高中数学必修4必考题型-高中数学竞赛题解答
高中数学必修2知识点——直线与圆
整理 徐福扬
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,
当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角
的取值范围是0°≤α
<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这
条直线的斜率。
直线的斜率常用k表示。即
k?tan
?
。斜率反映直线与轴
的倾斜程度。
当
?
?
?
0
?
,90
?<
br>?
时,
k?0
; 当
?
?
?
90
?
,180
?
?
时,
k?0
;
当
?
?90
?
时,
k
不存在。
②过两点的直线的
斜率公式:
k?
y
2
?y
1
(
x
1
?x
2
)
x
2
?x
1
注意
下面四点:(1)当
x
1
?x
2
时,公式右边无意义,直线的斜率不
存在,倾
斜角为90°;
(2)k与P
1
、P
2
的顺序无
关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两
点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点
斜式:
y?y
1
?k
(
x?x
1
)
直线斜
率k,且过点
?
x
1
,y
1
?
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y
1
。
当直线的
斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜
式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x<
br>1
,所以它的方程是x=x
1
。
②斜截式:
y?kx?b
,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
y?y
1
x?x
1
?
(
x
1
?x
2,y
1
?y
2
)直线两点
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
y
2
?y
1
x
2
?x
1
④截矩式
:
x
?
y
?
1
ab
③两点式:
其中直线
l
与
x
轴交于点
(a,0)
,与
y
轴交于点
(0,b)
,即
l
与
x
轴、
y
轴的截距分
别为
a,b
。
⑤一般式:
Ax?By?C?0
(A,B不全为0)
1
各式的适用范围 ○
2
特殊的方程如:
注意:○
平行于x轴的直线:
y?b
(b为常数);
平行于y轴的直线:
x?a
(a
为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线
A
0
x?B
0
y?C
0
?
0
(<
br>A
0
,B
0
是不全为0的常数)的直线
系:
A
0
x?B
0
y?C?
0
(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系:
y?y
0
?k<
br>?
x?x
0
?
,直线过定点
?
x
0
,y
0
?
;
(ⅱ)过两条直线
l
1
:
A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
,
l<
br>2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的
交点的直
线系方程为
?
A
1
x?B
1
y?C1
?
?
?
?
A
2
x?B
2
y
?C
2
?
?0
(
?
为参数),其中直线
l
2
不在直线系中。
(6)两直线平行与垂直
当
l
1
:y
?k
1
x?b
1
,
l
2
:y?k
2
x?b
2
时,
l
1
l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
l
1
?
l
2
?k
1
k
2
??1
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。
(7)两条直线的交点
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?
0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
相交
?
A
1
x?B
1
y?C1
?0
交点坐标即方程组
?
的一组解。
Ax?By?C?0<
br>22
?
2
方程组无解
?l
1
l
2
;
方程组有无数解
?
l
1
与
l
2
重合
Bx
2
,y
2
)
(8)两点间距离公式:设
A(x
1<
br>,y
1
),(
是平面直角坐标系中的两个
点,
22
则
|AB|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)
(9)点到直线距离公式:一点
P
?
x
0
,y
0
?
到直线
l
1
:Ax?By?C?0的距
离
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?
B
22
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。
二、圆与方程
圆的标准方程
1、圆的标准方程:
(x?a)
2
?(y?b)2
?r
2
圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
的关系的判断方法:
(
1)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2<
br>>
r
2
,点在圆外 (2)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
=
r
2
,点在圆上
(3)
(x
0
?a)
2
?(y
0
?b)<
br>2
<
r
2
,点在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
0<
br>
2、圆的一般方程的特点:
(1)①x2和y2的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要求出这三个
系数,圆的方程就确定了.
(3)、与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元二次方程,代数特征
明显,圆的标准方程
则指出了圆心坐标与半径大小,几何特征较明显。
4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线
l
:
a
x?by?c?0
,圆
C
:
x
2
?y
2
?
Dx?Ey?F?
0
,圆的半径为
r
,圆心
(?
DE
则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
,?)
到直线的距离为
d
,
22
(1)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相离;(2)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相切;
(3)当
d?r
时,直线
l
与圆
C
相交;
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
l
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1<
br>与圆
C
2
相离;(2)当
l?r
1
?r
2<
br>时,圆
C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当|
r
1
?
r
2
|?
l?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相交; (4)当
l?
|
r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内切;(5)当
l?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2<
br>内
含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题
中的几何
元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
1、点
M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
,
x
、
y
、
z
分别
是P、Q、R在
x
、
y
、
z
轴上的坐标
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点 <
br>3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点<
br>M在此空间直角坐标系中的坐标,记M
(x,y,z)
,
x
叫做点M的
横坐标,
y
叫做
点M的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点
P
1
(x
1
,
y
1
,
z
1
)
到点<
br>P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
之间的
距离公式
N
1
x
O
M
1
MM
2
H
N
2
y
N
z
x
PR
M
O
Q
M'
y
P
1
P
2<
/p>