高中数学 B版 必修2 知识点总结 人教版

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高中数学B版必修II知识点总结
一、立体几何初步
（一）几何体
1．柱、锥、台、球的结构特征
（1）柱
棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，并且每相邻两个四边形
的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱 中两个互相平行的面叫
做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱 的侧
棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……
圆柱：以矩 形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体
叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论
旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的 母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；
（2）锥
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余 各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些
面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或 底；有公共顶点的各个三
角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边 叫做棱
锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……
圆锥：以直 角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面
所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴 为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的
底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面 和截面之间的部分叫做棱台；原棱
锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱 、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆
锥 的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球
以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称< br>为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直
径。
（5）组合体
由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。
2．空间几何体的三视图
三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
具体包括：
（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和长度；
（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的高度和宽度；
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（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；
它能反映物体的长度和宽度；
3．空间几何体的直观图
（1）斜二测画法
①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角
坐标系；
②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O
’
X
’
,O
’
Y
’
,使
?X
'
O
'
Y< br>'
=45
0
（或135
0
），它们确定的平面表示水平平面；
③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X
‘
轴，且长< br>度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y
‘
轴，且长度变为
原来的一半；
④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）。
（2）平行投影与中心投影
平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点。
（二）面积与体积
1．多面体的面积和体积公式


全面积
名称 侧面积(S
侧
) 体 积(V)
(S
全
)
棱
柱
直
直截面周长×
l
S
底
·h=S
直截
S
侧
面
棱
柱
·h
+2S
底

棱ch
S
底
·h
柱
棱
各侧面积之和
锥
S
侧
+S
1
棱
S
底
·h
正
锥
1
3
ch′
棱
底

2
锥
棱各侧面面积之
1
h(S
上底
+S
下底
台 和
S
侧
+S
棱
3
1
正

台
+
S
下底
?S
下底
)
棱
2
上底
+S
下底

台 (c+c′)h′ 表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示
侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式

名
圆柱 圆锥 圆台 球
称
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S
2πrl
侧
πrl π(r
1
+r
2
)l

S
2πr(l+r) πr(l+r)
π(r
1
+r
2
)l+π
2
(r
1
+r
2
)
2
4πR
2

全

V
πr
2
h(即
πr
2
l)
h(r
21
+r
1
r
2
+r
2
2
)
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r
1
、r
2
分别表示圆台
上、下底面半径，R表示半径。
（三）空间点线面
1．平面概述
（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度）
（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面
（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母
?
、
?
、
?
等表示，如平面
?
、平面?
；用
表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。
2．三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在 这个平面
内：A
?l
,B
?l
,A
?
?
, B
?
?
?
l?
?

公理2：如果两个平面有一个公 共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点
的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。
推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。
3．空间直线:
（1）空间两条直线的位置关系：
相交直线——有且仅有一个公共点；
平行直线——在同一平面内，没有公共点；
异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面
直线。
异面直线的画法常用的有下列三种：

b
b
?

b

a
a
a
?

?
?

（2）平行直线：
1
πr
2
h
3
1
π
3
4
πR
3

3
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在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结 论在空间也是成立
的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
（3）异面直线定 理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的
直线是异面直线。推理模式：A?
?
,B?
?
,a?
?
,B?a?
AB与a是异面直线。
4．直线和平面的位置关系
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类。
它们的图形分别可表示为 如下，符号分别可表示为
a?
?
，
a
?
?A
，a
?
。
a
a
a
?
?
A
?

线面平行的判 定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行。推理 模式：
a?
?
,b?
?
,ab?a
?
．






a
b
P
?
?
b
P
a
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平
面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：
a
?
,a??
,
??
?b?ab
．
5．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有
公共点）


?
a


b

?


（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平
面 ，那么这两个平面平行。

a?
?
?
?
定理的模式：b?
?
?

?
ab?P
?
?
?

?
a
?
?
?
b
?
?
?
?
?
a
b
c
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推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内 的两条相交直线，那么
这两个平面互相平行。
推论模式：
ab?P,a?
?
,b?
?
,a
?
b
?
?P
?
, a
?
?
?
,b
?
?
?
,aa
?< br>,bb
?
?
?

?
（2）两个平面
平行的性质 （1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平
6．线线垂直
判断线线垂直的方法 ：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，
必垂直于另一条。
三垂线定理：在 平面内的一条直线，如果它和这个平
P
面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和
这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条 斜线的射影垂
O
A
直。
a
PO?
?
,O?
?
?
?
推理模式：
PA
?
?A
?
?a?AO
。
a?
?,a?AP
?
?
?
注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线 a 其实质是：斜线和平面内一条
直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。
7．线面垂直
定义：如果一条直线l和一个平面α相交，并且和平面α
内的任意一条 直线都垂直，我们就说直线l和平面α互相垂直
其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面, 直线与平
面的交点叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。
直线与平面垂直的判定定理 ：如果一条直线和一个平面内
的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平
行。
8．面面垂直
两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
两平面垂直的判定定理：（线面垂直
?
面面垂直）
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
两平面垂直的性质定理 ：（面面垂直
?
线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一
个平面内垂直于它们的交线 的直线垂直于另一个平面。
二、解析几何初步
1．倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的 正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜
角，范围为
?
0,
?
?。
2．斜率：当直线的倾斜角不是90
0
时，则称其正切值为该直线的斜率，即 k=tan
?
;
当直线的倾斜角等于90
0
时，直线的斜率不存在。
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3．过两点p
1
(x
1
,y
1
),p
2
(x
2
,y
2
)(x
1
≠x
2
)的直线的斜率公式:k=tan
?
?
y
2
?y
1
（若x
1
＝x
2
，则
x
2
?x
1
直线p
1
p
2
的斜率不存在，此时直线的倾斜角为9 0
0
）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直 线方程的
形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
名
方程 说明 适用条件
称
斜k——斜率 倾斜角为90°的直
y=kx+b
截式 b——纵截距 线不能用此式
点(x
0
，y
0
)——直线上 倾斜角为90°的直
y-y
0
=k(x-x
0
)
斜式 已知点，k——斜率 线不能用此式
两
点式
y?y
1
=
y
2
?y
1
x?x
1

x
2
?x
1
xy
+=1
ab
(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)是
直线上 两个已知点
与两坐标轴平行的
直线不能用此式
截
距式
a——直线的横截距
b——直线的纵截距
过（0，0）及与两坐
标轴平行的直线不能用
此式

A、B不能同时为零
一
般式
?
Ax+By+C=0
A CC
，
?
，
?
BAB
分别为斜率、横截距和
纵截距
直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合
两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
5．直线l
1
与直线l
2
的的平行与垂直
（1）若l
1
，l
2
均存在斜率且不重合：
①l
1
l
2
?
k
1
=k
2；②l
1
?
l
2
?
k
1
k
2
=－1。
（2）若
l
1
:A< br>1
x?B
1
y?C
1
?0,
若A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零。
①l
1
l
2
?
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0

A
1
B
1
C
1
；

??
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
；
?
A
2
B
2
A
1
B
1
C
1
；
??
A
2
B
2
C
2< br>②l
1
?
l
2
?
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0；
③ l
1
与l
2
相交
?
④l
1
与l
2
重合
?
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注意：若A
2
或B
2< br>中含有字母，应注意讨论字母=0与
?
0的情况。两条直线的交点:
两条直线的 交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。
6． 距离
（1）两点间距 离：若
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2

特别地：
ABx
轴，则
AB?
|x
1
?x
2
|
、
ABy
轴，则
AB?
|y
1
?y
2
|
。
（2）平行线间距离：若
l
1
:Ax?By?C
1
?0,l
2
:Ax?By?C
2
?0
，
则：
d?
C
1
?C
2
A?B
22
。注意点：x，y对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：
P(x
?
, y
?
),l:Ax?By?C?0
，则P到l的距离为：
d?
Ax< br>?
?By
?
?C
A?B
22

7．圆的方程
圆心为
C(a,b)
，半径为r的圆的标准方程为：
(x?a)
2< br>?(y?b)
2
?r
2
(r?0)
。特殊
地，当a?b?0
时，圆心在原点的圆的方程为：
x
2
?y
2
?r
2
。
圆的一般方程
x
2
?y
2
?D x?Ey?F?0
，圆心为点
(?
DE
,?)
，半径
22< br>r?
D
2
?E
2
?4F
，其中
D
2
?E
2
?4F?0
。
2
二元二次方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
，表示圆的方程的充要条件是：
①、
x
2
项
y
2
项的系数相同且不为0，即
A?C?0
；②、没有xy项，即B=0；③、
D
2
?E
2
?4AF?0
。
8．直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)< br>2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种
（1） 若
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
，
d?r?相离???0
；
（2）
d?r?相切???0
；
（3）
d?r?相交???0
。
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还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
?
?
Ax?By?C?0
?
x?y?Dx?Ey?F?0
22
求解，通过
解的个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；
（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；
（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆 的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直
线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足 以下关系：
相切
?
d=r
?
Δ＝0；
相交
?
d?
Δ>0；
相离
?
d>r
?
Δ<0。
4．两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
，O
2
，半径分别为r
1
， r
2
，
O
1
O
2
?d
。
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
；
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
；
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；
外离
外切


相交 内切 内含

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判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。


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