【人教B版】2018版高中数学必修二学案全集(含答案)

1.1 空间几何体
1.1.1 构成空间几何体的基本元素
1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征
[学习目标] 1.以长方体的构成为例，认识构 成几何体的基本元素，同时在运动变化的观点
下，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系.2.理 解平面的无限延展性，学会判断平面
的方法.3.能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们 的相关概念、分类和表示方
法.

[知识链接]
观察下列图片，你知道这些图片所表示的物体在几何中分别叫什么名称吗？

答 ( 1)、(8)为圆柱；(2)为长方体；(3)、(6)为圆锥；(4)、(10)为圆台；(5)、(7)、( 9)为棱柱；
(11)、(12)为球；(13)、(16)为棱台；(14)、(15)为棱锥.
[预习导引]
1.几何体
只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其 他因素，则这个空间部分叫做一个

几何体.
2.构成空间几何体的基本元素
(1)点、线、面是构成几何体的基本元素.线有直线(段)和曲线(段)之分，面有平面(部分)和曲
面(部分)之分.
(2)在立体几何中，平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个 平面；平面一般用
希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命 名.
3.空间点、线、面的位置关系
(1)空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面.
(2)直线和平面的位置关系：平行、相交、在平面内.
(3)两个平面的位置关系：平行、相交.
4.多面体
(1)多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.
(2)把一个多面体的任意一个面延展 为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这
样的多面体就叫做凸多面体.
5.几种常见的多面体
多面体 定义 图形及表示 相关概念
底面(底)：两个互相
有两个面互相平行，其余
各面都是四边形，并且每
棱柱 相邻两个四边形的公共边
都互相平行，由这些面所
围成的多面体叫做棱柱

如图可记作：棱柱
ABCDEF-A′B′C′D′E′F′
平行的面.
侧面：其余各面.
侧棱：相邻侧面的
公共边.
顶点：侧面与底面
的公共顶点
底面(底)：多边形
面.
有一个面是多边形，其余
棱锥
各面都是有一个公共顶点
的三角形，由这些面所围
成的多面体叫做棱锥

如图可记作，棱锥S-ABCD
侧面：有公共顶点
的各个三角形面.
侧棱：相邻侧面的
公共边.
顶点：各侧面的公
共顶点

上底面：原棱锥的
截面.
下底面：原棱锥的
用一个平行于底面的平面
棱台 去截棱锥，底面与截面之
间的部分叫做棱台

如图可记作：棱台
ABCD-A′B′C′D′
底面.
侧面：其余各面.
侧棱：相邻侧面的
公共边.
顶点：侧面与上(下)
底面的公共顶点

要点一 长方体中基本元素间的位置关系
例1 如图所示，在长方体ABCD－A ′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延
伸为平面，那么在这12条直线与6个平 面中，回答下列问题：

(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？
(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？
(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？
(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？
解 (1)与直线B′C′平行的平面有：平面AD′，平面AC.
(2)与直线B′C′垂直的平面有：平面AB′，平面CD′.
(3)与平面BC′平行的平面有：平面AD′.
(4)与平面BC′垂直的平面有：平面AB′，平面A′C′，平面CD′，平面AC.
规律方法 1.解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与
平面平行、垂直. < br>2.长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、
线 、面的基本关系.
跟踪演练1 若本例中的题干不变，将问题(1)(2)中的“直线B′C′”改为 “直线BC′”，再去
解答前两个小题.
解 (1)与直线BC′平行的平面有：平面AD′.

(2)所给6个平面中，与直线BC′垂直的平面不存在.
要点二 棱柱的结构特征
例2 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
答案 (3)(4)
解析 (1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).
规律方法 棱柱的结构特征：
(1)两个面互相平行；
(2)其余各面是四边形；
(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看
是否满足其他特征.
跟踪演练2 下列关于棱柱的说法错误的是( )
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
答案 C
解析

对于A、B、D，显然是正确的；对于C，棱柱的定义 是这样的：有两个面互相平行，其余
各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面围成的几何体
叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条 件，因此
所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.所以C错误.
要点三 棱锥、棱台的结构特征
例3 下列关于棱锥、棱台的说法：

(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥，其中正确说法的序号是________.
答案 (2)(3)(4)
解析 (1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的
部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)

错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
规律方法 判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：

定底面
看侧棱
棱锥
只有一个面是多边形，此面即为底面
相交于一点
棱台
两个互相平行的面，即为底面
延长后相交于一点
跟踪演练3 棱台不具有的性质是( )
A.两底面相似
C.侧棱长都相等
答案 C
解析 由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一
定相等.
要点四 多面体的表面展开图
例4 画出如图所示的几何体的表面展开图.
B.侧面都是梯形
D.侧棱延长后相交于一点

解 表面展开图如图所示：

规律方法 多面体表面展开图问题的解题策略：
(1)绘 制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或
者是亲手制作多面体 模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底
面画出来，然后依次画出各侧面， 便可得到其表面展开图.
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体 展开的，则可把
上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有 多
个表面展开图.
跟踪演练4

一个无盖的正方体盒子的平面展开图如 图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子
中，∠ABC＝________.
答案 60°
解析 将平面图形翻折，折成空间图形，如图.


1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有( )
A.1个
C.3个
B.2个
D.4个

答案 D
解析 由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.
2.棱柱的侧面都是( )
A.三角形
C.五边形
答案 B
解析 由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.
3.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
B.四边形
D.矩形

A.①③
C.③④
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个
三角 形作底面折叠都不能折成正四面体.
4.下列几何体中，________是棱柱，________ 是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).
B.②④
D.①②


答案 ①③④ ⑥ ⑤
解析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
5.线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动
3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体
ABCD－A′B′C′D′.
(1)该长方体的高为________；
(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________；
(3)点A到平面BCC′B′的距离为________.
答案 (1)3 cm (2)4 cm (3)5 cm

解析 如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm，∴长方体
的高为3 cm；平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm；点A到平面BCC′B′的距离为
5 cm.
1.空间几何体的本质
(1) 几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分，如长方体形的盒子外表面
不是长方体，而外 表面加上它所占据的空间才是长方体.
(2)数学上的几何体是一个抽象概念，只需考虑它的形状和大 小，研究它的结构特征和构成
元素间的逻辑关系等.
2.两个特殊的空间位置关系
(1)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形；
(2)平面和平面垂直是两个平面相交的特殊情形.
3.(1)点到平面的距离：点与平面内 任一点连线中最短的一条线段的长度.特别地，当点在平
面内时，点到平面的距离为0.
(2)两个平行平面间的距离，可转化为其中一个平面内任一点到另一个平面的距离.
4.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图 表示出来(以三棱柱、三棱
锥、三棱台为例).

5.各种棱柱之间的关系
(1)棱柱的分类
?
正棱柱
?
直棱柱
?
?
?
棱柱
?
?
一般的直棱柱
?
斜棱柱



(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系

6.棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
斜
棱
柱
棱
柱
直
棱
柱
正
棱
柱
正
棱
棱
锥
锥
其
他
棱
锥
正
棱
棱
台
台
其
他
棱
台


平行且相似的
两个多边形
梯形
延长后交于一
点

与底面相似
平行且相似的
两个正多边形
全等的等腰梯
形
相等且延长后
交于一点
一个多边形 三角形
有一个公共顶
点
与底面相似
一个正多边形
底面 侧面 侧棱 高
平行于底面的
截面
平行且全等的
两个多边形
平行四边形 平行且相等

与底面全等
平行且全等的
两个多边形
矩形
平行、相等且
垂直于底面
等于侧棱 与底面全等
平行且全等的
两个正多边形
全等的矩形
平行、相等且
垂直于底面
等于侧棱 与底面全等
全等的等腰三
角形
有一个公共顶
点且相等
过底面中心 与底面相似

与底面相似
1.2.2 空间中的平行关系
第1课时 平行直线、直线与平面平行
[学习目标] 1.能认识和理解空间平行线的传递性 ，会证明空间等角定理.2.掌握直线与平面

平行的判定定理和性质定理，并能利用两个 定理解决空间中的平行关系问题.

[知识链接]
1.直线和平面的位置关系有：平行、相交、直线在平面内.
2.当直线与平面无公共点时，直线和平面平行.
[预习导引]
1.平行直线的定义及平行公理
在平面几何中，我们把在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线.
平行公理：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
2.基本性质4
平行于同一条直线的两条直线互相平行，即如果直线a∥b，c∥b，那么a∥c.
3.等角定理
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.
解决学生凝难点：
4.直线和平面的位置关系
位置关系 直线a在平面α内
直线a与平面α相
交
有且只有一个公共
点
a∩α＝A

直线a与平面α平
行
没有公共点
a∥α
公共点
符号表示
图形表示
有无数个公共点
a?α


5.直线与平面平行的判定定理及性质定理
定理
判定
条件
如果不在一个平面内的一条直线
和平面内的一条直线平行
如果一条直线和一个平面平行，
性质 经过这条直线的平面和这个平面
相交
结论
这条直线和这个
平面平行
这条直线和这两个
平面的交线平行
符号语言
l?α，m?α，l
∥m?l∥α
l∥α，l?β，α
∩β＝m?l∥
m

要点一 基本性质4及等角定理的应用
例1 如图，已知棱长为a的正方体ABCDA
1
B< br>1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱CD、AD的中点.

(1)求证：四边形MNA
1
C
1
是梯形；
(2)求证：∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
证明 (1)如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD、AD的中点，
∴MN是△DAC的中位线，
1
∴MN∥AC，MN＝AC.
2
由正方体的性质得：
AC∥A
1
C
1
，AC＝A
1
C
1
.
1
∴MN∥A
1
C
1
，且MN＝A
1
C
1< br>，即MN≠A
1
C
1
，
2
∴四边形MNA
1
C
1
是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A
1
C
1
，
又∵ND∥A
1
D
1
，
∴∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
相等或互补. 而∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
.
规律方法 (1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两
直 线没有公共点；②利用基本性质4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)等角定理 的结论是相等或互补，在实际应用时，一般再借助于图形判断是相等，还是互
补，还是两种情形都有可能 .
跟踪演练1 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的
中点.

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明 (1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
要点二 线面平行的判定
例2 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别
是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
证明 方法一 作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，如图①，

①
则PM∥QN，
PMEPQNBQ
∴＝，＝.
ABEACDBD
又∵EA＝BD，AP＝DQ，
∴EP＝BQ.
又AB＝CD，∴PM綊QN.
∴四边形PMNQ是平行四边形.∴PQ∥MN.
又PQ?平面CBE，MN?平面CBE，
∴PQ∥平面CBE.
方法二 连接AQ，并延长交直线BC于R，连接ER，如图②.

②
∵AD∥BR，
AQDQ
∴＝.
ARDB
又DQ＝AP，DB＝AE，
AQAP
∴＝∴PQ∥ER.
ARAE
又PQ?平面CBE，ER?平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
规律方法 1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线
平行的直线.
2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、
平行公理 等.
跟踪演练2 如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：
SA∥平面MDB.

证明 连接AC交BD于点O，连接OM.

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是AC的中点，
又∵M是SC的中点，
∴OM∥SA.
∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，∴SA∥平面MDB.
要点三 线面平行的性质定理的应用
例3 已知：α、β是两个平面，a、l是两条直线，且α∩β＝l，a∥α，a∥β.求证：a∥l.
证明 如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.

同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c，∴b∥c.
又b?β，c?β，∴b∥β.
又b?α，α∩β＝l，∴b∥l，∴a∥l.
规律方法 线∥面
线面平行的判定
线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线 面平行的
判定与性质是解决此类问题的关键.
跟踪演练3 如图，在直四棱柱ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为等腰 梯形，AB∥
＝＝CD＝2，AA
1
＝2，E，E
1
，F分别是棱A D，AA
1
，AB的中点.
线面平行的性质

证明：直线EE
1
∥平面FCC
1
.
证明 如图，在直四棱柱ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中.
取A
1
B
1
的中点F
1
，连接A
1
D，C1
F
1
，CF
1
，FF
1
.

∵FF
1
∥BB
1
∥CC
1
，
∴F
1
F?平面FCC
1
，
∴平面FCC
1
即为平面C
1
CFF
1
.
∵AB＝4，CD＝2且AB∥CD，∴CD綊A
1
F
1
，
∴A
1
F
1
CD为平行四边形，
∴CF
1
∥A
1
D.
又E，E
1
分别是棱AD，AA
1
的中点，
∴EE
1
∥A
1
D，∴CF
1
∥EE
1
，
又 EE
1
?平面FCC
1
，CF
1
?平面FCC
1< br>，
∴直线EE
1
∥平面FCC
1
.

1 .如果OA∥O
1
A
1
，OB∥O
1
B
1
，那么，∠AOB和∠A
1
O
1
B
1
( )
A.相等 B.互补

C.相等或互补
答案 C
D.大小无关
解析 因为角的方向不定，所以∠AOB与∠A
1
O
1
B
1
相等或互补.
2.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A.一条直线不相交
C.无数条直线不相交
答案 D
解析 线面平行，则线面无公共点，所以选D，对于C，要注意“无数”并不代表所有.
3.如图，在下列四 个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱
的中点，能得出AB∥平面M NP的图形的序号是( )
B.两条相交直线不相交
D.任意一条直线不相交


A.①③
C.②③
答案 B
解析 ①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，AB?平面?平面MNP，∴AB
∥平面MNP； ②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相
交；
④中，∵AB∥NP，AB?平面?平面MNP.
∴AB∥平面MNP.
4.l< br>1
，l
2
，l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 ( )
A.l
1
⊥l
2
，l
2
⊥l
3
?l
1
∥l
3

B.l
1
⊥l
2
，l
2
∥l
3
?l
1
⊥l
3
< br>C.l
1
∥l
2
∥l
3
?l
1
，l
2
，l
3
共面
D.l
1
，l
2
，l
3
共点?l
1
，l
2
，l
3
共面
答案 B
B.①④
D.②④

解析 在空间中，垂直 于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂
直于第三条直线，则另一条也垂直于第 三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，
如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不 一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D
错.
5.如图所示，a∥α，A是α的另一侧的点，B 、C、D∈a，线段AB、AC、AD分别交α于E、
F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则E G＝________.

答案
20

9
解析 由已知EG∥BD，
EGAF20
∴＝，∴EG＝.
BDAC9

1.求证两直线平行有两种常用的方法：一是应用基本性质4，证明时要充分应用好平面几何
知识，如 平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理等；二是证明在同一平面内，这两
条直线无公共点. < br>2.求证角相等也有两种常用的方法：一是应用等角定理，在证明的过程中常用到基本性质4，
注 意两角对应边方向的讨论；二是应用三角形全等或相似.
3.利用直线与平面平行的判定定理来证明线 面平行，关键是寻找面内与已知直线平行的直线，
常利用平行四边形、三角形中位线、平行公理等.
4.利用线面平行的性质定理解题的步骤：
(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；
(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平面相交的平面；
(3)确定交线，由性质定理得出结论.


1.2.3 空间中的垂直关系
第1课时 直线与平面垂直
[学习目标] 1.了解直线与平面垂直的概 念.2.掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理.3.

掌握一些求点到平面距离的常 用方法.

[知识链接]
生活中处处都有直线和平面垂直的例子，如旗杆和地面、 路灯与地面等等.在判断线面平行
时我们有判定定理，那么判断线面垂直又有什么好办法呢？
[预习导引]
1.直线与直线垂直
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一 点，并且交角为直角，则称这两条直线互相
垂直.
2.直线与平面垂直的定义
如果 一条直线和一个平面相交于点O，并且和这个平面内过交点(O)的任何直线都垂直，我
们就说这条直线 和这个平面互相垂直，这条直线叫做平面的垂线，这个平面叫做直线的垂面，
交点叫做垂足.垂线上任意 一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段.垂线段的
长度叫做这个点到平面的距离.
3.直线与平面垂直的性质
如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.
4.直线与平面垂直的判定定理及其推论
定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.

要点一 直线和平面垂直的定义
例1 下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与 平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有
与l垂直的直线；③若直 线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若
平面α内有一条直线与直线l不垂直， 则直线l与平面α不垂直.
答案 ③④
解析 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与 平面α垂直，所以①不正确；当l与α
不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确， ③正确.根据线面垂直的定
义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.
规律方法 1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任

何 一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的
任何直线.由此 可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定
不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b.
跟踪演练1 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A.若l⊥m，m?α，l⊥α
C.若l∥α，m?α，则l∥m
答案 B
解析 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；
对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与
平面α内 任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m
异面；对于D，l ，m还可能相交或异面.
要点二 线面垂直的判定
例2 如图所示，在三棱柱ABCA1
B
1
C
1
中，侧棱AA
1
⊥底面ABC，A B＝AC＝1，AA
1
＝2，∠
B
1
A
1
C
1
＝90°，D为BB
1
的中点.
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
D.若l∥α，m∥α，则l∥m

求证：AD⊥平面A
1
DC
1
.
证明 ∵AA
1
⊥底面ABC，
平面A
1
B
1
C
1
∥平面ABC，
∴AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，
显然A
1
C
1
?平面A
1
B
1
C
1
，
∴A
1
C
1
⊥AA
1
.
又∠B
1
A
1
C
1
＝90°，
∴A1
C
1
⊥A
1
B
1
而A
1
B
1
∩AA
1
＝A
1
，
∴A
1
C
1
⊥平面AA
1
B
1
B，AD?平面AA
1
B
1
B，
∴A
1
C
1
⊥AD.
由已知计算得AD＝2，A
1
D＝2，AA
1
＝2.
∴A D
2
＋A
1
D
2
＝AA
2
1
，
∴A
1
D⊥AD.
∵A
1
C
1
∩A
1
D＝A
1
，

∴AD⊥平面A
1
DC
1
.
规律方法 证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直) ；②判定定理
最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾 股定
理逆定理等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来
论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β.
跟踪演练2 如图，在正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底
面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB
1
O.

证明 ∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB
1
⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB
1
，
又∵BO∩BB
1
＝B，∴AC⊥平面BB
1
O，
又EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC，
∴EF⊥平面BB
1
O.
要点三 直线与平面垂直的性质及应用
例3 如图，正方体A
1
B
1
C
1
D
1< br>ABCD中，EF与异面直线AC、A
1
D都垂直相交.

求证：EF∥BD
1
.
证明 如图所示，

连接AB
1
、B
1
D
1
、B
1
C、B D，
∵DD
1
⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴DD
1
⊥AC.
又AC⊥BD，DD
1
∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD
1
B
1
，
又BD
1
?平面BDD
1
B
1
，
∴AC⊥BD
1
.
同理可证BD
1
⊥B
1
C，
∴BD
1
⊥平面AB
1
C.
∵EF⊥A
1
D，
A
1
D∥B
1
C，∴EF⊥B
1
C.
又∵EF⊥AC，AC∩B
1
C＝C，
∴EF⊥平面AB
1
C，∴EF∥BD
1
.
规律方法 证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪演练3 如图，已知 平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a
?β，a⊥AB.求证：a∥ l.

证明 因为EA⊥α，α∩β＝l，
即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB，
又EA∩EB＝E，
所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a?β，
所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.

1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A.平行
C.相交不垂直
答案 B
解析 由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂
直.
2.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是( )
B.垂直
D.不确定

A.平行
C.垂直但不相交
答案 C
解析 连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD， 则BD⊥MC.因为
AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD. 显然直线MA与直线
BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
3.下列表述正确的个数为( )
①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；
②若直线a?平面α，b?α，且a⊥b，则a⊥α；
③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；
④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.
A.0
C.2
答案 A
解析 ①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；
②中a与α还可能 平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知
④错.
4.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是( )
B.1
D.3
B.垂直相交
D.相交但不垂直

①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
A.①③
C.②④
答案 A
解析 由线面垂直的判定定理知， 直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边
不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平 面不一定垂直.
5.若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的有________个.
①a⊥α，b∥α?a⊥b; ②a⊥α，a⊥b?b∥α；
③a∥α，a⊥b?b⊥α； ④a⊥α，b⊥α?a∥b.
答案 2
解析 由线面垂直的性质定理知①④正确.

1.直线与平面垂直的判定方法：
(1)利用定义；
(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线.
2.对于线面垂直的性质定理(推论2)的理解：
(1)直线与平面垂直的性质定理(推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法.
(2) 定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关
系转化的依据.


B.②
D.①②④
第2课时 平面与平面垂直
[学习目标] 1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解
线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系.

[知识链接]
1.直线与平面垂直的判定定理
定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.
推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；
推论2：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
2.直线与平面垂直的性质

定义：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直.
a⊥α
?
?
?
?a⊥b. 符号表示：
b?α
?
?
[预习导引]
1.平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交
线互 相垂直，就称这两个平面互相垂直.
2.平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直.
3.平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.


要点一 平面与平面垂直判定定理的应用
例1 如图，AB是⊙O的直径，PA垂 直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意
一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.

证明 连接AC，BC，则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即 要证面面垂直，只需转证线
面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
跟踪演练1 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，

求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明 设AC∩BD＝O，连接OE，

∵AC⊥BD，AC⊥PD，PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.
又∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面PDB.
要点二 面面垂直性质定理的应用
例2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.
解 已知：α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.
求证：l⊥γ.
方法一 在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直β与γ的交线于B，

则PA⊥α，PB⊥β.
∵l＝α∩β，∴l⊥PA，l⊥PB.
又PA∩PB＝P，且PA?γ，PB?γ，
∴l⊥γ.
方法二 在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在β内作直线n垂直于β与γ的交线，

∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ.
∴m∥n.又n?β，∴m∥β.
又m?α，α∩β＝l，∴m∥l.∴l⊥γ.
规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的 重要方法，因此，在有面面垂直的条件下，若

需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性 质.
跟踪演练2 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥
AB.

证明 在平面PAB内，作AD⊥PB于D.

∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB.
∴AD⊥平面PBC.
又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.
要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用
例3 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，< br>侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)∵在菱形ABCD中，G为AD的中点，∠DAB＝60°，
∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，如图，

∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，
∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
规律方法 证明线面垂直，一种 方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂
直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑 面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定
理，证明线面垂直的问题时，要注意以下三点；(1)两个 平面垂直；(2)直线必须在其中一个
平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪演练3 如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝B C
＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.

证明：PA⊥BD.
证明 如图，取BC的中点O，
连接PO、AO.

∵PB＝PC.
∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO?平面PBC，
∴PO⊥底面ABCD.∵BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，
易证△ABO≌△BCD，
∠BAO＝∠CBD，
∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°
∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O，
∴BD⊥平面PAO，又PA?平面PAO，∴BD⊥PA.

1.若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A.α∥γ B.α⊥γ

C.α与γ相交但不垂直
答案 D
D.以上都有可能
解析 以正方体为模型；相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和
一对 角面都与底面垂直，故选D.
2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面( )
A.有1个
C.有无数个
答案 C
解析 由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
3.已知长方体AB CDA
1
B
1
C
1
D
1
，在平面AB1
上任取一点M，作ME⊥AB于E，则( )
⊥平面AC
∥平面AC
答案 A
解析 由于ME?平面AB
1
，平面AB
1
∩平 面AC＝AB，且平面AB
1
⊥平面AC，ME⊥AB，则
ME⊥平面AC.
4.如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面
PAD的位置关系是( )
?平面AC
D.以上都有可能
B.有2个
D.不存在

A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直
B.它们两两垂直
C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直
D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直
答案 A
解析 ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB.
由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，
得AD⊥平面PAB.
∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.
由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.
5.下列四个命题中，正确的序号有________.

①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；
②α∥β，β∥γ，则α∥γ；
③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；
④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ.
答案 ①②
解析 ③④不正确，当α⊥β，γ⊥β时，α，γ可以平行、相交或垂直.

1.面 面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数
学中的化归转化思 想，其转化关系如下：

2.运用平面垂直的性质定理时，一般需要作铺助线，基本作法是过 其中一个平面内一点作交
线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.


第2课时 平面与平面平行
[学习目标] 1.通过对图形的观察，了解空间中不重合的两平 面有平行和相交两种位置关
系.2.掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理.

[知识链接]
1.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一 条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行.
2.直线和平面平行的性质定理：如果一条直线 和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个
平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行.
[预习导引]
1.空间两个平面的位置关系
位置关系
两平面平行

图形语言 符号语言
α∥β
公共点个数
无

两平面相交

2.两个平面平行的判定定理
α∩β＝a
无数个点有一条
公共直线
(1)定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
(2 )推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个
平面平行.
3.两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.
4.三个平面平行的性质
两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.

要点一 平面与平面的位置关系
例1 已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a?α，b?β， 则a∥b；
②若两个平面α∥β，a?α，b?β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β；a?α，b?β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β；a?α，b?β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，；a?α，则a与β一定相交.
其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上).
答案 ③④
解析 ①错，a与b也可能异面；
②错.a与b也可能平行；
③对.∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a?α，b?β，∴a与b无公共点；
④对.由已知及③知：a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面；
⑤错.a 与β也可能平行.
规律方法 两个平面的位置关系有两种：平行和相交，没有公共点则平行，有公共点 则相交，
熟练掌握这两种位置关系，并借助图形来说明，是解决本题的关键.
跟踪演练1 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位
置关系一定是( )
A.平行
C.平行或相交
B.相交
D.不能确定

答案 C
解析 如图所示，由图可知C正确.

要点二 平面与平面平行的判定
例2 在正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
中，M，E，F，N分别是A
1
B
1
， B
1
C
1
，C
1
D
1
，D
1A
1
的中点.
求证：(1)E，F，B，D四点共面；
(2)平面MAN∥平面EFDB.
证明 (1)如图，连接B
1
D
1
，

∵E，F分别是边B1
C
1
，C
1
D
1
的中点，
∴EF∥B
1
D
1
，
而BD∥B
1
D
1
，∴BD∥EF.
∴E，F，B，D四点共面.
(2)易知MN∥B
1
D
1
，B
1
D
1
∥BD，∴MN∥BD.
又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB，
∴MN∥平面EFDB.
连接DF ，MF.∵M，F分别是A
1
B
1
，C
1
D
1的中点，
∴MF∥A
1
D
1
，MF＝A
1
D
1
，
∴MF∥AD，MF＝AD.
∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.
又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，
∴AM∥平面BDFE.
又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.
规律方法 证明两个平面平行的关键在 于证明线面平行，在证明面面平行时，可利用面面平
行判定定理的推论：如果一个平面内的两条相交直线 平行于另一个平面内的两条相交直线，
则这两个平面平行.即证一个平面内的两条相交直线与另一个平面 的两条相交直线分别平行
即可.
跟踪演练2 如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是 AB，AC，AP的中点.证明：平面
GEF∥平面PCB.

证明 因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，
所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF?平面PCB，
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，
所以平面GFE∥平面PCB.
要点三 面面平行的性质定理的应用
例3 如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边 形A′B′C′D′所
确定一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.

求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明 在?A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′.
∵A′B′?平面C′D′DC，C′D′?平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
同理A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，
平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.
同理AD∥BC.∴四边形ABCD是平行四边形.
规律方法 1.利用面面平行的性质定理 证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面
的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构 造第三个面与两平行平面都相交.
2.面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用， 可实现线线、线面及面面
平行的相互转化.
跟踪演练3 两条异面直线BA、DC与两平行平 面α、β分别交于B、A和D、C，M、N分
别是AB、CD的中点.
求证：MN∥平面α.
证明 如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，

连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD，∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，
∵α∥β，∴AC∥DE.
又P、N分别为AE、CD的中点，
∴PN∥?α，DE?α，
∴PN∥α.
又M、P分别为AB、AE的中点，
∴MP∥BE，且MP?α，BE?α，
∴MP∥α，又MP∩PN＝P，
∴平面MPN∥α.
又MN?平面MPN，∴MN∥α.

1.圆柱的两个底面的位置关系是( )
A.相交
C.平行或异面
答案 B
解析 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行.
2.下列说法正确的是( )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行.
A.①③
C.②③④
答案 D
解析 由两平面平行的判定定理知③④正确.
3.在正方体EFGHE
1
F
1
G
1
H
1
中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
B.②④
D.③④
B.平行
D.相交或异面

A.平面E
1
FG1
与平面EGH
1

B.平面FHG
1
与平面F
1
H
1
G
C.平面F
1
H
1
H与平面FHE
1

D.平面E
1
HG
1
与平面EH
1
G
答案 A
解析 EG∥E
1
G
1
，EG?平面E
1
FG
1
，E
1
G
1
?平面E
1
FG，∴EG∥面E
1
FG
1
，同理EH
1
∥平面
E
1
FG
1
，且EG∩EH
1
＝E，∴平面EGH
1
∥平面E
1
FG
1
.
4.已知a和b是异面直线，且a ?平面α，b?平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关
系是________.
答案 平行
解析 在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，
设γ∩β＝l，则l?β，∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
5.若平面α∥平面β，a?α，下列说法正确的是________.
①a与β内任一直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③a与β内任一直线不垂直；④a与β无公共点.
答案 ②④
解析 ∵a?α，α ∥β，∴a∥β，∴a与β无公共点，④正确；如图，在正方体中，令线段
B
1
C1
所在的直线为a，显然a与β内无数条直线平行，故②正确；又AB⊥B
1
C< br>1
，故在β内
存在直线与a垂直，故①③错误.


常见的面面平行的判定方法：
(1)利用定义：两个平面没有公共点.
(2)归纳为线面平行.
①平面α内的所有直线(任一直线)都平行于β，则α∥β；
②判定定理：平面α内的两条相交直线a，b都平行于β.

a?α
b?α
?
?
a∩b＝P
?α∥β，五个条 件缺一不可.
?
a∥β
?
?
b∥β
应用时的关键是在α内 找到与β平行的相交直线a，b.
(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条 相交直线分别平行，则α
∥β(证明后可用).
(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行.
1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球
[学习目标] 1.通过观察实物和几何模型，总结出圆 柱、圆锥、圆台和球的结构特征.2.能根
据圆柱、圆锥、圆台和球的定义和结构特征，掌握它们的相关 概念、分类和表示方法.

[知识链接]
ACBC
(1)如图①，在直角三角形ABC中，sin B＝，cos B＝.
ABAB
(2)如图②，圆内接三角形ABC，AC过圆心，则∠B＝90°.

① ② ③

ADAE
(3)如图③，在△ABC中，DE∥BC，则＝.
DBEC
[预习导引]
1.圆柱、圆锥和圆台
圆柱、圆锥和圆台可以分别看作以矩形的一边，直角三角
定义
形的一条直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线
为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角 梯形分别旋转一周
而形成的曲面所围成的几何体

结构特征
轴
高
底面
旋转轴叫做所围成的几何体的轴
在轴上的这条边(或它的长度)叫做这个几何体的高
垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做这个几何体的底面
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做这个几何体的侧面
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的这条边都叫做侧面的
母线
结构特征
侧面
母线
图形

2.球
(1)一个半圆绕着它的直 径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面；球面围成的几何体，
叫做球.
(2)球面被经过 球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的
小圆.
(3)球的 截面的性质：①球的截面是一个圆面；②球心与截面圆心的连线垂直于截面；③球
半径R、截面圆半径r ，则球心到截面的距离d＝R
2
－r
2
.
(4)球面距离是指经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度.
(5)在球面上，两点 之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，
我们把这个弧长叫做两点的球面 距离.
3.组合体
由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体.

要点一 旋转体的结构特征
例1 判断下列各命题是否正确.
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥 、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰
梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.
解 (1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.
(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一 周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简

单组合体，如图所示.

(3)正确.
(4)错.应为球面.
规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一 个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，
必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断
与这些概 念有关的命题的正误.
跟踪演练1 下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
A.0
C.2
答案 A
解析 ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角 梯形垂
直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥
底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.
要点二 简单组合体的结构特征
例2 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB ，CD，AD为轴
旋转，试说明所得几何体的结构特征.
B.1
D.3

解 (1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.
(2)以CD边为轴旋转 所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆
锥.如图(2)所示.
(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.

规律方法 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂 线，然后想象所
得旋转体的结构和组成.
2.必要时作模型培养动手能力.
跟踪演练2 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单
几何体组成的？

解 图(1)、图(2)旋转后的图形如图所示分别是图①、图②.其中图①是由一个圆柱O
1
O
2
和
两个圆台O
2
O
3
，O
3
O
4
组成的；图②是由一个圆锥O
5
O
4
，一个圆柱O
3
O
4
及一个圆台O
1
O
3
中挖去圆锥O
2
O
1
组成的.

要点三 有关几何体的计算问题
例3 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、 下底面的面
积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.

解 设圆台的母线长为l，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、
下 底面的半径分别为r,4r.

过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.
SA′O′A′
∴＝.
SAOA

∴
3r1
＝＝.
3＋l
4r4
解得l＝9(cm)，
即圆台的母线长为9 cm.
规律方法 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全
等或相似)，同时结合
旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何
变 量的方程组而得解.
跟踪演练3 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm
2
和25π cm
2
.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解

如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x
cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.
(1)由勾股定理得h＝12
2
－?5－2?
2
＝315(cm).
x－12
2
(2)由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm).
x5
答 (1)圆台的高为315 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.

1.下列几何体是台体的是( )


答案 D
解析 台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在 于截面
与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
2.图1是由下列哪个平面图形绕轴O′O旋转而成的组合体( )

答案 D
解析 组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角 形，下
半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.
3.下面几何体的截面一定是圆面的是( )
A.圆台
C.圆柱
答案 B
解析 截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球. < br>4.下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点
的连 线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的
母线；④圆柱的任 意两条母线相互平行.其中正确的是( )
A.①②
C.①③
答案 D
解析 ①③错误，②④正确.
5.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
答案 103
解析 h＝20cos 30°＝103.

1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
B.②③
D.②④
B.球
D.棱柱

2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的
思想.

1.1.4 投影与直观图
[学习目标] 1.了解中心投影与平 行投影.2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图.3.
用斜二测画法画常见的柱、锥、台以及 简单组合体的直观图.

[知识链接]
1
1.三角形的面积S＝ah(其中a为底边长，h为底边上的高).
2
1
2.梯形的面积S＝(a＋b)h(其中a、b为两底长，h为高).
2
[预习导引]
1.平行投影
已知图形F，直线l与平面α相交.过F上 任意一点M作直线MM′平行于l，交平面α于点M′，
则点M′叫做点M在平面α内关于直线l的平行 投影(或象).如果图形F上的所有点在平面α
内关于直线l的平行投影构成图形F′，则F′叫做图形 F在α内关于直线l的平行投影.
2.平行投影的性质
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：
(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；
(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；
(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；
(4)与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；
(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
3.中心投影
一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投
影.
4.水平放置的平面图形的直观图的画法
(1)表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.
(2)用斜二测画法画空间图形的 直观图时，图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段在直观图中
分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的 线段，平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度不变，
平行于y轴的线段，长度为原来的一半. (3)对于图形中与x轴、y轴、z轴都不平行的线段，可通过确定端点的办法来解决，即过端
点作 坐标轴的平行线，再借助于所作的平行线确定端点在直观图中的位置.

要点一 中心投影与平行投影
例1 下列说法：
①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；
②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；
③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式.
其中正确的个数为( )
A.0
C.2
答案 D
解析 平行投影的投影线互相平行，中 心投影的投影线相交于一点；空间图形经过中心投影
后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交线，如 照片中由近到远物体之间的距离越来越
近，最后相交于一点；几何体在平行投影与中心投影下有不同的表 现形式.故3种说法都正
确.
规律方法 1.考察一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是 平行投影还是中心投影，投影
面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
2. 平行投影需注意图形、投射线、投射面之间的位置关系，位置发生改变，一般情况下投影
也会改变.
3.中心投影与人的视觉效果一致，解题时可结合生活实际作出判断.
跟踪演练1 如图所示 ，这是圆桌正上方的灯泡(看做一个点)发出的光线照射桌面后，在地
面上形成的阴影(圆形)的示意图 .已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面1 m，若灯泡距离
地面3 m，则地面上阴影部分的面积为________(忽略桌脚).
B.1
D.3

答案 0.81π m
2

0.62
解析 设地面阴影圆的半径为x，则有＝，∴x＝0.9，∴阴影圆的面积为S＝πx
2
＝0.81π m
2
.
x3
要点二 画水平放置的平面图形的直观图
例2 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.

解 画法：(1)如图所示， 取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画
对应的坐标系x′O′y′，使∠x′ O′y′＝45°.

1
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB， 在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画C′D′∥x′轴，并
2
使C′D′＝CD. < br>(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观 图.
规律方法 1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.
2. 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边
形尽可能多的顶 点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行
于坐标轴的线段来完成.
跟踪演练2 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.

解 (1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.

(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
1
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA ，连接A′B′，A′C′，则三
2
角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所 示.
要点三 由直观图还原平面图形
例3 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形
的面积为( )

A.
2
2
a
4
B.22a
2

C.a
2

答案 B
解析
D.2a
2


由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·22a＝22a
2
.
规律方法 由直观图还原平面图形关键有两点：
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；
(2)对于相邻两边 不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的
位置.
跟踪演练3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为2，则
原梯形的面积为( )

A.2
C.22
答案 D
解析 如图，由斜二测画法原理知，
原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，
不一样的是两个梯形的高
B.2
D.4

原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的2倍
由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的
22 倍，梯形O′A′B′C′的面积为2，所以原梯形的面积是4.
要点四 空间几何体的直观图
例4 画一个正五棱柱的直观图(尺寸自定)
解 (1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴， 使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，

并在这些平 行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正五棱柱的高.
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.

规律方法 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z
轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变.”
跟踪演练4 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解 画法：(1)画轴.

画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).
(2)画底面.
以O为中心在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD.
(3)画顶点：在z轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高.
(4)成图：顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图如图(2).

1.一条直线在平面上的正投影是( )
A.直线
C.线段
答案 D
解析 当直线与平面垂直时，其正投影为点，其他位置关系时的正投影均为直线.
2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是( )
A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形
B.正方形的直观图为平行四边形
C.梯形的直观图可能不是梯形
D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
B.点
D.直线或点

答案 B
3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )

A.平行四边形
C.菱形
答案 D
解析 因为∠D′A′B′ ＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行
四边形，所以原 四边形ABCD为矩形.
4.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′ P′＝3，O′R′＝1，则原四边形
OPQR的周长为________.
B.梯形
D.矩形

答案 10
解析 由四边形OPQR的直观图可知原四边形是 矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形
OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
5.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.

答案 6
解析 由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，O A＝4，∴S
△
AOB
1
＝OA·OB＝6.
2

1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；
在求直观 图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图
形的面积可把直观图还 原为原图形.两者之间的关系为
S
直
2
＝.
S
原
4
2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长
度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.

1.1.5 三视图
[学习目标] 1.能画出简单空间图形的三视图.2.能识别三视图所表示的立体模型.

[知识链接]
1.棱柱的结构特征
(1)上下底面平行.(2)侧面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.
2.棱锥的结构特征
(1)底面是多边形.(2)侧面是有一个公共顶点的三角形.
3.棱台的结构特征
(1)上下底面平行.(2)侧面是梯形.(3)侧棱延长线相交于一点.
4.圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
[预习导引]
1.正投影
(1)定义：在物体的平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影.
(2)正投影除具有平行投影的性质外，还具有以下性质：
①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；
②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分.
2.三视图
(1)一 个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到水平投射面的图形叫俯视图.一个投射面
放置在正前方叫做 直立投射面，投射到直立投射面内的图形叫主视图，和直立、水平两个投
射面都垂直的投射面叫做侧立投 射面，投射到侧立投射面内的图形叫做左视图.
(2)将空间图形向水平投射面、直立投射面、侧立投 射面作正投影，然后把这三个投影按一
定的布局(俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图 放在主视图的右面，高度
与主视图一样，宽度与俯视图的宽度一样，即“长对正、高平齐、宽相等”)放 在一个平面
内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图.
(3)三视图的主视图、俯视图、左 视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体
轮廓线的正投影围成的平面图形.

要点一 画空间几何体的三视图
例1 画出图中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)

解 正四棱锥的三视图如图所示：

圆台的三视图如图所示：

规律方法 画三视图应遵循的原则和注意事项：
(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.
(2) 三视图的排列方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯
视图在主视图的正 下方.
(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.
(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.
跟踪演练1 如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.

解 物体三个视图的构成都是矩形，长方体截 去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中
反映为不同的三角形，三视图如图：

要点二 由三视图还原空间几何体
例2 根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状.

解 图(1)对应的几何体是 一个正六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空
间几何体的图形分别为

规律方法 由三视图还原空间几何体的步骤：

跟踪演练2 若将本例(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体
的实物草图.

解 由三视图可知该几何体为四棱锥，其中－侧面与底面垂直，底面为直角梯形，对应空间< /p>

几何体如下图：

要点三 由三视图画直观图
例3 如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图.

解 根据三视图可以想 象出这个几何体是正六棱台.(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使
∠xOy＝45°，∠xO z＝90°.
(2)画两底面，由三视图知该几何体为正六棱台，用斜二测画法画出底面ABCDEF ，在z轴
上截取OO′，使OO′等于三视图中的相应高度.过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平 行线O′y′，
利用O′x′与O′y′画出底面A′B′C′D′E′F′.
(3)成图. 连接A′A、B′B、C′C、D′D、E′E、F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如
图 ②.

规律方法 (1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的 大致形状，
以便可以较快较准确地画出.(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了 一
个z轴，表示竖直方向.(3)z轴方向上的线段长度都与三视图中的高一致.
跟踪演练3 如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.

解 画法：(1)画轴.如下图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面.由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个
正四棱锥 ，利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应
高度，过O′作 Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点.在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.
(4)成图 .连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的< br>直观图，如下图(2).


1.下列说法正确的是( )
A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形
答案 C
解析 对于A，球的三视图 与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与
摆放位置有关，故B，D错；故选C.
2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体
是 ( )

A.三棱锥
C.四棱锥
答案 B
解析 如图，几何体为三棱柱.
B.三棱柱
D.四棱柱

3.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A.球
C.正方体
答案 D
解析 不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.
4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________.
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.
答案 ②⑤
解析 线段、圆、梯形都 是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维
空间图形，其投影不可能是线段；直线 的投影，只能是直线或点.
5.如图是一个几何体的三视图，则可以判断此几何体是________.
B.三棱锥
D.圆柱

答案 正四棱锥
解析 由三视图可知，此几何体为一个正四棱锥.

1.三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从 几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体
画出的轮廓线；画几何体的三视图的要求是主视图、俯视图 长对正，主视图、左视图高平齐，
俯视图、左视图宽相等；画几何体的三视图的基本思路是先认真观察， 认识几何体的基本特
征，然后画出它的三视图，画出的三视图要检验是否符合“长对正、宽相等、高平齐 ”的基

本特征.
2.空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的 性质，由空间几何体可画出它的
三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转 化，可以培养我们
的几何直观能力和空间想象能力.


1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
[学习目标] 1.理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的 定义及计算公式.2.了解球、
圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式.

[知识链接]
1.棱柱的侧面形状是平行四边形；棱锥的侧面是三角形；棱台的侧面形状是梯形.
2.圆柱、圆锥、圆台的底面形状是圆.
1
3.三角形的面积S＝ah(其中a为底 ，h为高)，圆的面积S＝πr
2
(其中r为半径).
2
[预习导引]
柱体、锥体、台体、球的表面积
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
表面积公式
S＝2πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)
S＝πr(r＋l)(其中r为底面半径，l为母线长)
S＝π(r′
2
＋ r
2
＋r′l＋rl)(其中r′，r分别为上、下底面半径，l为母线长)
S＝4πR
2
(其中R为球的半径)

要点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例1 已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°，求它的侧面积和表面积.
解 如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角
三角形POE.

4
∵OE＝＝2，∠OPE＝30°.
2
OE2
∴PE＝＝＝4.
sin 30°1
2
11∴S
正四棱锥侧
＝ch′＝×(4×4)×4＝32，
22
S
表面积
＝4
2
＋32＝48.
即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.
规律方法 1.要求锥体的侧面积及表面积， 要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用
锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解 相应的量.
2.空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成.
跟踪演练1 若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，求其表面积.

解 由主视图知三棱柱的高h＝1，底面三角形边长为2，
故S
侧
＝3×2×1＝6，S
底
＝2×2
2
×
S
表
＝S
侧
＋S
底
＝6＋23.
∴几何体的表面积为6＋23.
要点二 空间几何体的表面积
例2 如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，
AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
3
＝23，
4

解 以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，
母线DC＝5
2
＋?16－4?
2
＝13(cm).
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×4
2
＋π×16
2
＝5 32π(cm
2
).
规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴 截面上，因此准确把握轴截面
中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.棱锥及棱台的表面 积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直
角三角形(或梯形)求解.

跟踪演练2 在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面
积.

解 以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：
其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，故该几何体的表面积为
2π×5×4＋π×5
2
＋π×5×13＝130π(cm
2
).
要点三 球的表面积
例3 有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱 相切，第三个球过
这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比.
解 设正方体的棱长为a.
(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面正方形的中心，经过 四个切点及球
a
2
心作截面，如图①，所以有2r
1
＝a，r
1
＝，所以S
1
＝4πr
2
1
＝πa.
2

(2)球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面 ，如图②，
2r
2
＝2a，r
2
＝
2
2
a ，所以S
2
＝4πr
2
2
＝2πa.
2

(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③，所以有2r
3
＝3
a，r
3
＝
3
a，
2
2
所以S
3
＝4πr
2
3
＝3πa.
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
＝1∶2∶3.
规律方法 1.在处理球和长方体的组合问题时，通常先作出过球心且过长方体对角面的截面
图 ，然后通过已知条件求解.
2.球的表面积的考查常以外接球的形式出现，可利用几何体的结构特征构 造熟悉的正方体，
长方体等，通过彼此关系建立关于球的半径的等式求解.
跟踪演练3 已知 H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，

α截球O 所得截面的面积为π，则球O的表面积为________.
9
答案
π
2

解析 如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得
12R
HA＝·2R＝R，∴OH＝.
333
∵截面面积为π＝π·(HM)
2
，
∴HM＝1.
在Rt△HMO中，OM
2
＝OH
2
＋HM
2
，
11
∴R
2
＝R
2
＋HM
2
＝R
2
＋1，
99
32
∴R＝.
4
∴S
球
＝4πR
2
＝4π·
?
32
?
2
9
＝π.
?
4
?
2

1.已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为( )
A.1∶2
C.1∶6
答案 B
解析 ∵半径比为1∶2，且S＝4πR
2
，∴表面积比为半径比的平方，故选B.
2.底 面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面
积是( )
A.2
C.6
答案 D
解析 由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.
∴S
侧
＝1×2×4＝8.
3.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩
形，则该 正方体的主视图的面积等于( )
B.4
D.8
B.1∶4
D.1∶8

A.
C.
3

2
2＋1

2
B.1
D.2
答案 D
解析 根据正方体的俯视图及左视图特征想象出其主视图后求面积.
由于该正方体的俯视图是 面积为1的正方形，左视图是一个面积为2的矩形，因此该几何
体的主视图是一个长为2，宽为1的矩形 ，其面积为2.
4.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )

A.12π
C.24π
答案 C
解析 由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，
∴S
表
＝πrl＋πr
2
＝24π.故选C.
5.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于( )
A.72
C.67 π
答案 C
解析 S
圆台表
＝S
圆台侧
＋S
上底
＋S
下底
＝π(3＋4)·6＋π·3
2
＋π·4
2
＝67π.

1.如果长方体的长，宽，高分别为a，b，c， 那么它的表面积S
表
＝2(ab＋bc＋ac)；如果正方
体的棱长为a，那么它的表 面积为S
表
＝6a
2
.
2.求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再 求底面积.求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，
并找出求其面积的条件.求底面积，要清楚底面多边 形的形状及求其面积的条件.
3.求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起 求侧面积关系式中的
未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁.


B.42 π
D.72 π
B.18π
D.36π

1.1.7 柱、锥、台和球的体积
[学习目标] 1.了解柱、锥、台和球 的体积计算公式.2.能够运用柱、锥、台、球的体积公式
求简单几何体的体积.3.会解决球的组合体 及三视图中球的有关问题.

[知识链接]
1.长宽高分别为a、b、c的长方体的表面积S＝2(ab＋bc＋ac)，体积V＝abc.
2.棱长为a的正方体的表面积S＝6a
2
，体积V＝a
3
. 3.底面半径为r，母线长为l的圆柱侧面积S
侧
＝2πrl，表面积S＝2πrl＋2π r
2
.
4.底面半径为r，母线长为l的圆锥侧面积S
侧
＝πrl ，表面积S＝πr
2
＋πrl.
[预习导引]
1.祖暅原理
( 1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平
面的任意平 面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.”
(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等.
(3)说明：祖暅原理充分体现 了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公
式的理论依据.
2.柱、锥、台、球的体积
其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分 别表示上、下底面圆的半径，R
表示球的半径.
名称
柱
体
锥
体
棱柱
圆柱
棱锥
圆锥
棱台
圆台
球
体积(V)
Sh
πr
2
h
1
Sh
3
1
2
πr
h
3
1
h(S＋SS′＋S′)
3
1
πh(r
2
＋rr′＋r′
2
)
3
4
3
πR

3
台
体

要点一 柱体的体积
例1 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.8－2π
π
C.8－
2
答案 B
1
解析 这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，
4
如图，几何体的高为2，
B.8－π
π
D.8－
4

1
V＝2
3
－×π×1
2
×2×2＝8－π.
4
规律方法 1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据
在直观图中求出计算体积所需要的数据.
2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成 ，求几何体的体积时，依据需要先将几何
体分割分别求解，最后求和.
跟踪演练1 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m
3
.

答案 4
解析 此几何体是两个长方体的组合，故V＝2×1×1＋1×1×2＝4.
要点二 锥体的体积
例2 如图三棱台ABC－A
1
B
1
C
1
中，AB ∶A
1
B
1
＝1∶2，求三棱锥A
1
－ABC，三棱锥B－ A
1
B
1
C，
三棱锥C－A
1
B
1
C
1
的体积之比.

解 设棱台的高为h，S
△
ABC
＝S，则S
△ABC
＝4S.
111
11
∴V
A－ABC
＝S
△
ABC
·h＝ Sh，
33
1
14
V
C－ABC
＝S
△ABC< br>·h＝Sh.
33
111111
17
又V
台
＝h( S＋4S＋2S)＝Sh，
33
∴V
B－ABC
＝V
台
－ V
A－ABC
－V
C－ABC

111111
7Sh4Sh2
＝Sh－－＝Sh，
3333
∴体积比为1∶2∶4.
规律方法 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥 ，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的
体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法.
跟踪演练2 如图，在棱长为a的正方体ABCD－A
1
B
1
C1
D
1
中，求A到平面A
1
BD的距离d.

解 在三棱锥A
1
－ABD中，由题意知AA
1
为三棱锥的高，AB ＝AD＝AA
1
＝a，
A
1
B＝BD＝A
1
D＝2a，
∵VA
1
－ABD＝VA－A
1
BD，

11113
∴×a
2
·a＝××2a×·2a·d.
32322
∴d＝
3
a.
3
要点三 台体的体积
例3 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm
2
.求正四棱台的体
积.
解 如图所示，正四棱台ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
B< br>1
＝10 cm，AB＝20 cm.取A
1
B
1
的中点E< br>1
，
AB的中点E，则E
1
E是侧面ABB
1
A1
的高.设O
1
、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO
1
E
1
1
是直角梯形，由S
侧
＝4×(10＋20)·E
1
E＝780，得EE
1
＝13.
2

1
在直角梯 形EOO
1
E
1
中，O
1
E
1
＝A
1
B
1
＝5，
2
1
OE＝AB＝10，
2< br>∴O
1
O＝E
1
E
2
－?OE－O
1
E
1
?
2
＝12，
1
V
正四棱台
＝× 12×(10
2
＋20
2
＋10×20)
3
＝2 800(cm
3
).
故正四棱台的体积为2 800 cm
3
.
规律方法 求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高.要注意充分运用棱台内
的直 角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系.
跟踪演练3 本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长
为2 cm，求该棱台的体积.”
解 如图，正四棱台ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，

则O
1
B
1
＝2cm，
OB＝22cm，
过点 B
1
作B
1
M⊥OB于点M，那么B
1
M为正四棱台的高， 在Rt△BMB
1
中，
BB
1
＝2 cm，MB＝(22－2)＝2(cm).

根据勾股定理
2
MB
1
＝BB
2
1
－MB
＝2
2
－?2?
2
＝2(cm).
S
上
＝2
2
＝4(cm
2
)，
S
下
＝4
2
＝16(cm
2
)，
1
∴V
正四棱台
＝×2×(4＋4×16＋16)
3
128
＝×2×28＝ 2(cm
3
).
33
要点四 球的体积
例4 过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球的半径的一半，且AB＝BC＝
CA＝3 cm，求球的体积和表面积.
解 如图，设过A、B、C三点的截面为圆O′，连接OO′、AO、AO′.

∵AB＝BC＝CA＝3 cm，
∴O′为正三角形ABC的中心，
∴AO′＝
3
AB＝3(cm).
3
1
设OA＝R，则OO′＝R，
2
∵OO′⊥截面ABC，∴OO′⊥AO′，
∴AO′＝
3
R＝3(cm)，∴R＝2 cm，
2
432
∴V
球
＝
πR
3
＝
π(cm
3
)，S< br>球
＝4πR
2
＝16π(cm
2
).
33
32
即球的体积为
π cm
3
，表面积为16π cm
2
.
3
规律方法 球的基本性质是解决与球有关的问题的依据，球半径 、截面圆半径和球心到截面
的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法.
跟踪演练4 如果三个球的半径之比是1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两个球的体积之
和的( )
A.1倍
C.3倍
答案 C
B.2倍
D.4倍

解析 半径大的球的体积也大，设三个球的半径分别为x,2x,3x，则最大球的半径 为3x，其
444
体积为
π×(3x)
3
，其余两个球的体积之和为
πx
3
＋
π×(2x)
3
，
333
4< br>?
4
πx
3
＋
4
π×?2x?
3
?
＝3. ∴
π×(3x)
3
÷
3
?
3
?
3

1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是214，则这个长方体
的体积是( )
A.6
C.24
答案 D
解析 设长方 体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为214，则x
2
＋(2x)< br>2
＋(3x)
2
＝(214)
2
，解得x＝2.∴三条棱长分 别为2、4、6.
∴V
长方体
＝2×4×6＝48.
2.一个球的表面积是16π，则它的体积是( )
A.64π
C.32π
答案 D
4
解析 设球的半径为R，则由题意可知4πR
2
＝16 π，故R＝2.所以球的半径为2，体积V＝
πR
3
3
32
＝
π.
3
3.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于( )
A.π
C.4π
答案 B
解析 设圆柱的底面半径为r，则圆 柱的母线长为2r，由题意得S
圆柱侧
＝2πr×2r＝4πr
2
＝4π，
所以r＝1，所以V
圆柱
＝πr
2
×2r＝2πr
3
＝2π.
4.如图所示，正方体ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，则三棱锥D
1
ACD的体积是( )
B.2π
D.8π
64π
B.
3
32
D.
π
3
B.12
D.48

1
A.
6
1
C.
2
答案 A
1
B.
3
D.1
111111
解析 三棱锥D
1
ADC的体积V＝S
△
AD C
×D
1
D＝××AD×DC×D
1
D＝×＝.
332326
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________.

答案 16π－16
解析 由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱 柱，圆柱底面圆半径为2，高
为4，故体积为16π；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16， 故题中几何体的体积
为16π－16.

1.计算柱体、锥体和台体的体积时，关键 是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用
多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化 为平面问题.旋转体的轴截面是用过
旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面.例如，圆柱的轴截面是矩形 ，圆锥的轴截面是等腰
三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是过球心的平面截球所得的圆面.
2.在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台、
球的体积计算问题.

1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余 各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平
行.
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.
这三种几何体都是多面体.
(2)圆 柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，
它们都称为旋转体 .在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截
面.
(3)由柱、锥 、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基
本几何体.
2.空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括主视图、左视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
注 意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线
用虚线画出.熟 记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.
(2)斜二测画法为：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：①画轴；②画平行于x、y、
z轴的 线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；③截线段：平行于x、z轴的线段的长度
不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半.
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相 转化，这也是高考考查
的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何 体的形状
和基本量.
3.几何体的表面积和体积的有关计算
(1)

圆柱
圆锥
圆台
面 积
S
侧
＝2πrh
S
侧
＝πrl
S
侧
＝π(r
1
＋r
2
)l
体 积
V＝Sh＝πr
2
h
111
V＝Sh＝
πr
2< br>h＝
πr
2
l
2
－r
2

333< br>1
V＝(S
上
＋S
下
＋S
上
S
下< br>)h
3

1
2
＝
π(r
2
1
＋r
2
＋r
1
r
2
)h
3
直棱柱
正棱锥
正棱台
球
S
侧
＝Ch
1
S
侧
＝Ch′
2
1
S
侧
＝(C＋C′)h′
2
S
球面
＝4πR
2

V＝Sh
1
V＝Sh
3
1
V＝(S
上
＋S
下＋S
上
S
下
)h
3
4
V＝
πR
3

3
(2)在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法.
当所给三棱锥的体积套用公 式时某一量(面积或高)不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作
为三棱锥的底面，可以转换为底面面积 和高都易求的方式来计算.
(3)补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.由台体的定义知， 在某种情况下，我们
可以将台体补全成锥体来研究其体积.
(4)割补法：在求一些不规则的 几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到
割补法，割补法是割法与补法的总称.补法是 把不熟悉的(或复杂的)几何体延伸或补加成熟悉
的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图 形，如长方体、正方体等.割法是把复杂
的几何体切割成简单的几何体或体积易求的几何体.割与补是对 立统一的，是一个问题的两
个方面.
4.球与其他几何体形成的组合体问题
球与其 他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、
分析，弄清相关元素 的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地
包含球、几何体的各种元素以及体 现这些元素之间的关系)，从而将空间问题转化成平面问
题.
5.线线关系
空间两 条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两直线垂直有“相交垂直”与“异
面垂直”两种情况 .
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所 成的角时，要通过平移把
异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
6.线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种 .
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
m，n?α，m∩n＝A
?
?
?
?l⊥α； ②判定定理1：
?
l⊥m，l⊥n
?
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
7.面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β?α∥β；
④基本性质4的推广：平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义.
②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
8.证明空间线面平行或垂直需注意的三点
(1)由已知想性质，由求证想判定.
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.
9.“升降维”思想
用降 维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平
面或直线中的概念 、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要
方法.
平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.

题型一 三视图与直观图
三视图和直观图是空间几何体的不同表现 形式，空间几何体的三视图可以使我们很好地把握
空间几何体的性质.由空间几何体可以画出它的三视图 ，同样，由三视图可以想象出空间几
何体的形状，两者之间可以相互转化.
例1 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左
视图为( )

答案 B
解析 还原正方体后，将D
1
，D，A三点分别向 正方体右侧面作垂线.D
1
A的射影为C
1
B，且
为实线，B
1
C被遮挡应为虚线.
跟踪演练1 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )


答案 B
解析 所给选项中，A、C选项的主视图、俯视图不符合，D选项的左视图不符合，只有B
选项符合.
题型二 几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题， 如制作物体的下料问题、材料
最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算.特别是特 殊的柱、锥、台，

在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用 ，对于圆柱、圆锥、
圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.
例2 如图所示，已知三棱柱ABCA′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′< br>BCC′的距离是a，求三棱柱ABCA′B′C′的体积.

解 连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.

1
设所求体积为V，显然三棱锥A′ABC的体积是V.
3
1
而四棱锥A′BCC′B′的体积为Sa，
3
111
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
332
跟踪演练2 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.16＋8π
C.16＋16π
答案 A
解析 将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.
原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱 的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2
1
＋
π×2
2
×4＝ 16＋8π.
2
B.8＋8π
D.8＋16π

题型三 空间中的平行关系

在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与 面的平行，其中三种关
系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转 化，即从
“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高< br>维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决
定，不 能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示
意图.

例3 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在 线
段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存
在，请说明理由.

解 当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图 连接AC和BD交于点
1
O，连接FO，那么PF＝PB.
2

∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.
1
∴OF∥PD.又OF?平 面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綊PB，∴PF綊
2
MA.∴四边 形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平
面PM D.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.
跟踪演练3 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.

证明 (1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面A BC，得PA⊥
BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PA C.
(2)如图，连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点.

由Q为PA中点，得QM∥PC，
又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩M O＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，
PC?平面PB C，
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.
题型四 空间中的垂直关系
空间垂直关系的判定方法：
(1)判定线线垂直的方法：
①计算所成的角为90°(异面直线所成的角)；
②线面垂直的性质(若a⊥α，b?α，则a⊥b).
(2)判定线面垂直的方法：
①线面垂直定义(一般不易验证任意性)；
②线面垂直的判定定理(a⊥b，a⊥c，b?α，c?α，b∩c＝M?a⊥α)；
③平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α?a⊥α)；
④面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝l，a?β，a⊥l?a⊥α)；
⑤面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；
⑥面面垂直的性质(α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ?l⊥γ).
(3)面面垂直的判定方法：
①根据定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β).
例4 如图， 在△ABC中，AC＝BC＝
2
AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED2
⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点.

(1)求证：GF∥平面ABC.
(2)求证：平面EBC⊥平面ACD.
(3)求几何体A－DEBC的体积V.
(1)证明 如图，取BE的中点H，连接HF，GH.

因为G，F分别是EC和BD的中点，所以HG∥BC，HF∥DE.
又因为四边形ADEB为正方形，
所以DE∥AB，从而HF∥AB.
所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.
又因为GH∩HF＝H，
所以平面HGF∥平面ABC.
所以GF∥平面ABC.
(2)证明 因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.
又因为平面ABED⊥平面ABC，
所以BE⊥平面ABC.所以BE⊥AC.
又因为CA
2
＋CB
2
＝AB
2
，
所以AC⊥BC.
又因为BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
又因为AC?平面ACD，
从而平面EBC⊥平面ACD.
(3)解 取AB的中点N，连接CN，因为AC＝BC，
11
所以CN⊥AB，且CN＝AB＝a.
22
又平面ABED⊥平面ABC，
所以CN⊥平面ABED.
因为C－ABED是四棱锥，

1111
所以V
C
－
ABED
＝S
ABED
·CN＝a
2
·a＝a
3< br>.
3326
1
即几何体A－DEBC的体积V＝a
3
.
6
跟踪演练4 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠A BC＝∠
DBC＝120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点.

(1)求证：EF⊥平面BCG；
(2)求三棱锥D－BCG的体积.
1
附：锥体的体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高.
3
解 (1)由已知得△ABC≌∠DBC，因此AC＝DC.
又G为AD中点，所以CG⊥AD；
同理BG⊥AD；因此AD⊥平面BCG.
又EF∥AD，所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内，作AO⊥CB，交CB延长线于O.

由平面ABC⊥平面BCD，知AO⊥平面BDC.
又G为AD中点，因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.
在△AOB中，AO＝AB·sin 60°＝3，所以
11131
V
D< br>－
BCG
＝V
G
－
BCD
＝×S
△
DBC
×h＝××BD×BC×sin 120 °×＝.
33222

1 .研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何体的直观图可画它的
三视图，由三 视图可得到其直观图，同时可以通过作截面把空间几何问题转化成平面几何问
题来解决.
另外 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空间为平面的方法得到的，
求球的切接问题 通常也是由截面把空间问题转化为平面问题来解决.
2.转化思想是证明线面平行与垂直的主要思路，其关系为

2.1 平面直角坐标系中的基本公式
2.1.1 数轴上的基本公式
[学习目标] 1.通过对数轴的复习,理解实数和数轴上点的对应关系,理解数轴上的向量和相
等的向量的含义,理解向量的长度和向量的坐标之间的关系.2.探索并掌握数轴上两点间距离
公式.

[预习导引]
1.数轴上点的坐标
(1)定义：一条给出了原点、度量 单位和正方向的直线叫做数轴,或者说在这条直线上建立了
直线坐标系.
(2)在数轴上,根 据点P与实数x的对应法则,在实数集和数轴上的点集之间建立了一一对应关
系,如果点P与实数x对应 ,则称点P的坐标为x,记作P(x).
2.向量
(1)定义：如果数轴上的任意一点A沿 着轴的正向或负向移动到另一点B,则说点在轴上作了
一次位移,点不动则说点作了零位移,位移是一个 既有大小又有方向的量,通常叫做位移向量,
本书简称向量.
→→→
(2)向量的长 度：从点A到点B的向量,记作AB,点A叫做向量AB的起点,点B叫做向量AB的终
→→
点 ,线段AB的长叫做向量AB的长度,记作|AB|.
(3)相等向量：数轴上同向且等长的向量叫做相等向量.

→→
(4 )向量的坐标：在数轴上向量AB的长度连同表示方向的符号称作向量AB的坐标或数量,向量
→
AB的坐标用AB表示.
(5)起点和终点重合的向量是零向量,它没有确定的方向,它的坐标为0,其长度为零.
( 6)位移的和：在数轴上,如果点A作一次位移到点B,接着由点B再作一次位移到点C,则位移
→→→ →→→
AC叫做位移AB与位移BC的和,记作AC＝AB＋BC.
由于向量可用数量表示,因此,位移的和可简单地由数量和表示.
3.数轴上的基本公式
(1)数轴上任意三点间的关系
对于数轴上任意三点A,B,C,都具有关系AC＝AB＋BC.
(2)数轴上两点的距离
①数轴上任一向量的坐标
数轴上任一向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标.
②数轴上两点的距离
设A(x
1
),B(x
2
)为数轴上 任意两点,用d(A,B)表示A,B两点间的距离,则d(A,B)＝|AB|＝|x
2
－x
1
|.

要点一 数轴上的点与实数的关系
例1 (1)若点P(x)位于点M(－2),N(3)之间,求x的取值范围；
(2)试确定点A(a)、B(b)的位置关系.
解 (1)由题意可知,点M(－2)位于 点N(3)的左侧,且点P(x)位于点M(－2),N(3)之间,所以－2
＜x＜3.
( 2)确定两点的位置关系,需要讨论实数a,b的大小关系；当a＞b时,点A(a)位于点B(b)的右侧；< br>当a＜b时,点A(a)位于点B(b)的左侧；当a＝b时,点A(a)与点B(b)重合.
规律方法 数轴上的点与实数之间是一一对应的关系,所以点的坐标的大小决定彼此的相互
位置 ,显然右边的点的坐标要大于左边的点的坐标.
跟踪演练1 下列各组点中,点M位于点N左侧的是( )
A.M(－2),N(－3)
C.M(0),N(6)
答案 C
解析 A中,－2＞－3,点M(－2)位于点N(－3)右侧；B中,2＞－3,点M(2)位于点N (－3)的右
侧；C中,0＜6,点M(0)位于点N(6)的左侧；D中,0＞－6,点M(0)位于 点N(－6)的右侧.
要点二 数轴上向量的坐标运算
B.M(2),N(－3)
D.M(0),N(－6)

例2 已知有理数a在数轴上对应点A,将点A沿 数轴向左平移3个单位长度得点B后,再向
→→
右平移2个单位长度得到点C,点C对应的数是 －1.5,问：有理数a是多少？向量AB、向量CB
的坐标分别是多少？
解 先逆向分析变化过程：
点C(－1.5) ―――――→B―――――→A(a).
∴点B和点A的坐标分别为B(－3.5)和A(－0.5),
∴a＝－0.5,
→
∴AB＝－3.5－(－0.5)＝－3,
→
CB＝－3.5－(－1.5)＝－2.
→→
即向量AB,CB的坐标分别为－3,－2.
规律方法 本题属于点的平移问题 ,解题时先标出平移过程,根据数轴上点的坐标与实数的对
应关系写出点的坐标,再利用向量坐标的定义 写出向量的坐标.
跟踪演练2 例2的条件不变,若将问题改为：若将点C再向右平移2个单位长度得 到点D,
→→
问向量CD和向量BC有什么关系？
→
解 由题意知,点D的 坐标为D(0.5),又点B,点C的坐标分别为B(－3.5),C(－1.5),∴CD＝0.5
→
－(－1.5)＝2,BC＝－1.5－(－3.5)＝2,
→→
∴CD＝BC,
→→
∴向量CD和向量BC相等.
要点三 数轴上两点的距离
例3 已知M、N、P是数轴上三点,若|MN|＝5,|NP|＝2,求d(M,P).
解 ∵M、N、P是数轴上三点,|MN|＝5,|NP|＝2,
∴(1)当点P在点M,N之间时(如图所示)

d(M,P)＝|MN|－|NP|＝5－2＝3；
(2)当点P在点M、N之外时(如图所示)

d(M,P)＝|MN|＋|NP|＝5＋2＝7.
综上所述：d(M,P)＝3或d(M,P)＝7.
规律方法 1.解答本类问题时,如果两点的相对位置不确定,一定要注意分类讨论.
2.要明确向量的长度及数 量的区别与联系,注意|AB|＝d(A,B)＝|x
B
－x
A
|,AB＝x
B
－x
A
.
跟踪演练3 已知数轴x上的点A,B,C的坐标分别为－1,3,5.
左移2个单位右移3个单位

(1)求AB、BA、|AB|、BC、|AC|；
(2)若x轴上还有两点E、F,且AE＝8,CF＝－4,求点E、F的坐标.
解 (1)AB＝3－(－1)＝4；BA＝－AB＝－4；
|AB|＝|3－(－1)|＝4；BC＝5－3＝2；
|AC|＝|5－(－1)|＝6.
(2)设E、F点的坐标分别为x
E
、x
F
,
因为AE＝8,所以x
E
－(－1)＝8,有x
E
＝7；
因为CF＝－4,所以x
F
－5＝－4,有x
F
＝1.
故E,F两点坐标分别为7,1.

1.数轴上A,B两点的坐标分别为x
1
,x
2
,则下列式子中不正确的是( )
A.|AB|＝|x
1
－x
2
|
＝x
2
－x
1
答案 B
2.在数轴上从点A(－2)引一线段到B(3),再延长同样的长度到C,则点C的坐标为( )
A.13
C.8
答案 C
3.A、B为数轴上的两点,A点的坐标是－1,AB＝6,那么点B的坐标为( )
A.5
C.5或－7
答案 A
4.已知数轴上两点A(a), B(5.5),并且d(A,B)＝7.5,则a＝________；若AB＝7.5,则a＝_______ _.
答案 －2或13 －2
5.A、B、C、D是数轴上的任意四点,则AB＋BC＋CD＋DA＝________.
答案 0

1.向量的有关概念及表示：
→→
要正确区分向量、 向量的长度、向量的坐标(数量)这几个概念,它们分别用AB、|AB|、AB来
表示；两个向量相等 ,必须长度和方向都相同；零向量是起点和终点重合的向量,它的长度为
0,方向不确定.
2.向量的有关运算公式：
B.－7
D.－5或7
B.0
D.－2
B.|BA|＝x
2
－x
1

＝x
1
－x
2

→→
数轴上向量加 法的运算法则是对于数轴上任意三点A,B,C都具有AC＝AB＋BC(或AC＝AB＋
→
B C).数轴上的向量坐标公式AB＝x
2
－x
1
(A、B两点的坐标分别为x
1
,x
2
),即数轴上一个向量的
坐标等于其终点坐标减去起点坐标 ,数轴上两点距离公式d(A,B)＝|x
2
－x
1
|.
3.数轴上向量加法的坐标运算法则：
对数轴上的任意三点,A,B,C都有AC＝AB＋B C,可理解为AC的坐标等于首尾相连的两个向量
AB,BC的坐标之和.


2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式
[学习目标] 1.通过数轴上两点的距离公式的 探索,掌握平面直角坐标系中两点的距离公式
和中点公式.2.通过对两点的距离公式的推导过程的探索 ,体会算法.3.进一步体会“坐标法”
的基本思想,逐步学会用“坐标法”解决有关问题.

[知识链接]
1.在直角坐标系中,A(1,0),B(3,0)两点的距离为2；C(0, －1),D(0,3)两点的距离为4.
2.在直角三角形ABC中,B＝90°,AB＝3,BC＝4,则AC＝5.
[预习导引]
1.两点间距离公式
两点A(x
1
,y
1
),B(x2
,y
2
)间的距离公式表示为d(A,B)＝?x
2
－x1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
；
当AB垂直于y轴时,d(A,B)＝|x
2
－x
1
|；
当AB垂直于x轴时,d(A,B)＝|y
2
－y
1
|；
2
当B为原点时,d(A,B)＝x
2
1
＋y
1
.
2.坐标法
(1)定义：在解决一些平面上的几何问题时,经常在平面上建立坐标系,以坐标 系为桥梁,将几何
问题转化为代数问题,通过代数运算研究几何图形的性质,这种方法称为坐标法.注意 在建立
坐标系时,可以建立直线坐标系、直角坐标系等.
(2)坐标法解决问题的基本步骤如下：
第一步,根据题中条件,建立恰当的坐标系,用坐标 表示有关的量；第二步,进行有关代数运算；
第三步,把代数结果翻译成几何关系.
3.中点坐标公式

已知A(x
1
,y
1
) ,B(x
2
,y
2
),设点M(x,y)是线段AB的中点,则中点坐标公式 为
?
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2?
?
2
，
2
?
.

要点一 两点的距离公式的应用
例1 已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－a,0),B(a,0),C(0,3a).
求证：△ABC是等边三角形.
证明 由两点的距离公式得
|AB|＝?a＋a?
2
＋?0－0?
2
＝2|a|,
|BC|＝?0－a?
2
＋?3a－0?
2
＝2|a|,
|CA|＝?0＋a?
2
＋?3a－0?
2
＝2|a|.
∴|AB|＝|BC|＝|CA|,
故△ABC是等边三角形.
规律方法 1.判断多边形的形状或判断点之间的关系时,若已知点的坐标,一般转化为两点的
距离求解.
2.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等,
在进行 判断时,一定要得出最终结果,比如一个三角形是等腰直角三角形,若我们只通过两边
长相等判定它是等 腰三角形则是不正确的.
跟踪演练1 本例若改为：已知A(－1,－1),B(3,5),C(5,3),试判断△ABC的形状.
解 d(A,B)＝[3－?－1?]
2
＋[5－?－1?]
2

＝4
2
＋6
2
＝52＝213,
d(A,C)＝[5－?－1?]
2
＋[3－?－1?]
2

＝6
2
＋4
2
＝52＝213,
d(B,C)＝?5－3 ?
2
＋?3－5?
2
＝2
2
＋2
2
＝8＝ 22.
所以|AB|＝|AC|≠|BC|,且显然三边长不满足勾股定理,
所以△ABC为等腰三角形,
要点二 中点公式的应用
例2 已知平行四边形AB CD的两个顶点坐标分别为A(4,2),B(5,7),对角线交点为E(－3,4),
求另外两顶点 C、D的坐标.
解 设C点坐标为(x
1
,y
1
),则由E为AC的中点得：

< br>?
?
2＋y
?
4＝
2
，
1
4＋x< br>1
－3＝，
2
x
，
?
－3＝
5＋
2
?
7＋y
?
4＝
2
，
2
2


?
?
x
1
＝－10，
得
?
设D 点坐标为(x
2
,y
2
),则由E为BD的中点得
?
y
1
＝6.
?

?
?
x
2
＝－11，
得
?

?
?
y
2
＝1，

故C点坐标为(－10,6),D点坐标为(－11,1).
规律方法 1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质,依据中点公式列方程组求点的
坐标.
2. 中点公式常用于求与线段中点,三角形的中线,平行四边形的对角线等有关的问题,解题时一
般先根据几 何概念,提炼出点之间的“中点关系”,然后用中点公式列方程或方程组求解.
跟踪演练2 已知平行 四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(2,0),D(1,3),求顶点C的
坐标.
解 ∵平行四边形的对角线互相平分,
∴平行四边形对角线的中点坐标相同.
设C点坐标为C(x,y),则
x2＋1
3
＝＝，
?
0＋
222
?
0＋y0＋3
3
?
2
＝
2
＝
2
，


?
x＝3，
?
∴
?
即C(3,3).
?
?
y＝3.

要点三 坐标法的应用
例3 已知正三角 形ABC的边长为a,在平面上求一点P,使|PA|
2
＋|PB|
2
＋|P C|
2
最小,并求此最
小值.
解 以BC所在直线为x轴,BC的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系如图.

则A
?
0，
?
3
?
?
a
??
a
?
a
,B
－，0
,C
，0

2
?
?
2
??
2
?
设P(x,y)则|PA|
2
＋|PB|2
＋|PC|
2

＝x
2
＋
?
y－< br>?
3
?
2
?
a
?
22
?
a
?
22
a
＋
x＋
＋y＋
?
x－
2
?
＋y
2
?
?
2
?

5a
2
3
＝3x＋3y－3ay＋＝3x
2
＋3
?
y－ a
?
2
＋a
2
≥a
2
,
4
6< br>??
22
当且仅当x＝0,y＝
3
a时,等号成立,
6∴所求最小值为a
2
,此时P点坐标为P
?
0，
?
3a
?
是正△ABC的中心.
6
?
规律方法 (1)也可以B为原点,BC所在直线为x轴建立直角坐标系,计算也不复杂.
(2)配方法求最值是重要方法,应掌握好.
(3)选择恰当坐标系的原则是“避繁就简”.
跟踪演练3 已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系.证明：
1
AM＝BC.
2
证明 如图所示,以Rt△ABC的直角边AB所在直线为x轴 ,AC所在直线为y轴,建立直角坐
标系,设B、C两点的坐标分别为(b,0)、(0,c),

bc
?
∵点M是BC的中点,故点M的坐标为
?
?
2
，
2
?
.
由两点的距离公式,得
|BC|＝
|AM|＝
?0－b?
2
＋?c－0?
2
＝ b
2
＋c
2
,
?
b
－0
?
2< br>＋
?
c
－0
?
2
＝
1
b
2
＋c
2
,
?
2
??
2
?
2
1
∴AM＝BC.
2

1.已知A(－8,－3),B(5,－3),则线段AB的中点坐标为( )
3
?
A.
?
?
2
，2
?

3
－，3
?
C.
?
?
2
?
答案 B
解析 由中点坐标公式可以求得.
2.已知A(1,2),B(a,6),且|AB|＝5,则a的值为( )
3
－，－3
?
B.
?
?
2
?
3
?
D.
?
?
2
，－3
?

A.4
C.－2
答案 D
解析
B.－4或2
D.－2或4
?a－1?
2
＋?6－2?
2
＝5,解得a＝－2或4.
3.已知线段AB的中点在坐标原点,且A(x,2),B(3,y),则x＋y等于( )
A.5
C.1
答案 D
解析 易知x＝－3,y＝－2,∴x＋y＝－5.
4.以A(5,5),B(1,4),C(4,1)为顶点的三角形是( )
A.直角三角形
C.等边三角形
答案 B
5.点A(2,3),B(5,4)之间的距离为________.
答案 10
B.等腰三角形
D.等腰直角三角形
B.－1
D.－5
解析 |AB|＝?5－2?
2
＋?4－3?
2
＝9＋1＝10.
1.A,B两点的距离与A,B两点的顺序无关,即d(A,B)＝d(B,A).公式中坐标的顺序也 可以同时调
换,即d(A,B)＝?x
2
－x
1
?
2
＋?y
2
－y
1
?
2
＝?x
1
－x2
?
2
＋?y
1
－y
2
?
2
.
2.在平面直角坐标系内,若已知点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),线段AB的中点M的坐标为(x,y),则有
x
，
?
x＝
x＋
2
?
y＋y
?
y＝
2
.
12
12


对于A,B,M三点,只需知道其中两点的坐标,便可求出其余一点的坐标.
3.坐标法应用的注意点：
一些平面几何问题用坐标法解决更简单,但要把坐标系建立在适当 的位置上,注意利用图形的
几何性质.
(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；
(2)如果图形中有互相垂直的两条直线,则考虑其作为坐标轴；
(3)考虑图形的对称性,可将图形的对称中心作为原点,将图形的对称轴作为坐标轴.
事实上,建立不同的直角坐标系,相关点的坐标不同,但不影响最后的结果.

2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念.2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点< br>的直线的斜率公式.3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之间的关系.

[预习导引]
1.直线的方程的概念
一般地,如果以一个方程的解为坐标的点都在 某条直线上,且这条直线上点的坐标都是这个方
程的解,那么这个方程叫做这条直线的方程；这条直线叫 做这个方程的直线.
2.直线的斜率
(1)通常把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率.
y
1
－y
2
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),为直线l上任意两点,且x
1
≠x
2
,则直线l 的斜率为k＝.
x
1
－x
2
3.直线的倾斜角
(1)x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角.规定与x轴平行或重合的直
线的倾斜角为零度 角.
(2)由斜率k的定义可知
①当k＝0时,直线平行于x轴或与x轴重合；
②当k>0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；
③当k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也随着增大；
④垂直于x轴的直线的倾斜角等于90°.

要点一 直线的倾斜角
例1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到
直线l1
,那么l
1
的倾斜角为( )
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋ 45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为α－135°

答案 D
解析 根据题意,画出图形,如图所示：

因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,
不合题意.通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时,l
1
的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α< 180°时,l
1
的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾 斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形,找准倾斜角,有时要根据情
况分类讨论.
跟踪演练1 一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°), 则
其倾斜角为( )
A.α
C.180°－α或90°－α
答案 D
解析 如图,当l向上方向的部分在y轴左侧时,倾斜角为90°＋α；当l向上方 向的部分在y
轴右侧时,倾斜角为90°－α.故选D.
B.180°－α
D.90°＋α或90°－α

要点二 直线的斜率
例2 已知直线l过 P(－2,－1),且与以A(－4,2),B(1,3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的
取值范 围.
解

根据题中的条件可画出图形,如图所示,
3
又可得直线PA的斜率k
PA
＝－,
2
4
直线PB的斜率k
PB
＝,
3

结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°,故斜率
4< br>?
的取值范围为
?
?
3
，＋∞
?
,
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜
3< br>－∞，－
?
. 率的变化范围是
?
2
??
综上可知,直线l的斜率的取值范围是
?
－∞，－
3
?
∪
?
4
，＋∞
?
.
2
??
3
??
规律方法 (1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决.
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
y
2
－y
1
k＝(x≠x)求解.
x
2
－x
1
12
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
跟踪演练2 已知两点A(－3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解

如图所示,由题意可知k
PA
＝
4－02－0
＝－1,k
PB
＝＝1.
－3－13－1
(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直 线l的斜率k的取值范围是k≤－1,或k≥1.
(2)由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与 PA的倾斜角之间,又PB的倾斜角是45°,PA的
倾斜角是135°,所以α的取值范围是45°≤ α≤135°.
要点三 斜率公式的应用
y
例3 已知实数x,y满足y＝－2x＋8,且2≤x≤3,求的最大值和最小值.
x
解

如图所示,由于点(x,y)满足关系式2x＋y＝8,且2≤x≤3,可知点P(x,y) 在线段AB上移动,并且
A,B两点的坐标可分别求得为A(2,4),B(3,2).

y
由于的几何意义是直线OP的斜率,
x
2
且k
OA
＝2,k
OB
＝,
3
y2
所以可求得的最大值为2,最小值为.
x3
y
2
－y
1
规律方法 若所求最值或范围的式子可化为 的形式,则联想其几何意义,利用图形数形
x
2
－x
1
结合来求解.
y＋3
跟踪演练3 已知实数x,y满足y＝x
2
－x＋2(－1≤x≤1),试求的最大值和最小值.
x＋2
解

y＋3
由的几何意义可知,它表示经过定点P(－2 ,－3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率
x＋2
k,由图可知k
PA< br>≤k≤k
PB
,由已知可得A(1,2),B(－1,4).
则k
P A
＝
2－?－3?
5
4－?－3?
＝,k
PB
＝＝ 7.
1－?－2?
3
－1－?－2?
5
∴≤k≤7,
3
y＋3
5
∴的最大值为7,最小值为.
3
x＋2

1.下图中标注的α表示直线l的倾斜角的是( )

A.①
C.①③
答案 A
B.①②
D.②④
解析 结合直线l的倾斜角的概念可知①可以,选A.
2.已知直线l的倾斜角为30°,则直线l的斜率为( )
A.
3

3
B.3
D.
2

2
C.1
答案 A
解析 由题意可知,k＝tan 30°＝
3
.
3
3.若过两点A(2,3),B(y,4)的直线的倾斜角为45°,则y的值为( )
A.－
3

2
B.
3

2
C.－3
答案 D
解析 tan 45°＝k
AB
＝
D.3
4－34－3
,即＝1,所以y＝3.
y－2y－2
4.直线l经过第二、四象限,则直线l的倾斜角范围是( )
A.0°≤α<90°
C.90°<α<180°
答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°,又直线l经过第二、四象限,所以直线l的倾斜< br>角范围是90°<α<180°.
5.如图所示,直线l
1
,l
2< br>,l
3
的斜率分别为k
1
,k
2
,k
3,则k
1
,k
2
,k
3
之间的大小关系为______ __.
B.90°≤α<180°
D.0°<α<180°

答案 k
1
3
2

解析 设l
1
,l
2
,l
3
的倾斜角分别为α
1
,α
2
,α
3
,则由题图可知0<α
3
<α
2
<90°<α1
<180°,
所以tan α
2
>tan α
3
>0,tan α
1
<0,故k
1
3
2
.

1.倾斜角是一个几何概念,它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度,两者紧密相连,如下表：

直线情况

α的大小
k的范围
k的增
减情况
0°
0


0°<α<90°
k>0
k随α的增大
而增大

90°
不存在


90°<α<180°
k<0
k随α的增大
而增大
y
2
－y
1
3.运用两点P
1
( x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)求直线斜率k＝应注意的问题：
x
2
－x
1
(1)斜 率公式与P
1
,P
2
两点的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有关( 即x
2
－x
1
,y
2
－y
1
中x
2
与y
2
对应,x
1
与y
1
对应).
( 2)运用斜率公式的前提条件是“x
1
≠x
2
”,也就是直线不与x轴垂直, 而当直线与x轴垂直时,
直线的倾斜角为90°,斜率不存在.


2.2.2 直线方程的几种形式
第1课时 直线的点斜式方程
[学习目标] 1 .掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程
和方程的直线概念及直 线在y轴上的截距的含义.

[预习导引]
1.直线方程的几种形式
名称
点斜式
已知条件
点P(x
0
，y
0
) 和斜率k

斜截式 斜率k和在y轴上的截距b

2.直线的截距
如果直线l的斜率为k，且与y轴的 交点为(0，b)，代入直线点斜式方程化简得y＝kx＋b，
示意图 方程
y－y
0
＝
k(x－x
0
)
使用范围
斜率存在
y＝kx＋b 斜率存在

则称b为直线l在y轴上的截距.

要点一 直线的点斜式方程
例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点.
解 (1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
(2)与x轴平行的直线，其斜 率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x
－3)，
即y＋4＝0.
(3)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线的斜率k
PQ< br>＝
又∵直线过点P(－2,3)，
∴直线的点斜式方程为
y－3＝－(x＋2).
规律方法 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x
0
，y
0
)→定斜率k→写出方程y－y
0
＝k(x－
x0
).
(2)点斜式方程y－y
0
＝k·(x－x
0
)可表示过点P(x
0
，y
0
)的所有直线，但x＝x
0
除 外.
跟踪演练1 过点(－1,2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.
答案 x＋y－1＝0
解析 k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得
y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
要点二 直线的斜截式方程
例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解 (1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－
3
.
3
－4－3－7
＝＝－1.
5－?－2?
7

由斜截式可得方程为y＝－
3
x－2.
3
(3)∵直线的倾斜角为60°，
∴其斜率k＝tan 60°＝3，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.
规律方法 1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝3x－3”.
2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.
跟踪演练2 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
解 (1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.
(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝3，所求直线的方程为y＝3x＋5.
(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝
要点三 直线过定点问题
例3 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 方法一 直线l的方程可化为
y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2,3)，
由于点(－2,3)在第二象限，故直线l总过第二象限.
方法二 直线l的方程可化为
m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
?
x＋2＝0，
?
x＝－2 ，
??
令
?
解得
?

??
x＋y－1＝0，y＝3.
??
3
，
3
3
x.
3

∴无论m取何值，直线l总经过点(－2,3).
∵点(－2,3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
规律方法 本例两种证法是证明直线 过定点的基本方法，方法一体现了点斜式的应用，方法
二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.
跟踪演练3 已知直线y＝(3－2k)x－6不经过第一象限，求k的取值范围.

?
?
－6≤0，
解 由题意知，需满足它在y轴上的截距不大 于零，且斜率不大于零，则
?
得k
?
3－2k≤0，
?

3
≥.
2
?
3
?
k≥
?
. 所以，k的取值范围是
?
k
?
?
2
??


1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案 C
解析 方程变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
2.直线y－2＝－3(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为( )
A.60°，2
C.60°，2－3
答案 B
解析 该直线的斜率为－3，当x＝0时，y＝2－3，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－3.
3.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有( )
A.k>0，b>0
C.k<0，b>0
答案 B
解析 ∵直线经过一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
B.k>0，b<0
D.k<0，b<0
B.120°，2－3
D.120°，2

4.斜率为4，经过点(2，－3)的直线方程是________.
答案 y＝4x－11
5.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3,3)，则直线l的方程为

________.
答案 x＝3
解析 直线y＝x＋1的斜率为 1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜
角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90 °，其斜率不存在.又直线过定点P(3,3)，所以直线l
的方程为x＝3.

1 .建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有
y－y
1
＝k，此式是不含点P
1
(x
1
，y
1
)的两 条反向射线的方程，必须化为y－y
1
＝k(x－x
1
)才是整
x－ x
1
条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x
1
.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝ k(x－0)，
即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x 的一次
式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截
式方程.


第2课时 直线的两点式方程
[学习目标] 1. 掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形
式，特征及其适用范围. 3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.

[知识链接]
1.直线的点斜式方程为y－y
0
＝k(x－x
0
).
2.直线的斜截式方程为y＝kx＋b.
y
2
－y
1
3. 经过两点P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)的直线的斜率k＝(x≠x).
x
2
－x
1
12
[预习导引]
y－y
1
x－x
1
1.两点确定一条直线.经过两点P
1
(x
1，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)且x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
的直线方程＝，< br>y
2
－y
1
x
2
－x
1
叫做直线的 两点式方程.
xy
2.直线l与x轴交点A(a,0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠ 0，b≠0，则得直线方程 ＋＝1，
ab
叫做直线的截距式方程.

3.若点P
1
，P
2
的坐标分别为(x
1
，y
1< br>)，(x
2
，y
2
)且线段P
1
P
2
的中点M的坐标为(x，y)，则
x
?
x＝
x＋
2
?y＋y
?
y＝
2
1
1
2
2

.

要点一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 (1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
y－?－4?x－5
∴由两点式得＝，
?－2?－?－4?0－5
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点为M(x
0
，y
0
)，
5＋0
5
?－4?＋?－2?
则x
0
＝＝，y
0
＝＝－3. < br>222
5
?
∴M
?
?
2
，－3
?< br>，
又BC边上的中线经过点A(－3,2).
y－2x－?－3?
∴由两点式得＝，
－3－2
5
－?－3?
2
即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
规律方法 (1)首先要鉴别 题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需
分类讨论；(2)注意问题叙述的异同， 例1中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二
问则表示的是直线.
跟踪演练1 已知△ ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2,2)，C(4,1)，求三角形三条边所在的
直线方程.
解 ∵A(2，－1)，B(2,2)，A、B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
y－1x－4
∵A(2，－1)，C( 4,1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，
－1－12－4

即x－y－3＝0.
y－2x－2
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
1－24－2
要点二 直线的截距式方程
例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
xy
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
ab
4
－3
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
ab
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
规律方法 (1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数
法求解.
(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.
跟踪演练2 求过定点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
解 设直线的两截距都是a，则有
3
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2,3)代入得k＝，
2
∴l：3x－2y＝0；
xy
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，
aa
把P(2,3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.
∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.

1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( )
A.y＝x＋3
C.y＝x＋2
答案 A
y－1x＋2
解析 代入两点式得直线方程＝，
4－11＋2
整理得y＝x＋3.
B.y＝－x＋1
D.y＝－x－2

2.经过P(4,0)，Q(0，－3)两点的直线方程是( )
xy
A.＋＝1
43
xy
C.－＝1
43
答案 C
xy
解析 因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为＋＝1.
4
－3
3.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为( )
A.x＝2
C.x＝3
答案 B
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
4.求过点P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.
解 设过点 P(－2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方
程为y－3＝k (x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、
3
－ 2－，0
?
. N
?
k
??
113
再由12＝|O M|·|ON|＝|2k＋3|×|－2－|，
22k
9
可得|4k＋＋12|＝24，
k
99
即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.
kk
－9－62－9＋62
3
解得k＝或k＝或k＝，
222
故满足条件的直线有3条.
5.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
4
解 ①若直线过原点，则k＝－，
3
4
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
3
xy
②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.
aa
∴a＝3＋(－4)＝－1，
∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.

B.y＝2
D.x＝6
xy
B.＋＝1
34
xy
D.－＝1
34

1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐 标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条
件：两点的连线不垂直于坐标轴 ，若满足，则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母 或数字的顺序错位而导致错
误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
2.截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距 式直线方程，用待定系数法确定
其系数即可.
(2)选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.
3.对称问题的解决
(1)点关于点对称，可用线段的中点坐标公式.
(2)线关于点对称，可设线上任一点及其对称点化为点关于点对称，结合代入法解决.
(3 )点关于线对称，运用对称点的中点在对称轴直线上、对称点连线与对称轴垂直这两个条
件，通过解方程 组求解.
(4)线关于线对称，转化为点关于线对称，结合代入法解决.


第3课时 直线的一般式方程
[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、 y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B
不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋ By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不
同形式的转化.

[知识链接] 1.过点A(x
0
，y
0
)分别垂直于x轴，y轴的直线方程为x＝x< br>0
，y＝y
0
.
2.直线的点斜式方程：y－y
0
＝k(x－x
0
).
y－y
1
x－x
1
直线的两点式方程：＝(x≠x，y≠y). < br>y
2
－y
1
x
2
－x
1
1212< br>[预习导引]
1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x， y的二元一
次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A 、B不

同时为0)叫做直线方程的一般式.
AC
2.对于直线Ax＋ By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，
BB
CCC在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
AAB
3.直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x，y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

要点一 直线的一般式与其他形式的转化
4
例1 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是( )
3
A.3x＋4y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0
B.4x＋3y＋7＝0
D.3x＋4y－42＝0
(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A.3
9
C.
5
答案 (1)B (2)D
4
解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.
3
4
又y＝－x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，
3
所以只有B项正确.
(2)令y＝0则x＝－33.
规律方法 (1)一般式化为斜截式的步骤：
①移项得By＝－Ax－C；
AC
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
BB
(2)一般式化为截距式的步骤：
方法一：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
AxBy
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
－C－C
B.－5
D.－33

xy
③化为截距式：＋＝1.
CC
－－
AB
方法二：
①令x＝0求直线在y轴上的截距b；
②令y＝0求直线在x轴上的截距a；
xy
③代入截距式方程＋＝1.
a b
由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，
一 般式不化为两点式和点斜式.
跟踪演练1 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求 直线l的一般式方程和截距式方程，
并画出图形.
解 因为直线l经过点A(－5,6)，B(－4,8)，
y－6x＋5
所以由两点式，得＝，
8－6－4＋5
xy
整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得＋＝1，
－ 8
16
xy
所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.
－8
16
图形如图所示：

要点二 直线方程的应用
例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直.
3
解 方法一 l的方程可化为y＝－x＋3，
4
3
∴l的斜率为－.
4
3
(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－.
4
3
又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，
4
即3x＋4y－9＝0.

4
(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为，又l′过点(－1,3)，
3
4
由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
3
即4x－3y＋13＝0.
方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1,3)代入上式得n＝13.
∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.
规律方法 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax
＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程
可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.
跟踪演练2 已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解 (1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C
1
＝0，
又过点A(2,2)，
所以3×2＋4×2＋C
1
＝0，所以C
1
＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C
2
＝0，
又过点A(2,2)，
所以4×2－3×2＋C
2
＝0，所以C
2
＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
要点三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围
例3 (1)若方程(m
2
＋5m＋6)x＋(m
2
＋3m)y＋1 ＝0表示一条直线，则实数m满足________.
答案 m≠－3
解析 若方程不能表示直线，则m
2
＋5m＋6＝0且m
2
＋3m＝0.
?
m
2
＋5m＋6＝0，
?
解方程组
?
2
得m＝－3，
?
m＋3m＝0，
?

所以m≠－3时，方程表示一条直线.
(2)当实数m为何值时，直线(2m
2＋m－3)x＋(m
2
－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.
解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，

2m
2
＋m－3
所以此直线的斜率是1，所以－＝1， m
2
－m
2
?
?
m－m≠0，
所以
?
2

2
?
2m＋m－3＝－?m－m?，
?

?
?
m≠0且m≠1，
解得
?
所以m＝－1.
?
m＝－1或m＝1.
?

②因为已知直线在x轴上的截距为1，
4m－1
令y＝0得x＝
2
，
2m＋m－3
?
2 m
2
＋m－3≠0，
?
4m－1
所以
2
＝1，所以
?

2
2m＋m－3
?
4m－1＝2m＋m－3，
?

?
解得
?
1
m＝－或m＝2.
?
2
3
m≠ 1且m≠－，
2

1
所以m＝－或m＝2.
2
规律方法 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

跟踪演练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.
(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
?
x＋2＝0，
?
x＝－ 2，
??
令
?
解得
?

??
1－y＝0，y＝1，
??

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1).
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x 轴上的截距为－
1＋2k
，在y轴上的截距为1＋2k，要
k
1＋2k
?
?
－≤－2，
k
使直线不经过第四象限，则必须有
?
解 之得k>0；
?
?
1＋2k≥1，