何度量二两角的大小呢？师生 活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在
其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内 各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度
量方法——二面角的平面角。
教师特别指出：
（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；
（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平
面的位置关系怎样？
承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B
获得两个平面互相垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A
（三）应用举例，强化所学 α
例题：课本P.72例3 图2.3-3
做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教 师最后讲评
并板书证明过程。
（四）运用反馈，深化巩固
问题：课本P.73的探究问题
做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。
28

（五）小结归纳，整体认识
（1）二面角以及平面角的有关概念；
（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？
（六）课后巩固，拓展思维
1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。
2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与
O在L上的位置无关？

29
点

§2、3.3直线与平面垂直的性质
§2、3.4平面与平面垂直的性质
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。
2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；
（2）性质定理的推理论证。
3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。
二、教学重点、难点
两个性质定理的证明。
三、学法与用具
（1）学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。
（2）用具：长方体模型。
四、教学设计
（一）创设情景，揭示课题
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？
让学生自由 发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、
研探。（自然进入课 题内容）
（二）研探新知
1、操作确认
1111
观察长方体模型中四条 侧棱与同一个底面的位置关系。如图2.3—4，在长方体ABCD—ABCD中，棱
1111
AA、BB、CC、DD所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进
一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的
正确性呢？

D
1
C
1


a

b


B
1


A
1


D
α


C




A

图2.3-4 图2.3-5
B

2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，
然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
（三）应用巩固
例子：课本P.74例4
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。
（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会 得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上
画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻 两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条
与这交线平行的直线，则所画 直线必与地面垂直。然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归
纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什 么位
置关系？
（答：直线a必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a α，则直线a与平面α具有什么位置关系？
（六）归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。




32

本章小结
一、教学目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；
（2）通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。
2、过程与方法 < br>利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识
记；同时凸现数学知识的发展和联系。
3情态与价值
学生通过知识的整合、梳理，理会空间 点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空
间想象能力和解决问题能力。
二、教学重点、难点
重点：各知识点间的网络关系；
难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。
三、教学设计
（一）知识回顾，整体认识

1、本章知识回顾
（1）空间点、线、面间的位置关系；
（2）直线、平面平行的判定及性质；
（3）直线、平面垂直的判定及性质。
2、本章知识结构框图







直线与直线的位置关系

直线与平面的位置关系

平面与平面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
平面（公理1、公理2、公理3、公理4）

（二）整合知识，发展思维
1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。
公理1——判定直线是否在平面内的依据；
公理2——提供确定平面最基本的依据；
公理3——判定两个平面交线位置的依据；
公理4——判定空间直线之间平行的依据。
2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；
3、空间平行、垂直之间的转化与联系：

直线与直线平行


直线与平面平行
平面与平面平行

直线与平面垂直
平面与平面垂直

直线与直线垂直

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。
（三）应用举例，深化巩固
1、P.82 A组第1题
本题主要是公理1、2知识的巩固与应用。
2、P.82 A组第8题
本题主要是直线与平面垂直的判定与性质的知识巩固与应用。
（四）课后作业
1、阅读本章知识内容，从中体会知识的发展过程，理会问题解决的思想方法；
2、P.83 B组第2题。

34

第三章 直线与方程
3.1.1直线的倾斜角和斜率
教学目标:
知识与技能
(1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直线的倾斜角的唯一性.
(3) 理解直线的斜率的存在性.
(4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．
情感态度与价值观
(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率 关系的揭示，培养学生观察、探索能
力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．
(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．
重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.
教学用具：计算机
教学方法：启发、引导、讨论.
教学过程：
（一） 直线的倾斜角的概念
我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如
图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?
Y
a
b
c
OP
X

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?
引入直线的倾斜角的概念:
当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线
l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.
．．．
问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用
倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

Y
a
O
b
X
c
如图, 直线a∥b∥c, 那么它们
的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α
．．．
P
．．．．．．．．
.
(二)直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°时, k = tan45°= 1;
α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.
(三) 直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐 标来表示直线P1P2的斜率?
可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,
共同完成斜率公式的推导.(略)
斜率公式:

对于上面的斜率公式要注意下面四点：
(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；
(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不
能交换;
(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;
(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与
x
轴平行或重合.
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
(四)例题:
例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角
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