高中数学函数的定义法-中级职称高中数学考试科目
§4.2 直线、圆的位置关系
4.2.1 直线与圆的位置关系
【课时目标】 1．能根据给定直线和圆的方程，判断直线和圆的位置关系．2．能根据
直线与
圆的位置关系解决有关问题．
直线Ax＋By＋C＝0
位置关系
公共点个数
与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系及判断
相交
____个
d____r
相切
____个
d____r
相离
____个
d____r
判
定
方
代数法：由
?
Ax＋By＋C＝0
法
?
几何法：设圆心到直线的距离
|Aa＋Bb＋C|
d＝
A
2
＋B
2
?
2
＋?y－b?
2
＝r
2
?
?x－a?
?
Δ____0 Δ____0 Δ____0
消元得到一元二次方程的判别式Δ
一、选择题
1．直线3x＋4y＋12＝0与⊙C：(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝9的位置关系是( )
A．相交并且过圆心
B．相交不过圆心
C．相切 D．相离
2．已知
圆x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0与y轴切于原点，那么( )
A．D＝0，E＝0，F≠0 B．D＝0，E≠0，F＝0
C．D≠0，E＝0，F＝0 D．D≠0，E≠0，F＝0
3．圆x
2
＋y
2
－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于( )
52
A．6 B． C．1 D．5
24．圆x
2
＋y
2
＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的
距离为2的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知直线ax＋by＋c＝0(abc≠0)与圆x
2
＋y
2
＝
1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|
的三角形是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不存在
6．与圆x
2
＋y
2
－4x＋2＝0相切，在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
7．已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x
2<
br>＋y
2
＝2}，那么P∩Q为________．
8．圆x
2
＋y
2
－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为______________． 9．P(3,0)为圆C：x
2
＋y
2
－8x－2y＋12＝0内一点，
过P点的最短弦所在的直线方程是
______________．
三、解答题
10．求过点P(－1,5)的圆(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝4的切线方程．
11．直线l经过点P(
5,5)，且和圆C：x
2
＋y
2
＝25相交，截得的弦长为45，求l的方
程．
能力提升
12．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆x<
br>2
＋y
2
＝r
2
内一点，直线g是以M为中点的弦所在直线，
直线l的方程为ax＋by＋r
2
＝0，则( )
A．l∥g且与圆相离
B．l⊥g且与圆相切
C．l∥g且与圆相交 D．l⊥g且与圆相离 <
br>13．已知直线x＋2y－3＝0与圆x
2
＋y
2
＋x－2cy＋c＝
0的两个交点为A、B，O为坐标
原点，且OA⊥OB，求实数c的值．
1．判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一
般计算较
简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．
2．一般地，在解决圆和直
线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆
的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组
，消去x或y，组成一个一元二次方程，利用
方程根与系数的关系表达出弦长l＝k
2
＋1·?x
1
＋x
2
?
2
－4x
1
x2
＝k
2
＋1|x
1
－x
2
|．
3
．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考
虑该点是否在圆上．
当点在圆上，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．
§4．2
直线、圆的位置关系
4．2．1 直线与圆的位置关系
答案
知识梳理
2 1 0 < ＝ > > ＝ <
作业设计
1．D
[圆心到直线距离
d
>
r
．]
D
－，0
?
，得E＝0，圆过原点得F＝0，故选C．] 2．C
[与y轴切于原点，则圆心
?
?
2
?
3．A [分别求出半径r及弦
心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2r
2
－d
2
，求得．]
4．C [通过画图可知有三个点到直线x＋y＋1＝0距离为2．]
|c|
5．B
[由题意
22
＝1?|c|＝a
2
＋b
2
?c
2<
br>＝a
2
＋b
2
，故为直角三角形．]
a＋b
xy
6．C [需画图探索，注意直线经过原点的情形．设y＝kx或＋＝1，
由d＝r求得k
aa
＝±1，a＝4．]
7．{(1,1)}
?
x
2
＋y
2
＝2，
?
解析
解方程组
?
?
x＋y＝2，
?
得x＝y＝1．
8．x－3y＋2＝0
3
解析
先由半径与切线的垂直关系求得切线斜率为，则过(1，3)切线方程为x－3y
3
＋2＝0．
9．x＋y－3＝0
解析
过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为
x＋y－3＝0．
10．解 ①当斜率k存在时，
设切线方程为y－5＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋5＝0．
|k－2＋k＋5|
由圆心到切线的距离等于半径得＝2，
2
k＋1
5
解得k＝－，∴切线方程为5x＋12y－55＝0．
12
②当斜率k不存在时，切线方程为x＝－1，此时与圆正好相切．
综上，所求圆的切线方程为x＝－1或5x＋12y－55＝0．
45
?
2
r
2
－
?
＝5，显然l存在斜率．
?
2
?
|5－5k|
设l：y－5＝k(x－5)，即kx－y＋5－5k＝0，d＝<
br>2
．
k＋1
|5－5k|
1
∴
2
＝5，∴k＝或2．
2
k＋1
11．解
圆心到l的距离d＝
∴l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0．
12．A [∵M
在圆内，∴a
2
＋b
2
．∴(0,0)到
r
2
l的距离d＝
22
>r即直线l与圆相离，
a＋b
a又直线g的方程为y－b＝－(x－a)，即ax＋by－a
2
－b
2
＝
0，∴l∥g．]
b
13．解 设点A、B的坐标分别为A(x
1<
br>，y
1
)、B(x
2
，y
2
)．
由OA⊥OB，知k
OA
·k
OB
＝－1，
y
1
y
2
即·＝－1，∴x
1
x
2
＋y
1y
2
＝0 ①
x
1
x
2
?
x＋2y－3＝0
?
由
?
22
，
?<
br>x＋y＋x－2cy＋c＝0
?
得5y
2
－(2c＋14)y＋c＋1
2＝0，
11
则y
1
＋y
2
＝(2c＋14)，y
1
y
2
＝(c＋12) ②
55
又x
1<
br>x
2
＝(3－2y
1
)(3－2y
2
)＝9－6(y
1
＋y
2
)＋4y
1
y
2
，代入①得9－
6(y
1
＋y
2
)＋5y
1
y
2
＝0③
由②、③得，c＝3．