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高中数学必修二 圆的标准方程

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 11:57
tags:高中数学必修二

高中数学人教版a必修几本-安徽高中数学教材全套



一、选择题
1.以(2,-1)为圆心,4为半径的圆的方程为( )
A.(x+2)
2
+(y-1)
2
=4
B.(x+2)
2
+(y-1)
2
=4
C.(x-2)
2
+(y+1)
2
=16
D.(x-2)
2
+(y+1)
2
=16
[答案] C
2.一圆的标准方程为x
2
+(y+1)
2
=8,则此圆的圆心与半 径分别
为( )
A.(1,0),4
C.(0,1),4
[答案] D
3.方程(x-a)
2
+(y-b)
2
=0表示的图形是( )
A.以(a,b)为圆心的圆
B.以(-a,-b)为圆心的圆
C.点(a,b)
D.点(-a,-b)
[答案] C
4.圆C:(x-2)
2
+(y+3)
2
=4的面积等于( )
A.π
C.4π
[答案] C
[解析] 半径r=4=2,则面积S=πr
2
=4π.
B.2π
D.8π
B.(-1,0),22
D.(0,-1),22


5.(2012 ~2013·安徽“江南十校”高三联考)若点P(1,1)为圆(x
-3)
2
+y< br>2
=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线方程为( )
A.2x+y-3=0
C.x+2y-3=0
[答案] D
1
[解析] 圆心C(3,0) ,k
PC
=-
2
,又点P是弦MN的中点,∴PC⊥
MN,∴kMN
k
PC
=-1,
∴k
MN
=2,∴弦MN所在直 线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1
=0.
6.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方
程是( )
A.(x+1)
2
+(y-3)
2
=29
B.(x-1)
2
+(y+3)
2
=29
C.(x+1)
2
+(y-3)
2
=116
D.(x-1)
2
+(y+3)
2
=116
[答案] B
|AB|1
[解析] 圆心为AB的中点(1,-3),半径为
2

2
?6+4?
2
+?-1+5?
2
=29,故选B.
3
7.圆(x-1)+y=1的圆心到直线y=
3
x的距离是( )
22
B.x-2y+1=0
D.2x-y-1=0
1
A.
2

C.1
3
B.
2

D.3


[答案] A
[解析] 先求得圆心坐标(1,0),再依据点到直线的距离公式求得
A答案.
8.方程y=9-x
2
表示的曲线是( )
A.一条射线
C.两条射线
[答案] D
[解析] 方程y=
所以方程y=
半个圆.
二、填空题
9.圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
过原点,则a、b、r满足的关系式为
________.
[答案] a
2
+b
2
=r
2

[解析] 代入(0,0)得a
2
+b
2
=r
2
.
10.圆 C:(x+4)
2
+(y-3)
2
=9的圆心C到直线4x+3y-1=0< br>的距离等于________.
8
[答案]
5

|-16+9-1|
8
[解析] C(-4,3),则d==
5
.
22
4+3
11.若圆C与圆(x+2)
2
+(y-1)
2
=1关于原点对称,则圆C的标
准方程是________.
9-x
2
可化为x
2
+y
2
=9(y≥0),
B.一个圆
D.半个圆
9-x
2
表示圆x
2
+ y
2
=9位于x轴上方的部分,是


[答案] (x-2)
2
+(y+1)
2
=1
[解析] 圆(x+2)
2
+(y-1)
2
=1的圆心为M(-2,1),半径r=1,
则点M关于 原点的对称点为C(2,-1),圆C的半径也为1,则圆C
的标准方程是(x-2)
2
+(y+1)
2
=1.
12.以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆 心,过另一
个交点的圆的方程为__________.
[答案] x
2
+ (y-4)
2
=20或(x-2)
2
+y
2
=20
[解析] 令x=0得y=4,令y=0得x=2,
∴直线与两轴交点坐标为A(0,4)和 B(2,0),以A为圆心过B的圆
方程为x
2
+(y-4)
2
=2 0,
以B为圆心过A的圆方程为(x-2)
2
+y
2
=20.
三、解答题
13.求过点A(1,-1),B(-1,1),且圆心C在直线x+y-2=0
上的圆的标准方程.
[解析]
?
x-y=0,
AB的中垂线方程 是x-y=0,解方程组
?
?
x+y-2=0,

?
x=1,

?
?
y=1,

即圆心C( 1,1),则半径r=|AC|=2,所以圆的标准方程
是(x-1)
2
+(y-1)
2
=4.
14.圆过点A(1,-2),B(-1,4),求
(1)周长最小的圆的方程;


(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.
[解析] (1)当AB 为直径时,过A、B的圆的半径最小,从而周
1
长最小.即AB中点(0,1)为圆心,半径r =
2
|AB|=10.则圆的方程为:
x
2
+(y-1)
2
=10.
(2)解法1:AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y
1
-1=
3
x.即x-3y+3=0
?
x-3y+3=0,

?
?
2x-y-4=0.


?
x=3,

?
?
y=2.


即圆心坐标是C(3,2).
r=|AC|=?3-1?
2
+?2+2?
2
=25.
∴圆的方程是(x-3)
2
+(y-2)
2
=20.
解法2:待定系数法
设圆的方程为:(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.
?
?

?
?-1-a?+?4 -b?=r,
?
?
2a-b-4=0.
222
?1-a?
2
+?-2-b?
2
=r
2


a=3,
?
?
?
?
b=2,
?
?
r=20.
2
∴圆的方程为:(x-3)
2
+(y-2)
2
=20.
[点评] ∵圆心在直线2x-y-4=0上,故可设圆心坐标为
C(x
0,
2x
0
-4),∵A,B在圆上,∴|CA|=|CB|可求x
0
,即可求得 圆的方
程,自己再用此思路解答一下.


15.(2012~2013·台州高一检测)已知圆N的标准方程为
(x-5)
2
+(y-6)
2
=a
2
(a>0).
(1)若点M(6,9)在圆上,求a的值;
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3), 线段PQ(不含端点)与圆N有且只
有一个公共点,求a的取值范围.
[解析] (1)因为点M在圆上,
所以(6-5)
2
+(9-6)
2
=a
2

又由a>0,可得a=10;
(2)由两点间距离公式可得
|PN|=
| QN|=
?3-5?
2
+?3-6?
2
=13,
?5-5?
2
+?3-6?
2
=3,
因为线段PQ与圆有 且只有一个公共点,即P、Q两点一个在圆
内、另一个在圆外,由于3<13,所以3(3,13).
16.如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0) ,AB边所
在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.


(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的方程.
[解析] (1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与
AB垂直,所以直 线AD的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y
-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.
?
x-3y-6=0,
(2)由< br>?
?
3x+y+2=0,

解得点A的坐标为(0,-2).
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又|AM|=?2-0?
2
+?0+2?
2
=22,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)
2
+y
2
=8.

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