人教版高中数学必修2同步章节训练题及答案全册汇编

高中数学必修2全册同步练习题
目 录
1-1-1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
1-1-2 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、简单组合体的结构特征
1-2-1、2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图
1-2-3 空间几何体的直观图
1-3-1-1 柱体、锥体、台体的表面积
1-3-1-2 柱体、锥体、台体的体积
1-3-2 球的体积和表面积
高中数学第一章综合素能检测
2-1-1 平面
2-1-2 空间中直线与直线之间的位置关系
2-1-3、4 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置关系
2-2-1 直线与平面平行的判定
2-2-2 平面与平面平行的判定
2-2-3 直线与平面平行的性质
2-2-4 平面与平面平行的性质
2-3-1 直线与平面垂直的判定
2-3-2 平面与平面垂直的判定
2-3-3 直线与平面垂直的性质
2-3-4 平面与平面垂直的性质
高中数学第二章综合素能检测
3-1-1 倾斜角与斜率
3-1-2 两条直线平行与垂直的判定
3-2-1 直线的点斜式方程
3-2-2 直线的两点式方程
3-2-3 直线方程的一般式
3-3-1 两条直线的交点坐标

3-3-2 两点间的距离公式
3-3-3、4 点到直线的距离 两条平行直线间的距离
高中数学第三章综合检测
4-1-1 圆的标准方程
4-1-2 圆的一般方程
4-2-1 直线与圆的位置关系
4-2-2 圆与圆的位置关系
4-2-3 直线与圆的方程的应用
4-3-1、2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
高中数学第四章综合检测

一、选择题
1．在棱柱中( )
A．只有两个面平行
B．所有的棱都平行
C．所有的面都是平行四边形
D．两底面平行，且各侧棱也互相平行
[答案] D
2．下列几何体中，不属于多面体的是( )
A．立方体
C．长方体
[答案] D
B．三棱柱
D．球

3．如图所示的几何体是( )
A．五棱锥
C．五棱柱
[答案] C
4．下列命题中，正确的是( )
A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
1
B．五棱台
D．五面体

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
[答案] D
5．棱锥侧面是有公共顶 点的三角形，若围成一个棱锥侧面的三
角形都是正三角形，则这样侧面的个数最多有几个．( )
A．3 B．4 C．5 D．6
[答案] C
[解析] 由于顶角之和小于360°，故选C.
6．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
A．三棱锥有四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱交于一点
[答案] B
7．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )

[答案] B
2

8．(2012－2013·嘉兴高一检测)如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是( )

A．(1)(2)
C．(3)(4)
[答案] B
[解析] 在图(2)、(3)中，⑤不动， 把图形折起，则②⑤为对面，
①④为对面，③⑥为对面，故图(2)、(3)完全一样，而(1)、(4 )则不同
[解题提示] 让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的
各边折起，进行想象后判断．
二、填空题
9．图(1)中的几何体叫做________，AA
1
、BB
1
等 叫它的________，
A、B、C
1
等叫它的________．
[答案] 棱柱 侧棱 顶点
B．(2)(3)
D．(1)(4)

10．图(2)中的几何体叫做________，PA、PB叫它的________，
3

平面PBC、PCD叫做它的________，平面ABCD叫它的________ ．
[答案] 棱锥 侧棱 侧面 底面


11．图(3)中的几何体叫 做________，它是由棱锥________被平行
于底面ABCD的平面________截得 的．AA′，BB′叫它的
__________，平面BCC′B′、平面DAA′D′叫它的___ _____．
[答案] 棱台 O－ABCD A′B′C′D′ 侧棱 侧面
12．如图 ，在透明塑料制成的长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
容器中灌
进一些水，将容器底面一边BC置于地面上，再将容器倾斜，随着倾
斜 程度的不同，以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH的
面积不变；③水面EFGH始终为矩形 ．其中正确的命题序号是
4

________．

[答案] ①③
[解析] 根据棱柱的定义及结构特征来判断．在棱柱中因为有水
的 部分和无水的部分始终有两个面平行，而其余各面易证是平行四边
形，故①正确；而随着倾斜程度的不同 ，水面EFGH的面积是会改
变的，但仍为矩形故②错误；③正确．
三、解答题
13．判断下列语句的对错．
(1)一个棱锥至少有四个面；
(2)如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都
相等；
(3)五棱锥只有五条棱；
(4)用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面
三角形相似．
[解析] (1)正确．
(2)不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等，也可
以不相等．
(3)不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共有10
条棱．
5

(4)正确．

14．如右图所示的几何体中，所有棱长都相等，分 析此几何体的
构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
[解析] 这个几何体是由两个同底面的 四棱锥组合而成的正八
面体．有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱．
1 5．已知正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1，图(1)中截去的是什么几何
体？图(2)中截去一部分，其中HG∥AD∥EF，剩下的几何体 是什么？

若再用一个完全相同的正方体放在第一个正方体的左边，它们变
成了一个什么几何体？
[解析] 三棱锥 五棱柱A
1
B
1
BEH－D
1
C
1
CFG 长方体
16．一个几何体的表面展开平面图如图．
6

(1)该几何体是哪种几何体；
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相
对的是哪个面？

[解析] (1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．
7

一、选择题
1．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体
是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
[答案] C
[解析] 由圆锥的概念知，直角 三角形绕它的一条直角边所在直
线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角
边，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．
2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是
( )
A．圆柱
C．圆台
[答案] D
3．下列说法正确的是( )
A．圆锥的母线长等于底面圆直径
B．圆柱的母线与轴垂直
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
[答案] D
[解析] 圆锥的母线长与底面直径的大小不确定，则A项不正确；
圆柱的母线与轴平行，则B项不正确；圆台的母 线与轴相交，则C
8
B．圆锥
D．两个圆锥

项不正确；很明显D项正确．

4．如右图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几
何体形状为( )
A．一个球体
B．一个球体中间挖出一个圆柱
C．一个圆柱
D．一个球体中间挖去一个长方体
[答案] B
[解析] 圆旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆
柱，所以选B.
5．一个圆柱的母线长为5，底面半径为2，则圆柱的轴截面的面
积为( )
A．10
C．40
[答案] B
[解析] 圆柱的轴截面是矩 形，其一边为圆柱的母线，另一边为
圆柱的底面圆的直径．因而，轴截面的面积为5×4＝20.
6．在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合是( )
9
B．20
D．15

A．球
C．圆
[答案] D
B．正方体
D．球面
7．(2012－2013·南京模拟)经过旋转可以得到图1中几何体的是
图2中的( )

[答案] A
[解析] 观察图中几何体的形状，掌握其结构特征，其上部为一< br>个圆锥，下部是一个与圆锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以过
一直角边的直线为轴旋转一周 得到，圆台可由一直角梯形绕过垂直于
两底的腰的直线为轴旋转而成，通过上述判断再对选项中的平面图 形
适当分割，只有A适合．故正确答案为A.
8．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以 圆柱的上底面为
底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个
几何体，则 截面图形可能是( )
10

A．(1)(2) B．(1)(3) C．(1)(4) D．(1)(5)
[答案] D
[解析] 圆锥除过轴的截面外，其它截面截圆锥得到的都不是三
角形．
二、填空题
9．图① 中的几何体叫做________，O叫它的________，OA叫它
的________，AB叫 它的________．
[答案] 球 球心 半径 直径
10．图②中的几何体叫___ _____，AB、CD都是它的________，
⊙O和⊙O′及其内部是它的________．
11

[答案] 圆柱 母线 底面

11．图③中的几何体叫做________，SB为叫它的________．
[答案] 圆锥 母线
12．图④中的几何体叫做________，AA′叫它的________，⊙O′< br>及其内部叫它的________，⊙O及其内部叫它的________，它还可以
看作直角梯 形OAA′O′绕它的________________旋转一周后，其他
各边所形成的面所围成的旋 转体．

[答案] 圆台 母线 上底面 下底面 垂直于两底的腰OO′
三、解答题
13．说出下列7种几何体的名称．
12

[解析] a是圆柱，b是圆锥，c是球，d、e是棱柱，f是圆台，g
是棱锥．
14．说出如图所示几何体的主要结构特征．

[解析] (1)是一个六棱柱中挖 去一个圆柱；(2)是一个圆台与一个
圆柱的组合体；(3)是两个四棱锥构成的组合体．
15．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平
面图形和旋转轴．

13

[解析] 先出画几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前
的平面图形如下：


16．如图所示，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝2 cm，
AD＝4 cm，AA′＝3 cm.求在长方体表面上连接A、C′两点的诸曲
线的长度的最小值．
[解析] 将长方体的表面展开为平面图，这就将原问题转化为平
面问题．本题所求必在下图所 示的三个图中，从而，连接AC′的诸
曲线中长度最小的为41 cm(如图乙所示)．
14

15

一、选择题
1 ．一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等腰三角形，
俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体 为( )
A．棱锥
C．圆锥
[答案] C
2．已知某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体为( )
B．棱柱
D．圆柱

A．圆台
C．四棱柱
[答案] D
3．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的
序号是( )
B．四棱锥
D．四棱台
16

A．(1)(2)
C．(3)(4)
[答案] D
4．(20 12－2013·安徽淮南高三模拟)下列几何体各自的三视图中，
有且仅有两个视图相同的是( )
B．(2)(3)
D．(1)(4)

A．①② B．①③ C．①④ D．②④
[答案] D
[解析] ①正方体，三视图均相同；②圆锥，正视图 和侧视图相
同；③三棱台，三视图各不相同；④圆台，正视图和侧视图相同．
[点评] 熟悉常见几何体的三视图特征，对于画几何体的直观图
是基本的要求．
下图是最基本的常见几何体的三视图.
几何体
正方体

直观图形 正视图 侧视图 俯视图

17

长方体
圆柱
圆锥
















圆台
球



5.如左下图所示的是物体的实物图，其俯视图是( )

[答案] C
[解析] 结合俯视图的定义，仔细观察，易得答案C.
6．一个几何体的三视图如图，则组成该组合体的简单几何体为
( )

A．圆柱与圆台
18
B．四棱柱与四棱台

C．圆柱与四棱台
[答案] B
D．四棱柱与圆台
[解析] 该几何体形状如图．上部是一个四棱柱，下部是一个四
棱台．
7．如图所示几何体的正视图和侧视图都正确的是( )

[答案] B

8．(2011·新课标全国高考)在一个几何体的三视图中，主视图和
俯视图如右 图所示，则相应的侧视图可以为( )
19

[答案] D
[解析] 此几何体为一个半圆锥和一个半三棱锥的组合体，只有
D项符合题意．
二、填空题
9．下列图形：①三角形；②直线；③平行四边形；④四面体；
⑤球．其 中投影不可能是线段的是________．
[答案] ②④⑤
[解析] 三角形的投影是 线段成三角形；直线的投影是点或直
线；平行四边形的投影是线段或平行四边形；四面体的投影是三角形
或四边形；球的投影是圆．
10．由若干个小正方体组成的几何体的三视图如下图，则组成这
个组合体的小正方体的个数是________．

[答案] 5
[解析] 由三视图可作出直观图，由直观图易知共有5个小正方
体．
20

11．(2012～2013·烟台高一检测)已知某一几何体的正视图与侧视
图如 图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有
________．

[答案] ①②③④
12．(2012－2013·湖南高三“十二校联考”)一个几何体的 三视图
如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三
角形，则用____ ____个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方
体．

[答案] 3
[解析] 该几何体是四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高等
于4，如图(1)所示的四棱 锥A－A
1
B
1
C
1
D
1
，
21

如图(2)所示，三个相同的四棱锥A－A
1
B1
C
1
D
1
，A－BB
1
C
1
C，A
－DD
1
C
1
C可以拼成一个棱长为4的正方体．
三、解答题

13．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．
[解析] 所给四棱锥的三视图如下图．

[点评] (1)画三视图时，务必做到正视图与侧视图的高度一致
22

< br>(即所谓的高平齐)、正视图与俯视图的长度一致(即所谓的“长对
正”)、侧视图与俯视图的宽 度一致(即所谓的“宽相等”)．
(2)习惯上将侧视图放在正视图的右侧，将俯视图放在正视图的
下方．
[拓展提高]
1．三视图中各种数据的对应关系：
(1)正视图中AB的长对应 原四棱锥底面多边形的左
右方向的长度，AC、BC的长则不对应侧棱的长，它们对应四棱锥的
顶点到底面左、右两边的距离．
(2)侧视图中，EF的长度对应原四棱锥底面的前后长
度， GE、GF的长度则是四棱锥顶点与底面前后两边的距离．
(3)俯视图中HIJK的大小与四棱锥底 面的大小形
状完全一致，而OK，OI，OJ，OH的大小，则为四棱锥的顶点在底
面上的投影 到底面各顶点的距离．
2．误区警示：正视图、侧视图中三角形的腰长有的学生会误认
为是棱 锥的侧棱长，实则不然．弄清一些数据的对应关系，是后面进
行相关计算的前提．
14．依所给实物图的形状，画出所给组合体的三视图．
23

[解析] 图中所给几何体是一个圆柱和一个正六棱柱的组合体，
在中心以中心轴为轴线挖去一 个小圆柱，故其三视图如下：

15．说出下列三视图表示的几何体：

24

[解析]

16．根据下列图中所给出的一个物体的三视图，试画出它的形状．

[答案] 所对应的空间几何体的图形为：
25

26

一、选择题
1．如果平面图形中的两条线段平行且相等，那么在它的直观图
中对应的这两条线段( )
A．平行且相等
C．相等不平行
[答案] A
2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0
C．2
[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴
④对 ，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴
②③错．
3．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边< br>形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是( )
A．①
C．③④
B．①②
D．①②③④
B．1
D．3
B．平行不相等
D．既不平行也不相等
27

[答案] B
[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长
度减半．
4．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左
上角而绘制的，其中正确的是( )

[答案] A
[解析] 由几何体直观图画法及立体图形中虚线的使用可知A正
确．

5．如图所示，△A′ B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则
在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是( )
A．AB
C．BC
[答案] D
[解析] △ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，则AC＞AB，AC
＞AD，AC＞BC.
6．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面
28
B．AD
D．AC

与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5
m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按的比例画出它的直观图，
那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
[答案] C
[解析] 由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为
4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺
寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
7．如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的
( )


[答案] C
[解析] 由直观图一边在x′轴上，一边与y′轴平行，知原图为
直角梯形．
8．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC
29

的直观图不是全等三角形的一组是( )

[答案] C
[解析] C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h
h1
变为
2
，后者画成斜二测直观图时，高不变，边AB变为原来的
2
.
二、填空题
9．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图
中的对应点是M′，则点 M′的坐标为________，点M′的找法是
________．
[答案] M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平
行的直线与过点(0,2)和x ′轴平行的直线的交点即是点M′.
[解析] 在x′轴的正方向上取点M
1
，使O
1
M
1
＝4，在y′轴上
取点M
2
，使O′M2
＝2，过M
1
和M
2
分别作平行于y′轴和x′轴的
直线，则交点就是M′.
30

10．如右图，水平放置的△A BC的斜二测直观图是图中的△
A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度 是
________．
[答案] 10
[解析] 由斜二测画法，可知△ABC是 直角三角形，且∠BCA＝
90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝AC
2
＋ BC
2
＝10.
11．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的
面积是________．

[答案] 16
[解析] 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
1
∴面积S＝
2
×4×8＝16.
31

12．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它 是水平放
置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________？
[答案] 8
[解析] 原图形为

OABC为平行四边形，
OA＝1，AB＝OA
2
＋OB
2
＝3，
∴四边形OABC周长为8.
三、解答题
13．用斜二测画法画出下列图形的直观图(不写画法)．
32

解析]
33

[

14．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD
水平放置的直观图的面 积．

[解析] 在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD
水 平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，
12
如图所示，在直观图中， O′D′＝
2
OD，梯形的高D′E′＝
4
，
1232
于是 梯形A′B′C′D′的面积为
2
×(1＋2)×
4
＝
8
.
15．已知几何体的三视图如下，用斜二测画法，画出它的直观图
(直接画出图形，尺寸不作要 求)．
34

[解析] 如图．
16．如图所示，直角梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，该
梯形绕边AD所在直线EF 旋转一周得一几何体，画出该几何体的直
观图和三视图．
[分析] 该几何体是一个圆锥和一个圆柱拼接成的简单组合体．
[解析] 直观图如图a所示，三视图如图b所示．
35

36

一、选择题
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥，则等边圆锥的侧面
积是底面积的( )
A．4倍
C.2倍
[答案] D
S
侧
πrl
l
[解析] 由已知得l＝2r，＝
πr
2
＝
r
＝2，
S
底
故选D.
2．长方体的高为1，底面积为2，垂直于底的对角面的面积是5，
则长方体的侧面积等于( )
A．27
C．6
[答案] C
[解析] 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，
则c＝1，ab＝2，a
2
＋b
2
·c＝5，
∴a＝2，b＝1，故S
侧
＝2(ac＋bc)＝6.
3．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面
积与侧面积的比是( )
1＋2π
A.
2π

1＋2π
C.
π

[答案] A
37
B．3倍
D．2倍
B．43
D．3
1＋4π
B.
4π

1＋4π
D.
2π

[解析] 设圆柱的底面半径为 r，高为h，则由题设知h＝2πr，
∴S
全
＝2πr
2
＋2πr· h＝2πr
2
(1＋2π)
S
全
1＋2π
又S
侧
＝h＝4πr，∴＝
2π
.
S
侧
222
[点评] 圆柱的侧面展开图是一个矩形，矩形两边长分别为圆柱
底面周长和高；圆锥侧面展开图是一个扇形，半径 为圆锥的母线，弧
长为圆锥底面周长；圆台侧面展开图是一个扇环，其两段弧长为圆台
两底周长 ，扇形两半径的差为圆台的母线长，对于柱、锥、台的有关
问题，有时要通过侧面展开图来求解．
4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表
面积增加了( )
A．6a
2

C．18a
2

[答案] B
[解析] 原来正方体表面积为S
1
＝6a
2
，切割成27个全 等的小正
?
1
?
2
2
2
1
方体后，每个小 正方体的棱长为
3
a，其表面积为6×
?
3
a
?
＝
3
a，总表
??
B．12a
2

D．24a
2

2
2
面积S
2
＝27×< br>3
a＝18a
2
，∴增加了S
2
－S
1
＝1 2a
2
.
5．如图所示，圆台的上、下底半径和高的比为
长为10，则圆台的侧面积为( )
，母线

38

A．81π
C．14π
[答案] B
B．100π
D．169π

[解析] 圆台的轴截面如图，设上底半径为r，则下底半径为4r，
高为4r.
因为母线长为10，所 以在轴截面等腰梯形中，有10
2
＝(4r)
2
＋(4r
－r)2
.解得r＝2.所以S
圆台侧
＝π(r＋4r)·10＝100π，故选B.
6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正
方形，俯视图是一个圆，那么这 个几何体的全面积为( )

3π
A.
2

C．π
39
B．2π
D．4π

[答案] A
1
[解析] 由三视图可知，该几何体是底半径为
2
，高为1的圆柱，
?
1
?
2
1
3π
故其全面积S＝2π×
?
2
?
＋2π×
2
×1＝
2
.
??
7． (2012－2013·安徽合肥一模)如图是一个几何体的三视图，其
中正视图和侧视图都是一个两底 长分别为2和4，腰长为4的等腰梯
形，则该几何体的侧面积是( )

A．6π
C．18π
[答案] B
[解析] 该几何体是两底面半径分别为1、2，母线长为4的圆台，
则其侧面积是π(1＋2)×4＝12π.
8．(2011·海南、宁夏高考)一个棱锥的三视图如图所示，则该棱
锥的全面积(单位：c m
2
)为( )
B．12π
D．24π
40

A．48＋122
C．36＋122
[答案] A
[解析] 由三视图可得：底面为等腰直角三角形，腰长为6，面
1
积为18；垂 直于底面的面为等腰三角形，面积为
2
×62×4＝122；
1
其余两个面为 全等的三角形，每个三角形的面积都为
2
×6×5＝15.所
以全面积为48＋122 .
二、填空题
9．已知圆柱OO′的母线l＝4 cm，全面积为42π cm
2
，则圆柱
OO′的底面半径r＝ ________cm.
[答案] 3
[解析] 圆柱OO′的侧面积为2πrl＝8πr(cm
2
)，两底面积为2×πr
2
＝2πr
2
(cm
2
)，
∴2πr
2
＋8πr＝42π，
解得r＝3或r＝－7(舍去)，
B．48＋242
D．36＋242
41

∴圆柱的底面半径为3 cm.

10．一个几何体的三视图如图所 示，其中俯视图为正三角形，则
该几何体的表面积为________．
[答案] 24＋23
[解析] 该几何体是三棱柱，且两个底面是边长为2的正三角形，
侧面是全等的 矩形，且矩形的长是4，宽是2，所以该几何体的表面
1
积为2×(
2
×2× 3)＋3×(4×2)＝24＋23.

11．如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶 点是圆柱底面
的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面
42

半径为2，则该组合体的表面积等于________．
[答案] (410＋28)π
[解析] 挖去的圆锥的母线长为6
2
＋2
2
＝210，
则圆锥的侧面积等于 410π.圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π，圆
柱的一个底面面积为π×2
2
＝ 4π，所以组合体的表面积为410π＋24π
＋4π＝(410＋28)π.
2
1 2．下图中，有两个相同的直三棱柱，高为
a
，底面三角形的三
边长分别为3a、4a 、5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在
所有可能的情况中表面积最小的是一个四棱柱， 则a的取值范围是
________．

15
[答案] 03

[解析] 底面积为6a
2
，侧面面积分别为6、8、10，拼成三棱柱
时，有三种情况： S
1
＝2×6a
2
＋2(10＋8＋6)＝12a
2
＋ 48，
S
2
＝24a
2
＋2(10＋8)＝24a
2＋36，
S
3
＝24a
2
＋2(10＋6)＝24a
2
＋32.
拼成四棱柱时只有一种情况：
表面积为(8＋6)×2＋4×6a
2
＝24a
2
＋28.
43

15
由题意得24a
2
＋28<12a2
＋48，解得03
.
三、解答题

13． 已知各棱长为5，底面为正方形，各侧面均为正三角形的四
棱锥S－ABCD，如图所示，求它的表面积 ．
[分析] 求各侧面的面积→
求侧面积→求底面积→求表面积
[解析] ∵四棱锥S－ABCD的各棱长均为5，
各侧面都是全等的正三角形，
设E为AB的中点，
则SE⊥AB，
153
∴S
侧
＝4S
△
SAB< br>＝4×
2
×5×
2
＝253，
S
底
＝5
2
＝25，
∴S
表面积
＝S< br>侧
＋S
底
＝253＋25＝25(3＋1)．
14．正四棱台两底面边长分别为a和b(a(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为
45°，求棱台的侧面积；
(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
[解析] (1)如图，设O
1
、O分别为上、下底面的中心，过C
1
作
44

C
1
E⊥AC于E，过E作EF⊥BC，连接C
1
F ，则C
1
F为正四棱台的斜
高．

由题意知∠C
1
CO＝45°，
2
CE＝CO－EO＝CO－C< br>1
O
1
＝
2
(b－a)，
2
在Rt△C< br>1
CE中，C
1
E＝CE＝
2
(b－a)，
1
又EF＝CE·sin45°＝
2
(b－a)，
∴C
1
F＝C
1
E
2
＋EF
2

＝
213
22
[
2
?b－a?]＋[
2
? b－a?]＝
2
(b－a)．
13
∴S
侧
＝
2< br>(4a＋4b)×
2
(b－a)＝3(b
2
－a
2
) ．
1
(2)由S
侧
＝a
2
＋b
2
，∴< br>2
(4a＋4b)·h
斜
＝a
2
＋b
2
，
a
2
＋b
2
b－a
∴h
斜
＝.又EF＝< br>2
，
2?a＋b?
ab
∴h＝h
斜
－EF＝.
a＋b
22
45

15．(2012－2013 ·嘉兴高一检测)如图在底面半径为2，母线长为
4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．
[解析] 设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积
为S.
则R＝OC＝2，AC＝4，
AO＝4
2
－2
2
＝23.
如图所示易知△AEB∽△AOC，

AEEB3r
∴
AO
＝
OC
，即＝，∴r＝1
2 3
2
S
底
＝2πr
2
＝2π，S
侧
＝2π r·h＝23π.
∴S＝S
底
＋S
侧
＝2π＋23π＝(2＋23)π.
46

16．已知某几何体的三视图如图，求该几何体的表面积．(单位：
cm)

[解析] 几何体的直观图如图．

这是底面边长为4，高为2的同底的 正四棱柱与正四棱锥的组合
体，易求棱锥的斜高h′＝22，其表面积S＝4
2
＋4× 4×2＋
?
1
?
?
×4×22
?
×4＝48＋16 2 cm
2
.
?
2
?
47

一、选择题
1．长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是( )
A．63
C．11
[答案] A
[解析] 设长方体长、宽、 高分别为a、b、c，则ab＝2，ac＝6，
bc＝9，相乘得(abc)
2
＝10 8，∴V＝abc＝63.
2．已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则体
积为( )
A．323
C．243
[答案] B
3
[解析] 上底面积S
1
＝6×
4
×2
2
＝63，
3
2
下底面积S
2
＝6×
4
×4＝243， 1
体积V＝
3
(S
1
＋S
2
＋S
1< br>S
2
)·h
1
＝
3
(63＋243＋63·243)×2＝283.
3．(2 012～2013学年枣庄模拟)一个空间几何体的正视图、侧视
图、俯视图为全等的等腰直角三角形， 直角边长为1，则这个几何体
的体积为( )
B．283
D．203
B．36
D．12
48

A．1
1
C.
3

[答案] D
[解析] 由三视图知，该几何体是三棱锥．
111
体积V＝
3
×
2
×1×1×1＝
6
.
4．体积为52cm
3
的圆台，一个底面面积 是另一个底面面积的9
倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为( )
A．54 cm
3

C．58cm
3

[答案] A
[解析] 由底面积之比为1:9知，体积之比为1:27，截得小圆锥
与圆台体积比为1:26，∴ 小圆锥体积为2cm
3
，故原来圆锥的体积为
54 cm
3
，故选A.
5．(2012·江西(文科))若一个几何体的三视图如图所示，则此几
何体的体积为( )
B．54πcm
3

D．58πcm
3

1
B.
2

1
D.
6

49

11
A.
2

C．4
[答案] C
[解析] 本题的几何体是一个六棱柱，由三视图可得底面为六边
形，面积为4，高为1，则直接代公式可求． < br>6．(2009·陕西高考)若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面
的中心为顶点的凸多面体 的体积为( )
2
A.
6

3
C.
3

[答案] B
[解析] 由题意知，以正 方体各个面的中心为顶点的凸多面体是
正八面体(即由两个同底等高的正四棱锥组成)，所有的棱长均为 1，
2
其中每个正四棱锥的高均为
2
，故正八面体的体积V＝2V
1
2
22
2×
3
×1×
2
＝
3
.故 选B.
50
正四棱锥
B．5
9
D.
2

2
B.
3

2
D.
3

＝

7．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，
1
且体积为< br>2
，则该几何体的俯视图可以是( )

[答案] C
[解析] 若该几何体的俯视图是选项A，则该几何体是正方体，
1
其体积V＝1＝1≠
2
，所以A选项不是；若该几何体的俯视图是选项
3
1
π
1
B，则该 几何体是圆柱，其体积V＝π×(
2
)
2
×1＝
4
≠
2
，所以B选项
不是；若该几何体的俯视是选项D，则该几何体是圆柱的四分之一，
1
π
1
其体积V＝
4
(π×1
2
×1)＝
4
≠
2
，所以D选项不是；若该几何体的俯视
11
图是选项C，则该 几何体是三棱柱，其体积V＝
2
×1×1×1＝
2
，所
以C选项符合 题意，故选C.
8．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由
半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几
何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)
水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )
51

A．29 cm
C．32 cm
[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总高度为h，则有π×1
2
(h－20)＝π×3
2
( h－28)，解
得h＝29(cm)．
二、填空题
9．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
[答案] 3
B．30 cm
D．48 cm
1
[解析] 设底面半径为r，则
3
πr
2
×4＝4π，解得r＝3，即底面
半径为3.

10．如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E、F分别为AC、
52