高中数学 必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质练习

2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A版必修2
一、选择题
1．平面α⊥平面β，α∩β＝
l
，
m
?α，
m
⊥
l
，则( )
A．
m
∥β

B．
m
?β

C．
m
⊥β

[答案] C
2．已知平面α⊥平面β，直线
a
⊥β，则( )
A．
a
?α
C．
a
⊥α
[答案] D < br>3．空间四边形
ABCD
中，平面
ABD
⊥平面
BCD
，且
DA
⊥平面
ABC
，则△
ABC
的形状是( )
A．锐角三角形
C．钝角三角形
[答案] B
4．如下图所示，三 棱锥
P
－
ABC
的底面在平面α内，且
AC
⊥
PC
，平面
PAC
⊥平面
PBC
，点
P
，
B． 直角三角形
D．不能确定
B．
a
∥α
D．
a
?α或
a
∥α
D．
m
与β相交但不一定垂直
A
，
B
是定点，则动点
C
的轨迹是( )

A．一条线段
C．一个圆
[答案] D
[解析] ∵平面
PA C
⊥平面
PBC
，
AC
⊥
PC
，平面
PA C
∩平面
PBC
＝
PC
，
AC
?平面
PA C
，∴
B．一条直线
D．一个圆，但要去掉两个点
AC
⊥平面
PBC．

又∵
BC
?平面
P BC
，∴
AC
⊥
BC．
∴∠
ACB
＝90°. < br>∴动点
C
的轨迹是以
AB
为直径的圆，除去
A
和B
两点．
ππ
5．如图，平面α⊥平面β，
A
∈α，
B
∈β，
AB
与两平面α、β所成的角分别为和.
46
过
A
、
B
分别作两平面交线的垂线，垂足为
A
′、
B
′ ，则
ABA
′
B
′等于( )

A．

B．

C． D．
[答案] A
π
[解析] 由已知条件可知∠
BAB
′＝，
4
π
∠
ABA
′＝，设
AB
＝2
a
，
6
π π
则
BB
′＝2
a
sin＝2
a
，
A′
B
＝2
a
cos＝3
a
，
46
∴ 在Rt△
BB
′
A
′中，得
A
′
B
′＝< br>a
，∴
ABA
′
B
′＝
6．如图所示，在斜三棱柱
ABC
－
A
1
B
1
C
1
中，∠< br>BAC
＝90°，
BC
1
⊥
AC
，则
C1
在底面
ABC
上
的射影
H
必在( )


A．直线
AB
上
C．直线
AC
上
[答案] A
[解析] ∵
AC
⊥
AB
，
AC< br>⊥
BC
1
，∴
AC
⊥平面
ABC
1
，
又∵
AC
?平面
ABC
，∴平面
ABC
1⊥平面
ABC
，
∴
C
1
在平面
ABC
上的射影
H
必在平面
ABC
1
与平面
ABC
的交 线
AB
上，故选A．
二、填空题
7．平面α⊥平面β，直线
l< br>?α，直线
m
?β，则直线
l
，
m
的位置关系是__ ______.
[答案] 相交、平行、异面
8．三棱锥
P
－
A BC
的高为
PH
，若三个侧面两两垂直，则
H
为△
ABC< br>的________心．
[答案] 垂
[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两 两垂直，则有
BC
⊥
PA
，
AB
⊥
PC
，
CA
⊥
PB
，
又由
BC
⊥
PA
，
PH
⊥
BC
，得
BC
⊥平面
PAH
，则< br>BC
⊥
AH
，同理有
AB
⊥
CH
，
CA
⊥
BH
，所以
H
为△
B．直线
BC
上
D．△
ABC
内部
ABC
高线的交点，即垂心．
三、解答题
9．把一副三角板如图拼接，设
BC
＝6，∠
A
＝90°，
AB
＝
AC
，∠
BCD
＝90°，∠
D
＝60°，
使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面
ABD
⊥平面< br>ACD．

[证明]



?
平面
ABC
⊥平面
BCD
?
?
?
CD
⊥平面
ABC
?
CD
⊥BC
?


AB
?平面
ABC
?
?
?
?
?
?



CD
⊥
AB
?
?
?
?
AB
⊥平面
ACD
?
AB
⊥AC
?


AB
?平面
ABD
??
?
?平面
ABD
⊥平面
ACD．

?
?
10.如图所示，在四棱锥
P
－
ABCD
中，侧面
PA D
⊥底面
ABCD
，侧棱
PA
⊥
PD
，底面
ABCD
是直角梯形，其中
BC
∥
AD
，∠
BAD
＝90°，
AD
＝3
BC
，
O
是
AD
上 一点．

(1)若
CD
∥平面
PBO
，试指出点
O
的位置；
(2)求证：平面
PAB
⊥平面
PCD．

[解析] (1 )∵
CD
∥平面
PBO
，
CD
?平面
ABCD，
且平面
ABCD
∩平面
PBO
＝
BO
，
∴
BO
∥
CD．

又
BC
∥
AD
，∴四边形
BCDO
为平行四边形．
则
BC
＝
DO
，而
AD
＝3
BC
，
∴
AD
＝3
OD
，即点
O
是靠近点
D
的线段
AD
的一个三等分点．
(2)证明：∵侧面
PAD
⊥底面
ABCD
，侧面
PAD
∩底面
ABCD
＝
A D
，
AB
?底面
ABCD
，且
AB
⊥
AD
，
∴
AB
⊥平面
PAD．

又
PD?平面
PAD
，∴
AB
⊥
PD．

又
PA
⊥
PD
，且
PA
?平面
PAB
，
AB
?平面
PAB
，
AB
∩
PA
＝
A
，∴
PD
⊥平面
PAB．

又
PD
?平面
PCD
，∴平面
PAB
⊥平面
PCD．

能力提升
一、选择题

1．在空间中，下列命题正确的是( )
A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面
B．若直线
m
与平面α内的一条直线平行，则
m
∥α
C． 若平面α⊥β，且α∩β＝
l
，则过α内一点
P
与
l
垂直的 直线垂直于平面β
D．若直线
a
∥
b
，且直线
l
⊥
a
，则
l
⊥
b

[答案] D
[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定
能确定 一个平面，如正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AA
1
，
AB
，
A D
两两相交，但由
AA
1
，
AB
，
AD
不
能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件
m
是平面α外的一条直线，所以 B
不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于
l
的直线 ，所
以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂
直，所以D正确．
2．设α，β是两个不同的平面，
l
是一条直线，以下命题正确的是( )
A．若
l
⊥α，α⊥β，则
l
?β

C．若
l
⊥α，α∥β，则
l
⊥β

[答案] C
[解析]
l
⊥α，α⊥β?
l
∥β或
l
?β，A错；
B．若
l
∥α，α∥β，则
l
?β
D．若
l
∥α，α⊥β，则
l
⊥β
l
∥α，α∥β?
l
∥β或
l
?β，B错；
l
⊥α，α∥β?
l
⊥β，C正确；
若
l
∥α，α⊥β，则
l
与β位置关系不确定，D错．
3 ．设
a
，
b
是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出
a
⊥
b
的是( )
A．
a
⊥α，
b
∥β，α⊥β
C．
a
?α，
b
⊥β，α∥β
[答案] C
[解析]
b
⊥β，α∥β，∴
b
⊥α，又
a
?α ，∴
b
⊥
a
.
4.如图，边长为
a
的等边三角形
ABC
的中线
AF
与中位线
DE
交于点
G
，已知△
A
′
DE
是
△
ADE
绕
DE旋转过程中的一个图形(
A
′不与
A
，
F
重合)，则下 列命题中正确的是( )
B．
a
⊥α，
b
⊥β，α∥β
D．
a
?α，
b
∥β，α⊥β

①动点
A
′在平面
ABC
上的射影在线段
AF
上；
②
BC
∥平面
A
′
DE
；
③三棱锥
A
′－
FED
的体积有最大值．

A．①
C．①②③
[答案] C
B．①②
D．②③
[解析] 注意折叠前
DE
⊥
AF
，折叠后其位置关系没有改变．
①中由已知可得平面
A
′
FG
⊥平面
ABC
，
∴点
A
′在平面
ABC
上的射影在线段
AF
上．
②
BC
∥
DE
，
BC
?平面
A
′
DE
，
DE
?平面
A
′
DE
，
∴
BC
∥平面
A
′
DE
.
③当平面A
′
DE
⊥平面
ABC
时，三棱锥
A
′－FED
的体积达到最大．
二、填空题
5.如右图所示，
P
是 菱形
ABCD
所在平面外的一点，且∠
DAB
＝60°，边长为
a< br>.侧面
PAD
为正三角形，其所在平面垂直于底面
ABCD
，
PB
与平面
AC
所成的角为θ，则θ＝________.

[答案] 45°
[解析] 如图所示，取
AD
的中点
G
，连接
PG
，
BG
，
BD．


∵△
PAD
是等边三角形，
∴
PG
⊥
AD
，又平面
PAD
⊥平面
AC
，平面
PAD
∩平面
AC
＝
AD
，
PG
?平面
PAD
，
∴< br>PG
⊥平面
AC
，∴∠
PBG
是
PB
与平面
AC
所成的角θ.
在△
PBG
中，
PG
⊥
BG
，
BG
＝
PG
，
∴∠
PBG
＝45°，即θ＝45°.
6．如图，在长方形
ABC D
中，
AB
＝2，
BC
＝1，
E
为
DC< br>的中点，
F
为线段
EC
(端点除外)
上一动点．现将△
AFD
沿
AF
折起，使平面
ABD
⊥平面
ABC．
在平面
ABD
内过点
D
作
DK
⊥
AB
，
K
为垂足．设
AK
＝
t
，则
t
的取值范围 是________.

1
[答案] (，1)
2
[解析] 如图，过
D
作
DG
⊥
AF
，

垂足为
G
，连接
GK
，
∵平面
ABD
⊥ 平面
ABC
，又
DK
⊥
AB
，
∴
DK< br>⊥平面
ABC
，∴
DK
⊥
AF
.
∴
AF
⊥平面
DKG
，∴
AF
⊥
GK
.
容易得到，当
F
接近
E
点时，
K
接近
AB
的中点，当
F
接近
C
点时，
K
接近
AB
的 四等分
1
点．所以
t
的取值范围是(，1)．
2
三、解答题
7．(2015·甘肃兰州一中期末)
如图，四棱锥
A
－
BCDE
中，底面
BCDE
为矩形，侧面
ABC⊥底面
BCDE
，
BC
＝2，
CD
＝2，
AB
＝
AC
，
CE
与平面
ABE
所成的角为45°.
(1)证明：
AD
⊥
CE
；
(2)求二面角
A
－
CE
－
B
的正切值．
[解析] (1)证明：如图，取
BC
的中点
H
，连接
HD
，交
CE
于点
P
，连接
AH
，
AP
.
∵
AB
＝
AC
，
∴
AH
⊥
BC．

又∵平面
ABC
⊥平面
BCDE
，
∴
AH
⊥平面
BCDE
，
又
CE
?平面
BCDE
，
∴
AH
⊥
CE
.
又∵＝＝
HCCD
CD DE
1
2
，∠
BCD
＝∠
CDE
＝90°，
∴Rt△
HCD
∽Rt△
CDE
.
∴∠
CDH
＝∠
CED
，
∴
HD
⊥CE
.又
AH
∩
HD
＝
H
，
∴
CE
⊥平面
AHD．

∴
AD
⊥
CE
.
(2)由(1)
CE
⊥ 平面
AHD
，得
AP
⊥
CE
，

又
HD
⊥
CE
，
∴∠
APH
就是二面角
A
－
CE
－
B
的平面角． < br>过点
C
作
CG
⊥
AB
，垂足为
G
， 连接
EG
.
∵
BE
⊥
BC
，且
BE⊥
AH
，
AH
∩
BC
＝
H
，
∴
BE
⊥平面
ABC
，
∴
BE
⊥
CG
，又
BE
∩
AB
＝
B
，
∴
CG
⊥平面
ABE
，∴∠
CEG
就是
CE
与平面
ABE
所成的角，则∠
CEG
＝45°，
又
CE
＝2＋
∴
CG
＝
EG
＝3.
又
BC
＝2，∴∠
ABC
＝60°，
∴
AB＝
BC
＝
AC
＝2，∴
AH
＝3.
又由△< br>HCP
∽△
DEP
得
HP
＝
∴tan∠
AP H
＝＝3.
8．(2011·江苏)如图，在四棱锥
P
－
ABCD
中，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
AB
＝
AD
，∠
BAD
＝60°，
E
，
F
分别是
AP
，
AD
的中点．
求证：(1)直线
EF
∥平面
PCD
；
(2)平面
BEF
⊥平面
PAD．

3
，
3
2
2
2
＝6，
AH
HP

[解析] (1)在△
PAD
中，因为
E
，
F
分别 为
AP
，
AD
的中点，所以
EF
∥
PD．

又因为
EF
?平面
PCD
，
PD
?平面
P CD
，
所以直线
EF
∥平面
PCD．

(2) 连接
BD．
因为
AB
＝
AD
，∠
BAD
＝ 60°，所以△
ABD
为正三角形．因为
F
是
AD
的中点，所以
BF
⊥
AD．


因为平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
BF
?平面
ABCD
，

平面
PAD
∩平面
ABCD
＝
AD
，所以
BF
⊥平面
PAD
，
又因为
BF
?平面
BEF
，所以平面
BEF
⊥平面
PAD．